专题26.9 反比例函数（全章常考点分类专题）（基础练）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题26.9 反比例函数（全章常考点分类专题）（基础练） 【考点目录】 【第一部分】反比例函数定义 【考点1】利用反比例函数定义求解析式； 【考点2】利用反比例函数定义求函数值或自变量； 【第二部分】反比例函数图象 【考点3】判断反比例函数图象位置； 【考点4】综合判断反比例函数、一次函数、二次函数图象； 【考点5】由反比例函数图象位置判断其解析式； 【考点6】由反比例函数图象位置求参数取值范围； 【第三部分】反比例函数的性质 【考点7】利用反比例函数的对称性求值； 【考点8】利用反比例函数增减性求参数； 【考点9】利用反比例函数增减性求比较大小； 【考点10】反比例函数图象与性质综合； 【第四部分】反比例函数k值的几何意义 【考点11】已知k值求三角形面积； 【考点12】已知k值求特殊四边形面积； 【考点13】已知三角形面积求k值； 【考点14】已知特殊四边形面积求k值； 【第五部分】反比例函数与一次函数综合 【考点15】反比例函数与一次函数交点问题； 【考点16】反比例函数与一次函数几何综合； 【第六部分】反比例函数的应用 【考点17】反比例函数实际应用； 【考点18】反比例函数与一次函数综合应用. 【第一部分】反比例函数定义 【考点1】利用反比例函数定义求解析式； 【1-1】（2021九年级·北京·专题练习）已知两个变量与之间的三组对应值如表，则与之间的函数解析式可能是（   ） 2 3 A． B． C． D． 【1-2】（21-22八年级下·江苏扬州·阶段练习）下列关系中，两个量之间为反比例函数关系的是（    ） A．长100m的绳子剪下m后，还剩m B．买单价8元的笔记本本，共用了元 C．家到学校的距离为480m，步行上学的平均速度为vm/min，所用时间为tmin D．矩形的长为a，宽为20，其面积S与a之间的关系 【1-3】 （23-24九年级上·湖南娄底·阶段练习）若是反比例函数，则此函数解析式为 ． 【1-4】 （2022九年级下·全国·专题练习）已知，A(﹣3，n)，C(3n﹣6，2)是反比例函数（x＜0）图象上的两点，则反比例函数的解析式为 ． 【考点2】利用反比例函数定义求函数值或自变量； 【2-1】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，下列各点在双曲线上的是（   ） 【2-2】（2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图像与坐标轴的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【2-3】（2024·陕西咸阳·三模）已知点，都在反比例函数的图象上．若，则的值为 ． 【2-4】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图像经过点和，则的值是 ． 【第二部分】反比例函数图象 【考点3】判断反比例函数图象位置； 【3-1】（2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象位于（   ） A．第二、三象限 B．第一、三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限 【3-2】（21-22九年级上·全国·单元测试）已知反比例函数的图象经过点，则此反比例函数的图象在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．不确定 【3-3】（2024九年级上·上海·专题练习）反比例函数（其中为任意实数）的图象在第 象限． 【3-4】 （22-23九年级下·全国·课后作业）表示关系式①，②，③，④的图象依次是 ， ， ， ． A． B． C． D． 【考点4】综合判断反比例函数和一次函数、二次函数图象； 【4-1】（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【4-2】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）一次函数的图象和反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【4-3】（24-25九年级上·山东济南·期中）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【4-4】（21-22九年级下·山东青岛·单元测试）抛物线与双曲线的交点的横坐标为，则不等式的解集为 ．    【考点5】由反比例函数图象位置判断其解析式； 【5-1】（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）若反比例函数的图象经过点，则它的图象一定还经过点（    ） A． B． C． D． 【5-2】（2023·湖南娄底·模拟预测）如图，下列解析式能表示图中变量之间关系的是（    ）    A． B． C． D． 【5-3】（23-24八年级下·浙江杭州·期末）若两个不同的点和在同一个反比例函数的图象上，则 ． 【5-4】（23-24九年级上·山东济南·阶段练习）已知反比例函数的图象上有，两点，且当时，，则m的取值范围是 【考点6】由反比例函数图象位置求参数取值范围； 【6-1】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的值是（    ） A．2 B． C．2或 D．无法确定 【6-2】（23-24九年级下·湖南永州·阶段练习）若反比例函数（为常数）的图象在第二、四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【6-3】（22-23九年级下·海南·期中）已知反比例函数的图象经过点，则的值是 ． 【6-4】（2024九年级上·北京·专题练习）在反比例函数的图象上有两点，，若而，则k的取值范围是 ． 【第三部分】反比例函数的性质 【考点7】利用反比例函数的对称性求值； 【7-1】（2024·安徽滁州·一模）在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，已知点A的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【7-2】（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图反比例函数与的一个交点为，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【7-3】（2023·广西桂林·二模）如图，双曲线（为常数，）与直线（为常数，）相交于、两点，如果点的坐标是，那么点的坐标为 ． 【7-4】（2022·四川攀枝花·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图像交于、B两点，当时，x的取值范围是（    ）    A．或 B．或 C．或 D．或 【考点8】利用反比例函数增减性求参数； 【8-1】（2024九年级下·全国·专题练习）已知反比例函数，当时，，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【8-2】（2024·湖南长沙·模拟预测），为反比例函数的图像上两点，当时，有，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【8-3】（2023八年级下·浙江·专题练习）已知函数，，当时，函数的最大值为，函数的最小值为，则的值为 ． 【8-4】（22-23八年级下·重庆·期末）已知关于x的方程有实数根，反比例函数的图象在每一象限内y随x增大而减小，则k的取值范围是 ． 【考点9】利用反比例函数增减性求比较大小； 【9-1】（24-25九年级上·全国·期末）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，点、是反比例函数的图象上的两个点，若，则、的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 【9-2】（24-25九年级上·山东济南·期中）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【9-3】（2024·山西·模拟预测）已知反比例函数的图象经过两点，当时，则k的值可能为（   ） A． B． C．0 D．6 【9-4】（23-24九年级下·四川遂宁·阶段练习）已知反比例函数的图像上有三个点．若，则的大小关系为 ．（用“”连接） 【考点10】反比例函数图象与性质综合； 【10-1】（24-25九年级上·山东泰安·期中）如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，与双曲线交于点C，连接，过点C作轴，垂足为点M，且．则下列结论正确的个数是（   ） ①；②当时，随x的增大而减小，随x的增大而增大；③方程只有一个解为；④当，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【10-2】（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）小明在学习了一次函数、二次函数和反比例函数后，对从解析式的角度研究函数有了新的体会．现有函数（其中为常数，且），经小明研究得出了下面几个关于函数图象特征的结论，其中错误的是（    ） A．经过原点 B．不经过第二、四象限 C．关于直线对称 D．与直线有三个交点 【10-3】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知反比例函数． （1）下列结论正确的是 ； A．图象位于第二、四象限 B．图象与坐标轴有公共点 C．图象所在的每一个象限内，随的增大而减小 D．图象关于轴对称 （2）该反比例函数的图象一定经过的点是 ； A．    B．    C．    D． （3）已知点，在该反比例函数图象上，则 ．（填“>”“<”或“=”） 【10-4】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知反比例函数． (1)下列结论正确的是（    ） A．图象位于第二、四象限 B．图象与坐标轴有公共点 C．图象所在的每一个象限内，随的增大而减小 D．图象关于轴对称 (2)该反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A．    B．    C．    D． (3)已知点，在该反比例函数图象上，则______．（填“>”“<”或“=”） 【第四部分】反比例函数k值的几何意义 【点11】已知k值求三角形面积； 【11-1】（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，直线与轴平行且与反比例函数与的图象分别交于点和点，点是轴上一个动点，则的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 【11-2】（23-24八年级下·江苏南京·期末）如图，和均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线上，与相交于点P，则图中的面积为（    ） A． B．6 C． D．5 【11-3】（24-25九年级上·湖南邵阳·阶段练习）如图，反比例函数的图象上有两点、，则的面积为 ． 【11-4】（2024·四川成都·二模）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴于点B，点P是y轴上任意一点，连接，则的面积为 ． 【考点12】已知k值求特殊四边形面积； 【12-1】（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图，已知两个反比例函数和在第一象限内的图象，设点在上，轴于点，交于点轴于点，交于点，则四边形的面积为（   ） A． B． C．1 D．3 【12-2】（2024·河北邯郸·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点分别在反比例函数、的图象上，那么矩形的面积可用表示为（   ）    A． B． C． D． 【12-3】（2024·广东清远·二模）如图为反比例函数的图像，点为反比例函数图像上一点，点坐标为，以为边作菱形，使得点在轴上，则的面积是 ． 【12-4】（23-24九年级下·北京·开学考试）如图，过点分别作轴于点C，轴于点D，、分别交反比例函数的图象于点A、B，则四边形的面积为 ．    【考点13】已知三角形面积求k值； 【13-1】（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，点是轴上一点，连接，若的面积是，则的值（    ） A． B． C． D． 【13-2】（23-24九年级上·四川雅安·期末）如图，轴，垂足为D，分别交双曲线于点A，B，若的面积为6，则k的值为（　     　）                                       A．4 B．6 C．8 D．10 【13-3】（24-25九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，点、在反比例函数的图象上，点的横坐标为2，经过点的直线与轴交于点，，过点作轴，垂足为，连接，，与的面积之比为，则的值为 ． 【13-4】（2024·山西朔州·模拟预测）如图，的顶点A、B在反比例函数的图象上，若．则的面积为 ． 【考点14】已知特殊四边形面积求k值； 【14-1】（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）已知反比例函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B．随x的增大而减小 C．若矩形的面积为2，则 D．若图象上两个点的坐标分别是，，则 【14-2】（23-24八年级下·四川资阳·期末）如图，反比例函数的图象经过平行四边形对角线的交点P，已知点A、C、D在坐标轴上，，平行四边形的面积为6，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【14-3】（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）如图，反比例函数图象上有点A，轴交y轴于点B，点D，C在x轴上，平行四边形的面积为4，则反比例函数的表达式为 ． 【14-4】（23-24八年级下·江苏常州·期末）如图，A、C是反比例函数图像上的两点，分别过点A、C向坐标轴作垂线，得到矩形，点D恰好在反比例函数的图像上．将矩形被坐标轴分割成4个小矩形的面积分别记作、、、，若，则 ． 【第五部分】反比例函数与一次函数综合 【考点15】反比例函数与一次函数交点问题； 【15-1】（24-25九年级上·河北张家口·开学考试）已知，如图一次函数与反比例函数的图像如图示，当时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【15-2】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，，则反比例函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【15-3】（23-24九年级上·广东湛江·期末）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，过点作轴于点，点是一次函数的图象与轴的交点，则的面积是 ． 【考点16】反比例函数与一次函数几何综合； 【16-1】（2024九年级下·河南周口·专题练习）如图，的对角线交于点P，轴，点C的坐标为，的图象经过A，P两点，则k的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【16-2】（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点分别在x轴、y轴的正半轴上，，轴，点A在函数的图象上．若，则k的值为（   ）    A． B．1 C．2 D．4 【16-3】（2023九年级·广西柳州·专题练习）已知平面直角坐标系中，点列，，，，在轴正半轴上，点列，，，，在函数的图象上，以点为直角顶点作等腰直角，依次类推，分别作等腰直角，，，，则的坐标为 ． 【第六部分】反比例函数的应用 【考点17】反比例函数实际应用； 【17-1】（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（   ）度． A．150 B．200 C．250 D．300 【17-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）小宇每天骑自行车上学，从家到学校所需时间t（单位：min）与骑车速度v（单位：）之间的函数关系如图所示，一天早上，由于起床晚了，为了不迟到，需要在15分钟内赶到学校，那么他骑行的速度至少是（    ） A．0.2 B．0.25 C．0.3 D．0.4 【17-3】（2024七年级上·全国·专题练习）建设中的马头南至冀豫界段是我省“十四五”建设项目，其某段施工需运送土石方，则土石方日运送量与完成运送任务所需时间（天）满足 关系． 【17-4】（2024·山西·模拟预测）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了 ． 【考点18】反比例函数与一次函数综合应用. 【18-1】（2023·河北保定·一模）某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于．玻璃温度与时间的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，以下判断正确的是（    ） A．玻璃加热速度为 B．玻璃温度下降时，y与x的函数关系式为 C．能够对玻璃进行加工时长为 D．玻璃从降至室温需要的时间为 【18-2】（21-22九年级上·山西·期中）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药时间小时之间函数关系如图所示（当时，与成反比例）．血液中药物浓度不低于微克毫升的持续时间为（    ） A． B． C． D． 【18-3】（2024·山西阳泉·二模）饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为 ．    【18-4】（2023·山东青岛·二模）为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图）．现测得药物燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于才有效，那么此次消毒的有效时间是 分钟．    1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题26.9 反比例函数（全章常考点分类专题）（基础练） 【考点目录】 【第一部分】反比例函数定义 【考点1】利用反比例函数定义求解析式； 【考点2】利用反比例函数定义求函数值或自变量； 【第二部分】反比例函数图象 【考点3】判断反比例函数图象位置； 【考点4】综合判断反比例函数、一次函数、二次函数图象； 【考点5】由反比例函数图象位置判断其解析式； 【考点6】由反比例函数图象位置求参数取值范围； 【第三部分】反比例函数的性质 【考点7】利用反比例函数的对称性求值； 【考点8】利用反比例函数增减性求参数； 【考点9】利用反比例函数增减性求比较大小； 【考点10】反比例函数图象与性质综合； 【第四部分】反比例函数k值的几何意义 【考点11】已知k值求三角形面积； 【考点12】已知k值求特殊四边形面积； 【考点13】已知三角形面积求k值； 【考点14】已知特殊四边形面积求k值； 【第五部分】反比例函数与一次函数综合 【考点15】反比例函数与一次函数交点问题； 【考点16】反比例函数与一次函数几何综合； 【第六部分】反比例函数的应用 【考点17】反比例函数实际应用； 【考点18】反比例函数与一次函数综合应用. 【第一部分】反比例函数定义 【考点1】利用反比例函数定义求解析式； 【1-1】（2021九年级·北京·专题练习）已知两个变量与之间的三组对应值如表，则与之间的函数解析式可能是（   ） 2 3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把表格中的数据代入判断即可． 解：．将表格对应数据代入，不全符合方程，故不符合题意； ．将表格对应数据代入，不全符合方程，故不符合题意； ．将表格对应数据代入，不符合方程，故不符合题意； ．将表格对应数据代入，符合方程，故符合题意． 故选：． 【点拨】此题主要考查了求函数关系式，本题是开放性题目，需要找出题目中的两未知数的对应变化规律是解题关键．． 【1-2】（21-22八年级下·江苏扬州·阶段练习）下列关系中，两个量之间为反比例函数关系的是（    ） A．长100m的绳子剪下m后，还剩m B．买单价8元的笔记本本，共用了元 C．家到学校的距离为480m，步行上学的平均速度为vm/min，所用时间为tmin D．矩形的长为a，宽为20，其面积S与a之间的关系 【答案】C 【分析】根据题意写出变量之间的关系式，根据反比例函数的定义判断即可． 解：A、长100m的绳子剪下m后，还剩m，则y=100-x，不满足反比例函数关系； B、买单价8元的笔记本本，共用了元，则y=8x，不满足反比例函数关系； C、家到学校的距离为480m，步行上学的平均速度为vm/min，所用时间为tmin，则vt=800即，满足反比例函数关系； C、矩形的长为a，宽为20，则，不满足反比例函数关系． 故选：C 【点拨】本题考查的是反比例函数的概念，形如y=（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数． 【1-3】 （23-24九年级上·湖南娄底·阶段练习）若是反比例函数，则此函数解析式为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义先求出的值，再求出函数解析式． 解：∵是反比例函数， ∴， 解得：， ∴此函数解析式为， 故答案为：． 【点拨】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式转化为的形式． 【1-4】 （2022九年级下·全国·专题练习）已知，A(﹣3，n)，C(3n﹣6，2)是反比例函数（x＜0）图象上的两点，则反比例函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】因为点A和点C都是反比例函数（x＜0）图象上的点，所以可将两点坐标直接代入函数解析式得出两个关于和的两个等式，再进一步通过等量代换得出，并解出的值，把的值代入或者可求出的值，就可以求得函数解析式． 解：将A (﹣3，n)，C(3n﹣6，2)代入， 可得，， 变形可得，， 消去m得：， 解得：， 把代入得：m＝﹣4， 则反比例函数解析式为． 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了反比例函数的知识，知道将函数图像上的点的坐标代入函数解析式，并正确求出函数解析式中参数是做出本题的关键． 【考点2】利用反比例函数定义求函数值或自变量； 【2-1】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，下列各点在双曲线上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了反比例函数表达式和图象上点的坐标的关系，解题的关键是熟练掌握反比例函数表达式和图象上点的坐标的关系．根据反比例函数表达式和图象上点的坐标的关系求解即可． 解：A、将代入得：，∴在双曲线上，符合题意； B、将代入得：，∴不在双曲线上，不符合题意； C、将代入得：，∴不在双曲线上，不符合题意； D、将代入得：，∴不在双曲线上，不符合题意； 故选：A． 【2-2】（2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图像与坐标轴的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据函数表达式计算当时y的值，可得图像与y轴的交点坐标；由于的值不可能为0，即，因此图像与x轴没有交点，由此即可得解． 本题主要考查了函数图像与坐标轴交点个数，掌握求函数图像与坐标轴交点的计算方法是解题的关键． 解：当时，， ∴与y轴的交点为； 由于是分式，且当时，，即， ∴与x轴没有交点． ∴函数的图像与坐标轴的交点个数是1个， 故选：B． 【2-3】（2024·陕西咸阳·三模）已知点，都在反比例函数的图象上．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象上点的特征，掌握反比例函数图象上点的坐标之积等于是解题的关键．因为、都在反比例函数的图象上，可知，，把已知代入可求得的值． 解：点，都在反比例函数的图象上， ，， ， 且， ． 故答案为：． 【2-4】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图像经过点和，则的值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．将点和代入函数，求得，，再相加即可． 解：∵函数的图像经过点和， ∴可有，， ∴． 故答案为：0． 【第二部分】反比例函数图象 【考点3】判断反比例函数图象位置； 【3-1】（2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象位于（   ） A．第二、三象限 B．第一、三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据反比例函数的图象经过点求出的值，再根据反比例函数的性质进行解答． 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴此函数的图象位于一、三象限， 故选：B． 【3-2】（21-22九年级上·全国·单元测试）已知反比例函数的图象经过点，则此反比例函数的图象在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，只需把所给点的横纵坐标相乘，判断出k的取值范围，再判断出函数所在的象限． 解：把代入， 则， ∴此反比例函数的图象在一，三象限， 故选：B． 【3-3】（2024九年级上·上海·专题练习）反比例函数（其中为任意实数）的图象在第 象限． 【答案】一、三 【分析】本题考查了反比例函数的性质，然后根据非负数的性质确定，再根据反比例函数的性质解答，确定出的正、负情况是解题的关键． 解：反比例函数， ， 此反比例函数的图象在第一、三象限， 故答案为：一、三． 【3-4】 （22-23九年级下·全国·课后作业）表示关系式①，②，③，④的图象依次是 ， ， ， ． A． B． C． D． 【答案】 C B D A 【分析】注意对比函数的图象和解析式，利用函数的性质解答． 解：①∵， ∴，即， ∴，故的图象为C； ②∵，即， ∴， ∴的图象为B； ③∵，即， ∴，即， ∴的图象为D； ④的图象为A； 故答案为：C；B；D；A． 【点拨】本题考查了反比例函数的图象与反比例函数的性质，明确函数的性质是解题的关键 【考点4】综合判断反比例函数和一次函数、二次函数图象； 【4-1】（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数图象的特点，熟知一次函数与反比例函数的性质是解答此题的关键．分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对各选项进行逐一分析即可． 解：∵一次函数中，， ∴直线与y轴的交点在正半轴，故A、B不合题意， C、由一次函数的图象过一、二、四象限可知，由反比例函数的图象在二、四象限可知，故选项C符合题意； D、由一次函数的图象过一、二、三象限可知，由反比例函数的图象在二、四象限可知，故选项D不符合题意； 故选：C． 【4-2】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）一次函数的图象和反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据一次函数与反比例函数的图象找出a、b、c的正负．根据一次函数与反比例函数图象找出a、b、c的正负，再根据抛物线的对称轴为直线，得出二次函数对称轴在y轴右侧，由得二次函数图象与y轴交点位于y轴正半轴，对比四个选项的函数图象即可得出结论． 解：由一次函数的图象和反比例函数的图象得：， ∴二次函数开口向上，故排出A、C选项 ∴， ∴对称轴在y轴右侧， ∵， ∴二次函数图象与y轴交点位于y轴正半轴， 综上可得B选项符合题意， 故选：B． 【4-3】（24-25九年级上·山东济南·期中）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，首先根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案． 解：根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故， 则反比例函数的图象在第二、四象限， 一次函数经过第一、二、四象限， 故选：A． 【4-4】（21-22九年级下·山东青岛·单元测试）抛物线与双曲线的交点的横坐标为，则不等式的解集为 ．    【答案】 【分析】根据函数图象直接可得结论． 解：∵抛物线与双曲线的交点的横坐标为， ∴的解集为， 即不等式的解集为， 故答案为：． 【点拨】本题考查了根据函数图象交点求不等式的解集，数形结合是解题的关键． 【考点5】由反比例函数图象位置判断其解析式； 【5-1】（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）若反比例函数的图象经过点，则它的图象一定还经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把代入求出即可求解． 解：由题意得：， ∵， ∴反比例函数一定还经过点， 故选：D． 【点拨】本题考查反比例函数的图象和性质，熟记知识点是关键． 【5-2】（2023·湖南娄底·模拟预测）如图，下列解析式能表示图中变量之间关系的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的图象及绝对值的定义即可判断． 解：根据反比例函数的图象可得： 第一象限所对应的关系式为：，第四象限所对应的关系式为：， 与的关系式为：． 【点拨】本题主要考查反比例函数的图象及绝对值的定义，解题关键是熟悉反比例函数的图象． 【5-3】（23-24八年级下·浙江杭州·期末）若两个不同的点和在同一个反比例函数的图象上，则 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即解答即可． 解：设反比例函数的表达式为， ∵不同的点和在同一个反比例函数的图象上， ∴， 解得（正值舍去）， ∴． 故答案为：． 【5-4】（23-24九年级上·山东济南·阶段练习）已知反比例函数的图象上有，两点，且当时，，则m的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式． 根据经反比例函数图象上点的坐标特征得，，而时，，则，然后解不等式即可． 解：∵反比例函数的图象上有，两点， ∴，， ∵时，， ∴， ∴． 故答案为：． 【考点6】由反比例函数图象位置求参数取值范围； 【6-1】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的值是（    ） A．2 B． C．2或 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的定义和性质，熟知反比例函数的相关知识是解题的关键．根据反比例函数的定义可得，根据反比例函数的性质可知，由此即可得到答案． 解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴且， 解得． 故选A． 【6-2】（23-24九年级下·湖南永州·阶段练习）若反比例函数（为常数）的图象在第二、四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查反比例函数的图像与性质；先根据反比例函数的性质得出，再解不等式即可得出结果． 【详解】∵反比例函数 (为常数)的图象在第二、四象限， ∴， 解得． 故选：D． 【6-3】（22-23九年级下·海南·期中）已知反比例函数的图象经过点，则的值是 ． 【答案】12 【分析】把代入解析式，就可以得到k的值． 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得，， 故答案为：12． 【点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标适合解析式． 【6-4】（2024九年级上·北京·专题练习）在反比例函数的图象上有两点，，若而，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象的单调性判定该函数所经过的象限，然后推知的符号，从而求得的取值范围． 解：反比例函数的图象上有两点，，若而， ， 该反比例函数经过第二、四象限， ，即． 故答案为：． 【第三部分】反比例函数的性质 【考点7】利用反比例函数的对称性求值； 【7-1】（2024·安徽滁州·一模）在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，已知点A的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性．反比例函数的图象是中心对称图形，则它与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 解：由题意可知点与关于原点对称，点A的坐标为， 点的坐标为． 故选：． 【7-2】（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图反比例函数与的一个交点为，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数图象的性质和勾股定理，扇形面积；根据反比例函数的图象的性质可得：图中两个阴影面积的和是圆的面积，再根据点，即可求出圆的半径． 解：∵圆和反比例函数一个交点， ∴可知圆的半径， ∵反比例函数的图象关于坐标原点对称，是中心对称图形， ∴图中两个阴影面积的和是圆的面积， ∴． 故选：C． 【7-3】（2023·广西桂林·二模）如图，双曲线（为常数，）与直线（为常数，）相交于、两点，如果点的坐标是，那么点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的对称性，即可求解， 本题考查了反比例函数的对称性，解题的关键是：熟练掌握反比例函数的对称性． 解：点、关于原点对称， 点的坐标为， 故答案为：． 【7-4】（2022·四川攀枝花·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图像交于、B两点，当时，x的取值范围是（    ）    A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】先根据反比例函数图像的对称点求出点的坐标，然后根据的解集即为反比例函数在一次函数上方的部分可得答案． 解析：正比例函数与反比例函数的图像交于、B两点， ， 由图像可知，当时，x的取值范围是或， 故选：A． 【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据反比例函数的对称性得出点的坐标的坐标是解本题的关键． 【考点8】利用反比例函数增减性求参数； 【8-1】（2024九年级下·全国·专题练习）已知反比例函数，当时，，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据题意，得到反比例函数图象过二，四象限，得到，求解即可． 解：∵反比例函数，当时，， ，解得． 故选D． 【8-2】（2024·湖南长沙·模拟预测），为反比例函数的图像上两点，当时，有，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，由已知条件可得出反比例函数的图象位于一、三象限，进而可得出，解不等式即可求出． 解：∵当时，有， ∴反比例函数的图象位于一、三象限， ∴， 解得：， 故选：C． 【8-3】（2023八年级下·浙江·专题练习）已知函数，，当时，函数的最大值为，函数的最小值为，则的值为 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，正确得出与的关系是解题关键．直接利用反比例函数的性质分别得出与的关系，进而得出答案． 解：函数，当时，函数的最大值为， 时，， ，当时，函数的最小值为， 当时，， ， 故， 解得：． 故答案为：2． 【8-4】（22-23八年级下·重庆·期末）已知关于x的方程有实数根，反比例函数的图象在每一象限内y随x增大而减小，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，以及反比例函数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 根据题意得到判别式，，进而求解即可． 解：∵方程有实数根， ∴ ∴， ∵反比例函数的图像在各自象限内随增大而减小， ∴， ∴， ∴k的取值范围是． 故答案为：． 【考点9】利用反比例函数增减性求比较大小； 【9-1】（24-25九年级上·全国·期末）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，点、是反比例函数的图象上的两个点，若，则、的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 由一元二次方程根的情况，求得m的值，确定反比例函数y＝图象经过的象限，然后根据反比例函数的性质即可求得结论． 解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， ∵， ∴反比例函数y＝的图象在一三象限，在每个象限y随x的增大而减少， ∵， ∴， 故选：A． 【9-2】（24-25九年级上·山东济南·期中）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，正确判断出反比例函数经过的象限和在每个象限内的增减性是解题的关键．先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据反比例函数的性质即可得出结论． 【详解】，， 反比例函数中，， 反比例函数图象位于二、四象限，且每个象限内随的增大而增大， 点， 点在第四象限，点在第二象限， ， ，且， ， 故选：B． 【9-3】（2024·山西·模拟预测）已知反比例函数的图象经过两点，当时，则k的值可能为（   ） A． B． C．0 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质．根据，且，判定函数图象在这个象限内，y随x的增大而减小，继而得到，解答即可． 解：根据，且， ∴函数图象在这个象限内，y随x的增大而减小， ∴， 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D． 【9-4】（23-24九年级下·四川遂宁·阶段练习）已知反比例函数的图像上有三个点．若，则的大小关系为 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了由反比例函数的图像和性质比较大小，先根据反比例函数 的系数判断出函数图像在一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小 ，再根据，判断出的大小． 解：∵反比例函数中，， ∴此函数的图像在一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 【考点10】反比例函数图象与性质综合； 【10-1】（24-25九年级上·山东泰安·期中）如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，与双曲线交于点C，连接，过点C作轴，垂足为点M，且．则下列结论正确的个数是（   ） ①；②当时，随x的增大而减小，随x的增大而增大；③方程只有一个解为；④当，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合问题．根据题意当可求出的值，即可得出点的坐标，即可得出的长度，根据题意可知的长度，即可得出点的坐标，由一次函数解析式即可算出点的坐标，即可得出的长度，即可计算出的面积，即可判定①的结论是否正确；根据图象的增减性即可得出②的结论是否正确；由一次函数与反比例函数的交点坐标即可得出③结论是否正确；由图象可知比较函数的大小即可得出④结论是否正确． 解：当时，， ∴点， ∴， ∵， ∴， ∴点， 把点代入中， 得， ∴点，， ∴， ∴①结论正确； 由图象可知，当时，随的增大而减小，随的增大而增大， ∴②结论正确； 由图象可知，一次函数与反比例函数交点在第二、四象限各有一个交点， ∴方程有两个解， ∴③结论错误； 由图象可知，当，， ∴④结论错误. 故正确的结论有①②，共计2个. 故选：B. 【10-2】（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）小明在学习了一次函数、二次函数和反比例函数后，对从解析式的角度研究函数有了新的体会．现有函数（其中为常数，且），经小明研究得出了下面几个关于函数图象特征的结论，其中错误的是（    ） A．经过原点 B．不经过第二、四象限 C．关于直线对称 D．与直线有三个交点 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数，反比例函数等性质，根据二次函数和反比例函数知识逐一判断即可得出答案． 解：A.当时，，说法正确，故选项不符合题意； B.当时，，当且时，，说法正确，故选项不符合题意； C.当时，无意义，说法正确，故选项不符合题意； D.由得，可以求得，只有两个交点，选项错误，故选项符合题意； 故选：D． 【10-3】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知反比例函数． （1）下列结论正确的是 ； A．图象位于第二、四象限 B．图象与坐标轴有公共点 C．图象所在的每一个象限内，随的增大而减小 D．图象关于轴对称 （2）该反比例函数的图象一定经过的点是 ； A．    B．    C．    D． （3）已知点，在该反比例函数图象上，则 ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 C D 【分析】本题主要考查反比例函数的性质．根据反比例函数的性质逐项排查即可解答． 解：（1）∵反比例函数，， ∴图象位于第一、三象限，图象与坐标轴没有公共点，图象所在的每一个象限内，随的增大而减小，图象关于原点对称， 观察四个选项，选项C符合题意， 故选：C； （2）∵反比例函数， ∴， ，，，， 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D； （3）由题意得，， ∴， 故答案为：． 【10-4】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知反比例函数． (1)下列结论正确的是（    ） A．图象位于第二、四象限 B．图象与坐标轴有公共点 C．图象所在的每一个象限内，随的增大而减小 D．图象关于轴对称 (2)该反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A．    B．    C．    D． (3)已知点，在该反比例函数图象上，则______．（填“>”“<”或“=”） 【答案】(1)C (2)D (3)< 【解析】略 【第四部分】反比例函数k值的几何意义 【点11】已知k值求三角形面积； 【11-1】（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，直线与轴平行且与反比例函数与的图象分别交于点和点，点是轴上一个动点，则的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，连接，得出，进而根据反比例函数的几何意义，即可求解． 解：如图所示，连接， ∵轴， ∴， 故选：C． 【11-2】（23-24八年级下·江苏南京·期末）如图，和均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线上，与相交于点P，则图中的面积为（    ） A． B．6 C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质及反比例函数系数k的几何意义等知识，难度适中．通过平行线的性质利用面积法找出面积相等的三角形是关键．根据等边三角形的性质可得，从而得到，进而得到，过点B作于点E，则，由反比例函数系数k的几何意义，可得，即可求解． 解：∵和均为正三角形， ∴， ∴， ∴， 过点B作于点E，则， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 故选B． 【11-3】（24-25九年级上·湖南邵阳·阶段练习）如图，反比例函数的图象上有两点、，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例系数的几何意义，得出是解题的关键． 根据反比例系数的几何意义，得出，然后根据求解即可． 解：反比例函数的图象上有两点、， ， ， 分别过点A、B作轴于点D，作轴于点E， ， ， 故答案为：． 【11-4】（2024·四川成都·二模）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴于点B，点P是y轴上任意一点，连接，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查反比例函数中k的几何意义． 连接，由于同底等高的两个三角形面积相等，则，然后根据反比例函数中k的几何意义有|，进而即可求解． 解：连接， ∵轴 ∴ 故答案为：3 【考点12】已知k值求特殊四边形面积； 【12-1】（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图，已知两个反比例函数和在第一象限内的图象，设点在上，轴于点，交于点轴于点，交于点，则四边形的面积为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了反比函数比例系数的几何意义，根据反比函数比例系数的几何意义得到，，然后利用矩形面积分别减去两个三角形的面积即可得到四边形的面积． 解：∵设点在上，轴于点，交于点轴于点，交于点， ，， 四边形的面积， 故选：B． 【12-2】（2024·河北邯郸·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点分别在反比例函数、的图象上，那么矩形的面积可用表示为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，根据反比例函数确定出，，利用反比例函数比例系数的几何意义即可求解，熟知在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值是解题的关键． 解：如图：    ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形，是矩形， 在反比例函数中， ∵，， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴， 在反比例函数中， ∵，， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴， 故选：C． 【12-3】（2024·广东清远·二模）如图为反比例函数的图像，点为反比例函数图像上一点，点坐标为，以为边作菱形，使得点在轴上，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，菱形的性质，连接交轴于点，根据题意得出，，进而根据菱形的性质，即可求解． 解：如图所示，连接交轴于点， ∵反比例函数，点坐标为 ∴ ∵四边形是菱形， ∴ 故答案为：． 【12-4】（23-24九年级下·北京·开学考试）如图，过点分别作轴于点C，轴于点D，、分别交反比例函数的图象于点A、B，则四边形的面积为 ．    【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数系数的几何意义； 由点P坐标可得四边形的面积，根据反比例函数系数的几何意义可得 ，再利用矩形的面积减去和的面积即可. 解： 解：∵， ∴四边形的面积为， ∵两点在反比例函数的图象上， ， ∴四边形的面积为：， 故答案为: . 【考点13】已知三角形面积求k值； 【13-1】（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，点是轴上一点，连接，若的面积是，则的值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数的图象，连接，设与轴交点为，得到，再利用反比例函数系数的几何意义，得到，，然后根据列方程求出的值，再结合函数图象即可得到答案，正确作出辅助线是解题的关键． 解：如图，连接，设与轴交点为， ∵轴， ∴轴，， ∵点在双曲线上，点在双曲线上， ∴，， ∴， 解得， ∵双曲线分布在二、四象限， ∴， ∴，故选：． 【13-2】（23-24九年级上·四川雅安·期末）如图，轴，垂足为D，分别交双曲线于点A，B，若的面积为6，则k的值为（　     　）                                       A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了反比例系数k的几何意义，设，则，根据k的几何意义，得到，，进而得到，根据的面积为6，列出方程求解即可． 解：设， ∵轴，垂足为D，分别交双曲线于点A，B，， ∴，， ∴， ∵的面积为6， ∴， 解得：， 故选：A． 【13-3】（24-25九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，点、在反比例函数的图象上，点的横坐标为2，经过点的直线与轴交于点，，过点作轴，垂足为，连接，，与的面积之比为，则的值为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，先求出，根据与的面积之比为，求出，即可得出答案． 解：∵点的横坐标为2，经过点的直线与轴交于点，， ∴， ∵与的面积之比为， ∴， ∵轴， ∴． 故答案为：12． 【13-4】（2024·山西朔州·模拟预测）如图，的顶点A、B在反比例函数的图象上，若．则的面积为 ． 【答案】4 【分析】作轴，轴，轴，，作，利用反比例函数的性质以及勾股定理可得，，再利用勾股定理可得长，根据三角形面积公式计算即可．本题考查了反比例函数值几何意义，勾股定理，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键． 解：如图，作轴，轴，轴，，作， ∵顶点A、B在反比例函数 ∴ ∵，， ∴ 把代入，得： 解得（负值舍去） ∴， ，， ， ，，， 在中，由勾股定理得：， ∵， ， ， ． 故答案为：4． 【考点14】已知特殊四边形面积求k值； 【14-1】（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）已知反比例函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B．随x的增大而减小 C．若矩形的面积为2，则 D．若图象上两个点的坐标分别是，，则 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．也考查了反比例函数的性质． 根据反比例函数的性质对A、B、D进行判断；根据反比例函数系数k的几何意义对C进行判断． 解：A、反比例函数图象分布在第二、四象限，则，所以A选项错误； B、在每一象限，y随x的增大而增大，所以B选项错误； C、矩形面积为2，则，而，所以，所以C选项正确； D、图象上两个点的坐标分别是，，则，所以D选项错误． 故选：C． 【14-2】（23-24八年级下·四川资阳·期末）如图，反比例函数的图象经过平行四边形对角线的交点P，已知点A、C、D在坐标轴上，，平行四边形的面积为6，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用的几何意义和平行四边形的面积为6，建立关于的方程，再利用图象所在的象限，即可求出． 本题考查了平行四边形的性质、反比例函数图象中k的几何意义等内容， 解题关键是理解题意，能利用面积关系得到关于k的方程． 解：平行四边形的面积为， ∵平行四边形对角线的交点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵图象位于第二象限， ∴， ∴， 故选：A． 【14-3】（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）如图，反比例函数图象上有点A，轴交y轴于点B，点D，C在x轴上，平行四边形的面积为4，则反比例函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】此题考查了反比例函数的几何意义，设反比例函数表达式为，设，根据题意得到，进而求解即可． 解：设反比例函数表达式为，设 ∵反比例函数图象上有点A， ∴ ∵轴，平行四边形的面积为4， ∴ ∴ ∴ ∵反比例函数图象在第二，四象限 ∴ ∴反比例函数表达式． 故答案为：． 【14-4】（23-24八年级下·江苏常州·期末）如图，A、C是反比例函数图像上的两点，分别过点A、C向坐标轴作垂线，得到矩形，点D恰好在反比例函数的图像上．将矩形被坐标轴分割成4个小矩形的面积分别记作、、、，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据图形面积求比例系数，设点，则由题意得：点，分别表示出、、即可求解． 解：设点， 则由题意得：点 ∴、、、 ∵， ∴， 即： ∵点D恰好在反比例函数的图像上． ∴， 故答案为： 【第五部分】反比例函数与一次函数综合 【考点15】反比例函数与一次函数交点问题； 【15-1】（24-25九年级上·河北张家口·开学考试）已知，如图一次函数与反比例函数的图像如图示，当时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，灵活运用数形结合思想是解答本题的关键．根据图象得出两交点的横坐标，找出一次函数图象在反比例图象下方时x的范围即可． 解：∶根据题意得： 当时， x的取值范围是或． 故选 ∶D． 【15-2】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，，则反比例函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题．先求出点的坐标，然后表示出、的长度，根据，求出点的横坐标，代入直线解析式求出纵坐标，用待定系数法求出即可． 解：∵直线与轴交于点， 当时， ∴，即， ∵， ∴， ∴点的横坐标为， ∵点在直线上， ∴点， 将代入， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式． 故选：B． 【15-3】（23-24九年级上·广东湛江·期末）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，过点作轴于点，点是一次函数的图象与轴的交点，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的综合，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据题意，设，根据即可求解． 解：∵反比例函数与一次函数交于点， ∴设， 如图所示，过点作轴，且轴，则， ∴， 故答案为： ． 【考点16】反比例函数与一次函数几何综合； 【16-1】（2024九年级下·河南周口·专题练习）如图，的对角线交于点P，轴，点C的坐标为，的图象经过A，P两点，则k的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，涉及了平行四边形的性质，设，则，根据P是的中点即可求解． 解：设 ∵的图象经过A，P两点， ∴ ∵P是的中点， ∴ 解得： ∴ 故选：A 【16-2】（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点分别在x轴、y轴的正半轴上，，轴，点A在函数的图象上．若，则k的值为（   ）    A． B．1 C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，根据等腰直角三角形的性质可证，可得，四边形是矩形，，设，根据可求出点的坐标，由此即可求解，掌握反比例函数解析式，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质是解题的关键． 解：如图所示，过点作轴于点，    ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵轴，轴，， ∴四边形是矩形， ∴，， 根据题意，设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴，   故选：4 ． 【16-3】（2023九年级·广西柳州·专题练习）已知平面直角坐标系中，点列，，，，在轴正半轴上，点列，，，，在函数的图象上，以点为直角顶点作等腰直角，依次类推，分别作等腰直角，，，，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查了反比例函数的性质，等腰直角三角形的性质，作于点C，作于点D，作于点E，先求出 ，设，则，代入表达式求出，同理得出并找出规律即可． 解：作于点C，作于点D，作于点E， ，，，分别是等腰直角三角形， ， 点，，，，在函数的图象上， ，即， 设，则， 把代入，则， 解得：（不合题意舍去）， ，即， 同理，，即， ，即， ， 则的坐标为． 【第六部分】反比例函数的应用 【考点17】反比例函数实际应用； 【17-1】（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（   ）度． A．150 B．200 C．250 D．300 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，读懂题意，掌握课本知识是解决问题的关键．由已知设，则由图象知点满足解析式，代入求，则解析式为：，令，时，分别求的值后作差即可． 解：设， 在图象上， ， 函数解析式为：， 当时，， 当时，， 度数减少了（度）， 故选：B 【17-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）小宇每天骑自行车上学，从家到学校所需时间t（单位：min）与骑车速度v（单位：）之间的函数关系如图所示，一天早上，由于起床晚了，为了不迟到，需要在15分钟内赶到学校，那么他骑行的速度至少是（    ） A．0.2 B．0.25 C．0.3 D．0.4 【答案】A 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而代入数据得出答案． 解：设，当时，， 解得：， 故与的函数表达式为：， 为了不迟到，需不超过15分钟赶到学校， ， 解得：， 他骑车的速度至少是0.2． 故选：A． 【17-3】（2024七年级上·全国·专题练习）建设中的马头南至冀豫界段是我省“十四五”建设项目，其某段施工需运送土石方，则土石方日运送量与完成运送任务所需时间（天）满足 关系． 【答案】反比例 【分析】本题考查反比例的实际应用．根据运送土石方总量与土石方日运送量和完成运送任务所需时间的关系，列出关系式，是解题的关键． 根据送土石方总量与土石方日运送量和完成运送任务所需时间的关系，列出关系式，进行作答即可． 解：由题意，得：． ∴V与t满足反比例关系． 故答案为：反比例． 【17-4】（2024·山西·模拟预测）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，设，利用待定系数法求出，再分别求出当时，，当时，，据此可得答案． 解：设， 把代入中得：，解得 ∴， 在中，当时，，当时，， ∴若压强由加压到，则气体体积压缩了， 故答案为：15． 【考点18】反比例函数与一次函数综合应用. 【18-1】（2023·河北保定·一模）某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于．玻璃温度与时间的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，以下判断正确的是（    ） A．玻璃加热速度为 B．玻璃温度下降时，y与x的函数关系式为 C．能够对玻璃进行加工时长为 D．玻璃从降至室温需要的时间为 【答案】C 【分析】根据图象中的数据逐项分析求解即可． 解：∵， ∴玻璃加热速度为， 故A选项不合题意； 由题可得，在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为， 代入点可得，， ∴玻璃温度下降时，y与x的函数关系式是， 故B选项不合题意； ∴设玻璃温度上升时的函数表达式为， 由题可得，在正比例函数图象上， 代入点可得，， ∴玻璃温度上升时，y与x的函数关系式是， ∴将代入，得， ∴将代入，得， ∴， ∴能够对玻璃进行加工时长为， 故C选项符合题意； 将代入得，， ∴， ∴玻璃从降至室温需要的时间为， 故D选项不符合题意． 故选：C． 【点拨】本题考查了反比例函数和一次函数的应用，读懂函数图像，获取信息是解决本题的关键． 【18-2】（21-22九年级上·山西·期中）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药时间小时之间函数关系如图所示（当时，与成反比例）．血液中药物浓度不低于微克毫升的持续时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别利用正比例函数以及反比例函数解析式，再利用y＝6分别得出x的值，进而得出答案． 解：当0≤x≤4时，设直线解析式为：y＝kx， 将（4，8）代入得：8＝4k， 解得：k＝2， 故直线解析式为：y＝2x， 当4≤x≤10时，设反比例函数解析式为：y＝， 将（4，8）代入得：8＝， 解得：a＝32， 故反比例函数解析式为：y＝； 因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y＝2x（0≤x≤4）， 下降阶段的函数关系式为y＝（4≤x≤10）． 当y＝6，则6＝2x，解得：x＝3， 当y＝6，则6＝，解得：x＝， ∵−3＝（小时）， ∴血液中药物浓度不低于6微克/毫升的持续时间小时 故选A． 【点拨】此题主要考查了反比例函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键． 【18-3】（2024·山西阳泉·二模）饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为 ．    【答案】12 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数的应用．首先求得两个函数的解析式，然后将代入两个函数求得两个时间相减即可确定答案． 解：设一次函数关系式为：， 将，代入，得， 解得， ， 设反比例函数关系式为：， 将代入，得， ， 中， 令，解得； 反比例函数中，令，解得：， （min）， 水温不低于的时间为min． 故答案为：． 【18-4】（2023·山东青岛·二模）为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图）．现测得药物燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于才有效，那么此次消毒的有效时间是 分钟．    【答案】12 【分析】首先根据题意确定一次函数与反比例函数的解析式，然后代入确定两个自变量的值，差即为有效时间． 解：药物燃烧时y关于x的函数关系式为 把代入中得；， ∴， ∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为 设药物燃烧后y关于x的函数关系式为 把代入中得；， ∴， ∴药物燃烧后y关于x的函数关系式为 把代入，得：， 把代入，得：， ∵， ∴那么此次消毒的有效时间是12分钟， 故答案为：12． 【点拨】本题考查了反比例函数与正比例函数的实际应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$