专题07 平移、旋转、轴对称的应用（八大类型）-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学上册压轴题攻略（沪教版2024）

专题07 平移、旋转、轴对称的应用 目录 压轴题型讲练 1 类型一、利用平移求图形的周长 1 类型二、利用平移求图形的面积 2 类型三、利用平移求时间 4 类型四、利用旋转求长度、角度 5 类型五、利用旋转求面积 7 类型六、利用轴对称求角度 9 类型七、利用轴对称求和差的最值 10 类型八、利用轴对称求面积 12 压轴能力测评 14 类型一、利用平移求图形的周长 【例1】如图，将三角形沿方向平移得到，与交于点．此时满足．若，则四边形与四边形周长之差为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【例2】如图，，将沿方向平移，得到，连接，则阴影部分的周长为 ． 【变式1-1】如图，将周长为11的三角形沿边向右平移2个单位，得到，则四边形的周长为 ． 【变式1-2】如图，将三角形沿着射线方向平移，得到三角形，已知，，，则四边形的周长为 ． 【变式1-3】如图，已知，，，将三角形沿方向平移个单位长度，得到三角形，连接，则阴影部分的周长为 ． 类型二、利用平移求图形的面积 【例3】如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中，，，点A对应直尺的刻度为9．将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得移动到，点对应直尺的刻度为1，连接，则四边形的面积是（    ） A．48 B．60 C．55 D．54 【例4】如图，在所给的网格图（每个小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：    (1)作出三角形向右平移5格，向上平移2格后所得的三角形； (2)，判断与的位置关系，并求四边形的面积． 【变式2-1】如图，一块长为，宽为的长方形地板中间有一条裂痕（如图甲），若把裂痕右边的一块向右平移（如图乙），则产生的裂缝的面积是 ． 【变式2-2】和是两个形状、大小完全相同的直角三角形，如图①所示，三条边、、的长分别是、、，且、、、在同一条直线上． (1)如果朝着某个方向平移后得如图②所示，则平移的方向是什么？平移的距离是多少？ (2)平移至图③所示的位置，如果，则的面积是多少？ 【变式2-3】如图，将直角三角形沿方向平移得到，交于点，，，求阴影部分的面积． 类型三、利用平移求时间 【例5】如图，在中，，将以每秒的速度沿所在的直线向右平移，所得的对应图形为．设平移时间为t秒，若要使成立，则t的值为 ．    【例6】已知，大正方形的边长为10厘米，小正方形的边长为4厘米，起始状态如图所示．大正方形固定不动，把小正方形以1厘米秒的速度向右沿直线平移．设平移的时间为秒，两个正方形重叠部分的面积为平方厘米．当时，小正方形平移的时间为 秒．    【变式3-1】如图，在三角形中，，将三角形以每秒的速度沿向右平移，得到三角形，设平移时间为秒，若在三个点中，一个点到另外两个点的距离存在倍的关系，则下列三人的说法：甲：“有两种情况，的值为或．”乙：“有三种情况，的值为或或．”丙：“有四种情况，的值为或或或．”其中正确的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断 【变式3-2】已知小正方形的边长为2厘米，大正方形的边长为4厘米，起始状态如图所示，大正方形固定不动，把小正方形以1厘米/秒的速度向右沿直线平移，设平移的时间为t秒，两个正方形重叠部分的面积为S平方厘米，完成下列问题： （1）当秒时， 平方厘米； （2）当时，小正方形平移的时间为 秒． 【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，所给的正方形网格的每个小正方形边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，三角形的三个顶点均在格点上，位置如图所示，其中点．现将三角形沿的方向平移，使得点平移至图中的点的位置． (1)在图中画出三角形，并写出点的对应点的坐标为______，点的对应点的坐标为______； (2)线段沿的方向平移到的过程中扫过的面积是______；（直接填写结果） (3)将直线以每秒1个单位长度的速度向右平移，平移______秒时该直线恰好经过点．（直接填写结果） 类型四、利用旋转求长度、角度 【例7】如图，中，，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转后，点恰好与点C重合，则平移的距离和的度数分别为（　　） A．3， B．4， C．3， D．4， 【例8】如图，在中，，将绕点逆时针转至的位置，其中点与点是对应点，且点在边上，此时，，延长交于点若，则 ． 【变式4-1】如图，将绕点顺时针旋转，使点落在边上的点处，点落在点处，连接，若，则为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，点C的对应点为，点恰好在边上，且，则角度为 ．    【变式4-3】如图，在的内部绕点O自由旋转，旋转过程中、的大小始终保持不变，其中．首先绕点O顺时针匀速旋转，旋转速度为每秒，旋转开始前与重合，当旋转至与重合时，立即再以另一速度绕点O逆时针匀速旋转，当旋转至与重合时，旋转停止，设时间为t秒，记，W用含t的代数式表示，已知绕点O顺时针匀速旋转过程中，当和时，与之对应的W的两个值互为相反数；从开始旋转到最后停止，整个过程总用时秒． (1)绕点O顺时针匀速旋转过程中，W的值的变化情况：______（填“由负到正”或“由正到负”）； (2)求的大小及逆时针旋转时的速度； (3)在整个旋转过程中，若，直接写出t的值． 类型五、利用旋转求面积 【例9】如图，直角的直角顶点为C，且，将此三角形绕点A顺时针旋转到直角的位置．则在旋转过程中，边扫过的面积是 ．（结果保留）    【例10】将一副三角板按图①的方式放置（有一条边重合），把含角的直角三角板绕点C逆时针旋转，得到，如图②，其中． (1)求的长； (2)求的面积． 【变式5-1】如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接． (1)若，则_______°； (2)若，，求的面积与周长． 【变式5-2】如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，求阴影部分的面积． 【变式5-3】如图，把一个含有30°角的直角三角尺绕角的顶点B顺时针旋转，使得点A与延长线上的点E重合，其中点C的对应点为点D． (1)三角尺旋转了　　　　度； (2)是　　　　三角形； (3)若，求的面积． 类型六、利用轴对称求角度 【例11】将长方形纸片按如图所示方式折叠，使得，其中，为折痕，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例12】将一张正方形纸片如图所示的方式折叠（其中），，为折痕，点、折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为 ． 【变式6-1】如图，点为长方形纸片的边上一点，将长方形纸片分别沿，折叠，使点，分别与点，重合，点，，恰好在同一条直线上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，在长方形中，是对角线，将沿直线折叠，点A落在点F处，交边于点E，若，则的度数为 ． 【变式6-3】点O，E分别是长方形纸片边上的点，沿翻折，点A落在点处，点B落在点处． (1)如图1，当点恰好落在线段上时，求的度数； (2)如图2，当点落在的内部时，若，，求的度数； (3)当点，落在的内部时，若，求的度数（用含的代数式表示）． 类型七、利用轴对称求和差的最值 【例13】如图所示，在所给正方形网格图中完成下列各题：（用直尺画图，保留痕迹） (1)求出格点（顶点均在格点上）的面积______； (2)画出格点关于直线 对称的； (3)在上找一点 使得周长最小； (4)在上找一点，使得最大． 【例14】如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． (1)画出关于轴对称的， (2)在轴上确定一个点，连接，使的和最小并写出点的坐标_______． 【变式7-1】如图，已知，点C在y轴上． (1)画关于y轴对称的； (2)在x轴上画出点P，使周长最小． 【变式7-2】如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上． (1)画出关于x轴对称的图形，并写出顶点的坐标； (2)求的面积； (3)在y轴上找一点P，使得最小． 【变式7-3】如图，在平面直角坐标系中，图中的小方格都是边长为1的正方形，各顶点坐标分别为． (1)若是关于y轴的对称图形；请直接写出三点坐标 ___  ___  ___ (2)在y轴上求作一点P，使得点P到点A，B的距离之和最小． 类型八、利用轴对称求面积 【例15】（梯形面积计算）梯形（如图）是由一张长方形纸折叠而成的．这个梯形的高是 ，面积是 ． 【例16】如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上． (1)作出关于y轴对称的，并直接写出点的坐标； (2)连接，，求四边形的面积． 【变式8-1】如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，折痕交于点，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留） 【变式8-2】利用图形分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图，是长方形的对角线，将分割成两对相同的直角三角形和一个小正方形，然后按图2重新摆放． （1） ； （2）若，，则长方形的面积是 ． 【变式8-3】如图：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，先将向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到． (1)在图中画出； (2)平移后三个顶点坐标分别为：（________）、（________）、（________）； (3)若y轴有一点P，使与面积相等，则P点的坐标为________． 1．如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为     A． B． C． D． 2．如图，在锐角中，的面积为90，平分，若E、F分别是上的动点，则的最小值为（    ） A．12 B．15 C．18 D．9 3．中，，，，是的角平分线，点E、F分别是线段、线段上的动点，则的最小值是（　　） A．4 B．3 C．8 D．16 4．在中，，，，．现将按如图那样折叠，使点落在上的点处，折痕为，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．5 5．如图，在中，，将沿的方向平移2个单位后，得到，连接，则的面积为 ． 6．在学习“生活中的轴对称”之后，小颖对图形的变换进行操作实践．P为长方形纸片的边上一点，点E，M分别为上的动点，如图，先把纸片沿对折，点A与翻折至点F：再把纸片沿对折，点B翻折至点H．当点E，M运动时，若，则 ． 7．如图，在中，，将平移个单位长度得到，是的中点，则的最大值为 ． 8．如图，长方形纸片，点P在边上，点M，N在边上，连接，．将对折，点D落在直线上的点处，得折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得折痕．若，则 ． 9．如图所示，已知是内的一点，点、分别是点关于、的对称点，点、分别相交于点、，已知． (1)求的周长； (2)连接、，若，求．（用含的代数式表达） 10．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的，并写出各点的坐标； (2)画出关于直线m (直线m上各点的纵坐标均为)对称的，请你观察并写出它们的对应点坐标之间的关系； (3)依据你刚才的发现，若点A和点D关于直线l（直线l上各点的纵坐标均为a，）对称，则点D的坐标为 ．（用含a的式子表示） 11．如图，在由单位正方形组成的： 网格中，每个小正方形的顶点叫格点，A、B、C是格点，仅用无刻度的直尺在所给网格中完成作图：    (1)在图1中， 将绕点 A 顺时针旋转得，连接，并在线段上找一点M，使得 (2)在图2中，P为上一点，作线段关于点 C成中心对称的线段（A与E对应），并在上找一点 G，使得． 12．如图，点在直线上，，在平面内，过点任画射线． (1)填空：若与 互余，则的度数是________； (2)射线绕点从射线的位置出发，顺时针旋转，平分． ①若，求的度数； ②在射线旋转过程中，是否存在的值，使得与互余？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 平移、旋转、轴对称的应用 目录 压轴题型讲练 1 类型一、利用平移求图形的周长 1 类型二、利用平移求图形的面积 3 类型三、利用平移求时间 6 类型四、利用旋转求长度、角度 11 类型五、利用旋转求面积 15 类型六、利用轴对称求角度 18 类型七、利用轴对称求和差的最值 22 类型八、利用轴对称求面积 28 压轴能力测评 33 类型一、利用平移求图形的周长 【例1】如图，将三角形沿方向平移得到，与交于点．此时满足．若，则四边形与四边形周长之差为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【详解】解：∵将三角形沿方向平移得到， ∴， ∴，即， ∵ ∴，， 四边形与四边形周长之差为 ∵ ∴四边形与四边形周长之差为， 故选：A． 【例2】如图，，将沿方向平移，得到，连接，则阴影部分的周长为 ． 【答案】11 【详解】解：由平移的性质可知： 则 ∴阴影部分的周长为：， 故答案为：11． 【变式1-1】如图，将周长为11的三角形沿边向右平移2个单位，得到，则四边形的周长为 ． 【答案】15 【详解】∵将周长为11的三角形沿边向右平移2个单位，得到， 所以，， 四边形的周长的周长． 故答案为：15． 【变式1-2】如图，将三角形沿着射线方向平移，得到三角形，已知，，，则四边形的周长为 ． 【答案】18 【详解】将三角形沿着射线BC方向平移，得到三角形， ， ，，， ，， ， 阴影部分的周长为：， 故答案为：18． 【变式1-3】如图，已知，，，将三角形沿方向平移个单位长度，得到三角形，连接，则阴影部分的周长为 ． 【答案】 【详解】解：由平移的性质可得，，，， 则阴影部分的周长为． 故答案为：． 类型二、利用平移求图形的面积 【例3】如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中，，，点A对应直尺的刻度为9．将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得移动到，点对应直尺的刻度为1，连接，则四边形的面积是（    ） A．48 B．60 C．55 D．54 【答案】A 【详解】解：∵将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得移动到， ∴，，， ∴， ∴四边形是长方形， ∵点A对应直尺的刻度为9，点对应直尺的刻度为1， ∴， ∵， ∴四边形的面积是； 故选A． 【例4】如图，在所给的网格图（每个小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：    (1)作出三角形向右平移5格，向上平移2格后所得的三角形； (2)，判断与的位置关系，并求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2)位置关系：，16 【详解】（1）解：如图，三角形即为所求；    （2），四边形的面积． 【变式2-1】如图，一块长为，宽为的长方形地板中间有一条裂痕（如图甲），若把裂痕右边的一块向右平移（如图乙），则产生的裂缝的面积是 ． 【答案】 【详解】解：如图乙，产生的裂缝的面积， 故答案为：． 【变式2-2】和是两个形状、大小完全相同的直角三角形，如图①所示，三条边、、的长分别是、、，且、、、在同一条直线上． (1)如果朝着某个方向平移后得如图②所示，则平移的方向是什么？平移的距离是多少？ (2)平移至图③所示的位置，如果，则的面积是多少？ 【答案】(1)平移的方向沿方向，平移距离是； (2) 【详解】（1）解：由图可知，平移的方向沿方向，平移距离是长， ， 平移距离是； （2）解：∵， ∴， ∵， ， 的面积． 【变式2-3】如图，将直角三角形沿方向平移得到，交于点，，，求阴影部分的面积． 【答案】 【详解】解：∵直角三角形沿方向平移得到，，， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 类型三、利用平移求时间 【例5】如图，在中，，将以每秒的速度沿所在的直线向右平移，所得的对应图形为．设平移时间为t秒，若要使成立，则t的值为 ．    【答案】3或6 【详解】解：∵平移， ∴， 当点在线段上时，则：， ∴， ∴； 当点在线段的延长线上时，则：， ∴， ∴； 综上：或； 故答案为：3或6． 【例6】已知，大正方形的边长为10厘米，小正方形的边长为4厘米，起始状态如图所示．大正方形固定不动，把小正方形以1厘米秒的速度向右沿直线平移．设平移的时间为秒，两个正方形重叠部分的面积为平方厘米．当时，小正方形平移的时间为 秒．    【答案】1或13 【详解】解：大正方形的边长为10厘米，小正方形的边长为4厘米， 当时，重叠部分长方形的宽为：（厘米）， 当重叠部分在大正方形的左边时，（秒）， 当重叠部分在大正方形的右边时，（秒）， 综上所述，当时，小正方形平移的时间为1或13秒， 故答案为：1或13． 【点睛】本题考查了平移的性质，主要利用了长方形的面积，难点在于要分当重叠部分在大正方形的左边和当重叠部分在大正方形的右边，两种情况进行解答． 【变式3-1】如图，在三角形中，，将三角形以每秒的速度沿向右平移，得到三角形，设平移时间为秒，若在三个点中，一个点到另外两个点的距离存在倍的关系，则下列三人的说法：甲：“有两种情况，的值为或．”乙：“有三种情况，的值为或或．”丙：“有四种情况，的值为或或或．”其中正确的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断 【答案】B 【详解】解：∵三角形以每秒的速度沿线段所在直线向右平移，所得图形对应为三角形， ∴， 当，即，解得； 当，即，解得； 当，即，解得； 综上所述，的值为或或， 故选：． 【变式3-2】已知小正方形的边长为2厘米，大正方形的边长为4厘米，起始状态如图所示，大正方形固定不动，把小正方形以1厘米/秒的速度向右沿直线平移，设平移的时间为t秒，两个正方形重叠部分的面积为S平方厘米，完成下列问题： （1）当秒时， 平方厘米； （2）当时，小正方形平移的时间为 秒． 【答案】 1或5 【详解】（1）时，重叠部分为长方形，且宽为，长为， ∴． 故答案为：3． （2）当时，重叠部分长方形的长， ∴宽为． 分类讨论：①当重叠部分在大正方形的左边时，如图， ∴； ②当重叠部分在大正方形的右边时，如图， ∴． 综上可知小正方形平移的时间为1秒或5秒． 故答案为：1或5． 【点睛】本题考查平移的性质．明确平移前后图形的形状和面积不变和利用分类讨论的思想是解题关键． 【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，所给的正方形网格的每个小正方形边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，三角形的三个顶点均在格点上，位置如图所示，其中点．现将三角形沿的方向平移，使得点平移至图中的点的位置． (1)在图中画出三角形，并写出点的对应点的坐标为______，点的对应点的坐标为______； (2)线段沿的方向平移到的过程中扫过的面积是______；（直接填写结果） (3)将直线以每秒1个单位长度的速度向右平移，平移______秒时该直线恰好经过点．（直接填写结果） 【答案】(1)图形见解析，（6，1），（8，-1） (2)24 (3) 【详解】（1）解：根据题意得：点B（2，4），点C（4，2）， ∵点，将三角形沿的方向平移，使得点平移至图中的点， ∴把△ABC先向右平移4个单位，在向下平移3个单位得到， ∴点的坐标为点（6，1），的坐标为（8，-1）， 故答案为：（6，1），（8，-1） 如图，即为所求； （2）解：线段沿的方向平移到的过程中扫过的面积是 ； 故答案为：24 （3）解：如图，过点C作CE∥x轴，交AB于点E，设点D（2，2），则CD=2， ∵， 解得：， ∴， ∵直线以每秒1个单位长度的速度向右平移， ∴平移秒时该直线恰好经过点． 故答案为： 【点睛】本题考查作图一平移变换，四边形的面积等知识，解题的关键是正确作出图形，学会用面积法解决问题，属于中考常考题型． 类型四、利用旋转求长度、角度 【例7】如图，中，，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转后，点恰好与点C重合，则平移的距离和的度数分别为（　　） A．3， B．4， C．3， D．4， 【答案】A 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转后，点恰好与点C重合， ∴，， ∴是等边三角形， ∵将沿射线的方向平移，得到， ∴，， ∴， ∴， ∴平移的距离为3， 故选：A． 【例8】如图，在中，，将绕点逆时针转至的位置，其中点与点是对应点，且点在边上，此时，，延长交于点若，则 ． 【答案】 【详解】解：绕点逆时针转至， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式4-1】如图，将绕点顺时针旋转，使点落在边上的点处，点落在点处，连接，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设，由旋转的性质，可得 ， ， 又， ， 又中，， ， ，即， 故选：A． 【变式4-2】如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，点C的对应点为，点恰好在边上，且，则角度为 ．    【答案】 【详解】解：设，则， ∴， ∵将绕点A按逆时针方向旋转得到，点C的对应点，点恰好在边上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-3】如图，在的内部绕点O自由旋转，旋转过程中、的大小始终保持不变，其中．首先绕点O顺时针匀速旋转，旋转速度为每秒，旋转开始前与重合，当旋转至与重合时，立即再以另一速度绕点O逆时针匀速旋转，当旋转至与重合时，旋转停止，设时间为t秒，记，W用含t的代数式表示，已知绕点O顺时针匀速旋转过程中，当和时，与之对应的W的两个值互为相反数；从开始旋转到最后停止，整个过程总用时秒． (1)绕点O顺时针匀速旋转过程中，W的值的变化情况：______（填“由负到正”或“由正到负”）； (2)求的大小及逆时针旋转时的速度； (3)在整个旋转过程中，若，直接写出t的值． 【答案】(1)由负到正 (2)， (3)或18 【详解】（1）解：绕点O顺时针匀速旋转过程中，从逐渐增大到，从逐渐减小到， ∵， ∴的值的变化情况是由负到正． 故答案为：由负到正． （2）解：设的度数为， 当时，， 当时，， 根据题意得，， ， ， ， ∴, ∵， ∴逆时针旋转时的速度为． 答：的大小为，逆时针旋转时的速度为每秒． （3）解：当时，、， ，解得:； 当时，、， ，解得: ． 答：当W=60时，t的值为或18． 类型五、利用旋转求面积 【例9】如图，直角的直角顶点为C，且，将此三角形绕点A顺时针旋转到直角的位置．则在旋转过程中，边扫过的面积是 ．（结果保留）    【答案】 【详解】解：∵直角将绕点A顺时针旋转到直角的位置． ∴， ∴边扫过的面积是 故答案为：． 【例10】将一副三角板按图①的方式放置（有一条边重合），把含角的直角三角板绕点C逆时针旋转，得到，如图②，其中． (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意知，，， ∴， 由旋转的性质可知，， ∴的长为； （2）解：如图②，作于， 由（1）可知，， ∴，， ∴， ∴的面积为． 【变式5-1】如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接． (1)若，则_______°； (2)若，，求的面积与周长． 【答案】(1) (2)的面积为3，周长为； 【详解】（1）解：∵绕直角顶点C顺时针旋转，得到， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ， ， ， ∴， 故答案为：； （2）解：∵绕直角顶点C顺时针旋转，得到， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴，，， ∴的面积； 的周长． 【变式5-2】如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，求阴影部分的面积． 【答案】9 【详解】解：在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到， ∴ ， 是等腰三角形，， 如图，过作于，则， ， 又， ， ． 【变式5-3】如图，把一个含有30°角的直角三角尺绕角的顶点B顺时针旋转，使得点A与延长线上的点E重合，其中点C的对应点为点D． (1)三角尺旋转了　　　　度； (2)是　　　　三角形； (3)若，求的面积． 【答案】(1) (2)等腰 (3)的面积为3． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴三角尺旋转了； 故答案为：； （2）解：∵旋转， ∴， ∴是等腰三角形； 故答案为：等腰； （3）解：作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴的面积． 类型六、利用轴对称求角度 【例11】将长方形纸片按如图所示方式折叠，使得，其中，为折痕，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由折叠可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【例12】将一张正方形纸片如图所示的方式折叠（其中），，为折痕，点、折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为 ． 【答案】/40度 【详解】解：由翻折可得：，， ， ∵，， ， ， ． 故答案为：． 【变式6-1】如图，点为长方形纸片的边上一点，将长方形纸片分别沿，折叠，使点，分别与点，重合，点，，恰好在同一条直线上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由折叠的性质可得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式6-2】如图，在长方形中，是对角线，将沿直线折叠，点A落在点F处，交边于点E，若，则的度数为 ． 【答案】40 【详解】解：∵长方形， ∴，， ∴， ∵沿直线折叠，点A落在点F处，交边于点E， ∴， ∴， ∴， 故答案为：40． 【变式6-3】点O，E分别是长方形纸片边上的点，沿翻折，点A落在点处，点B落在点处． (1)如图1，当点恰好落在线段上时，求的度数； (2)如图2，当点落在的内部时，若，，求的度数； (3)当点，落在的内部时，若，求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)的度数为或 【详解】（1）解：由折叠的性质，得到， ， ； （2）解：由折叠的性质，得到， ，， ，， ； （3）解：∵， ∴， 由折叠的性质，得到． ①如图2，当点在内部时， ∵， ∴； ②如图3，当点在外部时， ∵， ∴． 综上，的度数为或． 类型七、利用轴对称求和差的最值 【例13】如图所示，在所给正方形网格图中完成下列各题：（用直尺画图，保留痕迹） (1)求出格点（顶点均在格点上）的面积______； (2)画出格点关于直线 对称的； (3)在上找一点 使得周长最小； (4)在上找一点，使得最大． 【答案】(1)； (2)画图见解析； (3)画图见解析； (4)画图见解析． 【详解】（1）解：面积为 ； （2）如图， ∴即为所求； （3）如图，连接，交于点， 由轴对称性质可知：， ∴周长为， 根据两点之间线段最短即可得知：当三点共线时周长最小， ∴点即为所求； （4）如图，延长交于点， ∵， ∴使得最大，则需三点共线时， ∴点即为所求． 【例14】如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． (1)画出关于轴对称的， (2)在轴上确定一个点，连接，使的和最小并写出点的坐标_______． 【答案】(1)画图见解析； (2)画图见解析，． 【详解】（1）解：如图，找出关于轴对称的点，然后连接即可； ∴即为所求； （2）解：如图，找点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，则点即为所求； ∵点点与点关于轴对称， ∴， ∴， ∴当点三点共线时最小， ∴即为所求，点的坐标, 故答案为：． 【变式7-1】如图，已知，点C在y轴上． (1)画关于y轴对称的； (2)在x轴上画出点P，使周长最小． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【详解】（1）解：如图，即为所求； AI （2）如图，点即为所求； 【变式7-2】如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上． (1)画出关于x轴对称的图形，并写出顶点的坐标； (2)求的面积； (3)在y轴上找一点P，使得最小． 【答案】(1)见解析， (2) (3)见解析 【详解】（1）解：如图，即为所求；； （2）的面积； （3）如图，点P即为所求； 【变式7-3】如图，在平面直角坐标系中，图中的小方格都是边长为1的正方形，各顶点坐标分别为． (1)若是关于y轴的对称图形；请直接写出三点坐标 ___  ___  ___ (2)在y轴上求作一点P，使得点P到点A，B的距离之和最小． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 【详解】（1）解：如图，即为所求，． 故答案为：； （2）解：如图，连接，交轴于点，连接， 此时，为最小值， 即点到点，的距离之和最小， 则点即为所求． 类型八、利用轴对称求面积 【例15】（梯形面积计算）梯形（如图）是由一张长方形纸折叠而成的．这个梯形的高是 ，面积是 ． 【答案】 6 69 【详解】解：由折叠的性质可得这个梯形的高是， 梯形的面积为： （平方厘米）． 故答案为：6、69． 【例16】如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上． (1)作出关于y轴对称的，并直接写出点的坐标； (2)连接，，求四边形的面积． 【答案】(1)图见解析， (2)12 【详解】（1）解：如图所示，即为所求．则点的坐标为． （2）解：四边形的面积 【变式8-1】如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，折痕交于点，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留） 【答案】 【详解】解：连接， 由翻折而成， ，， ， 是等边三角形． ， ， ， 是等腰直角三角形． ， ， ． 故答案为：． 【变式8-2】利用图形分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图，是长方形的对角线，将分割成两对相同的直角三角形和一个小正方形，然后按图2重新摆放． （1） ； （2）若，，则长方形的面积是 ． 【答案】 【详解】（1）依题意， 故答案为：． （2）解：设小正方形的边长为， 矩形的长为 ，宽为 ， 由图1可得：， 整理得：， ，， ， 矩形的面积为 ． 故答案为：． 【变式8-3】如图：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，先将向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到． (1)在图中画出； (2)平移后三个顶点坐标分别为：（________）、（________）、（________）； (3)若y轴有一点P，使与面积相等，则P点的坐标为________． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)或． 【详解】（1）解：由图象可知，三点的坐标是：， 向上平移个单位得到：，再各右平移个单位得到：， 依次连接得到，如图： 则就是所求的三角形． （2）解：由（1）可知，三点的坐标是：， 故答案为：． （3）解：如图，过点作交轴于点， ∵， ∴， ∴点， 作点关于直线的对称点，则点也满足条件， ∴点， 综上所述，满足条件的点坐标为：或， 故答案为：或． 1．如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为     A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上， ，， ，，， ，， ∴， 则线段的长为：． 故选：． 2．如图，在锐角中，的面积为90，平分，若E、F分别是上的动点，则的最小值为（    ） A．12 B．15 C．18 D．9 【答案】A 【详解】解：如图：在上取一点G，使，连接，作于H， ∵平分， ∴直线是的对称轴， ∴， ∴， ∴的最小值为的长， ∵，的面积为90， ∴，解得：， ∴的最小值为：12． 故选：A． 3．中，，，，是的角平分线，点E、F分别是线段、线段上的动点，则的最小值是（　　） A．4 B．3 C．8 D．16 【答案】A 【详解】解：如图，作F关于的对称点，连接， 则， ∵是的角平分线， ∴在上， ∴， ∴当A、E、三点共线，且即、重合时，的值最小， ∵，，， ∴ 的最小值为4， 故选：A． 4．在中，，，，．现将按如图那样折叠，使点落在上的点处，折痕为，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．5 【答案】A 【详解】解：由题意可知，，， 设， ， 且， 在中，， ， 解得， 故选A． 5．如图，在中，，将沿的方向平移2个单位后，得到，连接，则的面积为 ． 【答案】6 【详解】解：∵，将沿射线的方向平移2个单位， ∴， ∴，的高的高的高， ∴， 故答案为：6． 6．在学习“生活中的轴对称”之后，小颖对图形的变换进行操作实践．P为长方形纸片的边上一点，点E，M分别为上的动点，如图，先把纸片沿对折，点A与翻折至点F：再把纸片沿对折，点B翻折至点H．当点E，M运动时，若，则 ． 【答案】或 【详解】解：当在左边时，由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， 同理，在右边时，可得． 故答案为：或． 7．如图，在中，，将平移个单位长度得到，是的中点，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】如图，连接， ∵将平移个单位长度得到， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴，即， ∴的最大值为， 故答案为：． 8．如图，长方形纸片，点P在边上，点M，N在边上，连接，．将对折，点D落在直线上的点处，得折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得折痕．若，则 ． 【答案】或 【详解】解：如图1中，当点N在点M的上方时． ， ， 由翻折变换的性质可知， ， ； 如图2，当点N在点M的下方时，， 由翻折变换的性质可知， ； 综上所述，满足条件的或． 故答案为：或． 9．如图所示，已知是内的一点，点、分别是点关于、的对称点，点、分别相交于点、，已知． (1)求的周长； (2)连接、，若，求．（用含的代数式表达） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵M，N分别是点O关于、的对称点， ∴，， ∴的周长 ； （2）如图，连接，，， ∵M，N分别是点O关于、的对称点， ∴，， ∴． 10．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的，并写出各点的坐标； (2)画出关于直线m (直线m上各点的纵坐标均为)对称的，请你观察并写出它们的对应点坐标之间的关系； (3)依据你刚才的发现，若点A和点D关于直线l（直线l上各点的纵坐标均为a，）对称，则点D的坐标为 ．（用含a的式子表示） 【答案】(1)作图见解析，，， (2)作图见解析；即为所求作对应点的横坐标相等，纵坐标相加等于 (3) 【详解】（1）解：如图，为所求； ，，． （2）解：如图，为所求； ∵，，， ∴可发现对应点的横坐标相等，纵坐标相加等于．（答案不唯一） （3）解：设点D的坐标为， ∵点和点D关于直线l（直线l上各点的纵坐标均为a，）对称， ∴，， ∴， ∴． 故答案为： 11．如图，在由单位正方形组成的： 网格中，每个小正方形的顶点叫格点，A、B、C是格点，仅用无刻度的直尺在所给网格中完成作图：    (1)在图1中， 将绕点 A 顺时针旋转得，连接，并在线段上找一点M，使得 (2)在图2中，P为上一点，作线段关于点 C成中心对称的线段（A与E对应），并在上找一点 G，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图，线段和点即为所作；    （2）解：如图，线段和点即为所作．    12．如图，点在直线上，，在平面内，过点任画射线． (1)填空：若与 互余，则的度数是________； (2)射线绕点从射线的位置出发，顺时针旋转，平分． ①若，求的度数； ②在射线旋转过程中，是否存在的值，使得与互余？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)①；②存在，或，理由见解析 【详解】（1）解：若与互余， 有以下两种情况： （ⅰ）当在的上方时，如图1所示： 点在直线上，， ， ， 与互余， ， 即， ； （ⅱ）当在的下方时，如图2所示： ， 与互余， ， ， ， ， 综上所述：的度数是或． 故答案为：或． （2）解：①，如图3所示： 点在直线上，， ， 平分， ， ； ②存在，或，理由如下： 依题意得：， 分两种情况讨论如下： （ⅰ）当在内部时，如图4所示： 与互余， ， 即， ， 平分， ， 当与互余时，； （ⅱ）当在内部时，如图5所示： 与互余， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 当与互余时，． 综上所述：当或时，使得与互余． 【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，互为余角的定义，角的计算，理解角平分线的定义，互为余角的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$