练习29 与圆有关的综合题(2)-练习32 与圆有关的综合题(5)-【课时提优计划作业本】2024-2025学年九年级数学上册（苏科版）

练习28与圆有关的综合题(1) (1)①，∠A0B+∠C=135,∠A0B=2∠C.∴.3∠C=135, ∠C=45°，②如图1，连接AB,过点A作AG⊥BC,垂足 为G.由①得，∠C=45.又AC=8,.△ACG是等腰直角三角 形，且AG=CG=42.∠AOB=2∠C=90°，QA=(OB. 图1 图2 ∴△4B是等腰直角三角形，：AB=2OA=52.在R1△ABG(2)证明：如图2，连接DE·∠DCE=90°，DE为⊙0的直 径，即DE=2r,∴.CD+CE=DE=4r. 中，由勾股定理得G=A形-AG=√(52)-(42)= (3)448解析：如图3，CD+CE是定值，FG是⊙O的弦 3/2.∴.BC=CG+BG=42+32=7√2 ,⊙O的半径为8，.弦心距越小则弦FG越长，圆心O在以 点C为圆心，8为半径的圆上，当OC⊥AB时，点O到AB的距 离最短，此时FG最大，在Rt△ABC中，由勾股定理得AB= VAC+C=V+2D=25.:5%m=号4AC·BC= 2AB.CH∴CH15%20-=120C-8,0H=CH-0C 25 12-8=4,.FH=GH=OF-OF=82-4平=45， 图1 图2 ∴.FG=2FH=83,.CD+CE+FG的最大值为16+ (2)证明：如图2，连接AB,过点P作AB的垂线，垂足为H,交 (83)=448. ⊙O于点M,反向延长PM交⊙O于点N.,PA=PB,∴.MN 垂直平分AB,∴.该圆的圆心在MN上.假设点P不是该圆的 圆心，则圆心在PM上或PN上.若圆心为O,且在PM上，连 接OA,OB,则∠AOB>∠APB.:点C在圆上，∴.∠AOB= 2∠C..2∠>∠APB,与已知∠APB=2∠C矛盾，.圆心O 不在PM上：若圆心为O,且在PN上，连接OA、OB,则 ∠APB>∠AOB.点C在圆上，∠AOB=2∠C. ∴.∠APB>2∠C,与已知∠APB=2∠C矛盾，，圆心O不在 图3 图4 PN上.综上所述，圆心在点P处，即P为该圆的圆心 46≤<2到 4 解析：如图4，当⊙O与边AB相切时， (3)如图3，过点A作AF⊥BC,垂足为F,并延长交⊙O于点 E,连接BE、DE.∠APB=90°，∴.∠ACB=45°，∠AEB= ⊙O的直径最小，最小值为12，此时r=6:当圆心O在AB 上时，圆的直径最大，为25.满足题意的r的取值范围是6≤ 5∴△APC是等腰直角三角形，CP-受CA:CD-2CB- <空：圆心距离AB最近时，CD+CE+PG的值最大，当 CA号CD=CB-号CA=GB-CF=那：∠FE=0, 半径比较小时，圆心O在CH上时.CD+CE+F?的值最 大.当圆心在CH上，圆正好经过点A时，设OA=(OC=r, ∠AEB=45,∴.BF= 号E∴E=CD.:点D在⊙P上， 在Rt△AOH中，则有OA=F+AH,即2=(12 .BE-CD,.CE=BD,∠BED=∠CBE,.BC∥DE.又 9+9,解得-安0H=CH-0C=12-要-器当> BC⊥AF,∴DE⊥AE,∴∠AED=90°，∴AD是⊙P的直 径.综上所述，满足CD=2CB一CA的⊙P上的所有点D 夏时，若圆心0还在CH上，则点A在⊙0内，⊙0不与边 中，必有一个点的位置始终不变 AC相交，此时圆心在AC的中垂线上∴当6<≤受时，圆心 O在CH上，当得<<罗时，圆心O在AC的中垂线上，则 CD+CE+G的值最大，∴.点O的路径为图4中折线 0-0-0.0H=6.0H=g00=0H-QH 6-段-5又：40=2H=9.H0-空-9=名 B 图3 00=1(受)+（得）-要∴点0的路径长为得+ 练习29与圆有关的综合题(2) 35-31 (1)如图1即为所求. 84 52> 练习30与圆有关的综合题(3) 意得，点C在直线y=x+4上运动，过点C的直线为对称轴， (1)①Q、Q解析：如图，：A(1,0),B(3,0),AB关于直线 将⊙Q与⊙P对称，：半径为r的⊙O是⊙P关于直线I的 y=x的对称图形为A'B',∴.根据轴对称性可得，A'(0,1), “弱相关图形”，∴r≥OP一2.当⊙P与坐标轴相切时，r取得 B(0,3),即点A',B在y的正半轴上.由图1可知，线段AB最小值，此时点P(2,一2)，则OP=22,又点C在直线y 与线段AB'均存在点在⊙O(图形Q)内部和⊙B(图形Q)内x十4上运动，CO不与直线y=x平行，∴点Q只能接近点D, 部，线段A'B不存在点在⊙A(图形Q)内部，∴.Q、Q为线∴.⊙Q上的点与点O的距离的最小值小于OD一2，满足题意， 段AB关于直线y=x的“弱相关图形” .r的最小值为OP-2,即r≥22-2. 4 6 B -33 234567 5 图1 图4 ②若⊙O是线段OA关于直线l:y=x+b的“弱相关图形” 练习31与圆有关的综合题(4) y=x十b与y=x平行，∴.y=x十b与坐标轴的夹角为45°， 【探索发现】：∠ACB=90..∠CAB+∠CBA=90°.，AF 设点O关于y=x十b对称的点为O,则O了⊥1，则点O在直线 是∠CAB的平分线，BF是∠CB.A的平分线，∴.∠FAB十 y=一r上.当<0时，点A离直线1：y=x十b较近，设点A ∠FBA=5°，.∠AFB=135,.点F在以AB为定弦， 关于y=x十b对称的点为A',如图2，当点A'在⊙O上时，设1 ∠AFB为定角的圆上， 与x轴交于点D,由题意得，DA=DA',连接OA,则OA'=2 【拓展应用】设点F在⊙O上，连接OA、OB.:∠AOB= 设DA=a,则DA'=a,在Rt△DOA'中，由勾股定理得D)+ 2(180°-∠AFB)=2×(180°-135)=90°，.∠ACB+ DA=0A,即1十a)+a2=2%,解得a=7,1, 2 ∠AOB=180°，.O、A、B、C四点共圆.过点F作FH⊥AB于 点H,设AB的中点为D,当点H与点D重合时（如图2），FH 7-山（含去），D(1,0）,代人y=x+6,解得b= 2 2 的长度最大，此时△AFB的面积最大.，FH⊥AB,D是AB 的中点，.FA=FB.∠AFB=135°，.∠FAB=∠FBA= 7,当>0时，点A离直线1：=+6较远，如图8，当25乙C八B=∠CB1=5…△C是等腹直角三角 点O在⊙O上时，由题意得，D0=DO,O)=2,设DO= 形.连接CF,则C,F.D三点共线.过点F作FP⊥AC于点P, DO=a,在R△DOO中，由勾股定理得O=D)+D,则FP=FD,AP=AD.AB=23,∴.AC=6,AD=AP= 即a2+=4,解得a1=2a=-2(舍去).∴D-2,0),代5，∴CP=AC-AP=6-5.∠FCP-45,∴.CF=2CP 入y=+6,得反.综上所述，b的取值范围为-7+1≤ 2/3-6,∴.FD=CD-CF=3-(23-6)=6-3, 2 2. “5m=号AB:FD=号×25×6一3)=37-3，即 △AFB面积的最大值为32-3. D(H) 图2 图3 图1 图2 (2),"C(a-2,a十2)..a十2=a一2十4，即点C在直线y 【灵活运用】·△ABC是等边三角形，AB=BC,∠ACB= x十4上，如图4，过点O作直线y=十4的垂线，垂足为D.令 ∠ABC=60°.：BD=CE,∴.△ABD≌△BCE(SAS), x=0,则y=:令y=0,则r=-4.0D=4X4=22.由题 .∠CBE=∠BAD,∴∠AFE=∠ABF+∠BAF=∠ABF+ 42 ∠CBE=∠ABC=60°，∴∠AFB=120°.AB=23,∴点F 《53 在以AB为定弦，∠AFB为定角的圆上.设△ABF的外接圆下：如图3，取EF的中点J,连接OJ、JM,OM,过点O作O儿⊥ 为⊙O,当△ABF的高经过圆心O时，△ABF的周长有最大MW于点L.设JN=x,lJ=y,则MN=2z,MW=3x,E一3.x 值，连接AO、B0:∠AFB=120°，∴.∠AOB=120°.，O4= 在R△0F冲，∠BOF=90,为EF的中点OJ=EF= OB,.∠OAB=30°.'AB=23,,∴.AH=3.在R1△AOH中， QA=2H.∴.AH=3OH.∴.OH=1,OF-OA=2,∴.HF=OF- EJ=3x.在Rt△OM1.中，由勾股定理得OL,=OF OH=1.AF=BF=2,∴Ca=AF+BF+AB=2+2+M=6-(3x+y)只.在R△OJL中，由勾股定理得O 23=4+23,即△ABF周长的最大值为4+2/3. O-1LJ=3x2-y..62-(3x十y)2=3.x2-y,化简得2x2+ xy=6.在Rt△ONL中，由勾股定理得ON=OL2+LN2= 3x2-y2+(x十y)2=42十2.xy=2(2x2+xy)=2×6=12,即 ON=25. 图3 练习32与圆有关的综合题(5) (1)由折叠的性质得，OC=AC,又，OC=OA,∴.AC=OC=OA, 图3 .△OAC是等边三角形，∴.∠CA0=60,同理，∠BAO=60° 练习33平均数 ∴.∠CAB=∠CAO十∠BAO=60°+60°=120.(2)①如图 1,分别以点O和点M为圆心，OM的长为半径作弧，交于点1.B解析：“数据一西的平均数为，十 十z十x十西=5k.:数据6、x、、x、xm的平均数为 G:分别以点0和点G为圆心，大于20G的长为半径作弧，分 k,∴6十十8十x十xo=5k,:k1与k的平均数是k, 别交于点H、1:连接HI交OQ于点F:以点O为圆心、OF的k,+=2k,∴十十十x+十6十十%十西十 长为半径作弧交OP于点E:连接EF、EM,FM根据作图可tm=5k,十5k:=5(k十2)=10k.数据、，、·，、 知，OE=OF:根据折叠可知，∠POQ=90.:M为PQ的中点，2的平均数为m,十0十西十1十十%十x十 十十x1o=10m,.10k=10m,.k=m. ∠POM=∠QM=是∠POQ=45,又0M=OM,2.7解析：数据4西的平均数是2，数据 ∴.△OMF2△OMF(SAS,∴.∠OME=∠OMF,EM=FM:由作21+3、2十3、2+3、2+3,2.+3的平均数是2×2+ 图可知，△OG为等边三角形，MF垂直平分OG,∴·∠OG=3=7. 60°，，∠OMF=∠GMF=30,,.∠OME=∠OMF=30°，3.75解析：，a、b、c、d.e的平均数是90，∴.a十b十c十 .∠EMF=∠OME+∠OMF=30°+30°=60，.△EFM为等d+e=90×5=450.,a、b、c的平均数是80，.a+b+c=80× 边三角形. 3=240,∴.d+e=450-240=210.:c、d、e的平均数是95， P .c=95×3-210=75,.可以求出，它等于75. 4(D甲的最终成绩为90牛86=88（分），乙的最终成绩为 2 =x(分)，丙的最终成绩为84牛92=88（分.由题意得。 2 2 88<x<90,且x为整数，x=89.(2)甲的最终成绩为 90X4士86X6=87.6(分)，乙的最终成绩为=x(分)， 4十6 4十6 丙的最终成绩为81X4士2X6-8.8(分，由题意得，87.6< 4+6 图1 图2 x88.8,且x为整数，，x=88.(3)甲的最终成绩为 ②25解析：由①可知，△EFM为等边三角形，∠OME 90u+8610-a=(0.4a十86)分，乙的最终成绩为 a+10-a ∠OMF=30,∴.△EFM的内心N在OM上（如图2）.MK EF,∴.EK=KF.设NK=x,则MN=2x,MK=3x,OK=6 工·a士10-a=(分)，丙的最终成绩为4+210a u+10-4 d+10-a 3x.∠EMK=30°，∴.EK=5x.∠POQ=90,OE=OF,(92-0.8a)分.由题意可知，84<x<90且x为整数，∴.乙的 EK=KF,∴EK=OK=之EF,∴3x=6-3,解得x=3 最高分为89分，∴.要确保甲被录取，需满足0.4：十86>92 0.8a,且0.4a十86>89，解得a>7.5.又"，a为整数且1≤u≤ 3,ON=6-2x=6-2×(3一3)=25.③不变.理由如9，.a的最小值为8. 54●》九年级 上 练习29 与圆有关的综合题(2) 如图,在△ABC中,C=90{,AC=15,BC=20,经过点C的⊙O与△ABC的每条边都相 交.O与边AC的另一个公共点为D,与边BC的另一个公共点为E,与边AB的两个公共点 分别为F、G.设⊙O的半径为r 【操作感知】 (1)根据题意,仅用圆规在图中作出一个满足条件的O,并标明相关字母 【初步探究】 (2)求证:CD+CE-4r^. (③)当,-8时,CD*+CE*十FG*的最大值为 【深入研究】 (4)直接写出满足题意的,的取值范围:.对于该范围内每一个确定的,的值. CD十CE{}十FG^{*}都有最大值,每一个最大值对应的圆心O所形成的路径长为 《2 提分练习 练习30 与圆有关的综合题(3) 在平面直角坐标系xO中,对于图形P、图形P和直线/给出如下定义:图形P关于直线 /的对称图形为P,若图形P与图形P均存在点在图形Q内部(包括边界),则称图形Q为图 形P关于直线/的“弱相关图形” (1)如图,点A(1,0),点B(3,0). ①已知图形Q是半径为2的⊙O,图形Q:是半径为1的⊙A,图形Q:是半径为3/② 的。B,在图形Q、Q、Q中,线段AB关于直线y一x的“弱相关图形”是 ②已知O的半径为2,若O是线段OA关于直线一x十的“弱相关图形”,求的 取值范围. (2)在由第四象限、原点、;轴正半轴以及v轴负半轴组成的区域内,有一个半径为2的 P.若存在点C(a一2,a十2),使得对于任意过点C的直线/,有P,满足半径为r的 O是⊙P关于直线/的“弱相关图形”,直接写出,的取值范围 3) 九年级 上 练习31 与圆有关的综合题(4) 小明在学习了《圆周角定理及其推论》后,有这样的学习体会:在Rt△ABC中,C一90* 当AB长度不变时,则点C在以AB为直径的圆上运动(不与点A、B重合). 【探索发现】 小明继续探究,在Rt△ABC中,C一90{*},AB长度不变.作 A与 B的角平分线交于 点F,小明计算后发现AFB的度数为定值,小明猜想点F也在一个圆上运动.请你计算 之AFB的度数,并简要说明小明猜想的圆的特征 【拓展应用】 在【探索发现】的条件下,若AB一2.3,求出△AFB面积的最大值 【灵活应用】 在等边三角形ABC中,AB=23,点D、E分别在边BC、AC上,且BD=CE,连接AD. BE交于点F,试求出入ABF周长的最大值. 《 提分练习 练习32 与圆有关的综合题(5) 数学兴趣小组在探究圆中图形的性质时,用到了半径是6的圆形纸片若干 (1)如图1是一张圆形纸片,圆心为O,圆上有一点A,折叠圆形纸片使得点A落在圆心C 上,折痕交⊙O于B、C两点,求/BAC的度数 (2)把一张圆形纸片对折再对折后得到扇形POQ,M是PQ上一动点 ①如图2,当M是PQ的中点时,在线段OP、OQ上各找一点E、F,使得△EFM是等边 三角形,试用尺规作出八EFM,简要说明作法,保留作图痕迹,不需证明 ②在①的条件下,取△EFM的内心N,则ON一. ③如图3,当M在PQ上的三等分点S、T之间(包括S、T两点)运动时,经过兴趣小组 探究都可以作出一个△EFM是等边三角形,取△EFM的内心N,请问:ON的长度 是否变化?若变化,请说明理由;若不变,请求出ON的长度 0 图1 图2 图3 32)