精品解析：广东省肇庆市高要区高要一中、二中教育共同体2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

高要一中、二中教育共同体2024－2025学年第一学期 期中学业水平联合监测九年级数学科试卷 （本卷考试时间120分钟 满分120分） 一、选择题：（每题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，本选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，解题的关键是利用轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断． 2. 下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，形如，其中a、b、c都是常数的方程叫做一元二次方程． 【详解】解：A. 当时，不是一元二次方程，不符合题意； B. ，有分式，不是一元二次方程，不符合题意； C. ，有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D. 是一元二次方程； 故选：D． 3. 在平面直角坐标系中，点P（－20，a）与点Q（b，13）关于原点对称，则a+b的值为（） A. 33 B. －33 C. －7 D. 7 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：关于原点对称的两个点，横坐标和纵坐标分别互为相反数．根据性质可得：a=－13，b=20，则a+b=－13+20=7． 考点：原点对称 4. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（      ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律即可得出答案． 【详解】由抛物线向右平移2个单位，得：；再向上平移2个单位，得：，所以A、C、D错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数图像的平移，熟练掌握平移方法是解题的关键． 5. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下，顶点坐标(5，3) B. 开口向上，顶点坐标(5，3) C. 开口向下，顶点坐标（－5，3） D. 开口向上，顶点坐标（－5，3） 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的性质即可解答． 【详解】解：由抛物线解析式可知： ，即抛物线开口向下，且顶点坐标(5，3)， 故选A． 6. 用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，根据完全平方公式将方程化成的形式即可． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 即． 故选：D． 7. 如图，与都是等腰直角三角形，，点E在上，如果绕点A逆时针旋转后能与重合，则旋转角度是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据等腰直角三角形的定义可得，再根据旋转角的定义即可得． 【详解】解：与都是等腰直角三角形，， ， 绕点逆时针旋转后能与重合， 和都是旋转角，旋转角度是， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形、旋转角，找准旋转角是解题关键． 8. 中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2023年年收入美元，预计2025年年收入将达到美元，设2023年到2025年该地区居民年人均收入平均增长率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准数量关系，正确列出一元二次方程是解答关键． 列出方程求解． 【详解】解：依据题意得 ． 故选：D． 9. 若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，由二次函数的对称轴直线为，开口向上可得出关于对称轴直线的对称点为：， 关于对称轴直线的对称点为：，再结合以及函数图像可得出． 【详解】解：∵二次函数的对称轴直线为，开口向上． ∴关于对称轴直线的对称点为：， 关于对称轴直线的对称点为：， ∵， ∴， 故选：B. 10. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为，经过点，有下列结论：①；②；③；④其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数的图象为一条抛物线，当，抛物线的开口向下，当时，函数值最大；抛物线与轴的交点坐标为．由抛物线开口向下得到；由抛物线的对称轴为直线得到；由抛物线与轴的交点在轴的上方得到，则；观察图象得到当时，，即；当时，，即；根据二次函数的最值问题得到时，有最大值，则，变形得到，即可求解． 【详解】解：抛物线开口向下， ； 抛物线的对称轴为直线， ； 抛物线与轴的交点在轴的上方， ， ，所以①正确； 当时，，即， ，所以②不正确； 当时，，即，所以③正确； 抛物线的对称轴为直线， 时，有最大值， ， ， 所以④正确． 故选：C． 二、填空题：（每题3分，共15分） 11. 一元二次方程的根为______． 【答案】， 【解析】 【分析】先将方程整理为一般形式，再利用因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】解：移项得， 提取公因式得， 即或， 解得，． 12. 二次函数，当_____时，随增大而增大． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称轴与增减性是解题关键．先根据二次函数解析式得到对称轴为直线，再根据对称轴及开口方向即可得到答案． 【详解】解：对称轴为直线， ∵， ∴当，随增大而增大， 故答案为：． 13. 二次函数的图象如图所示，则函数值时的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据图像解答即可． 【详解】解：根据图像可知： 时的取值范围为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关键，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键． 14. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑三条同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽．若设道路宽为，则根据题意可列方程为_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用平移把草坪变为矩形是本题的关键．利用平移可把草坪变为一个长为，宽为的矩形，从而根据题中的等量关系即可得出方程． 【详解】解：设小路宽为，根据题意得： ， 故答案为：． 15. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据旋转的性质得出∠EAF′=45°，进而得出△FAE≌△EAF′，即可得出EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=4，得出正方形边长即可． 【详解】解：将△DAF绕点A顺时针旋转90度到△BAF′位置， 由题意可得出：△DAF≌△BAF′， ∴DF=BF′，∠DAF=∠BAF′， ∴∠EAF′=45°， 在△FAE和△EAF′中 ， ∴△FAE≌△EAF′（SAS）， ∴EF=EF′， ∵△ECF的周长为4， ∴EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=DF+FC+BC=4， ∴2BC=4， ∴BC=2． 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△FAE≌△EAF′是解题关键． 三、解答题（一）：（每题8分，共24分） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）用因式分解的十字相乘法求解比较简便； （2）用因式分解的提公因式法求解比较简便． 【详解】解：（1）， ， 或， 解得或； （2）， ， ， 或， 解得，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，选择适当的方法解一元二次方程可事半功倍．解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等． 17. 已知关于的方程一个根为时，求另一根及的值． 【答案】另一根为， 【解析】 【分析】将代入原方程可求出值，设方程的另一个根为，再利用两根之积等于即可求出的值． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：． 设方程的另一个根为， 依题意得：， ． 方程的另一个根为，值为． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，解题的关键是牢记两根之积等于． 18. 二次函数图象经过，求二次函数解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的三种表达式是解题的关键；由题意可设该抛物线的解析式为，然后代入点B坐标可进行求解． 【详解】解：设该抛物线的解析式为， 把代入函数得：， 解得：， 该抛物线的解析式为，即． 四、解答题（二）：（每题9分，共27分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． （1）以点O为对称中心，画出与成中心对称的图形； （2）以点B为旋转中心，将顺时针旋转90°，得到，画出． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2）如图，即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据中心对称的性质找出点A、B、C的对应点、、，然后用线段连接即可； （2）根据旋转的性质找出点A、B、C的对应点、、，然后用线段连接即可； 【小问1详解】 解：点，，的中心对称点分别为，，， 再直角坐标系总画出点，，， 连接． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了中心对称作图和旋转作图，解题的关键是掌握轴对称与旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）如果此方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）如果此方程的两个实数根为，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数关系： （1）一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，据此求解即可． （2）一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根为，， ∴，， ∵， ∴， 解得， 经检验，是方程的解，且 ∴． 21. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点B的对应点D刚好落在边上，连接． （1）若，求的度数； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） （2）16 【解析】 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求得，再根据旋转的性质得到，根据等腰三角形的性质可求得的度数，进而可得的度数； （2）根据勾股定理得到，根据旋转的性质得到，根据三角形的面积公式可得和的面积，进一步可得四边形的面积． 【小问1详解】 在中，，， ∴， ∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 在中，， 由旋转可得， 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知旋转的性质是解题的关键． 五、解答题（三）：（每题12分，共24分） 22. 某超市经销一种商品，每千克成本为40元，试经销发现，该种商品的每天销售量y（件）与销售单价（元/件）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的几组对应值如表所示： 销售单价（元/件） 55 60 70 销售量（件） 70 60 40 （1）求（件）与（元/件）之间的函数解析式； （2）销售过程中要求卖出的商品数不少于60件，求销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大?最大利润是多少? 【答案】（1） （2）当时，利润最大为1200 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质． （1）设（件）与（元/件）之间的函数解析式为，用待定系数法求解可得； （2）根据“总利润=每千克利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式即可得最值情况． 【小问1详解】 解：设（件）与（元/件）之间的函数解析式为， 由题意，得：解得：， ； 【小问2详解】 解：设总利润为，由题意得： 销售过程中要求卖出的商品数不少于60件， ，即， ， ，对称轴为直线：， 抛物线开口向下，在对称轴的左侧，随的增大而增大， 当时，利润最大为：， 销售单价定为60元时，才能使当天的销售利润最大，大利润是1200元． 23. 如图，抛物线与直线交轴、轴于、两点，与轴的另一个交点为，是直线上方抛物线上的一动点，轴于点，交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若，求点的坐标； （3）连接、，求四边形面积最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（）求出点的坐标，再利用待定系数法解答即可； （）设点，点，则点，可得，，列出方程解答即可求解； （）设，则，即得，再根据可得，再根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值和几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， 将代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设点，点，则点， ∴，， 当时，， 解得，（不合题意，舍去）， ∴； 【小问3详解】 解：设，则， ∴， ∴ ， ∵，， ∴当时，取最大值，最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高要一中、二中教育共同体2024－2025学年第一学期 期中学业水平联合监测九年级数学科试卷 （本卷考试时间120分钟 满分120分） 一、选择题：（每题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点P（－20，a）与点Q（b，13）关于原点对称，则a+b的值为（） A. 33 B. －33 C. －7 D. 7 4. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（      ） A. B. C. D. 5. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下，顶点坐标(5，3) B. 开口向上，顶点坐标(5，3) C. 开口向下，顶点坐标（－5，3） D. 开口向上，顶点坐标（－5，3） 6. 用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，与都是等腰直角三角形，，点E在上，如果绕点A逆时针旋转后能与重合，则旋转角度是( ) A. B. C. D. 8. 中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2023年年收入美元，预计2025年年收入将达到美元，设2023年到2025年该地区居民年人均收入平均增长率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为，经过点，有下列结论：①；②；③；④其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：（每题3分，共15分） 11. 一元二次方程的根为______． 12. 二次函数，当_____时，随增大而增大． 13. 二次函数的图象如图所示，则函数值时的取值范围是_______． 14. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑三条同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽．若设道路宽为，则根据题意可列方程为_______ 15. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为_____． 三、解答题（一）：（每题8分，共24分） 16. 解方程： （1） （2） 17. 已知关于的方程一个根为时，求另一根及的值． 18. 二次函数图象经过，求二次函数解析式． 四、解答题（二）：（每题9分，共27分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． （1）以点O为对称中心，画出与成中心对称的图形； （2）以点B为旋转中心，将顺时针旋转90°，得到，画出． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）如果此方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）如果此方程的两个实数根为，且满足，求的值． 21. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点B的对应点D刚好落在边上，连接． （1）若，求的度数； （2）若，，求四边形的面积． 五、解答题（三）：（每题12分，共24分） 22. 某超市经销一种商品，每千克成本为40元，试经销发现，该种商品的每天销售量y（件）与销售单价（元/件）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的几组对应值如表所示： 销售单价（元/件） 55 60 70 销售量（件） 70 60 40 （1）求（件）与（元/件）之间的函数解析式； （2）销售过程中要求卖出的商品数不少于60件，求销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大?最大利润是多少? 23. 如图，抛物线与直线交轴、轴于、两点，与轴的另一个交点为，是直线上方抛物线上的一动点，轴于点，交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若，求点的坐标； （3）连接、，求四边形面积最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $