精品解析：福建省南平市第三中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

南平三中2024-2025学年九年级（上）数学期中质量检测 （满分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题（共10题，每题4分，共40分，每题的四个选项中只有一项是正确） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形：一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；根据中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A、找不到一点，使图案绕此点旋转后能够与原来的图形重合，故不是中心对称图形； B、能找到一点，使图案中心点旋转后能够与原来的图形重合，故是中心对称图形； C、找不到一点，使图案绕此点旋转后能够与原来的图形重合，故不是中心对称图形； D、找不到一点，使图案绕此点旋转后能够与原来的图形重合，故不是中心对称图形； 故选：B． 2. 已知是关于的方程的一个根，则的值为（ ） A. 6 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的定义．将代入，求解即可． 【详解】解：是关于x的方程一个根， ， 解得，． 故选：A． 3. 如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质可知，对应边  与  的夹角即为旋转角，从而可以得到  的度数，由  结合角的和差关系可以得到  的度数． 【详解】解： 绕点  按逆时针方向旋转  后得到 ， ， ， ． 4. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把常数项移到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完全平方公式写成平方形式即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查利用配方法对一元二次方程求解，解题的关键是：熟练运用完全平方公式进行配方． 5. 经过两次连续涨价，某药品销售单价由原来的32元涨到50元，设该药品平均每次涨价的百分率为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据某药品经过连续两次涨价，销售单价由原来的32元涨到50元，平均每次每次涨价的百分率为x，可以列出相应的方程即可． 【详解】解：由题意可得，， 故选：B． 6. 对于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的顶点坐标是 C. 图象的对称轴为直线 D. 图象与轴没有交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象、性质、解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．本题由中的，顶点坐标可判断A，B，C，再令可得可判断D，从而可得答案． 【详解】解：∵二次函数， ∴，函数的图象开口向下，故选项A不符合题意； 顶点坐标是，故选项B不符合题意； 对称轴是直线，故选项C符合题意； 当时，则， ∴， ∴方程有解， ∴图象与轴有交点，故选项D不符合题意； 故选：C． 7. 将抛物线y = x2平移得到抛物线y = （x+2）2，则这个平移过程正确的是（ ） A. 向左平移2个单位 B. 向右平移2个单位 C. 向上平移2个单位 D. 向下平移2个单位 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：根据抛物线的平移规律即可得答案，故答案选A． 考点：抛物线的平移规律． 8. 若点、在二次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查比较二次函数值，将两点横坐标代入函数解析式比较函数值即可． 【详解】解：当时，， 当时，； 所以，， 故选：B． 9. 已知抛物线，当时，函数的最大值为2，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数的最值问题．由抛物线解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线，分两种情况：当时，当时，根据二次函数的性质，分别求解即可．熟练掌握二次函数的增减性是解此题的关键． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，在上随着的增大而减小， 当时，最大，，不符合题意； 当时，在上随着的增大而减小，在上随着的增大而增大， 当时，，当时，， 当时，函数的最大值为2， ， 解得：或（不符合题意，舍去）， ， 故选：D． 10. 如图，在正方形ABCD中，，E为AB边上一点，点F在BC边上，且，将点E绕着点F顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作于点，延长交于点，设，只要证得，利用全等三角形的性质可得，，进而得到，在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点作于点，延长交于点，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 当时，有最小值为， ∴的最小值为， 故选：C 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，作出适当的辅助线是解题的关键． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 在平面直角坐标系中，点A(－1，3)关于原点对称的点A′的坐标是____________． 【答案】(1，) 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接写出答案． 【详解】解：点A（-1，3）关于原点对称的点A′的坐标是（1，-3）， 故答案为（1，-3）． 12. 当________，关于的方程是一元二次方程． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义， “只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程” 利用一元二次方程的定义，可得出，解之即可得出m的值． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得：， ∴m的值是1． 故答案为：1． 13. 如图，正方形的两边、分别在轴、轴上，点在边上，以为中心，把顺时针旋转90°，则旋转点的对应点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据顺时针旋转90°，作出相应的图形进行计算即可． 【详解】解：顺时针旋转90°时，如下图所示， ∵D的坐标为， ∴正方形边长为5， ∴AD=3，BD=5-3=2， 由旋转性质可得OD'=BD=2， ∴D'坐标为（-2,0）， 故答案为：（-2，0） 【点睛】本题考查了旋转的性质和求点的坐标，解题关键是根据旋转前后的图形全等，得到对应边相等，从而得到坐标． 14. 白云航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有_____个飞机场． 【答案】5 【解析】 【分析】设共有x个飞机场，每个飞机场都要与其余的飞机场开辟一条航行，但两个飞机场之间只开通一条航线．等量关系为：，把相关数值代入求正数解即可． 【详解】设共有x个飞机场． ， 解得 ， （不合题意，舍去）， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 15. 已知抛物线的部分图像如图所示，则方程的解是___________ 【答案】或 【解析】 【分析】根据抛物线的轴对称性即可求得抛物线与x轴的另一个交点的坐标，这两个交点的横坐标就是方程的解． 【详解】解：由图像可知抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， 设抛物线与x轴的另一个交点为，则， 解得：． ∴方程的解为或． 故答案为：或 【点睛】本题考查的是利用二次函数的图像求解一元二次方程，以及抛物线的对称性问题，正确理解抛物线与x轴的交点的横坐标与相应的一元二次方程的根之间的关系是解题的关键． 16. 抛物线的最低点为，其中，抛物线与轴交于点，，，，则下列结论中，正确的有________．（填序号） ①；②；③；④关于的方程有两个不相等的实数根． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，数形结合是解题的关键．画出大致图形，再结合二次函数的性质分析即可． 【详解】解：∵的最低点为，其中，抛物线与x轴交于点， ∴函数图像大致如图所示： ∴， ∵， ∴，， ∴，故①②正确； ∵抛物线与x轴交于点， ∴当时，； 当时，； ∴， ∴，故③正确； ∵抛物线的最低点为，， ∴直线与没有交点， ∴关于x的方程没有实数根，故④错误． 综上所述，正确的有①②③． 故答案为：①②③． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．请在答题卡的相应位置作答） 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握一元解法是解答本题的关键． （1）方程运用因式分解法求解即可得到答案； （2）方程运用因式分解法求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：， ， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ∴或， ∴，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）画出关于原点对称的，并直接写出点的对应点的坐标； （2）画出以点为旋转中心顺时针旋转的． 【答案】（1） 如图所示，即为所求，点的坐标； （2） 如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】（1）分别作出三角形三个顶点关于原点对称的对应点，再顺次连接即可； （2）分别作出三角形两个顶点和以点为旋转中心顺时针旋转的对应点和，再顺次连接即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 【点睛】本题主要考查了作图-旋转变换，坐标与图形的性质等知识，熟练掌握旋转变换的定义和性质，正确得出对应点的位置是解本题的关键． 19. 已知关于的一元二次方程．求证：该方程总有两个不相等的实数根． 【答案】 证明：由题意可得：． ∵ ∴ ∴该方程总有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式．根据一元二次方程根的判别式进行计算，得出即可得证． 【详解】略 20. 如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点落在边上． （1）若，，求的长； （2）若，，连接，求的度数． 【答案】（1）的长为 （2）的度数为 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质可得，由此即可求解； （2）根据旋转的性质，全等三角形的性质可得是等腰三角形，由此即可求解． 【小问1详解】 解：将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，， ∴， ∴的长为． 【小问2详解】 解：如图所示，连接， 由（1）可知，， ∴，，， ∴是等腰三角形， 在中，， ∴， ∴， ∴的度数为． 21. 已知抛物线． （1）若点在此抛物线上，求此抛物线的表达式； （2）求出此抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、待定系数法求二次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． (1)依据题意，由点在抛物线上，代入求出m即可得解； (2)依据题意，由抛物线为，进而可以得解． 【小问1详解】 解∶由题意，点在抛物线上， ， ， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解∶依据题意，抛物线为， 该抛物线的顶点为． 22. 为响应扬州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边用墙，可利用的墙长不超过，另外三边由长的栅栏围成，设矩形空地中，垂直于墙的边，面积为（如图）． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当为何值时，有最大值？最大值是多少？ 【答案】（1） （2），有最大值，最大值是 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据矩形的面积公式列出y与x之间的函数关系式，并由求出自变量x的取值范围即可； （2）把（1）中所得的二次函数解析式写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案． 【小问1详解】 解：根据题意得：， ∵， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由（1）知， 化成顶点式：， 因为开口向下，x值越靠近对称轴，y值最大，且， ∴当时，y有最大值，且为， 此时，符合题意． 23. 小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度． （1）求抛物线的表达式． （2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离． 【答案】（1） （2）2或6m 【解析】 【分析】（1）根据顶点，设抛物线的表达式为，将点，代入即可求解； （2）将代入（1）的解析式，求得的值，进而求与点的距离即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意可知抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， 抛物线的解析式为， 【小问2详解】 由，令， 得， 解得， 爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m， 当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为(m)，或(m)． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键． 24. 抛物线与轴交于A，两点（点A在点左侧），与轴交于点，是抛物线上不与点A，，重合的一点． （1）点A的坐标为（_____，_____），点的坐标为（_____，_____）； （2）如图，若点在线段上方，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及此时的面积； 【答案】（1）； （2）点的坐标为，的面积为 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像与坐标轴的交点坐标，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的最值，掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． （1）令，解方程求解即可； （2）过点作轴交直线于点，先求出直线的解析式，即可设，则，求出，再根据求出解析式并化为顶点式，再求最值即可． 【小问1详解】 解：当时，， 解得：， 点A的坐标为，点的坐标为； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：当时，， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入中得， 解得， ∴直线的解析式为， 过点作轴交直线于点， 设，则， ， ∴， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，有最大值，最大值为， 当时，， ∴点的坐标为，此时的面积为． 25. 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，．将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点． （1）数学思考：四边形的形状是________． （2）深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题． ①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作，交的延长线于点，与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明； ②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，交于点，若，，求的长． 【答案】（1）正方形； （2） ①，证明如下： ∵， ∴． ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 由旋转的性质可得，， ∴， ∴． ② 【解析】 【分析】（1）由题意可知，，，根据平行线的判定和性质，得到，即可得到答案； （2）①证明，得到．由旋转的性质可得，得到。即可得到结论； ②由旋转的性质可得，，进而得出，由勾股定理得，，设，再利用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，，， ， ， ， ， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形， 故答案为：正方形； 【小问2详解】 解：①略 ②由旋转的性质可得，， ∴，，，， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 由勾股定理得，， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得，， ∴． 【点睛】本题考查了正方形和矩形的判定，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，掌握相关知识点是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南平三中2024-2025学年九年级（上）数学期中质量检测 （满分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题（共10题，每题4分，共40分，每题的四个选项中只有一项是正确） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是关于的方程的一个根，则的值为（ ） A. 6 B. C. 4 D. 3. 如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 经过两次连续涨价，某药品销售单价由原来的32元涨到50元，设该药品平均每次涨价的百分率为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 6. 对于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的顶点坐标是 C. 图象的对称轴为直线 D. 图象与轴没有交点 7. 将抛物线y = x2平移得到抛物线y = （x+2）2，则这个平移过程正确的是（ ） A. 向左平移2个单位 B. 向右平移2个单位 C. 向上平移2个单位 D. 向下平移2个单位 8. 若点、在二次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知抛物线，当时，函数的最大值为2，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 10. 如图，在正方形ABCD中，，E为AB边上一点，点F在BC边上，且，将点E绕着点F顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 在平面直角坐标系中，点A(－1，3)关于原点对称的点A′的坐标是____________． 12. 当________，关于的方程是一元二次方程． 13. 如图，正方形的两边、分别在轴、轴上，点在边上，以为中心，把顺时针旋转90°，则旋转点的对应点的坐标是______． 14. 白云航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有_____个飞机场． 15. 已知抛物线的部分图像如图所示，则方程的解是___________ 16. 抛物线的最低点为，其中，抛物线与轴交于点，，，，则下列结论中，正确的有________．（填序号） ①；②；③；④关于的方程有两个不相等的实数根． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．请在答题卡的相应位置作答） 17. 解方程： （1） （2） 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）画出关于原点对称的，并直接写出点的对应点的坐标； （2）画出以点为旋转中心顺时针旋转的． 19. 已知关于的一元二次方程．求证：该方程总有两个不相等的实数根． 20. 如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点落在边上． （1）若，，求的长； （2）若，，连接，求的度数． 21. 已知抛物线． （1）若点在此抛物线上，求此抛物线的表达式； （2）求出此抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）． 22. 为响应扬州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边用墙，可利用的墙长不超过，另外三边由长的栅栏围成，设矩形空地中，垂直于墙的边，面积为（如图）． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当为何值时，有最大值？最大值是多少？ 23. 小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度． （1）求抛物线的表达式． （2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离． 24. 抛物线与轴交于A，两点（点A在点左侧），与轴交于点，是抛物线上不与点A，，重合的一点． （1）点A的坐标为（_____，_____），点的坐标为（_____，_____）； （2）如图，若点在线段上方，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及此时的面积； 25. 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，．将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点． （1）数学思考：四边形的形状是________． （2）深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题． ①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作，交的延长线于点，与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明； ②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，交于点，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $