专题05 锐角三角函数（6大经典基础题+5大优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（福建专用）

专题05 锐角三角函数 特殊三角形的三角函数 1．（23-24九年级上·福建厦门·期末）的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接根据特殊角的三角函数值即可得出结论； 【详解】∵ ， 故选：B． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键． 2．（23-24九年级上·福建福州·期末）下列三角函数值是有理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，有理数．熟练掌握特殊角的三角函数值，有理数是解题的关键．分别求出各选项中特殊角的三角函数值，然后进行判断即可． 【详解】解：由题意知，A中，是无理数，故不符合要求； B中，是有理数，故符合要求； C中，是无理数，故不符合要求； D中，是无理数，故不符合要求； 故选：B． 3．（23-24九年级上·福建泉州·期末）若，均为锐角，且，，则（   ） A．， B． C．， D． 【答案】A 【分析】本题考查根据特殊角的三角函数值求角的度数，根据特殊角的三角函数值进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，； 故选A． 4．（23-24九年级上·福建厦门·期末） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，先计算特殊角三角函数值，再计算二次根式乘法，最后计算加减法即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·福建南平·期末）计算：． 【答案】2 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的实数的运算，熟练掌握运算法则，正确化简是解题的关键． 先化简二次根式，计算特殊角的三角函数值，化简绝对值，再进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 根据特殊角三角函数值求角度 1．（23-24九年级上·福建三明·期末）已知为锐角． （）若，则 ； （）若，则 ； （）若，则 ． 【答案】 /60度 /30度 /30度 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键． （1）根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答； （2）根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答； （3）根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答． 【详解】解：（1），，为锐角， ； （2）， ， ，为锐角， ； （3），，为锐角， ， ． 故答案为：（1）；（2）；（3）． 2．（23-24九年级上·福建三明·期末），则 ． 【答案】30 【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】解：， ， 故答案为：30． 【点睛】本题考查了由三角函数值求锐角，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 3．（23-24九年级上·福建福州·期末）若二次函数与x轴只有1个公共点，则锐角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数（a，b，c是常数，）的交点与一元二次方程根之间的关系及特殊角的三角函数值．二次函数的图象与轴只有一个公共点，则，据此即可求得． 【详解】解：∵，，， 根据题意得：， 解得：， 锐角等于， 故选：D． 4．（23-24九年级上·福建厦门·期末）已知一个正多边形的边心距与边长之比为，则这个正多边形的边数是（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】如图，A为正多边形的中心，为正多边形的边，，为正多边形的半径，为正多边形的边心距，由可得，可得，而，可得为等边三角形，从而可得答案． 【详解】解：如图，A为正多边形的中心，为正多边形的边，，为正多边形的半径，为正多边形的边心距，    ∴，，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，而， ∴为等边三角形， ∴， ∴多边形的边数为：， 故选B 【点睛】本题考查的是正多边形与圆，锐角三角函数的应用，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 由特殊角三角函数值判断三角形形状 1．（23-24九年级上·福建泉州·期末）在中，，都是锐角，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查特殊角三角函数，三角形内角和，三角形分类．熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键． 由特殊角三角函数值计算出和的角度来即可确定． 【详解】解：， ，， 即，， ， 即为直角三角形， 故选：D． 2．（23-24九年级上·福建漳州·期末）在中，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查根据特殊角的三角函数值求角度，绝对值的非负性，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴，， 解得：，， ∴， ∴是钝角三角形， 故选B． 3．（23-24九年级上·福建福州·期末）在中，、都是锐角，且，，则是（     ）. A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】根据特殊角的三角函数值求出，然后利用三角形内角和定理求出的度数，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 4．（23-24九年级上·福建宁德·期末）在中，若满足，则是 三角形． 【答案】等边/正 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值；非负数的性质，等边三角形的判定．熟知特殊角的三角函数值是关键．先根据非负数的性质及特殊角的三角函数值和，即可作出判断． 【详解】解：根据题意得：且， 则， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边． 正弦、余弦、正切的应用 1．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图，在由小正方形组成的网格中，小正方形的边长均为1，点，，都在小正方形的顶点上，则的正弦值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点．先利用勾股定理求出、的长，再利用的面积求出的长，最后在直角中求出的正弦值．本题考查了解直角三角形，构造直角三角形，利用的面积求出边上的高是解决本题的关键． 【详解】解：过点作于点．   ， ． ， ． ． ． 故选：B． 2．（23-24九年级上·福建漳州·期末）在中，，，，则（    ） A．10 B．8 C．5 D．4 【答案】B 【分析】根据锐角三角函数和勾股定理进行计算即可． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故选：B 【点睛】本题考查锐角三角函数，勾股定理，掌握锐角三角函数和勾股定理是正确解答的前提． 3．（23-24九年级上·福建三明·期末）已知在中，，，，那么的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查锐角的三角函数，结合图形根据余弦函数的定义求解可得，熟练掌握余弦函数的定义是解题的关键． 【详解】如图， ∵，即， ∴， 故选：C． 4．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）如图，在中，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理，可得与的关系，根据正弦函数的定义，可得答案． 【详解】∵， ∴， ∴， ，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，先利用勾股定理得出与的关系，再利用正弦函数的定义．掌握三角形函数的定义是解答本题的关键． 5．（23-24九年级上·福建福州·期末）在中，，，则的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角函数的定义．本题可通过设未知数，结合表示的长度，继而利用勾股定理求解，最后利用正切函数定义求解． 【详解】解：如下图所示：    ∵在中，，， ∴设，， ∴． ∴． 故选：C． 6．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，，则的值是 ． 【答案】 【分析】先根据勾股定理求出的长，再根据即可求出的值． 本题主要考查了勾股定理和三角函数的计算，掌握是解题的关键． 【详解】∵在中，，，， ， ． 故答案为： 7．（23-24九年级上·福建漳州·期末）在中，，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】设，根据勾股定理求出的长，再根据即可 【详解】解：如图所示，， 设，    则， ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了同角的三角函数，勾股定理，关键是熟练运用数形结合的数学方法． 8．（23-24九年级上·福建莆田·期末）已知在中，，，，求的正切值． 【答案】 【分析】此题考查了利用三角函数的定义求解直角三角形，涉及了勾股定理，根据三角函数的定义，由，设，，再根据勾股定理求得即可求解，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义． 【详解】解：在中，，， ∴， 设，， 由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴，， ∴． 解直角三角形 1．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，在中，，，，求的长及的余弦值． 【答案】， 【分析】本题考查了解直角三角形，在直角三角形中已知一个角和一条边可以求出三角形的其他元素．通过，即可求解． 【详解】解：在中， ，， ， ， ， ． 2．（23-24九年级上·福建泉州·期末）将一块含角和一块含角的直角三角板按如图的方式摆放到一起，组成四边形，连接，则 【答案】/ 【分析】本题主要考查了勾股定理，解直角三角形的应用．作交的延长线于点H，由推出，可得，设，然后根据等腰三角形，直角三角形等性质求得对应的边长即可得到答案． 【详解】解：作交的延长线于点H，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形． ∴． 设，则， ∵， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·福建三明·期末）如图，点在矩形的边上，将沿翻折，点恰好落在边的点处，如果，，那么 ． 【答案】3 【分析】本题考查了矩形与折叠，解直角三角形的应用，灵活运用锐角三角函数是解题关键．由矩形与折叠的性质，得到，，利用锐角三角函数，得出，，，再根据同角的余角相等，得到，再结合锐角三角函数即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质可得，， 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， 故答案为：3． 4．（23-24九年级上·福建泉州·期末）已知，如图，，垂足为，，求的正弦值、余弦值和正切值． 【答案】，， 【分析】本题主要考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，掌握锐角三角函数的计算方法是解题的关键． 根据题意，运用勾股定理可得，由相似三角形的判定和性质可得，，，结合锐角三角函数的计算方法即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∴， ， ． 解直角三角形的应用 1．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）如图河坝横断面迎水坡AB的坡比为，坝高，则水平宽度AC的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念：坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．根据坡度的概念计算，得到答案． 【详解】解：坡的坡比为， ， ， ， 故选：B． 2．（23-24九年级上·福建三明·期末）如图，海中有一个小岛P，它的周围9海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A测得小岛P在北偏东方向上，航行6海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由． 【答案】有触礁危险．理由见解析 【分析】过点P作，设，根据题意得出，，列出方程求解x，再于9进行比较，即可得出结论． 【详解】解：过点P作于， 设， ∵，， ， ∴，， 即，， ∵，， ∴，解得：， ∵， ∴有触礁危险． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形求解． 3．（23-24九年级上·福建漳州·期末）某校数学兴趣小组测量校园内旗杆的高度，活动记录如下： 活动任务：测量旗杆的高度 【步骤一】设计测量方案 小组成员讨论后，画出两种测量方案的图形，如图1，图2． 　　　　 【步骤二】准备测量工具 筷子，皮尺和测倾器，如图3．皮尺的功能是直接测此任意可达到的两点间的距离；测倾器（由度盘，铅锤和支杆组成）的功能是测量目标物的仰角或俯角 【步骤三】实地测量并记录数据 方案一：利用镜子的反射（测量时，所使用的平面镜的大小和厚度均忽略不计，根据光的反射定律，反射角等于入射角，法线，），如图1，小明利用镜子和皮尺测出了旗杆的高度，其测量和求解过程如下： 测量过程： 小明将镜子放在距离旗杆底部的点C处，然后看若镜子沿直线来回移动，直至看到旗杆顶端B在镜子中的像与点C重合，此时小明站在点D处，测得，小明的眼睛离地面的高度． 求解过程： 由测量知，，，． 法线，， ①______， ． ，即． ②______（）．故旗杆的高度为③______． 方案二：如图2，小亮在测点D处安置测倾器，测得旗杆顶端B的仰角．量出测点D到旗杆的距离，量出测倾器的高度． (1)补全小明求解过程中①②③所缺的内容； (2)请你根据方案二求出旗杆的高度（结果精确到）．（参考数据：，，） 【答案】(1)①（或）；②；③ (2)旗杆的高度约为 【分析】（1）本题考查相似三角形的性质与判定，根据题意证明，再利用相似三角形对应边成比例，建立等式求解，即可解题． （2）本题考查解直角三角形，根据题意得出、，利用，求得，再根据，即可解题． 【详解】（1）解：由测量知，，，， 法线，， ， ， ， ，即， （）， 故旗杆的高度为． 故答案为：（或）；；； （2）解：由题知，，，，， ，， ， ，即，解得（）， （）， ， 旗杆的高度约为． 4．（23-24九年级上·福建泉州·期末）筒车是我国古代利用水利驱动的灌溉工具，如图所示，半径为的筒车按逆时针方向，每分钟转圈，筒车与水面分别交于、，筒车的轴心距离水面的高度长为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒，若以某个盛水筒刚浮出水面时开始计算时间． (1)经过多长时间盛水筒P首次到达最高点？ (2)浮出水面3.5秒后，盛水筒P距水面有多高？ (3)若接水槽所在直线是的切线，且与直线交于点，，求盛水筒从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线上？（参考数据：，， 【答案】(1)经过30秒时间，盛水筒P首次到达最高点 (2) (3)至少经过4.5秒恰好在直线上 【分析】（1）如图1中，连接．求出的度数，以及旋转速度即可解决问题． （2）如图2中，盛水筒浮出水面3.5秒后，此时，过点作于，解直角三角形求出即可． （3）如图3中，连接，解直角三角形求出，，可得的度数即可解决问题． 【详解】（1）解：由筒每分钟转圈的可得筒每秒钟转． 如图1中，连接． 在中， ，，， ， （秒； 答：经过30秒时间，盛水筒首次到达最高点． （2）如图2中，盛水筒浮出水面3.5秒后，此时， ， 过点作于， 在中，， ， 答：浮出水面3.5秒后，盛水筒距离水面； （3）如图3中， 延长交于，则为最高点， 点在上，且与相切， 当点在上时，此时点是切点，连接，则， 在中，， ， 在中，， ， ， 需要的时间为（秒， 答：盛水筒从最高点开始，至少经过4.5秒恰好在直线上． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，切线的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 比较三角函数值大小 1．（23-24九年级上·福建厦门·期末）给出下列式子：①，②，③，④．其中正确的是（　　） A．①③ B．②④ C．①④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查锐角三角函数的增减性，互余两角三角函数的关系以及特殊角的三角函数值，对于①③可用特殊角的三角函数值进行判断，对于②④，根据互余两角三角函数关系，将余弦化成余角的正弦进行比较即可作出判断．解题的关键是掌握锐角三角函数的性质：当角度在（不包括，）之间变化时：①正弦值随角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）． 【详解】解：∵，，， ∴，故式子①错误； ∵， 又∵正弦值随锐角的角度的增大而增大， ∴， 即，故式子②正确； ∵，，， ∴，故式子③错误； ∵，故式子④正确， 综上，正确的式子有②④． 故选：B． 2．（23-24九年级上·福建宁德·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角函数，先将余弦函数、正弦函数进行转换，再根据正弦函数的增减性求解． 【详解】解：， 当时，随的增大而增大， ， ， ， 故选C． 3．（23-24九年级上·福建泉州·期末）比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查三角函数定义，正弦定义，正切定义，根据分子相同，分母越大，分数越小，进行比较即可． 【详解】解：根据题意作图如下， 在中，，， ， ， ， 故答案为：． 4．（23-24八年级上·福建漳州·期末）比较大小：sin40° cos50°（填“ ＞ ”、“ ＜ ”或“ ＝ ”） 【答案】＝ 【分析】直接利用锐角三角函数关系得出答案． 【详解】解：∵cos50°=sin（90°-50°）=sin40°， ∴sin40°=cos50°． 故答案为：=． 【点睛】本题考查了锐角三角函数关系，正确转换正余弦关系是解题的关键． 根据三角函数值判断锐角取值范围 1．（23-24八年级上·福建泉州·期末）若，则锐角满足（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，关键是熟练掌握当角度在间变化，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． 根据余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大），判定即可． 【详解】解：，， ， ， 故选：B． 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）已知，则锐角的取值范围是（ 　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据特殊角的三角函数值，，，再由余弦函数值在锐角范围内，随角度增大而减小即可得到答案 【详解】解：，， 由可得， 在锐角范围内，余弦函数值随着角度的增大而减小， ， 故选：D． 【点睛】本题考查利用特殊角的三角函数值及余弦函数的性质比较角度大小，熟练掌握特殊角的三角函数值性质是解决问题的关键． 3．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，中，，，，，，则关于、、的大小关系（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由勾股定理，依次得到，，，由，，得到，， 由，，得到（三角形的三条高相交于同一点），结合，得到，即可求解， 本题考查了，勾股定理，锐角三角函数，解题的关键是：熟练掌握通过三角函数比较角的大小． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴（三角形的三条高相交于同一点）， 又∵， ∴， 故选：A． 4．（23-24八年级上·福建福州·期末）函数对任意实数都有，且是三角形的内角，则的取值范围是 【答案】 【分析】因为cosθ＞0，所以只要△＜0，函数值恒为正．由△＜0，得到三角函数不等式，再把正弦转化为余弦，解不等式，最后利用三角函数的增减性求出θ的取值范围． 【详解】解：由题意得： 即：， （2cosθ-1）（cosθ+2）＞0， 解得cosθ＞， 又因为0°＜θ＜180°， 所以θ的取值范围为0°＜θ＜60°． 故答案是：0°＜θ＜60°． 【点睛】考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了锐角三角函数的性质，锐角的余弦随着角度的增大而减小；同角的正余弦的平方和为1．记住特殊角的三角函数值． 互余两角三角函数值关系 1．（23-24九年级上·福建福州·期末）化简： ． 【答案】1 【分析】利用三角函数公式求得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查三角函数公式的运用，熟练掌握三角函数公式求得是解题的关键． 2．（23-24九年级上·福建莆田·期末）若，则= ． 【答案】 【分析】根据互余两锐角三角函数之间的关系进行判断即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查互余两锐角三角函数之间的关系，理解“一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值”是正确判断的前提． 3．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别∠A，∠B，∠C的对边．    (1)求的值； (2)填空：当为锐角时，______； (3)利用上述规律，求下列式子的值：． 【答案】(1)1 (2)1 (3) 【分析】（1）由三角函数的定义及勾股定理即可证明； （2）由（1）得出的结论解答即可； （3）由（1）得出的结论进行化简并求值即可； 【详解】（1）证明：∵在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴a2+b2=c2． 又∵， ∴； （2）当为锐角时，， 故答案为 1； （3） = =（44个1相加） = 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义及同角三角函数的关系，熟记定义是解题的关键． 解非直角三角形 1．（23-24九年级上·福建漳州·期末）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【答案】(1) (2)的面积为 【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． （1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可； （2）利用勾股定理及三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； （2）解：由（1）知：在中，，， ， ． 2．（23-24九年级上·福建厦门·期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点，CE=CB，CD=5，. 求：（1）BC的长． （2）tanE的值． 【答案】（1）BC =8; （2）tanE=3. 【分析】（1）先利用直角三角形斜边的性质求出AC，再利用即可求出AB．再利用勾股定理即可求出BC的长；（2）作EH⊥BC垂足为，求得△EHC∽△ACB，利用相似三角形的性质求出EH,CH，BH，再利用三角函数的定义即可求解. 【详解】（1） ∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，是边的中点; ∴, ∵;∴; ∵sin∠ABC=;    由解得; ∵  ∴. （2）作EH⊥BC垂足为； ∴； ∵D是边AB的中点；     ∴BD=CD=AB； ∴∠DCB=∠ABC; ∵∠ACB=90°；  ∴∠EHC=∠ACB ；  ∴△EHC∽△ACB ∴； 由BC=8，CE=CB,得CE=8，∠CBE=∠CEB，； ∴解得EH=,CH=；;    ∴，即tanE=3. 【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质. 3．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，在矩形中，，连接，点在上，平分 ．    【答案】/ 【分析】过点D作，由平分可得是等腰直角三角形，再根据矩形性质和勾股定理易求对角线长，进而解三角形求出、即可解答． 【详解】解：过点D作，如图：    ∵平分， ∴， ∴， ∵在矩形中，， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形性质和解三角形，解题关键是过点D作构造是等腰直角三角形，再解三角形． 4．（23-24九年级上·福建厦门·期末）在中，若，，，则 ． 【答案】1或13 【分析】过点作于点，分高在三角形内部和三角形外部两种情况进行讨论求解． 【详解】解：过点作于点，分两种情况讨论： ①当在的外部时，如图：    ∵， ∴设，则：， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当在的内部时，如图：    同法可得：， ∴； 综上：1或13； 故答案为：1或13． 【点睛】本题考查解非直角三角形，解题的关键是构造直角三角形，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解． 三角函数综合 1．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，在菱形中，边的长度为，的两边、分别与、的延长线相交于点和点，已知．请将图形补充完整，并回答下列问题．    (1)求证：； (2)若，，请用含，的代数式表示． 【答案】(1)答案见解析， (2) 【分析】（1）从所求答案出发，经观察其形式可由相似得出，找到两组对应角相等，即可得证， （2）用三角函数和已知线段长度表示出两个三角形的面积，整理后即可得出结论． 本题考查了根据要求作图的能力，菱形的性质，相似三角形的判定，以及用三角函数表示三角形的边长，解题的关键是：（1）熟练掌握相似三角形的比例表达形式，（2）熟练应用三角函数表示直角三角形的边长． 【详解】（1）根据题意作图：    是菱形， ，， ， ， 又， ， ， 又， ， 又， ， ， ， ， ， （2）     过点、作的垂线，垂足分别为点、， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故． 2．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，交轴于点，连接、，，．    (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在一点，使直线将的面积分成的两部分，若存在，求点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的坐标为或 【分析】（1）求出，则，由得，，设，由勾股定理可得，可得到，再用待定系数法可得答案； （2）设直线交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，设，则，，，分两种情况：当时，即时；当时，即时，分别进行求解即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，令，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得：， ∴， ∴设抛物线解析式为， 将点代入，得， ∴抛物线解析式为； （2）解：设直线交于点，过点作轴于点，过点作轴于点， ， 设，则，， ∴， 当时，即时，，即， ， ∵， ∴， ∴， ∵，即， 解得或（与重合，舍去）， ∴， 当时，即时， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∵，即， 解得或（舍去）， ∴， 综上所述，的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，设计待定系数法，三角形面积的计算，锐角三角函数等，解题的关键是分类讨论思想的应用． 3．（23-24九年级上·福建厦门·期末）在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在中，，，，求（用含，的式子表示）．聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取的中点O，连接，过点C作于点D，则，然后利用锐角三角函数在中表示出，，在中表示出，则可以求出 ．    阅读以上内容，回答下列问题：在中，，． (1)如图3，，，若，则______，______； (2)请你参考阅读材料中的推导思路，求出的表达式（用含，的式子表示）． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据勾股定理求得，再根据三角函数的定义即可求得和，再根据求解即可； （2）取的中点，连接，过点作于点，则，，在中表示出，勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）解：由勾股定理可得：， 由三角函数的定义可得，， 由材料可得：， 故答案为：， （2）解：取的中点，连接，过点作于点，如下图：    则，，，， 在中，，， ， ， 在中，， ， ， ． 【点睛】此题考查了三角函数定义的应用，解题的关键是是熟练掌握三角函数的定义，作辅助线构造直角三角形． 4．（23-24九年级上·福建泉州·期末）已知：如图，是的直径，点在的延长线上，是的切线，切点为，为的弦，．    (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线的性质，得，结合已知代换证明即可． （2）连接，先证明，再在中实施勾股定理，最后在求的值． 【详解】（1）证明： ∵是切线 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴． （2）连接    ∵ 令，则 ∴ ∵是的切线 ∴ ∵于 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 即 解得 ∴ 在中，由勾股定理得 ∵ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴中 ． 【点睛】本题考查了切线的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，正切函数，熟练掌握切线性质，三角形相似的判定和性质，正切函数是解题的关键． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 锐角三角函数 特殊三角形的三角函数 1．（23-24九年级上·福建厦门·期末）的值是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·福建福州·期末）下列三角函数值是有理数的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·福建泉州·期末）若，均为锐角，且，，则（   ） A．， B． C．， D． 4．（23-24九年级上·福建厦门·期末） ． 5．（23-24九年级上·福建南平·期末）计算：． 根据特殊角三角函数值求角度 1．（23-24九年级上·福建三明·期末）已知为锐角． （）若，则 ； （）若，则 ； （）若，则 ． 2．（23-24九年级上·福建三明·期末），则 ． 3．（23-24九年级上·福建福州·期末）若二次函数与x轴只有1个公共点，则锐角等于（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·福建厦门·期末）已知一个正多边形的边心距与边长之比为，则这个正多边形的边数是（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 由特殊角三角函数值判断三角形形状 1．（23-24九年级上·福建泉州·期末）在中，，都是锐角，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 2．（23-24九年级上·福建漳州·期末）在中，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3．（23-24九年级上·福建福州·期末）在中，、都是锐角，且，，则是（     ）. A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 4．（23-24九年级上·福建宁德·期末）在中，若满足，则是 三角形． 正弦、余弦、正切的应用 1．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图，在由小正方形组成的网格中，小正方形的边长均为1，点，，都在小正方形的顶点上，则的正弦值是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·福建漳州·期末）在中，，，，则（    ） A．10 B．8 C．5 D．4 3．（23-24九年级上·福建三明·期末）已知在中，，，，那么的长为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）如图，在中，，，则（    ）    A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·福建福州·期末）在中，，，则的值为(   ) A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，，则的值是 ． 7．（23-24九年级上·福建漳州·期末）在中，，若，则的值为 ． 8．（23-24九年级上·福建莆田·期末）已知在中，，，，求的正切值． 解直角三角形 1．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，在中，，，，求的长及的余弦值． 2．（23-24九年级上·福建泉州·期末）将一块含角和一块含角的直角三角板按如图的方式摆放到一起，组成四边形，连接，则 3．（23-24九年级上·福建三明·期末）如图，点在矩形的边上，将沿翻折，点恰好落在边的点处，如果，，那么 ． 4．（23-24九年级上·福建泉州·期末）已知，如图，，垂足为，，求的正弦值、余弦值和正切值． 解直角三角形的应用 1．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）如图河坝横断面迎水坡AB的坡比为，坝高，则水平宽度AC的长度为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·福建三明·期末）如图，海中有一个小岛P，它的周围9海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A测得小岛P在北偏东方向上，航行6海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由． 3．（23-24九年级上·福建漳州·期末）某校数学兴趣小组测量校园内旗杆的高度，活动记录如下： 活动任务：测量旗杆的高度 【步骤一】设计测量方案 小组成员讨论后，画出两种测量方案的图形，如图1，图2． 　　　　 【步骤二】准备测量工具 筷子，皮尺和测倾器，如图3．皮尺的功能是直接测此任意可达到的两点间的距离；测倾器（由度盘，铅锤和支杆组成）的功能是测量目标物的仰角或俯角 【步骤三】实地测量并记录数据 方案一：利用镜子的反射（测量时，所使用的平面镜的大小和厚度均忽略不计，根据光的反射定律，反射角等于入射角，法线，），如图1，小明利用镜子和皮尺测出了旗杆的高度，其测量和求解过程如下： 测量过程： 小明将镜子放在距离旗杆底部的点C处，然后看若镜子沿直线来回移动，直至看到旗杆顶端B在镜子中的像与点C重合，此时小明站在点D处，测得，小明的眼睛离地面的高度． 求解过程： 由测量知，，，． 法线，， ①______， ． ，即． ②______（）．故旗杆的高度为③______． 方案二：如图2，小亮在测点D处安置测倾器，测得旗杆顶端B的仰角．量出测点D到旗杆的距离，量出测倾器的高度． (1)补全小明求解过程中①②③所缺的内容； (2)请你根据方案二求出旗杆的高度（结果精确到）．（参考数据：，，） 4．（23-24九年级上·福建泉州·期末）筒车是我国古代利用水利驱动的灌溉工具，如图所示，半径为的筒车按逆时针方向，每分钟转圈，筒车与水面分别交于、，筒车的轴心距离水面的高度长为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒，若以某个盛水筒刚浮出水面时开始计算时间． (1)经过多长时间盛水筒P首次到达最高点？ (2)浮出水面3.5秒后，盛水筒P距水面有多高？ (3)若接水槽所在直线是的切线，且与直线交于点，，求盛水筒从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线上？（参考数据：，， 比较三角函数值大小 1．（23-24九年级上·福建厦门·期末）给出下列式子：①，②，③，④．其中正确的是（　　） A．①③ B．②④ C．①④ D．③④ 2．（23-24九年级上·福建宁德·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·福建泉州·期末）比较大小： ． 4．（23-24八年级上·福建漳州·期末）比较大小：sin40° cos50°（填“ ＞ ”、“ ＜ ”或“ ＝ ”） 根据三角函数值判断锐角取值范围 1．（23-24八年级上·福建泉州·期末）若，则锐角满足（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）已知，则锐角的取值范围是（ 　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，中，，，，，，则关于、、的大小关系（　　） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·福建福州·期末）函数对任意实数都有，且是三角形的内角，则的取值范围是 互余两角三角函数值关系 1．（23-24九年级上·福建福州·期末）化简： ． 2．（23-24九年级上·福建莆田·期末）若，则= ． 3．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别∠A，∠B，∠C的对边．    (1)求的值； (2)填空：当为锐角时，______； (3)利用上述规律，求下列式子的值：． 解非直角三角形 1．（23-24九年级上·福建漳州·期末）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 2．（23-24九年级上·福建厦门·期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点，CE=CB，CD=5，. 求：（1）BC的长． （2）tanE的值． 3．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，在矩形中，，连接，点在上，平分 ．    4．（23-24九年级上·福建厦门·期末）在中，若，，，则 ． 三角函数综合 1．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，在菱形中，边的长度为，的两边、分别与、的延长线相交于点和点，已知．请将图形补充完整，并回答下列问题．    (1)求证：； (2)若，，请用含，的代数式表示． 2．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，交轴于点，连接、，，．    (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在一点，使直线将的面积分成的两部分，若存在，求点的横坐标；若不存在，请说明理由． 3．（23-24九年级上·福建厦门·期末）在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在中，，，，求（用含，的式子表示）．聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取的中点O，连接，过点C作于点D，则，然后利用锐角三角函数在中表示出，，在中表示出，则可以求出 ．    阅读以上内容，回答下列问题：在中，，． (1)如图3，，，若，则______，______； (2)请你参考阅读材料中的推导思路，求出的表达式（用含，的式子表示）． 4．（23-24九年级上·福建泉州·期末）已知：如图，是的直径，点在的延长线上，是的切线，切点为，为的弦，．    (1)求证：； (2)若，，求的值． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$