7.1为什么要证明同步练习-2024-2025学年北师大版数学八年级上册

7.1为什么要证明 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．9人分24张票，每人至少1张，则（ ） A．至少有3人票数相等 B．至少有4人票数无异 C．不会有5人票数一致 D．不会有6人票数同样 2．张大伯在中国银行存入10000元人民币，并在存单上留下了6位数的密码，每个数字都是0﹣9这十个数字中的一 个，但由于年龄的缘故，张大伯忘记了密码中间的两个数字，那么张大伯最多可能实验多少次，才能正确输入密码（  ） A．1次 B．50次 C．100次 D．200次 3．100人共有2000元人民币，其中任意10人的钱数的和不超过380元．那么一个人最多有（ ）元． A．216 B．218 C．238 D．236 4．已知上海到美国洛杉矶的海底电缆共有15个接点．某次从上海发出一个信息时，某个接点发生故障，为了尽快断定故障发生点，排除故障，至少需要检查的接点个数是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．图中小圆圈表示网络的结点，结点之间的连接表示它们有网线相连，相连标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，若信息可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（ ） A．11 B．10 C．8 D．7 6．世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分，小组赛完以后，总积分最高的两个队出线进入下轮比赛，如果总积分相同，还要按净胜球排序，一个队要保证出线，这个队至少要积（ ） A．6分 B．7分 C．8分 D．9分 7．如图，点A1，A2，A3，A4是某市正方形道路网的部分交汇点，且它们都位于同一对角线上．某人从点A1出发，规定向右或向下行走，那么到达点A3的走法共有（  ） A．4种 B．6种 C．8种 D．10种 8．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 9．小明中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：（1）洗锅盛水2分钟；（2）洗菜3分钟；（3）准备面条及佐料2分钟；（4）用锅把水烧开7分钟；（5）用烧开的水煮面条和菜要3分钟．以上各工序除（4）外，一次只能进行一道工序，小明要将面条煮好，最少用（  ） A．14分钟 B．13分钟 C．12分钟 D．11分钟 10．绍兴一中新来了三位年轻老师，蔡老师、朱老师、孙老师，他们每人分别教生物、物理、英语、政治、历史和数学六科中的两科课程．其中，三个人有以下关系： ①物理老师和政治老师是邻居； ②蔡老师在三人中年龄最小； ③孙老师、生物老师和政治老师三人经常一起从学校回家； ④生物老师比数学老师年龄要大些； ⑤在双休日，英语老师、数学老师和蔡老师三人经常一起打排球． 根据以上条件，可以推出朱老师可能教（ ） A．历史和生物 B．物理和数学 C．英语和生物 D．政治和数学 11．下列结论，你能肯定的是（    ） A．今天是阴天，明天必然还是阴天 B．三个连续整数的积一定能被6整除 C．小明的数学成绩一向很好，因而后天的竞赛考试中他必然能获得一等奖 D．两张照片看起来完全一样，可以知道这两张必然是同一张底片冲洗出来的 12．图（①）为雅婷左手拿着3张深灰色与2张浅灰色的牌迭在一起的情形．以下是她每次洗牌的三个步骤： 步骤一：用右手拿出迭在最下面的2张牌，如图（②）． 步骤二：将右手拿的2张牌依序交错插入左手拿的3张牌之间，如图（③）． 步骤三：用左手拿着颜色顺序已改变的5张牌，如图（④）． 若依上述三个步骤洗牌，从图（①）的情形开始洗牌若干次后，其颜色顺序会再次与图（①）相同，则洗牌次数可能为下列何者？（  ） A．18 B．20 C．25 D．27 二、填空题 13．甲、乙、丙三位同学踢球时，不小心将班级的玻璃打破，当班主任追问时，甲说：“是丙打破的．”乙说：“不是我打破的．”丙说：“甲说谎．”三个人中只有一人说了真话，请你判断：玻璃是 打破的． 14．字母a，b，c，d各代表正方形、线段、正三角形、圆四个图形中的一种，将它们两两组合，并用字母连接表示，如表是三种组合与连接的对应表，由此可推断图形的连接方式为 . 组合 连接 15．如图，点P是直线l外一点，过点P画直线，，，分别交已知直线l于点A，B，C，请你用量角器量，，的度数，并量线段，，的长度，你发现的规律是 ． 16．从小明家到学校有三条路，如图所示，小明想尽快从家赶到学校，应走路线 ，理由： ． 17．在乒乓球比赛中是没有平局的，都要分出胜负，甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，其中甲胜4局负2局，乙胜3局负3局，若丙负了3局，则丙胜了 局． 三、解答题 18．（1）计算并观察下列各式： ① ② ③ （2）已知，那么_________． （3）从上述过程中你发现了什么规律？请用含的代数式表示出来，并说明理由． 19．命题：“在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等” 对于此命题作出图形，写出已知和求证，并证明之． 已知：____________________________________ 求证：________________________ 作图： 证明： 20．已知以下基本事实：①对顶角相等；②一条直线截两条平行线所得的同位角相等；③两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，则这两条直线平行；④经过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线． (1)在利用以上基本事实作为依据来证明命题“两直线平行，内错角相等”时，必须要用的基本事实有____（填入序号即可）； (2)根据在(1)中的选择，结合所给图形，请你证明命题“两直线平行，内错角相等”， 已知：如图，_____________________________． 求证：________. 证明：____________________. 21．求证：等腰三角形两腰上的高相等． (1)画出适合题意的图形，并结合图形写出已知和求证． (2)给出证明． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B A C B B C C C 题号 11 12 答案 B B 1．B 【详解】试题分析：由于1+2+3+4+5+6=21，24﹣21=3，由题意知9个人分24张票，每人至少1张，而且票必须分完，则每人票数不相等的情况最多6种可能，依此求解． 解：由题意知9个人分24张同样的足球票，每人至少1张，而且票必须分完， ∵1+2+3+4+5+6=21，24﹣21=3， ∴每人票数不相等的情况最多6种可能， ∴满足条件的分法是至少有4人票数无异． 故选B． 点评：本题主要考查了推理与论证的方法，关键是得出每人票数不相等的最多情况数，难度适中． 2．C 【详解】试题分析：得到中间两个空数的可能情况即可． 解：∵0﹣9这个十个数字中任取两个组合共有100种取法， ∴王大伯最多可能试验100次，才能正确输入密码． 故选C． 点评：此题主要考查了推理与论证，解决本题的关键是得到0﹣9这个十个数字中任取两个组合共有100种取法． 3．B 【详解】试题分析：由于共有2000元人民币，10人不超过380元，则其余90人钱数的和不少于1620元，再根据抽屉原理可知存在9人的钱数的和不少于162元， 解：任意10个人的钱数的和不超过380元，（1） ∴任意90个人的钱数的和不少于1620元， 由抽屉原理，存在9人的钱数的和不少于162元，（2） （1）﹣（2），一个人最多能有218元． 故选B． 点评：本题考查了推理与论证，解答此题要熟悉抽屉原理﹣﹣﹣﹣把多于kn个东西任意分放进n个空抽屉（k是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少k+1个东西． 4．A 【详解】试题分析：可以先检查中间的接点，以此类推． 解：①7、1、7； ②3、1、3； ③1、1、1． 故至少需要检查的接点个数是3个． 故选A． 点评：此题注意从中间开始． 5．C 【详解】试题分析：先找出从结点A向结点B传递信息可沿A﹣C﹣B和A﹣D﹣B路线同时传递，再找出每条路线通过的最大信息量，然后相加即可得到答案． 解：由于信息可以分开沿不同路线同时传递，所以从结点A向结点B传递信息可经过结点D和结点B；又因为从结点A到结点D的最大信息量为5，从结点C到结点B的最大信息量为3，所以从结点A向结点B传递信息，若信息可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为5+3=8． 故选C． 点评：本题考查了推理与论证的方法：先分析题目所给的条件或要求，然后通过推理得到相关的结论． 6．B 【分析】根据题意可得小组赛的总场数为小组数×（小组数﹣1）÷2，可得3个队的总积分，进而分类讨论小组得6分或7分能否出线即可． 【详解】解：根据题意得：4个队单循环比赛共比赛4×3÷2=6场， 每场比赛后两队得分之和或为2分（即打平），或为3分（有胜负）， 所以6场后各队的得分之和不超过18分， ①若一个队得7分，剩下的3个队得分之和不超过11分，不可能有两个队得分之和大于或等于7分，所以这个队必定出线， ②如果一个队得6分，则有可能还有两个队均得6分，而净胜球比该队多，该队仍不能出线． 故选B． 【点睛】本题考查了比赛问题中的推理与论证；得到比赛的总场数以及相应的总积分是解决本题的突破点；分类探讨可以出线的小组的最低分是解决本题的难点． 7．B 【详解】试题分析：（1）先向右走，①向右走两个单位，再向下走两个单位到达A3； ②向右走一个单位，再向下走一个单位，再向右走一个单位，再向下走一个单位，到达A3； ③向右走一个单位，向下走两个单位，再向右走一个单位，到达A3； （2）先向下走，①向下走两个单位，再向右走两个单位到达A3； ②向下走一个单位，再向右走一个单位，再向下走一个单位，再向右走一个单位，到达A3； ③向下走一个单位，向右走两个单位，再向下走一个单位，到达A3； 因此本题共有6种走法． 解：如图，从A1到大A3共有6种走法，故选B． 点评：本题应分类讨论，然后依次找出合理的路线，以免漏解． 8．C 【分析】写出正确的推理过程，进行排序即可． 【详解】证明：因为，（已知）， 所以，（等式的性质）； 因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以（等量代换）． ∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④． 故选C． 【点睛】本题考查推理过程．熟练掌握推理过程，是解题的关键． 9．C 【分析】本题考查了时间统筹；根据统筹方法，烧开水时可洗菜和准备面条及佐料，这样可以节省时间，所以小明所用时间最少为（1）、（4）、（5）步时间之和．解决问题的关键是读懂题意，采用统筹方法是生活中常用的有效节省时间的方法，本题将数学知识与生活相结合，是一道好题． 【详解】解：第一步，洗锅盛水花2分钟； 第二步，用锅把水烧开7分钟，同时洗菜3分钟，准备面条及佐料2分钟，总计7分钟； 第三步，用烧开的水煮面条和菜要3分钟； 总计共用：（分钟）， 故选：C． 10．C 【详解】试题分析：由②④⑤可得蔡老师一定不教生物、英语和数学，进而得到蔡老师可能教物理、政治、历史，由①可知蔡老师一定教历史； 由③可得孙老师一定不教生物和政治，蔡老师一定教历史，因此孙老师可能教物理、英语、和数学，英语和数学不是一个人教，因此孙老师一定教物理； 有以上分析可得朱老师可能教生物、英语、和数学，英语和数学不是一个人教，每个老师又教两科，因此朱老师一定教生物，结合选项可选出答案． 解：由②④可得蔡老师一定不教生物；由⑤可得蔡老师不教英语和数学，因此蔡老师可能教物理、政治、历史，由①可知物理老师和政治老师不是同一个人，因此蔡老师一定教历史； 由③可得孙老师一定不教生物和政治，因为蔡老师一定教历史，因此孙老师可能教物理、英语、和数学，由⑤可知英语和数学不是一个人教，因此孙老师一定教物理，因此蔡老师一定教历史和政治； 由于孙老师一定教物理，因此蔡老师一定教历史和政治，因此朱老师可能教生物、英语、和数学，因为由⑤可知英语和数学不是一个人教，每个老师又教两科，因此朱老师一定教生物，结合选项可得一定从A、C中选， 又因为蔡老师一定教历史，因此A不合要求只能选C，朱老师可能教英语和生物， 故选C． 点评：此题主要考查了推理论证，关键是正确判断出每个老师一定不教哪一科，一定教哪一科，根据矛盾关系确定答案． 11．B 【分析】判断命题的真假即可得到答案． 【详解】解：三个连续整数中一定有一个是2的倍数、一个是3的倍数，所以它们的积一定能被6整除，故B项正确.A项、C项、D项都是猜测的结论，不能说明一定成立. 故选B. 【点睛】本题考查命题的真假，解题的关键是对每个选项进行合理分析． 12．B 【详解】试题分析：根据洗牌的规则得出洗牌的变化规律，进而根据各选项分析得出即可． 解：设5张牌分别为：1，2，3，A，B；第1次洗牌后变为：1，A，2，B，3； 第2次洗牌后变为：1，B，A，3，2； 第3次洗牌后变为：1，3，B，2，A； 第4次洗牌后变为：1，2，3，A，B； 故每洗牌4次，其颜色顺序会再次与图（①）相同， 故洗牌次数可能的数为4的倍数，选项中只有20符合要求． 故选B． 点评：此题主要考查了推理与论证，根据已知得出洗牌的变化规律是解题关键． 13．乙 【分析】本题须分别分析甲、乙、丙三人说的话，再根据三人中只有一人说的是真话，进行推理即可得出结论． 【详解】解：根据题意可得：玻璃是乙打破的 ∵此时乙说：“不是我打破的”则乙说的是假话 甲说：“是丙打破的”也是假话， 则丙说：“甲说谎”是真话， ∴玻璃是乙打破的符合题意 故答案为乙 【点睛】本题考查推理与论证，在解题时要能根据题意进行推理与论证得出正确答案是本题的关键． 14． 【分析】首先根据已知图形中两个图形中共同含有的图形，就可以判断每个符号所代表的图形，即可得出结论． 【详解】解：结合题表中前两个图可以看出：b代表正方形； 结合后两个图可以看出：d代表圆； 因此a代表线段，c代表三角形， 所以图形的连接方式为：. 故答案为. 【点睛】本题主要考查推理与论证，观察、分析识别图形的能力；解决此题的关键是通过观察图形确定a，b，c，d各代表什么图形． 15．随着度数的增大，线段的长度减小 【分析】本题考查了度量线段，度量角度，角度大小的比较，会使用度量工具度量是解题的关键． 使用量角器度量角度，带刻度的直尺度量线段的长度，根据度量的数据分析角度和长度之间的关系即可． 【详解】解：量得，， ∴在P点与直线上的点的连线中，与直线的夹角越大（不超过），P点与直线交点连线的线段长度越短． 故答案为：随着度数的增大，线段的长度减小． 16． ， 两点之间线段最短. 【分析】根据线段的性质：两点之间线段最短作答． 【详解】解：小明从家到学校有3条路走，他走最近的路线是路线a．其道理为：两点之间线段最短． 故答案为(1). ，    (2). 两点之间线段最短． 【点睛】本题考查线段的性质：两点之间线段最短． 17．1 【分析】结合实际我们知道，有人胜一局，便有人负一局，那么最后胜局的总数应该等于负数的总局，据此作答即可． 【详解】解：总负局数为 2+3+3=8， 而甲、乙胜局数为4+3=7 ， 故丙胜局数为8-7=1. 故答案为1． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算法则． 18．（1））①64，63 ； ②25，24 ； ③4.41，3.41；（2）404495；（3），见解析. 【分析】（1）根据一般数据的计算进行解答即可； （2）从（1）中找出规律，的值比的值相差1即可；　 （3）从（1）和（2）中得出规律：． 【详解】解：（1）①64  63  ②25  24  ③4.41  3.41； （2）已知，那么404495； （3）从以上过程中，发现的规律是：． 理由如下： 根据平方差公式，得 ． 【点睛】本题考查平方差公式，解题的关键是找出其中的规律进行解答． 19．见解析 【分析】先写出已知，求证，画出图形，再证明，即可． 【详解】已知：如图，是的平分线，点P为上任意一点，且，垂足分别为E，F． 求证：． 作图： 证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明三角形全等． 20．详见解析. 【详解】试题分析：（1）利用图示：根据平行线的性质，证明“两直线平行，内错角相等”的过程解答； （2）根据“两直线a∥b，判定同位角∠1=∠3”，然后由对顶角∠3=∠2及等量代换证得 ∠1=∠2． 试题解析： (1)①②；(2)已知：a∥b，直线a、b被直线c所截． 求证：∠1=∠2． 证明：∵a∥b，∴∠1=∠3． ∵∠3 =∠2，∴∠1 =∠2. 21．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据题意画出图形，写出已知和求证即可； （2）通过角角边证明两个含高的三角形全等，从而得出对应边（高）相等． 【详解】（1）解：已知：如图，中，于点D，于点E． 求证：． （2）证明：于点D，于点E， ， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形在证明三角形两腰上的高相等的应用，掌握角角边的证明方法是本题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$