精品解析：北京市第十五中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

北京市第十五中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题 2024.11 本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡和答题纸上，在试卷上作答无效． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知全集，集合，或，则（ ） A. B. 或 C. D. 2. 方程组的解集是（ ） A. B. C. D. 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 函数f（x）＝x3﹣2x﹣3一定存在零点的区间是（　　） A. （2，+∞） B. （1，2） C. （0，1） D. （﹣1，0） 6. 已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设奇函数在上为减函数，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则下列图象错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 在函数①，②，③，④中，以2为最小值的函数的序号为（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 10. 设函数，给出下列四个命题： ①当时，为奇函数； ②函数的图像关于点对称； ③当时，存在，使得有两个不同的零点； ④存在，使得函数有三个不同的零点． 其中，真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 函数的定义域是______． 12. 不等式的解集是________． 13. 已知“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为______． 14. 已知函数，且当时，总有，则实数的取值范围是______． 15. 设函数，若，则的单调递增区间是_____，若的值域为，则的取值范围是_________. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知全集，集合，其中． （1）化简集合A，并求集合； （2）若，求集合； （3）若，都有或，求实数的取值范围． 17. 已知函数，满足下列两个条件 条件①：； 条件②：； （1）求，的值； （2）已知函数有两个不同的正数零点． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，求的值． 18. 已知函数． （1）判断函数是否具有奇偶性，并证明； （2）当时，判断在区间上的单调性，并利用函数单调性的定义证明； （3）当时，求函数的值域． 19. 某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： （1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ （2）设该地上班族总人数为，求该地上班族的人均通勤时间的表达式；并求的最小值，指明相应的的值． 20. 已知二次函数，且． （1）求实数的值，并求函数在区间上的最小值． （2）求关于的不等式的解集． 21. 如果是定义在上的函数，且对任意的，都有，则称该函数是“函数”． （1）分别判断下列函数： ①；②；③是否为“函数”？ （直接写出结论） （2）若函数是“函数”，求实数的取值范围； （3）设“函数”在上单调递增，求所有可能的集合A与． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第十五中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题 2024.11 本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡和答题纸上，在试卷上作答无效． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知全集，集合，或，则（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集和补集的定义即可得出答案. 【详解】解：因为,或， 所以， 所以. 故选：D． 2. 方程组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接求出方程组的解，再用列举法表示即可. 【详解】由，消去得，解得，所以方程组的解为或， 所以方程组的解集. 故选：C 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定式特称命题分析判断. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：C. 4. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于ABC：举反例说明即可；对于D：根据不等式的性质分析判断. 【详解】对于选项A：例如，则，故A正确； 对于选项B：例如则，故B错误； 对于选项C：例如，满足，但，故C错误； 对于选项D：若，则， 可得，即，故D正确； 故选：D. 5. 函数f（x）＝x3﹣2x﹣3一定存在零点的区间是（　　） A. （2，+∞） B. （1，2） C. （0，1） D. （﹣1，0） 【答案】B 【解析】 【分析】求出，即得解. 【详解】由题得， 所以， 因为函数是R上的连续函数， 故选B 【点睛】本题主要考查零点存在性定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6. 已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得，恒成立，由即可求出. 【详解】因为命题“，使”是假命题， 所以，恒成立，所以，解得， 故实数的取值范围是. 故选：B. 7. 设奇函数在上为减函数，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据单调性和奇偶性分析的符号，进而解不等式即可. 【详解】因为在上为减函数，且， 当时，；当时，； 又因为为奇函数，可得当时，；当时，； 若，则或，可得或， 所以不等式的解集为. 故选：D. 8. 已知函数，则下列图象错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定的图象，然后根据图象变换确定各选项． 【详解】当时，，表示一条线段，且线段经过和两点． 当时，，表示一段曲线．函数的图象如图所示． 的图象可由的图象向右平移一个单位长度得到，故A正确；的图象可由的图象关于轴对称后得到，故B正确；由于的值域为，故，故的图象与的图象完全相同，故C正确；很明显D中的图象不正确． 故选：D． 9. 在函数①，②，③，④中，以2为最小值的函数的序号为（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【分析】对于①：举反例说明即可；对于②③：利用基本不等式分析判断；对于④：换元令，结合对勾函数单调性分析判断. 【详解】对于①：例如，则，可知的最小值不为2，故①错误； 对于②：因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为2，故②正确； 对于③：因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为2，故③正确； 对于④：令，则， 可知在上单调递增， 当时，取到最小值， 所以的最小值不为2，故④错误； 故选：B. 10. 设函数，给出下列四个命题： ①当时，为奇函数； ②函数的图像关于点对称； ③当时，存在，使得有两个不同的零点； ④存在，使得函数有三个不同的零点． 其中，真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】对于①：根据奇函数定义分析判断即可；对于②：根据中心对称的定义分析判断；对于③：整理可得，构建，结合函数图像分析判断；对于④：取，代入解方程即可得零点个数. 【详解】由题意可知：的定义域为， 对于①：当时，， 则，所以为奇函数，故①正确； 对于②：因为， 所以函数的图像关于点对称，故②正确； 对于③：若，令，可得， 构建，可得其图像如图所示， 可知在上单调递增，且的值域为， 则与恒有一个交点，即有且仅有1个零点，故③错误； 对于④：例如，则， 令，解得或， 所以存在，使得函数有三个不同的零点，故④正确； 综上所述：真命题的个数为3. 故选：C. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 函数的定义域是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式、根式的意义列式求解即可. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域是. 故答案为：. 12. 不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】把分式不等式等价转化为一元二次不等式，由此求得原不等式的解集． 【详解】解：不等式等价于，解得， 故答案为：． 13. 已知“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知是的真子集，结合包含关系运算求解即可. 【详解】由，可得， 由，可得， 因为“”是“”的充分不必要条件， 可知是的真子集， 则，且等号不同时成立，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知函数，且当时，总有，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知在上单调递增，根据分段函数单调性列式求解即可. 【详解】由题意可知：在上单调递增， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 15. 设函数，若，则的单调递增区间是_____，若的值域为，则的取值范围是_________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】将代入解析式，分析各段单调性，即可得出单调区间；先求出上的值域，由的值域为，只需在上的值域包含，分析二次函数的开口方向，对称轴及值域即可求出的取值范围. 【详解】由题知当时，， 故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 故的单调递增区间是； 由于在上的值域为， 若的值域为， 只需在上的值域包含即可， 故需，即， 此时在上的值域为， 故需，即， 综上：. 故答案为：； 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知全集，集合，其中． （1）化简集合A，并求集合； （2）若，求集合； （3）若，都有或，求实数的取值范围． 【答案】（1）或， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式求集合A，进而可得其补集； （2）可得，进而可得交集； （3）分析可知，结合交集运算求解. 【小问1详解】 由，解得或，可得或， 所以. 【小问2详解】 若，则， 所以或. 【小问3详解】 由题意可知：， 且或，， 可得，所以实数的取值范围为. 17. 已知函数，满足下列两个条件 条件①：； 条件②：； （1）求，的值； （2）已知函数有两个不同的正数零点． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，求的值． 【答案】（1）， （2）； 【解析】 【分析】（1）由条件①可得：；由条件②可得：关于直线对称，结合对称性可得； （2）（i）分析可知有两根不相等的正实数根，利用韦达定理结合判别式求的取值范围； （ⅱ）根据题意利用韦达定理运算求解即可. 【小问1详解】 由条件①可得：； 由条件②可得：关于直线对称，则，解得； 所以，. 【小问2详解】 （i）由（1）可知：， 则， 若函数有两个不同的正数零点， 即有两根不相等的正实数根， 则， 解得， 所以实数的取值范围为； （ⅱ）因为， 所以，解得. 18. 已知函数． （1）判断函数是否具有奇偶性，并证明； （2）当时，判断在区间上的单调性，并利用函数单调性的定义证明； （3）当时，求函数的值域． 【答案】（1）为定义在上的奇函数，证明如下： 由题意可知：的定义域为，定义域关于原点对称， 且， 所以为定义在上的奇函数. （2）若，则在区间上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 因为，则， 可得，即， 所以在区间上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合奇偶性的定义分析证明； （2）根据题意结合单调性的定义分析证明； （3）可证在区间上单调递增，结合（2）可得：，再结合奇函数性质求值域. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，则， 当时，， 由（2）可知：在区间上单调递增， 任取，且， 则， 因为，则， 可得，即， 所以在区间上单调递减. 则，且， 由（1）可知：为定义在上的奇函数， 可得当时，； 综上所述：函数的值域为. 19. 某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： （1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ （2）设该地上班族总人数为，求该地上班族的人均通勤时间的表达式；并求的最小值，指明相应的的值． 【答案】（1） （2）当时，有最小值分钟 【解析】 【分析】（1）解不等式即可； （2）分、两种情况求出分段函数的表达式，再求各段上的最小值，最后得出在整个定义域上最小值. 【小问1详解】 由已知可得， 当时，不符合题意； 当时，由不等式组，解得； 所以当时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间. 【小问2详解】 当时，； 当时，， 所以， 当时，函数单调递减，此时； 当，函数在上单调递减、在上单调递增， 此时； 且，可知当时，有最小值分钟. 20. 已知二次函数，且． （1）求实数的值，并求函数在区间上的最小值． （2）求关于的不等式的解集． 【答案】（1）； （2）若，原不等式解集为； 若，原不等式解集为； 若时，原不等式解集为； 若时，原不等式解集为； 若时，原不等式解集为. 【解析】 【分析】（1）分析可知二次函数在处取到最小值，即可得，结合二次函数单调性求； （2）整理可得，分类讨论最高项系数以及两根大小解不等式. 【小问1详解】 由题意可知：二次函数在处取到最小值， 则，即，可得， 因为在上单调递减，在上单调递增， 若，即时，在上单调递减， 所以的最小值为； 若，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值为； 若时，在上单调递增， 所以的最小值为； 综上所述：. 【小问2详解】 因为，即， 可得， （i）若，则，解得，原不等式解集为； （ⅱ）若，令，解得或， 原不等式解集为； （ⅲ）若，令，解得或， ①当，即时，原不等式解集为； ②当，即时，原不等式解集为； ③当，即时，原不等式解集为； 综上所述：若，原不等式解集为； 若，原不等式解集为； 若时，原不等式解集为； 若时，原不等式解集为； 若时，原不等式解集为. 21. 如果是定义在上的函数，且对任意的，都有，则称该函数是“函数”． （1）分别判断下列函数： ①；②；③是否为“函数”？ （直接写出结论） （2）若函数是“函数”，求实数的取值范围； （3）设“函数”在上单调递增，求所有可能的集合A与． 【答案】（1）①③为“函数”，②不为“函数” （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据“函数”的定义结合方程思想逐项分析求解即可； （2）分析可知原题意等价于无解，即可得结果； （3）根据单调性以及“函数”的定义可知，，并代入检验. 【小问1详解】 对于①：令，即，可得不成立， 即恒成立，所以为“函数”； 对于②：令，即， 整理可得，解得， 即不恒成立，所以不为“函数”； 对于③：令，即，可得不成立， 即恒成立，所以为“函数”； 综上所述：①③为“函数”，②不为“函数”. 【小问2详解】 令， 则，整理可得， 原题意等价于无解， 若，则，即无解，符合题意； 若，解得，不合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 【小问3详解】 因为的单调递增区间为，由题意可知：， 若且，则， 即，不合题意，可知， 且的定义域为，则，. 此时，其图像如图所示， 可知在上单调递增， 当时，则，不满足，符合题意； 当时，则，若， 则，即， 所以不成立，符合题意； 当时，则，若， 则，即， 所以不成立，符合题意； 综上所述：恒成立，函数为“函数”， 所以，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $