精品解析：北京师范大学附属中学2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷

北京师大附中2024—2025学年 （上） 初二期中考试 数 学 试 卷 一、选择题（本大题共10小题，共20分） 1. 观察下列图形，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）． A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 5. 下列运算中结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 图中能表示△ABC的BC边上的高的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，要使，下面给出的四组条件中，错误的一组是(　　) A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 如图，在△ABC中，的垂直平分线交，于点，．若△ABC的周长为30，，则△ABD的周长为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 9. 若把一个正方形纸片按下图所示方法三次对折后再沿虚线剪开,则剩余部分展开后得到的图形是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，点、、在射线上，点、、在射线上，、、均为等边三角形，若则的边长为（）． A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 二、填空题（本大题共8小题，共16分） 11. 的值是______． 12. 已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是______． 13. 如图，点E、F在上，，要使，可补充的一个条件是_________（写出一个即可） 14. 如图，是锐角的高，相交于点D，若，，，则的长为_____． 15. 某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的空地上种植草皮以美化环境，已知，，，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要_____________元．（用含a的代数式表示） 16. 若 的积中不含、x项，则_______ 17. 如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作弧交于点D，交AC于点E．再分别以点C，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线．若直线经过点E，则的度数为____． 18. 在等边中，M、N、P分别是边AB、BC、CA上的点（不与端点重合），对于任意等边，下面四个结论中： ①存在无数个是等腰三角形； ②存在无数个是等边三角形； ③存在无数个是等腰直角三角形； ④存在一个在所有中面积最小． 所有正确结论的序号是_____________． 三、解答题（本大题共10小题，共64分） 19. 计算： （1） （2） （3） 20. 已知 求代数式|的值． 21. 如图，在 中，点D，点E分别在，上，连接，，且，，的角平分线，交于点，交延长线于点，连接．求证： 请将下列证明过程补充完整． 证明： ∵平分， ∴（角平分线的定义） ∵，， ∴， （ ）， ∴直线是的垂直平分线， ∴（ ）， ∴ （ ）． ∵， ∴ （两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换）． 22. 已知：，点A为射线上一点，在内部求作点 P，使，且点 P到和的距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹，不写做法） 23. 已知： 如图，点A、E、F、C在同一条直线上，．求证：． 24. 如图，在中，，，，． （1）求； （2）求的长． 25. 如图，在平面直角坐标系中， （1）画出 关于y轴对称的，并直接写出点的坐标 ； （2）在x轴上找一点D，使最小，在图中标出点D（保留作图痕迹）； （3）直线l过点且平行于x轴，在直线l上求一点Q，使 与的面积相等，请直接写出点Q的坐标 （4）F是坐标轴上的点，且为等腰三角形，满足条件的点 F有 个． 26. 如图，线段AB可以记作a，类似的，以A为起点，以B为终点的有向线段记作 或 在平面直角坐标系中，若 则 如．，，则 在平面直角坐标系中，设 可以如下定义 的运算： 加法： 减法： 数乘： （k为实数） 点乘： 对于 若 所在直线垂直，我们就说 垂直，记为 若 则 若 所在直线平行或共线，我们就说 平行，记为若 则存在实数k，使得 根据以上材料回答问题： （1）若O为坐标原点，点A 为，则 （2）若 其中m为实数，且满足 ，则 （3）若 其中x为实数，则 （用含x的式子表示） （4）若 其中 x 为实数，且满足 则 ． （5）如图，在平面直角坐标系中，，，，，请用上面材料中的知识，通过运算的方式说明线段、的位置关系． 27. 如图，为等腰直角三角形，D为AB边上一点，E为AC边上一点，且 过点A 作BE的垂线交 于 ，过点作的垂线交直线于点 ，交直线于点 ． （1）请补全图形，并直接写出与的数量关系 ． （2）用等式表示 （1） 问中线段、、之间的数量关系，并证明． （3）当点 、分别在、的延长线上时，且 直接写出线段、、之间的数量关系 28. 如图，中，若 ，，则 ，． 对于所在平面内的点，若边上存在不同的两点，，使点关于直线的对称点在上或其内部，则称点 是的“关联点”． 在平面直角坐标系中，，是等边三角形，点 是的中点，点是边上任意一点． （1）如图，当点是边的中点时，在点，，中，点 是的“关联点”； （2）如图，当点在边上运动时，若点 是的“关联点”， 则所有点 的纵坐标的取值范围是 ； 则所有点构成图形的周长是 ； （3）当点在边上运动时，若是的“关联点”，且是等边三角形，点 的坐标为，则和的取值范围是 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京师大附中2024—2025学年 （上） 初二期中考试 数 学 试 卷 一、选择题（本大题共10小题，共20分） 1. 观察下列图形，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项正确； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误． 故选A． 【点睛】此题考查轴对称图形，解题关键在于识别图形. 2. 在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查点的坐标关于坐标轴对称，掌握点的坐标关于坐标轴对称“关于谁对称，谁就不变，另一个互为相反数”是解题关键，根据关于x轴对称的两个点，其横坐标不变，纵坐标互为相反数进行解答即可． 【详解】解：关于x轴对称的两个点，横坐标不变，纵坐标互为相反数， 所以点关于x轴的对称点的坐标是， 故选：B． 3. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）． A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边之间的关系．三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．本题中只要把每组数中较小的两条边长相加，如果和大于最长的一条边，则三边即可组成三角形． 【详解】解：A、，、、不能组成三角形，故A选项不符合题意； B、，、、不能组成三角形，故B选项不符合题意； C、，、、能组成三角形，故C选项符合题意； D、，、、不能组成三角形，故D选项不符合题意； 故选：C． 4. 若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是多边形的内角和和外角和，任意多边形的外角和为，然后利用多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：设多边形的边数为n， 根据题意得：， 解得：． 即这个多边形是四边形． 故选：B． 5. 下列运算中结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、单项式除以单项式、幂的乘方、积的乘方，解题的关键在于正确的计算． 根据同底数幂的乘法、单项式除以单项式，幂的乘方、积的乘方等的运算规则求解即可． 【详解】解：A中，错误，故不符合题意； B中，错误，故不符合题意； C中，正确，故符合题意； D中，错误，故不符合题意； 故选：C． 6. 图中能表示△ABC的BC边上的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，根据三角形高线的定义对各选项进行判断． 【详解】解：题中需要画的边上的高．应当过顶点A向边作垂线，顶点A到垂足E的垂线段就为边上的高． 故选：D． 7. 如图，要使，下面给出的四组条件中，错误的一组是(　　) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全靠等三角形的判定根据全等三角形的判定定理逐项判定即可． 【详解】解：A、∵，，， ∴()，正确，故此选项不符合题意； B、，，，两边以及一边对角对应相等，不能判定，故此选项符合题意； C、∵，，， ∴()，正确，故此选项不符合题意； D、∵，，， ∴()，正确，故此选项不符合题意； 故选：B． 8. 如图，在△ABC中，的垂直平分线交，于点，．若△ABC的周长为30，，则△ABD的周长为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】利用线段的垂直平分线的性质证明△ABD的周长=AB+AC即可解决问题． 【详解】解：∵BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E，BE=5， ∴DB=DC，BE=EC，BC=10， ∵BC=10，△ABC的周长为30， ∴AB+AC+BC=30， ∴AB+AC=20， ∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=20， 故选C． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 9. 若把一个正方形纸片按下图所示方法三次对折后再沿虚线剪开,则剩余部分展开后得到的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】自己动手制作一个正方形纸片，再按题目进行操作，最后展开图形即可. 故选：A． 10. 已知，，点、、在射线上，点、、在射线上，、、均为等边三角形，若则的边长为（）． A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出，，进而发现规律是解题关键．根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出，，进而得出答案． 【详解】解：如图， 是等边三角形， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， 、是等边三角形， ，， ， ，， ，， ，， ， ， ， 的边长为32， 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，共16分） 11. 的值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】此题考查了零指数幂，根据进行解答即可． 【详解】解：， 故答案为：1 12. 已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系，分腰长为和两种情况，依据三角形三边关系，分类讨论即可得到答案． 【详解】解：当腰长为时，，三角形不存在； 当腰长为时，符合三角形两边之和大于第三边，所以这个三角形的周长为；   故答案为： ． 13. 如图，点E、F在上，，要使，可补充的一个条件是_________（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键．从已知条件可得，而，则可加一组夹角相等或者另一组边相等即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 14. 如图，是锐角的高，相交于点D，若，，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质； 根据题意得出，再根据同角的余角相等得出，根据证明，最后根据全等三角形的性质及线段的差与和即可得出答案． 【详解】解：∵是锐角的高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 15. 某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的空地上种植草皮以美化环境，已知，，，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要_____________元．（用含a的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查含角的直角三角形的性质，几何图形面积的计算方法，掌握构造辅助线，运用含角的直角三角形的性质是解题的关键． 如图，过点作交的延长线于点，则，可求出，根据含角的直角三角形的性质可求出的值，可求出，由此即可求解． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，则， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵这种草皮每平方米售价是元， ∴购买这种草皮需要元． 故答案为． 16. 若 的积中不含、x项，则_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，先根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据乘积中不含项，即含项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵的积中不含项， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 17. 如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作弧交于点D，交AC于点E．再分别以点C，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线．若直线经过点E，则的度数为____． 【答案】##36度 【解析】 【分析】本题考查了作图复杂作图，线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 连接、，如图，设，利用基本作图得到，则，所以，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到，接着利用得到，则根据求出． 【详解】解：连接、，如图，设， 由作法得垂直平分， ， ， ， ，， ， ，， ，， ， ， 解得， ． 故答案为：． 18. 在等边中，M、N、P分别是边AB、BC、CA上的点（不与端点重合），对于任意等边，下面四个结论中： ①存在无数个是等腰三角形； ②存在无数个是等边三角形； ③存在无数个是等腰直角三角形； ④存在一个在所有中面积最小． 所有正确结论的序号是_____________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据题意作图，根据所画图形判定即可解决问题． 【详解】解：如图1中，满足AM＝BN＝PC， ∵是等边三角形 ∴AB=BC=CA，∠A=∠C=∠B=60° ∴AB-AM=BC-BN=CA-CP ∴AP=CN=BM 又∠A=∠C=∠B=60° ∴△AMP≌△CNP≌△BMN ∴MP=PN=MN ∴△PMN是等边三角形，这样的三角形有无数个． 如图2中，当NM＝NP，∠MNP＝90°时，△MNP是等腰直角三角形，这样的三角形有无数个（见图3）． 故①②③正确，△PNM的面积不存在最小值． 故答案为①②③． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 三、解答题（本大题共10小题，共64分） 19. 计算： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算； （1）根据同底数幂的乘法以及积的乘方进行计算，然后合并同类项，即可求解； （2）根据多项式乘以多项式进行计算即可求解； （3）根据多项式除以单项式进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 20. 已知 求代数式|的值． 【答案】，2 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算及求代数式的值，解题的关键是熟练运用平方差公式以及单项式乘多项式，本题属于基础题型．根据平方差公式以及单项式乘多项式进行化简，然后将代入原式即可求出答案． 【详解】解：原式 ， 当时， ， 原式 ． 21. 如图，在 中，点D，点E分别在，上，连接，，且，，的角平分线，交于点，交延长线于点，连接．求证： 请将下列证明过程补充完整． 证明： ∵平分， ∴（角平分线的定义） ∵，， ∴， （ ）， ∴直线是的垂直平分线， ∴（ ）， ∴ （ ）． ∵， ∴ （两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换）． 【答案】等腰三角形三线合一；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；等边对等角；． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线定义，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 利用等腰三角形的三线合一的性质得出直线是的垂直平分线，再由线段垂直平分线的性质即可解决问题． 【详解】证明：∵平分， ∴（角平分线的定义）． ∵，， ∴，（等腰三角形三线合一）， ∴直线是的垂直平分线， ∴（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）， ∴（等边对等角）． ∵， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换）． 故答案为：等腰三角形三线合一；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；等边对等角；． 22. 已知：，点A为射线上一点，在内部求作点 P，使，且点 P到和的距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹，不写做法） 【答案】 如图点P即为所作， 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，作垂线和角平分线，熟练掌握知识点是解题的关键．分别作出的垂直平分线和的角平分线，交点即为点． 【详解】略 23. 已知： 如图，点A、E、F、C在同一条直线上，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．由得到，继而结合题干利用证明，再由全等三角形的性质和线段和差即可证明． 【详解】略 24. 如图，在中，，，，． （1）求； （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质和判定以及30度直角三角形的性质；解题关键在于角度和边长的转换． （1）由可得，再由，即可求出， （2）先求出，即可得到，再根据在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边是斜边的一半可得，由此得出，从而求出的长． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴，即：， ∴ 25. 如图，在平面直角坐标系中， （1）画出 关于y轴对称的，并直接写出点的坐标 ； （2）在x轴上找一点D，使最小，在图中标出点D（保留作图痕迹）； （3）直线l过点且平行于x轴，在直线l上求一点Q，使 与的面积相等，请直接写出点Q的坐标 （4）F是坐标轴上的点，且为等腰三角形，满足条件的点 F有 个． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2） 如图，点即为所求 （3）或 （4）7 【解析】 【分析】（1）根据关于轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变，即可描出格点，再顺次连接； （2）过点C作x轴的对称点，再与点A连接，与x轴的交点 点D； （3）利用割补法求解； （4）分类讨论，借助于画圆和垂直平分线性质即可求解． 【小问1详解】 解：点， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：点Q在射线与交点左侧，过分别作直线的垂线，垂足为， 设， ∴， 解得：， ∴； 当Q在射线与交点右侧，过分别作直线的垂线，垂足为， ∴， 解得：， ∴， 综上：或； 【小问4详解】 解：当时，以A为圆心，为半径画弧与坐标轴交于三个点，与y轴负半轴交点与共线，不符合题意，有3个，如图： 当时，以C为圆心，为半径作弧，与y轴正半轴交于两个点，因此有2个，如图： 当时，作的垂直平分线与坐标轴交于两点，则符合题意的有2个，如图： 综上所述，总共有7个． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中轴对称作图，最短路径问题，等腰三角形的定义，垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键． 26. 如图，线段AB可以记作a，类似的，以A为起点，以B为终点的有向线段记作 或 在平面直角坐标系中，若 则 如．，，则 在平面直角坐标系中，设 可以如下定义 的运算： 加法： 减法： 数乘： （k为实数） 点乘： 对于 若 所在直线垂直，我们就说 垂直，记为 若 则 若 所在直线平行或共线，我们就说 平行，记为若 则存在实数k，使得 根据以上材料回答问题： （1）若O为坐标原点，点A 为，则 （2）若 其中m为实数，且满足 ，则 （3）若 其中x为实数，则 （用含x的式子表示） （4）若 其中 x 为实数，且满足 则 ． （5）如图，在平面直角坐标系中，，，，，请用上面材料中的知识，通过运算的方式说明线段、的位置关系． 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） 【解析】 【分析】（1）根据定义求解即可； （2）根据若 则存在实数k，使得 结合数乘法则，由对应点的变化规律列方程求解即可； （3）根据点乘法则列式计算即可； （4）先求出，，再根据若 则 列方程求解即可； （5）先求出，，再由，即可得出 【小问1详解】 解：∵，， ∴ 【小问2详解】 解：∵，即， 又∵，， ∴，解得： 故， 【小问3详解】 解：若 其中x为实数，则 【小问4详解】 解： ∴， ∵，即 ∴，即， 解得： 【小问5详解】 解：，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 27. 如图，为等腰直角三角形，D为AB边上一点，E为AC边上一点，且 过点A 作BE的垂线交 于 ，过点作的垂线交直线于点 ，交直线于点 ． （1）请补全图形，并直接写出与的数量关系 ． （2）用等式表示 （1） 问中线段、、之间的数量关系，并证明． （3）当点 、分别在、的延长线上时，且 直接写出线段、、之间的数量关系 【答案】（1）如图；， （2） 结论：， 证明：过点作交延长线于点， ∵，， ∴， ∴，， 由（1）得， ∴ ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， 由（1）得， ∴，即， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ （3） 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）按要求补全图形，由已知易得，从而可，再利用同角（或等角）的余角相等，对顶角相等证明，即可得出； （2）过点作交延长线于点，先利用等腰三角形的性质和判定证明，再利用同角或等角的余角相等倒角证明证明得到，即可证明； （3）过点作交延长线于点，类似（2）的过程即可证明. 【小问1详解】 如图，结论： 证明：∵为等腰直角三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 结论： 证明：过点作交延长线于点， 同理（1）可得：，， 同理（2）可得，，， ∴ ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴，即， ∴ ∴， 28. 如图，中，若 ，，则 ，． 对于所在平面内的点，若边上存在不同的两点，，使点关于直线的对称点在上或其内部，则称点 是的“关联点”． 在平面直角坐标系中，，是等边三角形，点 是的中点，点是边上任意一点． （1）如图，当点是边的中点时，在点，，中，点 是的“关联点”； （2）如图，当点在边上运动时，若点 是的“关联点”， 则所有点 的纵坐标的取值范围是 ； 则所有点构成图形的周长是 ； （3）当点在边上运动时，若是的“关联点”，且是等边三角形，点 的坐标为，则和的取值范围是 ． 【答案】（1） （2）①；② （3），或 【解析】 【分析】（1）根据新定义，作关于的轴对称图形，可得的“关联点”在内，进而即可求解； （2）①作关于的轴对称图形，得出当轴时，点的纵坐标最大，同理可得，当轴时，点的纵坐标最小，根据点是的“关联点”则点在的内部，即可求解； ②根据，，得出在以为圆心为半径的半圆上运动，分别在为圆心为半径的圆弧上运动，进而得出运动轨迹，根据坐标结合图形求得周长，即可求解； （3）分当点在的上方时，当在的下方时，根据等边三角形的性质，全等三角形的性质得出点的运动轨迹，结合（1）②中的轨迹范围确定的横纵坐标取值范围，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，是等边三角形， ∴， 过点作的高，如图所示， 依题意，， ∴， ∵点 是的中点， ∴； 当点是边的中点时， ∴ ∴， 如图所示，作关于的轴对称图形 根据定义，可得的“关联点”在内， 在点，，中，在内， ∴点是的“关联点”， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图所示，作关于的轴对称图形 连接， ∵是的中点，是等边三角形，依题意 ∵关于对称， ∴， 又 ∴当轴时，点的纵坐标最大，最大为， 如图所示， 同理可得，当轴时，点的纵坐标最小， ∵ ∴此时 ∵点是的“关联点” ∴所有点 的纵坐标的取值范围是 ②∵, 当点在边上运动时，当点与重合，则与重合， 当点与重合时，如图所示，与重合，则三点共线，此时 又∵ ∴在以为圆心为半径的半圆上运动，分别在为圆心为半径的圆弧上运动， 其中，，则为等边三角形， ∴ ∵在内部， 如图所示，阴影部分即为所有点的轨迹， ∴所有点构成图形的周长是 【小问3详解】 如图所示，取的中点，连接， 当点在的上方时， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴是等边三角形， 又∵是等边三角形， ∴， ∴ ∴，， ∴ 又∵ ∴ ∴，即的纵坐标为，即 ∵在上运动，，当时，， ∴在以为中点，长度为的线段上运动，即的横坐标范围为，结合（2）可知符合题意， 当在的下方时，如图所示，连接， ∵，同理可得都是等边三角形，且边长都为 ∴，则 又，则， ∴是等边三角形， ∴ ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴ ∴ ∴， ∴点在上运动， 由（2）可得点的轨迹在点右侧时，在轴的上方， ∴当点在上运动时，点在第四象限，不合题意， ∴在上运动时，点在上运动， ∵， ∴， 综上所述，，或 【点睛】本题考查了坐标与轴对称，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，理解新定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $