精品解析：湖南省岳阳市第十中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

2024年下学期岳阳市第十中学八年级期中测试卷 数学 时量：120钟，总分：120分 一、选择题：（本大题共10道小题，每小题3分，满分30分．在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项．） 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 根据分式的基本性质，分式可变形为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，已知，要说明，还需从下列条件中选一个，错误的选法是（ ） A. B. C. D. 5. 碳纳米管作为一种未来材料，具有许多异常的力学、电学和化学性能.我国已研制出直径为0. 0000000005米的碳纳米管，将0.0000000005用科学记数法表示为( ) A. B. C. D. 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 分式的值不能为零 B. C. 如果，那么 D. 三角形三条角平分线的交点到三角形三个顶点的距离都相等 7. 如图，在中，，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知等腰三角形的两条边长分别是2和4，则它的周长是（　　） A. 8 B. 8或10 C. 10 D. 无法确定 9. 中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是我们必须世代传承的文化根脉、文化基因．为传承优秀传统文化，某校为各班购进《三国演义》和《水浒传》连环画若干套，其中每套《三国演义》连环画的价格比每套《水浒传》连环画的价格贵60元，用4800元购买《水浒传》连环画的套数是用3600元购买《三国演义》连环画套数的2倍，设每套《水浒传》连环画的价格为x元，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，高与角平分线相交于点，的平分线分别交，于点，，连接，下列结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号是（     ） A. ①②④ B. ②③ C. ③④ D. ②③④ 二、填空题：（本大题共8道小题，每小题3分，满分24分．） 11. 化简的结果是_____． 12. 比较大小：______ 13. 一个正数的平方根分别是和，则__． 14. 已知，则代数式的值为______． 15. 若关于x的分式方程有增根，则a=________． 16. 如图，在中，，过点E作的垂线，连接．若，，，，则的长为 _____． 17. 如图，是的外角的平分线，若，则的度数是___________ 18. 我们规定：在四边形中，O是边上的一点，如果与全等，那么点O叫做该四边形的“等形点”，在四边形中，，，，，如果该四边形的“等形点”在边上，那么的长是__________． 三、解答题：（本大题共8小题，满分64分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 19. 计算： 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 解方程 （1） （2） 22. 如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接CE． （1）求∠BEC的度数； （2）求证：AE＝BC． 23. 某地为某校师生交通方便，在通往该学校原道路的一段全长为360m的旧路上进行整修铺设柏油路面．铺设120m后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用32天完成这一任务． （1）求原计划每天铺设路面的长度； （2）若市政部门原来每天支付工人工资为600元，提高工效后每天支付给工人的工资增长了30%，现市政部门为完成整个工程准备了25000元的流动资金．请问，所准备的流动资金是否够支付工人工资？并说明理由． 24. 规定表示一对数对，给出如下定义：，，与称为数对的一对“对称数对”．例如：数对的一对“对称数对”为与． （1）数对的一对“对称数对”是______； （2）若数对的一个“对称数对”是，则的值是______； （3）若数对一个“对称数对”是，求的值． 25. 我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转α()得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． （1）【探索一】如图1，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”，探索与的数量关系． 在探索这个问题之前，请先阅读材料： 【材料】如图2在中，若，．求边上的中线的取值范围．是这样思考的：延长至E，使，连结．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．中线的取值范围是　 ． 请仿照上面材料中的方法，猜想图1中与的数量关系，并给予证明． （2）【探索二】如图3，当时，是的“旋补三角形”，，垂足为点E，的反向延长线交于点D，探索是否是的“旋补中线”，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由． 26. 【初步感知】 （1）如图 1，已知 为等边三角形，点D 为边 上一动点（点D 不与点B ，点 C 重合）．以 为边向右侧作等边，连接 ．求证：； 【类比探究】 （2）如图 2，若点D 在边 的延长线上，随着动点D 的运动位置不同，猜想并证明： ① 与 的位置关系为： ； ②线段 、 、 之间的数量关系为： ． 【拓展应用】 （3）如图 3，在等边 中，，点P 是边 上一定点且 ，若点D 为射线 上动点，以 为边向右侧作等边 ，连接 、 ．请问： 是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下学期岳阳市第十中学八年级期中测试卷 数学 时量：120钟，总分：120分 一、选择题：（本大题共10道小题，每小题3分，满分30分．在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项．） 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件，分母不为0即可求解 【详解】解：∵分式有意义， ∴ 解得 故选A 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，理解分式有意义的条件是：“分母不为0”是解题的关键． 2. 根据分式的基本性质，分式可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的性质直接化简即可． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查分式的性质，熟练掌握分式的性质进行化简是解题关键． 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据同底数幂的乘除法的性质，单项式乘单项式的法则，积的乘方的性质，合并同类项的法则，对各选项分析判断后可求解． 【详解】解：A、，故此选项不合题意； B、a和不是同类项，无法合并，故此选项不合题意； C、，故此选项不合题意； D、，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘除法，单项式乘单项式，积的乘方的性质，合并同类项，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． 4. 如图，已知，要说明，还需从下列条件中选一个，错误的选法是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等的判定；先要确定现有已知在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法对选项逐一验证，排除错误的选项．本题中C、与、组成了是不能由此判定三角形全等的． 【详解】解：A、加，∴，是正确选法； B、加，∴，是正确选法； C、加，满足，不能得出，是错误选法； D、加，∴，是正确选法． 故选：C． 5. 碳纳米管作为一种未来材料，具有许多异常的力学、电学和化学性能.我国已研制出直径为0. 0000000005米的碳纳米管，将0.0000000005用科学记数法表示为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解． 【详解】解：． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，正确确定和的值是解题的关键． 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 分式的值不能为零 B. C. 如果，那么 D. 三角形三条角平分线的交点到三角形三个顶点的距离都相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理，涉及分式的值为零的条件，角平分线的性质，等式的性质，算术平方根，解题的关键是掌握相关知识．根据分式的值为零的条件，角平分线的性质，等式的性质，算术平方根，逐一判断即可． 【详解】解：A、由于分式的分子为，故分式的值不能为零，故该选项正确，符合题意； B、，故该选项错误，不符合题意； C、如果，那么，故该选项错误，不符合题意； D、三角形三条角平分线的交点到三角形三条边的距离都相等，故该选项错误，不符合题意； 故选：A． 7. 如图，在中，，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查作图基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键． 根据内角和定理求得，由中垂线性质知，即，从而得出答案． 【详解】解：在中，，， ， 由作图可知为的中垂线， ， ， ， 故选A 8. 已知等腰三角形的两条边长分别是2和4，则它的周长是（　　） A. 8 B. 8或10 C. 10 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】所给出的边2、4均可以作腰，也可以作底，分两种情况讨论，注意使用三角形三边的关系进行判断． 【详解】解：①若2为腰，则，不能构成三角形，此种情况舍去； ②若2为底，则 ，能构成三角形，故周长是． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形三边的关系，解题的关键是注意分情况讨论． 9. 中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是我们必须世代传承的文化根脉、文化基因．为传承优秀传统文化，某校为各班购进《三国演义》和《水浒传》连环画若干套，其中每套《三国演义》连环画的价格比每套《水浒传》连环画的价格贵60元，用4800元购买《水浒传》连环画的套数是用3600元购买《三国演义》连环画套数的2倍，设每套《水浒传》连环画的价格为x元，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设每套《水浒传》连环画的价格是元．则《三国演义》连环画的价格是元．根据“用4800元购买《水浒传》连环画的套数是用3600元购买《三国演义》连环画套数的2倍”列出方程即可． 【详解】解：根据题意得：． 故选：D． 【点睛】本题考查分式方程的应用，利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数． 10. 如图，在中，，高与角平分线相交于点，的平分线分别交，于点，，连接，下列结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号是（     ） A. ①②④ B. ②③ C. ③④ D. ②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件无法判定，进而可对结论①进行判断；先根据角平分线的定义得，再根据为的高，，得到，，推出，可对结论②进行判断；由结论②可推出，然后根据平分，可对结论③进行判断；根据，得到点为的三条高的交点，可对结论④进行判断．此题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识． 【详解】解：根据已知条件无法判定，则无法判定，结论①不正确； 是的角平分线， ， 为的高，， ，， 又， ，结论②正确； 由结论②正确得：， ， 平分， ，结论③正确； ，， 点为的三条高的交点， ，结论④正确， 综上所述：正确的结论是②③④， 故选：D． 二、填空题：（本大题共8道小题，每小题3分，满分24分．） 11. 化简的结果是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据同分母分式相加减，分母不变，只把分子相加减计算，然后约分即可得解． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题考查了同分母分式的减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 12. 比较大小：______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数大小比较，直接根据即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 13. 一个正数的平方根分别是和，则__． 【答案】2． 【解析】 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数可得关于x的方程，解方程即可得． 【详解】根据题意可得：x+1+x﹣5=0， 解得：x=2， 故答案为2． 【点睛】本题主要考查了平方根的定义和性质，熟练掌握平方根的定义和性质是解题的关键． 14. 已知，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的求值．根据，得到，进而根据完全平方公式变形求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即：， ∴； 故答案为：． 15. 若关于x的分式方程有增根，则a=________． 【答案】 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出a的值即可． 【详解】解：， 去分母得： x−a＝3-x， 由分式方程有增根，得到x−3＝0，即x＝3， 代入整式方程得：3−a＝3-3， 解得：a＝3． 故答案为：3． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 16. 如图，在中，，过点E作的垂线，连接．若，，，，则的长为 _____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，根据题意可证，由此可得，，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴ ∵ 又 ∴， ∴ ∴， 故答案为：4． 17. 如图，是的外角的平分线，若，则的度数是___________ 【答案】##85度 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据角平分线的定义得到，根据三角形外角的性质计算即可得到答案． 【详解】解：是的外角的平分线，， ， ， 故答案为： ． 18. 我们规定：在四边形中，O是边上的一点，如果与全等，那么点O叫做该四边形的“等形点”，在四边形中，，，，，如果该四边形的“等形点”在边上，那么的长是__________． 【答案】1或2##2或1 【解析】 【分析】根据平行线的性质，得到，分两种情况讨论：当时当时，再利用全等三角形的性质可得答案． 【详解】解：，， ， 四边形的“等形点”在边上， 如图1，当时，则， 如图2，当时， ，， ， ， ， 故答案为：1或2． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． 三、解答题：（本大题共8小题，满分64分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂，零指数幂，立方根，掌握相关运算法则是解题关键．先计算负整数指数幂、零指数幂、立方根，绝对值，再计算加减法即可． 【详解】解： ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后将代入计算即可得． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 21. 解方程 （1） （2） 【答案】（1）；（2）无解 【解析】 【分析】（1）将方程两边乘，进行计算得，再将代入到得为18，不等于0，即可得原分式方程的解为； （2）先通分，将的分子，分母同乘x，然后计算得，将代入中，得0，再将代入中，得0，即可得原分式方程无解． 【详解】解：（1） 方程两边乘得： 解得， 检验：当时， 所以，原分式方程的解为； （2） 则且，， 解得 检验：当时，，， 所以，原分式方程的无解． 【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤，不要忘记检验． 22. 如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接CE． （1）求∠BEC的度数； （2）求证：AE＝BC． 【答案】（1）； （2）证明：∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠B=∠ACB=72°， ∵∠BEC=72°， ∴∠BEC=∠B， ∴BC=EC ∵DE垂直平分AC， ∴CE=AE， ． 【解析】 【分析】（1）首先利用垂直平分线的性质及等腰三角形的性质得出∠ECD=∠A=36°，然后利用三角形外角的性质即可得出答案； （2）通过等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠B的度数，然后通过等角对等边得出BC=EC，根据DE垂直平分AC，得出CE=AE，等量代换即可得证． 【详解】解：（1）∵DE垂直平分AC， ∴CE=AE， ∴∠ECD=∠A=36°， ∴∠BEC=∠A+∠ECD=36°+36°=72°； （2）略 【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质，等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理和三角形外角的性质，掌握这些性质是解题的关键． 23. 某地为某校师生交通方便，在通往该学校原道路的一段全长为360m的旧路上进行整修铺设柏油路面．铺设120m后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用32天完成这一任务． （1）求原计划每天铺设路面的长度； （2）若市政部门原来每天支付工人工资为600元，提高工效后每天支付给工人的工资增长了30%，现市政部门为完成整个工程准备了25000元的流动资金．请问，所准备的流动资金是否够支付工人工资？并说明理由． 【答案】（1）原计划每天铺设管道的长度为 （2） 够； 理由：， （元, ． 现市政部门为完成整个工程所准备的流动资金够支付工人工资． 【解析】 【分析】（1）设原计划每天铺设管道的长度为，则增加后每天的工作效率为，找出等量关系：铺设的时间铺设的时间天，列方程求解即可； （2）分别得到两种不同的工作效率所用的时间，进一步得到各自需要的工资，相加即可求解． 【小问1详解】 解：设原计划每天铺设管道，则后来的工作效率为， 根据题意，得， 解得：， 经检验：是原分式方程的解． 答：原计划每天铺设管道的长度为． 【小问2详解】 解：略． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，此题涉及的公式：工作时间工作量工作效率，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程求解． 24. 规定表示一对数对，给出如下定义：，，与称为数对的一对“对称数对”．例如：数对的一对“对称数对”为与． （1）数对的一对“对称数对”是______； （2）若数对的一个“对称数对”是，则的值是______； （3）若数对一个“对称数对”是，求的值． 【答案】（1）与 （2）1 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义运算，理解和应用新定义是解本题的关键． （1）根据新定义即可得出答案； （2）根据新定义可得，解方程即可得出答案； （3）根据新定义得出方程组，解方程即可得出答案． 【小问1详解】 解：，， 数对的一对“对称数对”是与， 故答案为：与 【小问2详解】 解：数对的一个“对称数对”是， ， ， 故答案为：1； 【小问3详解】 解：数对一个“对称数对”是， 或， 或． 25. 我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转α()得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． （1）【探索一】如图1，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”，探索与的数量关系． 在探索这个问题之前，请先阅读材料： 【材料】如图2在中，若，．求边上的中线的取值范围．是这样思考的：延长至E，使，连结．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．中线的取值范围是　 ． 请仿照上面材料中的方法，猜想图1中与的数量关系，并给予证明． （2）【探索二】如图3，当时，是的“旋补三角形”，，垂足为点E，的反向延长线交于点D，探索是否是的“旋补中线”，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由． 【答案】（1）； ； 证明：如图1，延长至点E使，连接， ∵是的“旋补中线”， ∴是的中线，即， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵是的“旋补中线”， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2） 是的“旋补中线”； 证明：如图，作于H，作交延长线于F， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是的中线， ∴是的“旋补中线”． 【解析】 【分析】（1）材料：三角形三边关系可得，进而可得中线的取值范围； 探索一：延长至点E使，连接，证明，可得，，求出，再证，根据全等三角形的性质可得结论； （2）作于H，作交延长线于F，求出，证明，可得，同理证明，可得，求出，可证，根据全等三角形的性质可得，然后可得是的“旋补中线”． 【小问1详解】 解：材料：由题意得：，，， 由三角形三边关系可得：，即， ∴， 故答案为：； 探索一：略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、同角的余角相等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 26. 【初步感知】 （1）如图 1，已知 为等边三角形，点D 为边 上一动点（点D 不与点B ，点 C 重合）．以 为边向右侧作等边，连接 ．求证：； 【类比探究】 （2）如图 2，若点D 在边 的延长线上，随着动点D 的运动位置不同，猜想并证明： ① 与 的位置关系为： ； ②线段 、 、 之间的数量关系为： ． 【拓展应用】 （3）如图 3，在等边 中，，点P 是边 上一定点且 ，若点D 为射线 上动点，以 为边向右侧作等边 ，连接 、 ．请问： 是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由． 【答案】 （1）证明：∵和是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴ 即 在和中， ， ∴； （2）平行； （3）有最小值，8 【解析】 【分析】（1）由和是等边三角形，推出，，，又因为，则，即，从而利用“”证明； （2）①由（1）得，得出，，，则； ②因为，，所以； （3）在上取一点，使得，连接，可证，，求得，得出是等边三角形，则，即点E在角平分线上运动，在射线上截取，当点E与点C重合时，，进而解答此题． 【详解】（1）略 （2）平行，，理由如下： 由（1）得， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）有最小值，理由如下： 如图，在射线上取一点，使得，连接，    ∵和是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 由三角形内角和为，可知：，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 即点E在的角平分线上运动， 在射线上截取，连接， 在和中， ， ， ∴， 则， 由三角形三边关系可知，， 即当点E与点C重合，时，有最小值， ∵， ∴， ∴最小值为8． 【点睛】本题考查三角形综合，平行线的判定、三角形内角和定理、全等三角形的判定，正确添加辅助线、掌握相关图形的性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $