精品解析：山东省烟台市栖霞市（五四制）2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

2024—2025学年第一学期期中学业水平考试 初三数学试题 一 、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分，每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的．） 1. 下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的意义．这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断；同时还要注意变形是否正确． 分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，据此即可得答案． 【详解】解：A、，故该选项变形错误，不符合题意； B、，变形正确，是因式分解，符合题意； C、，不是因式分解，不符合题意； D、，故该选项变形错误，不符合题意． 故选：B． 2. 计算下列四个算式：①；②；③；④，其结果是分式的是（ ）． A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，分式的运算，两个整式相除且分母含有未知数的式子为分式，据此进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：，故①是分式； ，故②不是分式； ，故③不是分式； ，故④是分式； 故选：B 3. 在下列分式中，最简分式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简分式，根据分子分母没有公因式的分式是最简分式逐一判断即可求解，掌握最简分式的定义是解题的关键． 【详解】解：、，不是最简分式，不合题意； 、，不是最简分式，不合题意； 、，不是最简分式，不合题意； 、，是最简分式，符合题意； 故选：D． 4. 下面是昆明市2024年春节8天的空气质量指数（）： 日期 2月10日 2月11日 2月12日 2月13日 2月14日 2月15日 2月16日 2月17日 46 47 47 42 57 50 69 47 下列说法正确的是（ ） A. 这8天的空气质量指数的众数是47 B. 这8天的空气质量指数的中位数是49.5 C. 这8天的空气质量指数的平均数是50 D. 这8天的空气质量指数的极差是22 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数、极差，掌握定义及其计算公式是解题的关键．根据平均数、中位数、众数、极差的意义分别求出数据的平均数，中位数，众数，极差，再比较即可． 【详解】解：A.这8天的空气质量指数中47出现了3次，次数最多，所以众数为47， 故选项A正确； B. 从小到大排列这8天的空气质量指数，第4、第5个数据分别是47，47，所以中位数是， 故选项B错误； C. 这8天的空气质量指数的平均数为：， 故选项C错误； D. 这8天的空气质量指数的极差是， 故选项D错误； 故选：A 5. 小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，分别对应下列六个字：节、我、爱、游、毕．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 爱毕节 B. 我爱游 C. 爱我毕节 D. 我游毕节 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，利用提公因式法和平方差公式分解因式的结果为，然后找出对应的汉字即可对各选项进行判断． 【详解】， 信息中的汉字有：爱、毕、节、我． 所以结果呈现的密码信息可能为：爱我毕节． 故选：C． 6. 下列约分正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了约分：首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分． 利用分式的约分定义判断即可． 【详解】解：A、，A选项不符合题意； B、，B选项符合题意； C、为最简分式，C选项不符合题意； D、为最简分式，D选项不符合题意． 故选：B． 7. 若关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，根据解分式方程的方法去分母，把分式方程化为整式方程；接下来把增根的值代入到整式方程中，就可以求出m的值． 【详解】解：去分母，得， ∵关于x的分式方程有增根， ∴是分式方程的增根， 当时，， 解得； 当时，， 解得； ∴或， 故选：A． 8. 已知a，b，c分别是的三边长，若，则是（ ）． A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，三角形三边的关系，根据，可推出，由三角形三边的关系可得，则，即，则是等腰三角形． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵a，b，c分别是的三边长， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 故选：A． 9. 已知非零有理数，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的约分，先根据求出x、y的关系，然后代入约分即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选C． 10. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为把一份文件用慢马送到900里外的城市需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍．根据题意列方程为，其中x表示（ ） A. 快马的速度 B. 慢马的速度 C. 规定的时间 D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，根据各数量之间的关系及所列的方程，找出的含义是解题的关键．由快、慢马速度间的关系，结合所列的方程，可得出表示慢马的速度，表示快马的速度，结合快、慢马所需时间与规定时间之间的关系，可得出表示规定的时间． 【详解】解：快马的速度是慢马的2倍，所列方程为， 表示慢马的速度，表示快马的速度； 把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天， 表示规定的时间． 故选：C 二、填空题（共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 若分式 有意义，则x应满足的条件为_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为0列式求解即可． 【详解】解：∵分式 有意义， ∴， ∴， ∴且， ∴且， 故答案为：且． 12. 知，则代数式的值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，代数式求值，先用含b的式子表示出，进而表示出，再把所求式子中的用含b的式子替换求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 一组数据1，3，5，x的平均数与中位数相同，则x的值是_____________． 【答案】或3或7 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数和平均数，先根据平均数的定义求出平均数，再分当时，当时，当时，三种情况分别求出对应的中位数，再根据平均数和中位数相同建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，这组数据的平均数为， 当时，这组数据的中位数为， ∴， 解得； 当时，这组数据的中位数为， ∴， 解得； 当时，这组数据的中位数为， ∴， 解得； 综上所述，x的值是或3或7． 故答案为：或3或7． 14. 若a，b互为倒数，且，则分式 的值为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，根据倒数的定义得到，再根据分式的减法计算法则把所求式子先化简，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵a，b互为倒数， ∴， ∴ ， 故答案为：． 15. 已知分式 （m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为____________． x的取值 4 a 16 分式的值 无意义 0 b 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，分式的求值，解分式方程，代数式求值等等，分式无意义的条件是分母为0，据此可求出m的值；根据当时，分式的值为0，可求出n的值，进而得到关于a的方程，解方程求出a的值，再求出b的值即可得到答案． 【详解】解：∵当时分式无意义， ∴， ∴； ∵当时，分式的值为0， ∴， ∴； ∴，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 故答案为：． 16. 若关于x的分式方程=2a无解，则a的值为_____． 【答案】1或 【解析】 【详解】解：去分母得：x-3a=2a（x-3）， 整理得：（1-2a）x=-3a， 当1-2a=0时，方程无解，故a=； 当1-2a≠0时，x==3时，分式方程无解， 则a=1， ∴关于x的分式方程=2a无解，则a的值为：1或． 故答案为：1或． 三、解答题（本大题共9个题． 满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17. 把下列各式分解因式： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）利用平方差公式分解因式即可； （3）先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 18. 《义务教育数学课程标准（2022年版）》关于运算能力的解释为：运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力． 因此，我们面对没有学过的数学题时，方法可以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答，下面介绍一种分解因式的新方法—拆项补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式转化为已学过的知识进行分解． 例题：用拆项补项法分解因式 解：添加两项 原式 请你结合自己的思考和理解完成下列各题： （1）分解因式：； （2）分解因式：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）先把原式变形为，再仿照题意分解因式即可； （2）先把原式变形为，再仿照题意分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的加减计算： （1）先通分，再计算加减法即可； （2）先把小括号内的式子通分化简，再把另一个分式约分化简，最后计算加法即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 先化简后求值： 其中满a足 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把除法变成乘法，再约分化简，然后求出的值，最后利用整体代入法求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 21. 已知的值为正整数，求整数x的值． 【答案】，或5 【解析】 【分析】此题考查了异分母分式加减法，根据分式的值求参数，先计算异分母分式加减法，根据式子的值为正整数得或2，由此求出x的值． 【详解】解： ∵的值为正整数， ∴或2， ∴或5． 22. 为弘扬中华优秀传统文化，校学生处在八、九年级各抽取50名同学开展传统文化知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分，竞赛成绩如图所示： 众数 中位数 平均数 方差 八年级竞赛成绩 7 b c 九年级竞赛成绩 a 8 8 m 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：表中的________，________，________； （2）该校九年级学生共有1900人，若九年级学生都参加传统文化知识竞赛，请估计满分有多少人？ （3）求九年级被抽取的50名同学竞赛成绩的方差m，并比较八、九年级哪个年级成绩更稳定？ 【答案】（1）8；8；8 （2）228人 （3）九年级成绩更稳定 【解析】 【分析】（1）根据众数，中位数和平均数的意义求解即可； （2）用1900乘以满分人数所占的百分比，即可； （3）先求出方差，再根据方差越小成绩越稳定进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵九年级得8分的人数14人，人数最多， ∴； 把八年级竞赛成绩按照从低到高的顺序排列处在第25名和第26名的成绩分别为8分，8分， ∴； 八年级平均成绩, 故答案为：8；8；8。 【小问2详解】 解：人， ∴估计满分有228人； 【小问3详解】 解：， ∵， ∴九年级成绩更稳定。 【点睛】本题主要考查了折线统计图，中位数、众数、方差，用样本估计总体，熟练掌握中位数、众数、方差的意义是解题的关键． 23. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；解分式方程一定注意要验根． （1）观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解； （2）根据去分母、去括号、移项合并同类项求解即可． 【小问1详解】 两边同乘得： ， 经检验：把代入， ∴是原方程的解． 【小问2详解】 ， 两边同乘以去分母，得， 即， 整理得： 解得， 经检验，是分式方程的解， 故分式方程的解为； 24. 中国是世界文明古国之一．数学是中国古代科学中一门重要学科，其发展源远流长，成就辉煌．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本． （1）求《孙子算经》、《周髀算经》两种图书的单价分别为多少元？ （2）国际数学节是为了纪念中国古代数学家祖冲之而设立的节日．为筹备“3.14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售，求两种图书分别购买多少本时费用最少？ 【答案】（1）《孙子算经》的单价是30元，《周髀算经》的单价是40元 （2）当购买53本《孙子算经》27本《周髀算经》时，总费用最少 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的是实际应用． （1）设《周髀算经》的单价是x元，则《孙子算经》的单价是元，利用数量=总价÷单价，结合用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出《周髀算经》的单价，再将其代入中，即可求出《孙子算经》的单价； （2）设购买m本《孙子算经》，则购买本《周髀算经》，根据购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设购买这两种图书共花费w元，利用总费用=单价×数量，可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设《周髀算经》的单价是x元，则《孙子算经》的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴． 答：《孙子算经》的单价是30元，《周髀算经》的单价是40元； 【小问2详解】 设购买m本《孙子算经》，则购买本《周髀算经》， 根据题意得：，解得：． 设购买这两种图书共花费w元，则， ∴， ∵， ∴w随m的增大而减小， 又∵，且m为正整数， ∴当时，w取得最小值，此时． 答：当购买53本《孙子算经》27本《周髀算经》时，总费用最少． 25. 发现：（1）；（2）；（3）… 尝试：直接写出第n个式子____________________________；（用含n的代数式表示） 论证：请证明你在“尝试”中猜想的等式成立； 应用：请利用上述规律解方程： 【答案】尝试：； 论证：右边左边， ∴； 应用：原方程无解 【解析】 【分析】尝试：根据所给式子可发现规律，得出第n个式子； 论证：证明右边等于左边即可； 应用：运用上述规律解方程即可． 【详解】尝试：∵（1）；（2）；（3）… ∴第n个式子为：， 故答案为：； 论证：略 应用：解方程： ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 经检验：当时，或， 所以，原方程无解 【点睛】本题主要考查了数字规律，分式运算以及解分式方程，正确找出规律是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期期中学业水平考试 初三数学试题 一 、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分，每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的．） 1. 下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 计算下列四个算式：①；②；③；④，其结果是分式的是（ ）． A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ③④ 3. 在下列分式中，最简分式是（ ） A. B. C. D. 4. 下面是昆明市2024年春节8天的空气质量指数（）： 日期 2月10日 2月11日 2月12日 2月13日 2月14日 2月15日 2月16日 2月17日 46 47 47 42 57 50 69 47 下列说法正确的是（ ） A. 这8天的空气质量指数的众数是47 B. 这8天的空气质量指数的中位数是49.5 C. 这8天的空气质量指数的平均数是50 D. 这8天的空气质量指数的极差是22 5. 小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，分别对应下列六个字：节、我、爱、游、毕．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 爱毕节 B. 我爱游 C. 爱我毕节 D. 我游毕节 6. 下列约分正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ） A. 或 B. C. D. 或 8. 已知a，b，c分别是的三边长，若，则是（ ）． A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 不能确定 9. 已知非零有理数，满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为把一份文件用慢马送到900里外的城市需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍．根据题意列方程为，其中x表示（ ） A. 快马的速度 B. 慢马的速度 C. 规定的时间 D. 以上都不对 二、填空题（共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 若分式 有意义，则x应满足的条件为_______． 12. 知，则代数式的值为_____________． 13. 一组数据1，3，5，x的平均数与中位数相同，则x的值是_____________． 14. 若a，b互为倒数，且，则分式 的值为_______________． 15. 已知分式 （m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为____________． x的取值 4 a 16 分式的值 无意义 0 b 16. 若关于x的分式方程=2a无解，则a的值为_____． 三、解答题（本大题共9个题． 满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17. 把下列各式分解因式： （1） （2） （3） 18. 《义务教育数学课程标准（2022年版）》关于运算能力的解释为：运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力． 因此，我们面对没有学过的数学题时，方法可以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答，下面介绍一种分解因式的新方法—拆项补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式转化为已学过的知识进行分解． 例题：用拆项补项法分解因式 解：添加两项 原式 请你结合自己的思考和理解完成下列各题： （1）分解因式：； （2）分解因式：． 19. 计算： （1）； （2） 20. 先化简后求值： 其中满a足 21. 已知的值为正整数，求整数x的值． 22. 为弘扬中华优秀传统文化，校学生处在八、九年级各抽取50名同学开展传统文化知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分，竞赛成绩如图所示： 众数 中位数 平均数 方差 八年级竞赛成绩 7 b c 九年级竞赛成绩 a 8 8 m 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：表中的________，________，________； （2）该校九年级学生共有1900人，若九年级学生都参加传统文化知识竞赛，请估计满分有多少人？ （3）求九年级被抽取的50名同学竞赛成绩的方差m，并比较八、九年级哪个年级成绩更稳定？ 23. 解方程： （1）； （2）． 24. 中国是世界文明古国之一．数学是中国古代科学中一门重要学科，其发展源远流长，成就辉煌．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本． （1）求《孙子算经》、《周髀算经》两种图书的单价分别为多少元？ （2）国际数学节是为了纪念中国古代数学家祖冲之而设立的节日．为筹备“3.14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售，求两种图书分别购买多少本时费用最少？ 25. 发现：（1）；（2）；（3）… 尝试：直接写出第n个式子____________________________；（用含n的代数式表示） 论证：请证明你在“尝试”中猜想的等式成立； 应用：请利用上述规律解方程： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $