湖北省“鄂北联考”2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

2024-2025学年湖北省“鄂北联考”高二（上）期中考试数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.经过点，两点的直线的方向向量为，则k为(    ) A. 2 B. 4 C. D. 2.已知直线，，若，则(    ) A. 4或 B. 4 C. D. 1或 3.已知，分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，则的周长为(    ) A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 4.从长度为1，3，6，9，10的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为(    ) A. B. C. D. 5.如图，已知空间四边形 OABC， OA，BC的中点分别为点M， N，点 G在线段MN上，且，则向量表示为(    ) A. B. C. D. 6.已知，，下列说法①若，则②若，则③若，则④若事件A，B相互独立，则⑤若事件A，B相互独立，则正确的有(    ) A. ①②④ B. ①④ C. ①③⑤ D. ①④⑤ 7.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在“鳖臑”中，平面BCD，且，M为AD中点，则异面直线CM与AB所成角的余弦值为(    ) A. B. C. D. 8.已知M、N为椭圆上关于坐标原点O对称的两点，c为椭圆的半焦距， P为平面上一点，且，，椭圆的左、右顶点分别为A、B，若，则椭圆的离心率为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.一个袋子中装有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球标号为1 和，2个绿色球标号为3和，从袋中不放回的依次随机摸出2个球.设事件“第一次摸到红球”，“第二次摸到红球”，“两个球颜色相同”，“两个球颜色不同”，则下列说法正确的是(    ) A. 事件A与事件B互斥 B. 事件C与事件D对立 C. 事件A与事件C相互独立 D. 事件B与事件D相互独立 10.下列说法正确的有(    ) A. 经过点，并且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 B. 已知圆关于直线对称，则的最小值是9 C. 点在圆上运动，点到点M的最小距离为3 D. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数 m的取值范围是 11.已知正方体中，三棱锥的体积为，线段，BC的中点分别为E，F，动点M在直线上，动点N在下底面内含边界，且，则(    ) A. 三棱锥的体积为定值 B. 动点N的轨迹长度为 C. 不存在点N，使得平面DEF D. 点N到平面DEF的距离的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知曲线表示椭圆，则m的取值范围为__________. 13.已知点，，动点P在直线上，则的最小值为__________. 14.若A， B是平面内不同的两定点，动点 P满足且，则点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中，已知点，圆若圆C上存在点M，使，则实数a的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知的点，边 BC上的中线AM所在的直线方程为，边AC上的高BN所在的直线方程为 求顶点A的坐标; 求直线AB的方程. 16.本小题15分 为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生测试共有三题，至少答对两题方可通过.现有甲，乙两名考生参加测试.已知考生甲、乙答对第一题的概率分别为，，答对第二题的概率分别为，，答对第三题的概率分别为，，假设两人三题作答相互独立. 求考生甲通过测试的概率; 求考生甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率. 17.本小题15分 已知圆C的圆心在直线上，且经过点和 求圆C的标准方程; 过点作圆C的两条切线，切点分别为P，Q，求 18.本小题17分 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，是斜边为AD的等腰直角三角形，，，， 求证：平面 求PB与平面PCD所成角的正弦值; 在棱PB上是否存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 19.本小题17分 17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示.四根等长的杆用较链首尾链接，构成菱形带槽杆长为4，点，间的距离2，转动杆一周的过程中始终有点M在线段的延长线上，且 建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点E的轨迹的方程; 过点的直线与交于A、B两点.记直线MA、MB的斜率分别为，， ⅰ证明：为定值; ⅱ若直线的斜率为k，点N是轨迹上异于A、B的点，且平分，求的取值范围. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查直线的方向向量，直线的斜率，属于基础题. 根据直线的斜率公式即可求出. 【解答】 解：经过两点的直线的方向向量为， 所以 ，解得 故选： 2.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了两条直线平行的判定及应用，属于较易题. 由条件结合直线平行结论列方程求a，并对所得结果进行检验. 【解答】 解：因为，，， 所以，所以，解得或， 当时，，，直线重合，不满足要求， 当时，，，直线平行，满足要求， 故选： 3.【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查椭圆的简单性质、椭圆的定义等基础知识，属于基础题． 先确定椭圆中a、b、c的值，由椭圆的定义可知周长，进而计算可求解．  【解答】 解：由题意知：椭圆中，，则， 的周长 故选 4.【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题． 列举出从长度为1，3，6，9，10的5条线段中任取3条，共有10种取法，再求出取出的三条线段能构成一个三角形的情况有2种，根据古典概型的概率公式即可得答案． 【解答】 解：从长度为1，3，6，9，10的5条线段中任取3条， 可能的情况有： ，，，，，，，，，，共有10种可能， 其中，能构成三角形的只有，共2种可能， 故这三条线段能构成一个三角形的概率为 故选 5.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查向量的基本定理及其意义，是中档题. 根据空间向量的线性运算知识结合已知条件直接求解即可． 【解答】 解： ， 故选： 6.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查互斥事件的概率加法公式，随机事件的交运算，相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题. 根据互斥事件的概率加法计算公式可知：①对，②错；又因为若，则，所以③错；④若事件A，B相互独立，则，正确；⑤根据可求解. 【解答】 解：， ①若，则，正确； ②，   若，的值不确定，故②错误； ③若，则，错误； ④若事件A，B相互独立，则，正确； ⑤若事件A，B相互独立，则，正确. 故选 7.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了异面直线所成角，属于基础题. 将三棱锥  放入正方体中，建立空间直角坐标系，即可利用向量求异面直线CM与AB夹角的余弦值． 【解答】 解：由题可知AB、BC、CD两两垂直，且 因此，如图，正方体内三棱锥即为满足题意的鳖臑 ， 以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，正方体棱长为2， 则  ，  ，  ，  ， 则  ，  ， ⟨⟩ ， 则异面直线CM与AB夹角的余弦值为  . 故选： 8.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查求椭圆的离心率、向量数量积的坐标运算，属于中档题. 利用已知条件结合椭圆相关知识及向量数量积知识进行求解即可. 【解答】 解：，N为椭圆上关于坐标原点对称的两点， 设，则， 设，则，， 则， 整理得：， 又， ， 则可得， 由，，， 则， 可得：， 又， 则， 代入到椭圆，可得：， 又，， ， 整理得：， ， 解得：， ， 则， ， 又， 故选 9.【答案】BCD  【解析】【分析】 本题考查古典概型的计算与应用、互斥事件、对立事件与相互独立事件的判断，属于中档题. 列出从袋中不放回地依次随机摸出2个球的所有可能情况，利用古典概型求出相应的概率，结合相互独立事件的判定方法和对立事件的概念，即可求出结果. 【解答】 解：从袋中不放回地依次随机摸出2个球的所有可能情况为： ，，，，，， ，，，，，， 共有12个， 事件A，B可以同时发生，故事件A与事件B不互斥，故选项A错误； 根据对立事件的概念知，C与D互为对立，故选项B正确； 则， 因为， 且，所以A与C相互独立，故选项C正确； 因为，； 且，所以B与D相互独立，故D正确； 故选 10.【答案】BCD  【解析】【分析】 本题考查直线的截距式方程，由基本不等式求最值，点到圆上点的最值问题，直线与圆的位置关系中的最值问题，属于中档题. A.分两种情况直线过原点；直线不过原点. B.因为圆关于直线l：对称，所以直线过圆心，即，然后利用基本不等式可求解； C.点到点M的最小距离为； 当直线与曲线相切时，原点到直线l的距离，所以当直线过半圆的下顶点时，，所以由此可求解. 【解答】 解：经过点，并且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或，错误； B.圆的圆心坐标为，半径为， 因为圆关于直线l：对称， 所以直线过圆心，即，所以，故，且， 所以， 当且仅当，且时，等号成立，B正确； C.点到点M的最小距离为，正确； 由，得如图， 当直线与曲线相切时，原点到直线l的距离，所以 当直线过半圆的下顶点时，，所以 若直线与曲线有两个公共点，则实数 m的取值范围是正确. 故选 11.【答案】BC  【解析】【分析】 本题考查椎体体积，轨迹，距离及证明线面垂直问题，属于较难题. 利用锥体体积公式，距离公式，空间向量证明线面垂直去解决问题. 【解答】 解：对于A，因为为等腰三角形，面积是定值， 动点M在直线上，不平行所在的平面， 点M到面的距离不是定值. 三棱锥的体积为定值错误. 对于B，因为三棱锥的体积为， 设正方形边长为a，所以，故， 因为则EN，而， 故 ， 故动点N的轨迹为以为圆心，为半径的圆在底面内的部分，即四分之一圆弧， 故所求轨迹长度为，故B正确. 对于C，以为坐标原点，、、所在直线分别为 x、y、z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，故，， 设为平面DEF的法向量，则 令，故为平面DEF的一个法向量， 设，故， 若平面DEF，则，则，解得，但， 所以不存在点N，使得平面DEF，故C正确. 对于D，因为为等腰三角形， 故， 而点N到平面DEF的距离 令，则，， 则错误. 故选 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查椭圆的标准方程满足的条件，属于基础题. 要使其为椭圆，求出满足椭圆的条件，进而求出m的范围. 【解答】 解：由题意可得， 解得且， 所以 m的取值范围为 故答案为 13.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查利用点关于直线对称求线段和最小问题，属于中档题. 先判断 A，B在直线的同侧，作B关于直线的对称点，当B，P，三点共线时，最小. 【解答】 解：由题意知点A，B在直线的同侧， 设点B关于直线的对称点为， 则解得 即， 所以 故答案为 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查圆与圆的位置关系，属于中档题. 由题意得M的轨迹，进而得两圆相交，进而得解. 【解答】 解：设，因为， 即，平方整理得， 即点M的轨迹是以为圆心，半径的阿氏圆D， 又因为M在圆C上，所以M是圆D、圆C交点，即圆D、圆C相交， 圆C：，圆心，半径， 所以，即， 解得，即 故答案为 15.【答案】解：边AC上的高BN所在的直线方程为， 设边AC所在的直线方程为：， 点，，即边AC所在的直线方程为：， 边BC上的中线AM所在的直线方程为， ，得， 得点 设点，则点， ，得点， ， 边AB所在的直线方程为：  【解析】本题考查了直线方程，两条直线垂直的应用，属于基础题. 设边AC所在的直线方程为：，利用点与直线的位置关系、相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出；  设点，利用中点坐标公式、点斜式即可得出. 16.【答案】解：记事件“甲通过测试”，事件“甲答对第i题” ； 记事件“乙通过测试”，事件“乙答对第i题” 则 记事件“甲、乙两人中至少有一人通过测试”   【解析】本题考查了独立事件概率乘法公式和对立事件，是中档题. 利用独立事件概率乘法公式计算出答案； 求出乙通过面试的概率，再利用对立事件关系求解即可； 17.【答案】解：的中点为点，， 线段EF的垂直平分线方程为，即 联立可得圆心 半径为， 圆C的标准方程  由题可知，点A，P，C，Q四点在以AC 为直径的圆上，  以AC为直径的圆的圆心为，半径为，  以AC为直径的圆的方程为，  是以AC为直径的圆和圆C的公共弦， 所在的直线方程为：， 由于点到PQ所在的直线的距离为   【解析】本题考查圆的标准方程、圆与圆的公共弦以及弦长公式，属于一般题， 利用几何法求出圆的圆心、半径，即可； 由四点共圆以及圆C易得公共弦PQ，再利用弦长公式求解，即可. 18.【答案】证明：平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，， 平面PAD， 平面， 又且，PA、平面平面PAB， 解：取AD中点为O，连接PO、CO， 又，， 则 ，，则， 以O为坐标原点，分别以，，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， ，，，，，， 设为平面PCD的一个法向量， 由得令，则 设PB与平面PCD所成角的角为， 解：假设在棱PB上存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为， 由可知，，，， ，设， 设为平面ADM的一个法向量， 由得， 则， 易知平面ABCD的一个法向量为， 设平面ADM与平面ABCD的夹角为 ， ，   【解析】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角以及二面角的平面角的求法与应用，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，属于中档题． 证明，推出平面PAD，，结合，证明平面PAB； 取AD中点为O，连接CO，PO，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系求出平面PCD的法向量， 利用空间向量的数量积求解PB与平面PCD的正弦函数值． 设，为平面AMD的法向量，利用空间向量的数量积，求解，推出结果． 19.【答案】解：， ， 点E的轨迹是以，为焦点的椭圆， 设椭圆的方程为， ，，，，， 点E的轨迹的方程为； 证明：设直线与椭圆的交点坐标为， ①当直线斜率存在时，如图1， 设，联立直线与椭圆的标准方程， 可得：， 显然：恒成立，则，， ，，， ， ， ，即为定值； ②当直线斜率不存在时，直线垂直于x轴，如图2， 显然，可得：即， 综上所述：为定值. ， 由可知：， 设，即， ，可得， 又， ，则 又直线的斜率存在，， ，综上：  【解析】本题主要考查轨迹方程，直线与圆锥曲线的综合，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于较难题． 根据已知可得，即可得出轨迹为椭圆．根据已知求出a，b，c，即可得出答案； 当直线斜率存在时，设：联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理得出坐标关系，表示出，，整理化简，即可得出；当直线斜率不存在时，根据对称性也可求出，即可得出证明； 由题意得，设，结合中韦达定理关系求解即可. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$