四川省凉山州宁南中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学模拟试题（一）

宁南中学2026届高二上期数学半期考试模拟试题（一） 时间：120分钟 满分：100分 一、单选题 1．若直线与垂直，则的值为（    ） A．2 B． C． D．4 2．已知直线是圆的对称轴，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．长轴长为10，焦点坐标为的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知圆与圆，则圆与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．外切 C．内切 D．内含 5．方程表示椭圆的一个充分不必要条件是（    ）． A． B． C． D． 6．两条直线和在同一直角坐标系中的图象可以是（    ） A． B． C． D． 7．已知两点，，过点的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆方程为，长轴为，过椭圆上一点向轴作垂线，垂足为，若，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列说法正确的是（    ） A．＝k不能表示过点M（x1，y1）且斜率为k的直线方程 B．在x轴，y轴上的截距分别为a，b的直线方程为 C．直线y＝kx+b与y轴的交点到原点的距离为b D．过两点A（x1，y1）B（x2，y2）的直线方程为 10．已知圆，直线，点P在直线l上运动，直线，分别切圆C于点A，B.则下列说法正确的是（    ） A．四边形的面积最小值为 B．M为圆C上一动点，则最小值为 C．最短时，弦直线方程为 D．最短时，弦长为 11．如图，已知正方体的边长为2,、、、分别为的中点，则下列结论正确的是（    ）    A． B．平面 C．二面角的大小为 D．点到平面的距离为2 三、填空题 12．在平面坐标系中，动点P和点满足，则动点的轨迹方程为 ． 13．已知实数x，y满足，则的最大值为 . 14．写出与圆和都相切的所有直线方程 ． 四、解答题 15．已知直线经过直线与的交点. (1)若直线与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线在坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 16．已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，与直线相切. (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程的斜率. 17．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 18．已知椭圆的离心率为，短轴长为2． (1)求椭圆L的标准方程； (2)过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分．求此弦所在的直线方程． 19．已知椭圆的长轴为，短轴为2，焦点在轴上． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点斜率不为零的直线与椭圆相交于两不同点． ①若，求弦长的值； ②记为坐标原点，求面积的最大值． 宁南中学2026届高二上期数学半期考试模拟试题（一） 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A B A A A B AD ACD 题号 11 答案 ABD 8．B 设，则，， 则，，，所以， 且，所以，即，代入椭圆方程可得，化简可得，则离心率为.故选：B 10． ACD 对于A，由切线长定理可得，又因为，所以， 所以四边形的面积， 因为，当时，取最小值，且， 所以四边形的面积的最小值为，故A正确； 对于B，因为，所以最小值为，故B错误； 对于C，由题意可知点，，在以为直径的圆上，设， 其圆的方程为：， 化简为，与方程相减可得：， 则直线的方程为，当最短时，，则， 解得，故直线的方程为，故C正确； 对于D，当最短时，圆心C到直线的距离， 所以弦长为，故D正确. 故选：ACD.    12． 13． 14．；；； 已知圆与圆相离，所以有4条公切线. 画图为： 易得或是圆和的公切线 设另两条公切线方程为： 圆到直线的距离为；圆到直线的距离为 所以；所以或 或 当时 所以，切线方程为 当时 所以；所以，所以或 当时，切线方程为 当时，切线方程为 故答案为：或或或 15．(1)； (2)或. 16．(1)； (2) （1）由题意，圆心在直线上，可设圆心坐标为， 圆与直线相切，圆过点且在直线，. ，解得，所以圆心坐标，半径， 所以圆的方程为 （2）由题，设切线方程是，即， 由于直线与圆相切，故，解得    17．(1)证明见详解； (2) 【详解】（1）因为为的中点，所以， 四边形为平行四边形，所以，又因为平面， 平面，所以平面； （2）如图所示，作交于，连接， 因为四边形为等腰梯形，，所以， 结合（1）为平行四边形，可得，又， 所以为等边三角形，为中点，所以， 又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以， 四边形为平行四边形，， 所以为等腰三角形，与底边上中点重合，，， 因为，所以，所以互相垂直， 以方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系， ，，， ，设平面的法向量为， 平面的法向量为， 则，即，令，得，即， 则，即，令，得， 即，，则， 故二面角的正弦值为. 18．(1)； (2). 【详解】（1）由题意，则椭圆标准方程为； （2）令过椭圆内一点的直线交椭圆于， 所以，两式作差得，则， 又，，故直线斜率为， 所以直线为，即. 19．(1)； (2)①；② 【详解】（1）解：由题得 所以椭圆的标准方程为 （2）解：由题得存在且，可设直线． 联立可知： 由解得． ①当时， ②坐标原点到直线的距离为． 令，易知可知， 令，可知． 当且仅当，即时等号成立． 所以面积的最大值为. 第 2 页 共 4 页 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$