3.4 一元一次方程的应用（第2课时）（教学课件）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（湘教版2024）

湘教版（2024）七年级数学上册 第三章 一次方程（组） 3.4 一元一次方程的应用（第2课时） 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1. 利用一元一次方程解决路程问题、调配问题问题等. 2. 学会分析复杂问题中的数量关系和等量关系,建立方程模型解决实际问题,发展分析问题、解决问题的能力. 情景导入 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲速度为20 km/h，乙速度为30 km/h，出发 x小时后，两人相遇. 那么甲车行了______km，乙车行了______km A、B两地相距_________km.若A、B两站间的路程为500km，可得方程______________，求得x=____. 20x 30x 20x+30x 20x+30x=500 10 新知探究 为进一步感悟雷锋胸怀祖国、服务人民的爱国精神，星期日早晨，小楠和小华分别骑自行车从家里同时出发去参观雷锋纪念馆 . 已知 他俩的家到雷锋纪念馆的路程相等，并且小楠每小时骑10 km，他在上午10 时到达，小华每 小时骑15 km，他在上午9时30分到达 . 他俩的家到雷锋纪念馆的路程是多少？ 新知探究 本问题中有如下等量关系： 小楠花的时间－小华花的时间=0.5h 由于小楠、小华到雷锋纪念馆花的时间等于路程除以他们各自的速度，若设他俩的家到雷锋纪念馆的路程为x km，则根据等量关系，得 解得 x=15 . 因此，他俩的家到雷锋纪念馆的路程为15 km. 课本例题 例3 某校七年级甲班有45人，乙班有39人. 现要从甲、乙两班各抽调一些同学去参加“歌唱祖国”歌咏比赛，已知从甲班抽调的人比乙班多1人，此时甲班剩余人数恰好是乙班剩余人数的2倍. 请问：从甲、乙两班各抽调了多少人参加歌咏比赛？ 分析：本题中的等量关系： (1)甲班抽调的人数-乙班抽调的人数=1； (2)抽调后甲班剩余人数=乙班剩余人数×2 . 解：设从甲班抽调了x人，那么从乙班抽调了(x-1)人. 根据题意，得 45-x=2[39-(x-1)]. 解得 x=35 . 于是，x-1=35-1=34 . 答：从甲班抽调了35人，从乙班抽调了34人参加歌咏比赛. 课本例题 例4 现有树苗若干棵，计划栽在一段公路的一侧，公路的两端各栽1棵，并且相邻两棵树的间隔相等. 方案一：如果每隔5m栽1棵，则树苗缺21棵； 方案二：如果每隔5.5m栽1棵，则树苗正好用完. 根据以上方案，请算出原有树苗的棵数和这段路的长度. 分析 观察下面植树示意图，可得如下等量关系： 路长=相邻两树的间隔×(种植的树苗数-1) 设原有树苗x棵，由题意可得下表： 方案 间隔/m 种植的树苗数 路长/m 一 5 二 5.5 x+21 5(x+21-1) x 5.5(x-1) 解：设原有树苗x棵，根据题意，得 5(x+21-1)=5.5(x-1) . 解得 x = 211. 因此，原有树苗211棵，这段公路长为 5×(211+21-1)=5×231=1155(m) . 答：原有树苗211棵，这段公路长1155m. 本题中还有如下等量关系： 方案一的路长=方案二的路长. 课堂练习 1. 一队学生步行去参加社会公益活动，每小时走4km，学生甲因故推迟30 min 出发，为赶上队伍，甲以6 km/h的速度追赶，试问：甲用多长时间就可追上队伍? 解：设甲用t h就可追上队伍，根据等量关系，得 4(0.5+t)=6t 解得 t=1 答：甲用1 h就可追上队伍. 2. 某村一条道路一侧装有路灯56盏（两端都有），且相邻两盏灯的距离为30m. 为进一步建设美丽乡村，该村计划将该道路的路灯全部更换为亮度更强的节能灯，且相邻两盏灯的距离变为25m，则需要安装节能灯多少盏？ 本问题中的等量关系 路长=相邻两灯的间隔×(路灯的数量-1) 解：设需要安装节能灯x盏，根据等量关系，得 25×(x-1)=30×(56-1) 解得 x=67 答：需要安装节能灯67盏. 习题 3.4 1. 小明根据方程 编写了一道应用题，请你把空缺的部分补充完整. 某手工小组计划教师节前做一批手工品赠给老师，如果每人做5个，那么就比计划少2个； . 请问手工小组有几人？（设手工小组有x人） 如果每人做6个，那么比计划多8个 2. 一架飞机在两个城市之间飞行，顺风飞行时需2.9h，逆风飞行时则需3.1 h. 已知风速为20 km/h，求无风时飞机的航速和这两个城市之间航线的距离. 解：设无风时飞机的航速为x km/h，则顺风飞行的速度为(x+20)km/h，逆风飞行的速度为(x-20)km/h. 根据题意，得 2.9(x+20)=3.1(x-20) 解得 x=600 则这两个城市之间航线的距离为 答：无风时飞机的航速为600 km/h，这两个城市之间航线的距离为1798 km. 3. 今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四. 问人数、物价各几何？ ——《九章算术·盈不足》 意思是：几个人一起购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱. 问有多少人？物品的价格是多少？ 解：设共有 x 人. 根据题意，得 8x-3=7x+4 解得 x=7 则物品的价格为 (钱) 答：共有7 人，物品的价格为53钱. 4. 检修一台机器，甲、乙小组单独做分别需7.5 h， 5 h就可完成. 两小组合做1 h后，再由乙小组单独做，还需几小时才能完成这台机器的检修任务？ 解：设还需要x 个小时才能完成这台机器的维修任务. 根据题意，得 解得 x= 答：还需要 个小时才能完成这台机器的维修任务. 5. 一个两位数的两个数字之和为6，如果将个位数字与十位数字对调后再加上18，仍是原数，求这个两位数． 解：设原数的个位数字是x，则十位数字是6－x． 根据题意得10x+(6－x)+18=10(6－x)+x， 解得x=2. 则6－x=4. 答：这个两位数为42． 6. 小明的家与小红的家相距20 km. 小明从家里出发骑自行车去小红家，两人商定小红到时候从家里出发骑自行车去接小明. 已知小明骑车的速度13 km/h，小红骑车的速度为12 km/h. 如果小明先走30 min，那么小红骑车要走多少小时才能与小明相遇. 解：设小红骑车要走 t h 才能与小明相遇. 根据题意，得 13×(t+0.5)+12t=20 解得 t=0.54 答：小红骑车要走0.54小时才能与小明相遇. 7. 如图所示，两个长方形重叠部分的面积相当于大长方形的 ，相当于小长方形的 ，非重叠部分的面积为224 cm2，求重叠部分的面积． 解：设重叠部分的面积为 x，根据题意可知大、小长方形中非重叠部分的面积分别为5x，3x，则有5x+3x=224，解得x=28． 答：重叠部分的面积为28 cm2. 8. 某商场把一种双肩背的书包按进价提高50%标价，然后再按八折出售，这样商场每卖出一个这样的书包就可盈利8元. 请问：这种书包的进价是多少元?如果按六折出售，商场还盈利吗？为什么？ 解：设这种书包的进价为 x 元. 根据题意，得 解得 则这种书包的标价为 标价打六折： 60×60%=36（元） ∵36＜40 ∴打六折不盈利. 答：这种书包的进价为40元. 按六折出售，商场不盈利. 分层练习-基础 1. [新考向·数学文化]我国古代数学著作《九章算术》中有这 样一个问题：今有凫起南海，七日至北海.雁起北海，九 日至南海.今凫雁俱起，问何日相逢？其大意为：野鸭从 南海飞到北海用7天，大雁从北海飞到南海用9天.它们从 两地同时起飞，几天后相遇？设 x 天后相遇，根据题意所 列方程为 ⁠. ＋ ＝1　 2. 已知A，B两地相距450 km，甲、乙两车分别从A，B两地 同时出发，已知甲车速度为115 km/h，乙车速度为85 km/h. (1)若两车同向而行，甲车在后，求经过几小时甲车追上乙车？ 【解】设经过 x h甲车追上乙车. 依题意，得115 x －85 x ＝450，解得 x ＝15. 答：经过15 h甲车追上乙车. (2)若两车相向而行，求经过几小时两车相距50 km？ 【解】设经过 a h两车相距50 km. 两种情况： ①相遇前两车相距50 km，根据题意得115 a ＋85 a ＋50 ＝450，解得 a ＝2； ②相遇后两车相距50 km，根据题意得115 a ＋85 a －50 ＝450，解得 a ＝2.5. 答：经过2 h或2.5 h两车相距50 km. 3. 一列火车匀速行驶，经过一条长800 m的隧道，从车头开 始进入隧道到车尾离开隧道共需要50 s的时间，在隧道中 央的顶部有一盏灯，垂直向下发光照到火车上的时间是18 s，求这列火车的行驶速度. 【解】设这列火车的行驶速度是 x m/s，则这列火车的长 度为18 x m. 根据题意，得50 x ＝800＋18 x ，解得 x ＝25. 答：这列火车的行驶速度是25 m/s. 4. [母题教材P111思考] 有甲、乙两艘船，现同时由A地顺流而下，乙船到B地时接到通知，须立即逆流而上返回C地执行任务，甲船继续顺流航行.已知甲、乙两船在静水中的速度都是7.5 km/h，水流速度为2.5 km/h，A，C两地间的距离为10 km.如果乙船由A地经B地再到达C地共用了4 h.问：乙船从B地到达C地时，甲船距离B地有多远？ 【解】设乙船由B地航行到C地用了 x h. ①若C地在A，B两地之间，根据A地到B地的距离－B地 到C地的距离＝A，C两地之间的距离，得(7.5＋2.5)(4－ x )－(7.5－2.5) x ＝10.解得 x ＝2. 所以甲船距离B地(7.5＋2.5)×2＝20(km). ②若C地不在A，B两地之间，根据B地到C地的距离－A 地到B地的距离＝A，C两地之间的距离，得 (7.5－2.5) x －(7.5＋2.5)(4－ x )＝10. 解得 x ＝ . 所以甲船距离B地 ×(7.5＋2.5)＝ (km). 分层练习-巩固 5. [2024陕西师大附中模拟]某校开展以“垃圾分类”为主题的实践活动，将参与的120名学生分成宣传组和劳动组.在实践过程中，发现宣传组人手不足，因此从劳动组调给宣传组2人，则此时宣传组的人数是劳动组人数的一半.请问宣传组原有多少人？ 【解】设宣传组原有 x 人，则劳动组原有(120－ x )人， 根据题意，得 x ＋2＝ (120－ x －2)， 解得 x ＝38. 答：宣传组原有38人. 6. [立德树人·生态意识]3月12日植树节，为贯彻“绿水青山就是金山银山”的生态理念，某校组织植树活动.已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有17人.现调20人去支援，使在甲处植树的人数比在乙处植树的人数的2倍多3人，问应调往甲处、乙处各多少人？ 解得 x ＝18. 20－ x ＝20－18＝2. 答：应调往甲处18人，乙处2人. 【解】设调往甲处 x 人，则调往乙处(20－ x )人， 根据题意得23＋ x －2[17＋(20－ x )]＝3， 分层练习-拓展 【点拨】 　　因为每隔5 m栽1棵，则树苗缺21棵，所以这段公路长 5( x ＋21－1)m. 因为每隔6 m栽1棵，则树苗正好用完，所以这段公路长6( x －1)m. 所以5( x ＋21－1)＝6( x －1)，故选项A错误，选项B正确； 解方程得 x ＝106，所以现有树苗106棵，故选项C错误； 6( x －1)＝6×(106－1)＝630，所以这段公路长630 m，故 选项D错误； 故选B. B 【答案】 8. 为保持水土，美化环境， W 中学准备在从校门口到柏油公路的这一段土路的两侧栽一些树，并要求土路两侧树的棵数相等间距也相等，且首、尾两端均不栽树，现在学校已备好一批树苗，若间隔30 m栽一棵，则缺少18棵；若间隔35 m栽一棵，则缺少10棵. (1)求学校备好的树苗棵数. 【解】设学校备好的树苗为 x 棵， 根据题意，得 30 ＝35 ， 解得 x ＝36. 答：学校备好的树苗为36棵. (2)某苗圃负责人听说 W 中学想在校外土路两旁栽树的上述情况后，觉得两树间距太大，既不美观，又影响防风固沙的效果，决定无偿支援 W 中学300棵树苗.请问，这些树苗加上学校自己备好的树苗，间隔5 m栽一棵，是否够用？ 【解】由(1)易得，校外土路长840 m， 若间隔5 m栽树，则共需树苗2× ＝334(棵)， 300＋36＝336(棵). 因为336＞334， 所以间隔5 m栽一棵树，这些树苗够用. 课堂小结 应用一元一次方程解决问题的步骤： 1. 审：审题，分析题目中的数量关系； 2. 设：设适当的未知数，并表示未知量； 3. 列：根据题目中的数量关系列方程； 4. 解：解这个方程； 5. 答：检验并作答. $$