福建省福州市鼓楼区福州第三中学2024-2025学年高三上学期第三次质量检测（11月期中）数学试题

试卷第 1 页，共 4 页 福州三中 2024-2025学年第一学期高三第三次质量检测 数 学 试 卷 命题人：高三数学集备组 审卷人：高三数学集备组 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的班级、准考证号、姓名填写在答题卡上. 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔书写作答．若在试题卷上作答，答案无 效． 第Ⅰ卷 一、单选题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合  2 3 4 0M x x x= − −  ，  Z 2 0N x x=  −  ，则M N = ( ) A．{3,4} B．{0,1} C．{ 1,0,1}− D．{2,3,4} 2．已知向量 (0,1), ( ,2)a b x= = ，若 / /( 4 )b b a+ ，则 x = ( ) A． 1− B．0 C．1 D．2 3．已知 0.13a = ， 30.1b = ， 3log 0.1c = ，则( ) A． a b c  B．a c b  C．b a c  D．c b a  4．蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包 古代称作穹庐､毡包或毡帐.已知蒙古包的造型可近似的看作一个圆柱和圆锥的组合体，已知圆锥 的高为 2 米，圆柱的高为 3 米，底面圆的面积为 64π平方米，则该蒙古包（含底面）的表面积为 ( ) A． ( )80 16 17 π+ 平方米 B． ( )80 18 17 π+ 平方米 C． ( )112 16 17 π+ 平方米 D． ( )112 18 17 π+ 平方米 5．已知抛物线C： 2 4x y的焦点为 F ，准线为 l，点 P在C上，过点 P作准线 l的垂线，垂足为 A， 若 3 FPA  ，则 PF ＝( ) A． 2 B． 2 2 C．2 3 D． 4 6．已知 π 1 sin sin 3 3     − + =    ，则 π sin 2 6    + =    ( ) A． 7 9 − B． 7 9 C． 8 9 − D． 8 9 试卷第 2 页，共 4 页 7．若函数 ( ) ( )22sin cos 2 3 cos 3 0f x x x x   = + −  在 0, 上恰有两个零点，则实数的取值范 围为( ) A． 5 4 , 6 3      B． 5 4 , 6 3       C． 3 11 , 4 6      D． 4 11 , 3 6       8．已知不等式 1 ln 0a xx e a x+  +  ( 0a  )对任意的实数 1x  都成立，则实数a的最小值为( ) A． 2e− B． e− C． e 2 − D． 1 e − 二、多选题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全 部选对得 6分，部分选对得部分分，有选错得 0 分． 9．已知等差数列 na 的前n项和为 nS ，且公差 0d  ， 15 182 24a a+ = . 则以下结论正确的是 ( ) A． 16 8a = B．若 8 9S S= ，则 4 3 d = C．若 2d = − ，则 nS 的最大值为 21S D．若 15 16 18, ,a a a 成等比数列，则 4d = 10．设 1z ， 2z ， 3z 为复数， 1 0z  ．下列命题中正确的是( ) A．若 1 2 1 3z z z z= ，则 2 3z z= B．若 2 3| | | |z z= ，则 2 3z z=  C．若 2 3z z= ，则 1 2 1 3| | | |z z z z= D．若 2 1 2 1| |z z z= ，则 1 2z z= 11．已知函数 ( )f x 及其导函数 ( )f x 的定义域均为R ，记 ( ) ( )g x f x= ，且 ( ) ( ) 2f x f x x− − = ， ( ) ( )2 0g x g x+ − = ，则( ) A． ( )0 1g = B． ( )f x y x = 的图象关于点 ( )0,1 对称 C． ( ) ( )2 0f x f x+ − = D． ( ) 2 1 2 n k n n g k = − = （ *Nn ） 第Ⅱ卷 三、 填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15 分，把答案填在答题卡相应横线上． 12． 5 2 2x x   +    的展开式中 7x 的系数为_________________．（用数字作答） 13．已知两定点 和 ，动点 在直线 上移动，椭圆 以 为焦点且 经过点 ，则椭圆 的离心率的最大值为_________________． 14．在三棱锥中P ABC− ， 2 2AB BC= = ，且 AB BC⊥ ．记直线 PA，PC与平面 ABC所成角分 别为， ，已知 2 60 = = ，当三棱锥P ABC− 的体积最小时，则三棱锥P ABC− 外接球的 表面积为_________________． ( )1,0A − ( )1,0B ( ),P x y : 3l y x= + C ,A B P C 试卷第 3 页，共 4 页 四、解答题：本题共 5小题，共 77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 13 分） 已知 ABC 的内角 , ,A B C的对边分别为 , ,a b c， 3sin 2 cos2 2A A+ = ， 2b a= ． （1）求 B； （2）若 B为锐角， AC边上的高为 2 6+ ，求 ABC 的周长． 16．（本小题满分 15 分） 已知数列 na 满足 1 2a = ，且 1 2 3 *1( )na a a a n n N= +  ． （1）求数列 na 的通项公式； （2）设 2 n n n b na = ，且数列{ }nb 的前 n项和为 nS ，若 3 1 n n S  +  + 恒成立，求实数的取值范围． 17．（本小题满分 15 分） 已知四棱柱 1 1 1 1ABCD ABC D− 如图所示，底面 ABCD为平行四边形，其中点 1A在平面 ABCD内 的投影为点D，且 1AB AA= = 2AD， 120ABC  = ． （1）求证：平面 1ABD⊥平面 1 1ADD A； （2）已知点 E在线段 1C D上（不含端点位置），且平面 1ABE与平面 1 1BCC B 夹角的余弦值为 5 5 ， 求 1 DE EC 的值． 试卷第 4 页，共 4 页 18．（本小题满分 17 分） 平面内有一点 ( )2 1,0F 和直线 : 2l x = ，动点 ( ),P x y 满足： P到点 2F 的距离与 P到直线 l的距离的 比值是 2 2 ．点 P的运动轨迹是曲线 E，曲线 E上有 A， B，C，D四个动点． （1）求曲线 E的方程； （2）若 A在 x轴上方， 2 22 0F A F B+ = ，求直线 AB的斜率； （3）若C，D都在 x轴上方， ( )1 1,0F − ，直线 2 1//CF DF，求四边形 2 1CF FD的面积的最大值． 19．（本小题满分 17 分） 已知函数 ( ) ( )sin ln 1f x x x ax= + + − ， Ra ． （1）讨论函数 ( ) ( ) sing x f x x= − 的单调性； （2）若 ( ) 0f x  恒成立，求a的值； （3）求证： 2 1 1 2 1 sin 2ln ln2 1 1 n i n n i n= + −   −  − −   ， 2n  ，n N ． 福州三中2024-2025学年第一学期高三第三次质量检测 数学答案 题号 2 3 5 6 7 8 答案 8 A D B 题号 9 10 11 12 13 14 答案 AD AC ABD 10 5 16π 5 L.【详解】由题意可得M={x-1≤x≤4}，N={xeZx<2},则M∩N={-l,0,1}.故选C. 2.【详解】因为b//b+4,所以6x-2x=0,解得x=0.故选B. 3.【详解】易知3.1>3°=1,0<0.13<1，log0.1<l0g1=0,所以a>b>c.故选A. 4.【详解】由题意知圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面圆的面积为64π平方米， 设底面圆的半径为r,则64π=2，r=8,则圆锥的母线长为√22+82=2√7（米）， 故该蒙古包（含底面）的表面积为元×8×2√7+2π×8×3+π×82=112π+16√17π（平方米），故选C. 5.【详解】因为PF=PA,所以∠PAF=∠PFA=F,设准线1与x轴交于点Q,因为PA/QF, 所以∠AFQ=∠PAF=写·因为OF=p=2,所以AF=4,所以在正aPAF中，PF=4,故选D. 2 即sna+5。 u可得sna+引 所以2a+m+引引a+}=na+写1做选A 7.【详解】f(x)=2 sin wcos+25cos2or-V5(o>0), f(a)=sn2ar+5cos2ar+5-5=2sin2ar+写}， xe司，2ar+号后2or+引， /@在可上恰有两个零点，放2x≤20+号<3，一君@<子放选A 5 8.【详解】由题意，不等式变形为xe之x(-anx)，即xe≥lnx.enr, 设f(x)=xe(x>l),则不等式xa1.e+anx≥0对任意的实数x>1恒成立， 等价于f(x)≥flnx)对任意x>1恒成立， 又由f'(x)=(x+I)e>0,则f"(x)在(L,+∞)上单调递增，所以x≥lnx, 即r之-hx对任意x>1恒成立.所以-a≤(2框成立，即-a≤(， ◆8-品则g>. 答案第1页，共7页 当1<x<e时，g'(x)<0,g(x)在(1，e)上单调递减：当x>e时，g'(x)>0,g(x)在(1，e)上单调递增， 所以当x=e时，g(x)取得最小值g(e)=e,所以-a≤e,即a2-e,所以a的最小值是-e,故选B. 9.【详解】由2as+ag=24得2(a,+14d)+a,+17d=24,故a+15d=8,所以a6=8,故A正确， 由S=S,可得a,=0=a。-7d,枚d=氵故B错误， 8 若d=-2,则ao=46+4d=0,且{an}单调递减，故Sn的最大值为So或Sg,故C错误， 若as,a6,ag成等比数列，则a6a6=asag,即64=(8-d)(8+2d),解得d=4或d=0(舍去)， 故D正确.故选：AD. 10.【详解】当名2=时，有2-3=(32-)=0，又≠0，所以32=，故A正确： 由复数的形式可知，故B错误： 当=3时，则2=石，所以2-=(62)-(3)=名-=0，故C正确： 当23时，则2=，可得2-名=(32-)=0，所以=2，故D错误. 故选AC. 11.【详解】因为f(x)-f(-x)=2x,所以f'(x)+'(-x)=2,即g(x)+g(-x)=2, 令x=0,得g(0)=1,故A正确： 因为f)-fx)=2x,当r≠0时，四+f-0=2. -x 所以y=四的图象关于点(O,1)对称，故B正确： 对于C,假设f(x)+f(2-x)=0成立，求导得f'(x)-f(2-x)=0,即g(x)-g(2-x)=0, 又g(x)+g(2-x)=0,所以g(x)=0,所以g(0)=0与g(0)=1矛盾，故C错误： 对于D,因为g(x)+g(-x)=2,g(x)+g(2-x)=0, 所以g(2-x)-g(-x)=-2,g(0)=1,g(1)=0,g(2)=-1,所以有g(n+2)-g(m=-2, 所以数列{g()}的奇数项是以0为首项，-2为公差的等差数列， 数列{g()}的偶数项是以-1为首项，-2为公差的等差数列， 又g(2)-g(①=-1，n∈N”,所以数列{g(n)}是以0为首项，-1为公差的等差数列， 所以=1-，所以三s肉)=”，故D正确。故达：ABD 12.【详解】由题意可得=G(广（图=C2 令10-3r=7,则r=1,所以C5·2=C2=10 13.【详解】A(-1,0)关于直线：y=x+3的对称点为A'(-3,2),连接AB交直线I于点P,则椭圆 C的长轴长的最小值为4=25，所以椭圆C的离心率的最大值为S==5 9a5 5 答案第2页，共7页 14.【详解】设点P在平面ABC内的投影为P',因为直线PA,PC与平面 ABC所成角分别为Ca,B,且B=2a=60°，则a=30°，根据线面夹角关 系可PA=5GPH-9pA小所以Pq=PA,阿淡罗呢 斯圆可知，投影P'在圆上运动，以AC为x轴，过AC的中点O作垂线，建 立如图所示直角坐标系.令P'(x,y),由题可知A(-2,0),B(0,2),C(2,0) 则3-2-+2.化-引- 可知P在以0为圆心，半径为 的圆上， 当PC最小时，PP最小，即三棱锥P-ABC的体积最小， 此时rLo.1PcL-2, .P点在底面ABC上的射影P在AC上，且∠APC=90,又∠ABC=90, :三校锥P-ABC的外接球的球心为4C的中点，外接球的半径R=与4C=2, 六S球表面积=4πR2=4π-22=16元。 15.解：(1)由√3sin2A+cos2A=2sin 24+引-2，得sm24+, …1分 因为A∈(0，π)，所以A= 44 …3分 6 因为b=V2a,所以sinB=V反sinA=5 …4分 因为B∈(0，，所以B=T或B=3n …7分 4 (2)由(1)知A=,B= 6 4,则C=r-g-π7红 6412 且sinC=sin- =img+马=5x2+x巨6+返 …8分 12 342”222 4 过点B作BD⊥AC于点D,则BD=√2+√6， ’AB=25+2W6, 所以sinA=BD 10分 在AMBC中，由正弦定理。4C BC AB AC BC 2W2+26 得 sin∠1BC sin∠BAC sin∠ACB sn 7π sin 4 6 12 所以AC=4V2,BC=4, …12分 故△MBC的周长为CA4c=AB+BC+AC=2V2+2V6+4+4V2=6N2+2W6+4.…13分 答案第3页，共7页 16.解：(1)因为a,a2a…an=n+l(neN),当n≥2时，aa2a3…an1=n,…1分 两式相除得：an= n+1, （n≥2)，…2分 n n+1 又4=2符合上式，故a。= ……3分 n (2)b=0=n+1 2 2 …4分 234 +2,2=+ ++”+n+1 23 2+2m …5分 11 两式相减得： 2=1++1 n+13n+3 +2+2+…+ 1n+1 =1+420+ 2n2 1 222’ …7分 即Sn=3-n+3 2 …8分 由3.+2之3，得≥a+1+》 …9分 n+1 2 设fm=+1n+3》,则fm+)=@+2n+) 2 2* 所以0m+1)）-f0m=m+2n+④_u+1n+3)。-2-2n+2 2+l 2 21 …11分 由n∈N°可知，-n2-2n+2随n的增大而减小，所以-n2-2n+2≤-1-2+2=-1<0， 所以f(n+l)-f(n)<0恒成立，所以{f(n)}单调递减，…13分 所以f(n)的最大值为f(们)=4，……14分 所以≥4。…15分 17.解：(1)不妨设AD=1, 在AADB中，AB=2,AD=1,∠DAB=60°， 由余弦定理，BD2=AB2+AD2-2AB·AD.C0s∠DAB=2+12-2×2×1×c0s60=3,·1分 得BD=√3，故AD2+BD2=AB2,则AD⊥DB,…2分 因为AD⊥平面ABCD,ADC平面ABCD,故AD⊥AD,…3分 因为AD∩DB=D,AD,DBC平面ABD,所以AD⊥平面ABD,…4分 而ADC平面ADDA,所以平面ABD⊥平面ADDA:…5分 D (2)由(1)知，DA,DB,DA两两垂直， 如图所示，以D为坐标原点，建立的空间直角坐标系D一z,…6分 答案第4页，共7页 则D(0.0,0),41,0,0),B0,5,04(0,0,5).C(-1,5,0) 所以4B=(0.5,-5,4D=(0.0,-√5) ，… …7分 设DE=DC(0<1<1),则DE=DC=(-22,5,5）. 所以4E=4D+DE=(（-2元，V5,V5-√5) …………9分 i-4B=5y-52,=0 设万=(：，，)为平面4EB的一个法向量，则 n4E=-2x+5y-(5-5)3=0 令=2，则y=2元，x=25-5,所以i=(251-5,22,22, …11分 因为y轴⊥平面BCCB,则可取m=(01,O)为平面BCCB的一个法向量， …12分 历刷 设平面AEB与平面BCCB的夹角为a,则Cosa= 22 5 …13分 网 √2012-121+3 5 解得元= 1 ……14分 DE 1 故EC,3 …15分 18解：0传恩意-+7-k-2斗要 …1分 两边平方得x2二2x+1+y=),化简得，+2=1 2 以曲线E的方程为+y护： (2)设1B:x=y+1,A(x,y,B(x,) 联立 写+yr=1(+2产+2m-10,所以男+g x=my+I -2m m2+25 -1 m2+2’…5分 由2FA+FB=0,得2(x-1,y)+(化2-1，)=0，所以乃2=-2， …6分 m+22=-1 代入片+为，，消，可得片=2m m2+2 消片，解得m=3 …8分 因为A在x轴上方，所以”=2m>0,所以m>0,所以m …9分 m2+2 所以直线AB的斜率是」=4， ……10分 m 2 (3)延长CF,交椭圆于点G,CFDE,由对称性可知GF=DF, △FGF和△CD明等底等高，SarG=Scs, …11分 答案第5页，共7页 四边指CFFD的面积S=Sa5-F(:-6)=光-%， …12分 设lo:x=w+1,由(2)同理可知e+%= -2n +2en+2 13分 所以S=-。=V-%了=V+%}-4%= V8n2+8 …14分 n2+2 8m+82:_25s 令√n+1=1,t≥1，所以n2+22+1 ……15分 1+ 等号成立，当且仅当1=1即n=0, 16分 所以S的最大值为√互，此时CD分别在F、E正上方.…I7分 19.解：(1)函数g(x)=ln(1+x)-ax的定义域为(-1，+oo), gt二0l分 ①当a≤0时，g'(x)>0,g(x)在(-l,+o∞)上单调递增： …2分 ②当a>0时，由g(x小>0得，x<。-1,由g'(x)<0得，x>1-, 所以g在（片-）小上单调迷猫，在日1+树上单调送说。 综上所述，①当a≤0时，g(x)在(-l,+o)上单调递增： ②当a>0时，8在-1日上单调道增，在。1+切上单调道诚 …4分 (2)因为f(0)=0,f(x)≤0， 所以x=0是f(x)的极大值点，因为'(x)=cosx+ r+1a, 所以'(0)=2-a=0→a=2, 只需证，当a=2时，f(x)=sir+ln(1+x)-2x≤0恒成立即可，…6分 因为f(y)=cosx+1-2, x+1 令p(x)=f()=cosx+1-2,则p(x)=-sinx- x+1 (x+12 1 ①当xe10)时，c+>1,p()k0,则p()在(-L,0)单调递减， 所以f'(x)>∫'(0)=0，f(x)在(-1,0)单调递增，f(x)<f(0)=0, ②当x∈(0，+∞)时，'(x)≤0，则f(x)在(0，+∞)单调递减，所以f(x)≤f(0)=0, 综上所述，Q=2符合题意：…10分 (3)由(2)可知，sinx≤2x-ln(x+1),当且仅当x=0时取等号， 答案第6页，共7页 三+产交(}h时nh2-h2,12分 n+1 2n-1 因为n2n-1-n2n-12m-2.n 2n-1 n-1 2n-22n-3…n-n 2n-22n-3 13分 所以即E古<(》 …14分 令x= 骨国.则片 所以即证：1-1<nx,x∈（山，+o, 令m=1士n,则m()京号 所以x∈(L,+∞)时，m'(x)<0,m(x)单调递减， 所以m(x)<m()=0,即1-上<nx,x∈(，+o), 综上所述， 含(2h0n2,22.aeN.17分 答案第7页，共7页