练习13 垂径定理的实际应用-练习16 最短弦问题-【课时提优计划作业本】2024-2025学年九年级数学上册（苏科版）

九年级上 练习13垂径定理的实际应用 【方法提示】半径()、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思 路，它们之间的关系为=P+(2AB): 1.如图是正在修建的某大门上半部分的截面，其为圆弧形，跨度CD(孤所对的弦)的长为 3.2m,拱高AB(孤的中点到弦的距离)为0.8m. (1)求该圆弧所在圆的半径. (2)在修建中，在距大门边框的一端（点D)0.4m处将竖立支撑杆HG,求支撑杆HG 的高度 2.如图1是小明制作的一副弓箭，点A、D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC= 0.6m.沿AD方向拉弓的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦长度不变.如 图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1=0.3m,∠B1DC1=120°. (1)求图2中弓臂两端点B、C之间的距离. (2)如图3，将弓箭继续拉到点D2,使弓臂B,AC2为半圆，求DD2的长度 B.B D 图1 图2 图3 《13 提分练习 练习14覆盖圆问题 【方法提示】覆盖圆问题”是三角形外接圆知识的拓展，需联系实际理解问题的本质，再结 合圆有关知识作答. 1.如图，△ABC是一个等边三角形，边长为3，若分别以顶点A、B、C为圆心作三个等圆， 这三个等圆能完全覆盖△ABC,求所作等圆的最小半径. 2.我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆，例如：线段AB 的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆. (1)请分别作出图1中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不 写作法). (2)若在△ABC中，AB=5,AC=3,BC=4,则△ABC的最小覆盖圆的半径是 若在△ABC中，AB=AC,BC=6,∠BAC=120°，则△ABC的最小覆盖圆的半径是 (3)如图2，用3个边长为1的正方形组成一个对称的图形，求该图形的最小覆盖圆的 半径. (4)某城市有四个小区E、F、G、H(其位置如图3所示)，现拟建一个手机信号基站，为 了使这四个小区居民的手机都能有信号，且使基站所需发射功率最小（距离越小， 所需功率越小)，此基站应建在何处？请写出你的结论并说明研究思路， 5154 44 D 50 48.1289F 80 1005 48 图1 图2 图3 14》 九年级上 练习15垂直弦问题 【方法提示】 C 图形 E ⊙O中，弦AB⊥弦CD于点E, ⊙O中，弦AB⊥弦CD于点E,连接AO并 结论 则AC+BD=AD+BC 延长交⊙O于点H,连接DH,则DH=BC 1.如图，PA、PB是⊙O的两条弦，C是AB的中点，弦CD⊥PA于点E. (1)求证：AE=BP+EP. (2)连接CP、AD,若CP=2,求圆心O到AD的距离. 2.如图1，△ABC是⊙O的内接三角形，AF⊥BC,垂足为D,OH⊥AB. (1)OH与CF有怎样的数量关系？为什么？ (2)如图2，A、B、C、D是⊙O上四点，若AC⊥BD,垂足为E,AB=4,CD=2,求⊙O的 半径. 图1 图2 《15 提分练习 练习16最短弦问题 【方法提示】经过圆内一点（不是圆心）的最长弦是经过该点及该圆圆心的弦，最短弦是经 过该点且垂直于过该点的直径的弦， 1.如图，已知P是半径为5cm的⊙O内一点.解答下列问题： (1)用尺规作图找出圆心O的位置.要求：保留所有的作图痕迹，不写作法. (2)用三角板分别画出过点P的最长弦AB和最短弦CD. (3)已知OP=3cm,过点P的弦中，长度为整数的弦共有 条 2.在平面直角坐标系xOy中，对于点P(m,n),我们称直线y=x十n为点P的“友好直 线”，例如：点P(一3,2)的“友好直线”为y=一3x十2 1D已知点A(停，4 ①点A的“友好直线”为 ②若⊙O与点A的“友好直线”相切，求⊙O的半径 (2)已知点C(0,1),D是x轴上任意一点（原，点除外），M为直线CD上的动点 ①当点D的坐标是(1,0)时，求点O到点M的“友好直线”的距离的最大值 ②以点Q(一1,0)为圆心、3为半径作⊙Q.在点D的运动过程中，当点M的“友好 直线”与⊙Q交于E、F两点时，EF的最小值为4，请直接写出点D的坐标 16》2.如图，连接OP.OM,延长OM与OM交于点P,设点P的在R△BQD中，DQBD=号×30=15(m.BQ 坐标为(x,y),则PA=(x+1)+y,PB=(x一1)+y, .PA+PB=2x2+2y+2=2(.x2+y)+2.OP=x2+ /BD-DQ=√30-15=155(m),∴.BC=2B1Q y,∴.PA十PB=2OP+2.当点P位于线段OM的延长线303cm,即题图2中写臂两端点B,C之间的距离为303am 与⊙M的交点P'处时，OP取得最大值，OP的最大值为 OP'=(OM+MP=/3+4+2=7,.PA+PB的最大值 为2×7+2=100. D O B 图1 图2 (第2题) (第3题) (2)如图2，连接B2C交AD于点P,由(1)可得，CAB,的长 3.如图，连接OE、OC,取OC的中点M,连接MF、DM,设⊙O 为120xX30=20x(em).设CAB,所在圆的半径为rm, 180 的半径为：F为CE的中点，MF=2OE=:E是 ∴CAB2的长为xr=20x,解得r=20,∴.AP=BP=C2P= ⊙O上的一个动点（不与点C重合），C为定点，·点F的运动 轨迹是以点M为圆心、MF的长为半径的圆，则DF≤DM+ r-20 cm.BC=0.6 m-60 cm.:'B:D:=C:D:=BC- MF,∴.当DM、F三点共线时，DF有最大值4.此时DF=3Ocm.在R△BPD中，由勾股定理得PD,=√BD-B严= DM+MF,DM=4-号：CD⊥AB.∠CD0=90. 3020=105(cm),..DD.=AD:-AD =(AP+PD:) M为0C的中点，DM=0C=之，∴2=4-解 AD=(20+10√/5)-30=(10/5-10)(m). 练习14覆盖圆问题 得r=4.∴.OD=OA-AD=4-2=2.在R△CDO中，由勾股定 L.当三个等圆相交于一点时，此时恰好能完全覆盖△ABC, 理得CD=/OC-OD=④-2=23. 设这个点为O,连接AO,BO,(CO,此时AO或BO或CO是所 练习13垂径定理的实际应用 作等圆的最小半径.：△ABC为等边三角形，∴AB=BC 1.(1)由题意可知，AB垂直平分CD,.圆心O在BA的延长AC=3,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60.由题意，得AO= 线上.如图，连接OC,OG,设⊙O的半径为rm,则OA=(r AB-AC. 0.8)m0B1CD.∴CA=DA=2CD=2×3.2=1.6(m). B)=CO.在△ABO和△ACO中，〈BO=CO,..△ABO≌ A0=A0). 在R△OAC中，由勾股定理得AC十OA”=OC,即1.6十 (r-一0.8)2=产，解得=2，即该圆弧所在圆的半径为2m △ACO(SS).∴.∠BA0=∠CA0=号∠BAC=号×60° (2)如图，过点G作GE⊥AB于点E.DH=0.4m,.AH (AC-BC. AD-DH=1.6-0.4=1.2(m.∠GEA=∠EAH=∠GHA=30°.在△AO和△BO中，AO=BO,∴.△ACO≌△BCO 90°，.四边形AHGE为矩形，，，AE=GH,GE=AH=1.2m C0=C0. 在R△OEG中，由勾股定理OE=CG-了=√2一1，= L.6(m.OA=OB-AB=2-0.8=1.2(m),.AE=OE (SSS,∴∠AC0-∠B00-号∠ACB=是×60°=30.如图， OA=1.6-1.2=0.4(m),GH=Q.4m.即支撑杆HG的高延长AO交BC于点E.AB=AC,AE平分∠BAC,AE 度为0.4m. BC,BE=CE==号×3=是.在R△OC中，∠CE 30°，∴.C=20E,由勾股定理得(OE+CE=(C,即OE+ (号)广=(20E=40E,解得OE=号或0E=-(合去)。 0c=20E=2×5 =3,∴所作等圆的最小半径3. 2.(1)如图1，连接BC交AD于点Q.BC=0.6m= 60cm∴BD,=CD=号×60=30(cm.:AD=0.3m 30cm,且弓臂BAC为圆弧形，∴点D1是BAC所在圆的圆心. :A是弓臂BAC的中点，.∠BDA=∠CDA= 支∠BDC=号×1T=60,B.CLAD∴∠DBQ=302.1)第一个三角形是领角三角形，那么它的最小覆盖圆应 44●》 该是△ABC的外接圆：第二个三角形是钝角三角形，那么它图，连接AO并延长交⊙O于点G,连接DG,过点O作OH⊥ 的最小覆盖圆应该是以EF为直径的圆.作图如图1所示 AD,垂足为H,∴AH=DH.:OA=OG,.OH是△ALDG的 中位线∴OH=2DG.:AG是⊙0的直径.·∠ADG=90, .∠GAD+∠AGD=90°.CD⊥AP,.∠AEC=90, 809 100e ∴·∠CAE+∠ACE=90.∠AGD=∠ACE,∴.∠GAD= ∠CAE,∴DC=CP,∴DG=CP=2,∴OH=号DG=1,即圆 心O到AD的距离为1 图1 (2)号3解析：如图2，要求△ABC的最小覆盖圆的半径， 即求其外接圆的半径.AB=5,AC=3,BC=4,∴.△ABC是2.(1)CF=2OH.理由如下：如图1，连接B0并延长交⊙O于 直角三角形.∴其外接圆的半径即为斜边的一半，是号.如图 点E,连接AE,OH⊥AB,∴.H是AB的中点，∴OH是 △ABE的中位线，.AE=2OH.,BE是直径，∴.∠BAE= 3,△ABC的最小覆盖圆的半径是边BC的一半，即号×6=3. 90°.∴.∠ABE+∠AEB=90°.：AD⊥BC,.∠ADC=90, ∴∠ACB+∠FAC=90°.：AB=AB.∠AEB=∠ACB. ∴∠ABE=∠FAC,.AE=CF,.AE=CF.:AE=2OH, ∴.CF=2OH.(2)如图2，过点O作OH⊥AB于点H,连接 OB.由(1)得OH=2CD=1.:OH⊥AB,∴.BH=号AB= 专×4=2在△B0巾，由勾股定理得O形肝+OF一 图2 图3 2+1严=3，即⊙O的半径从5. (3)如图4，记圆心为O,设圆的半径为r,OA=a,得 a2+1= 12-a+()'=2.解得 517 故该图形的最小覆 16 盖圆的半径为，=5亚 16 图1 图2 练习16最短弦问题 51%4 L.(1)如图所示，点O即为所求.(2)如图所示，ABCD即 H 31 50 44 为所求. 48.12 483388 图4 图5 (4)此中转站应建在△EFH的外接圆圆心处（线段EF的垂 直平分线与线段EH的垂直平分线的交点处).理由如下：(3)4解析：如图.连接DO.OP=3cm.OD=5cm,.在 ,∠HEF=∠HEG+∠GEF=48°+33.88=81.88°，∠EHF Rt△OPD中，由勾股定理得DP=√OD-OP=-3零 50°，∠EFH=48.12°.∴.△EFH是锐角三角形.∴.其最小覆 4(cm),.CD=2DP=8cm,,过点P的弦中，长度为整数的 盖圆为△EFH的外接圆，设此外接圆为⊙O,易知△HGF为 弦共有4条 钝角三角形，也在⊙O内部，如图5所示. 练习15垂直弦问题 2.)①y=专x十4②如图1，设直线y=亭x+4与x轴交 1.(1)证明：如图，在AE上截取AF=BP,连接AC、BC,CF、于点B,与y轴交于点C.令x=0,则y=4,∴C(0,4).∴OC CP.C是AB的中点，AC=C,.AC=BC.:∠CAP= 4:令y=0,则x=-3,.B(一3,0)，.OB=3.在Rt△BO℃ ∠CBP,AF=BP,∴.△AFC≌△BPC(SAS),.CF=CP.CE⊥中，由勾股定理得BC=OB+OC=,3+4平=5.过点O AP,∴.EF=EP.,AE=AF+EF,.AE=BP+EP.(2)如作OD LBC于点D.,⊙O与点A的“友好直线”相切，∴.⊙O 45 BC. 的半径长度等于OD的长度.S=号OB·OC- 0D3X4=0D.0D=号00的半径为号 D 图3 23 练习17圆中有关角度的计算 图1 (1)127.5° 解析：∠AEC的度数=号(AC的度数+BD的 (2)①设直线CD的函数表达式为y=kx+五.，C(0,1),D(1, 幂用伦直线D的属数表达式为 度数).∠AEC=号×(65+40)=52.5，.∠AED=180° 0) b=1, ∠AEC=180°-52.5"=127.5，(2)如图1，连接0A.OB y=一x十1.，M为直线CD上的动点，.M(m,一m+1), 点M的“友好直线”为y=mx一m十1，易知点M的“友好直 OC、OD、BC.:∠E=∠ABC-∠BCE=号∠AOC 线”经过定点N(1,1).如图2，直线1为点M的“友好直线”， 是∠BOD-=C的度数-BD的度数).∠E=名(AC的 过点O作OH⊥1于点H,连接ON,.ON≥OH,∴.当点H 与点N重合时，OH取得最大值，即点O到点M的“友好直度数一BD的度数)， 线”的距离最大，.点O到点M的“友好直线”的距离的最大 值为、+卫=2 图1 图2 (3)∠FGO的度数不变.理由如下：如图2，过点A作AH⊥x 图2 ②，D是x轴上任意一点（原点除外），.设D(d,0).设直线 轴于点H,连接OA.AC=AD.∴∠ACD=∠ADC,号(BE CD的函数表达式为y=ar十c,:a叶c=0,解得 的度数+AN的度数)=号(AB的度数+FN的度数).∴BE的 c=1, 1 度数+AN的度数=AB的度数+FN的度数，∴.FV的度数 a=一7'∴直线CD的函数表达式为y=一r+1:M BE的度数=AN的度数一AB的度数.由(2)知，∠FGO c=1. 为直线CD上的动点∴M(m,一m+H)一点M的友好直 之（风的度数-丽的度数）=专(N的度数一A的度数. A(3,1),∴OH=3,AH=1,.OA=√OP+A平= 线"为)m号+1.“y=mr-程+1=m(-)+1, V(52+1=2,·∠A0H=30°，∴.∠AON=120,∠AOB= ∴点M的“友好直线”经过定点N(,)如图3，直线1为 60,∴∠F0-号×12w°-60)=30，∠FPG0的度数不变， 点M的“友好直线”，过点Q作QH⊥EF于点H,连接QF,则为30 EH=FH=令ER:FH=√QP-QF,“要使EF最小 练习18四点共圆 【数学探索】∠B十∠AEC=I80°假设过A,B、C、D四点不 则QH取得最大值.由①知，当点N与点H重合时，即点H 能作一个圆，如题图2，过A、B、C三点作圆，若点D在圆内， 与（号1）重合时，QH最大.：EF的最小值为4，∴QH的最 设AD的延长线与圆相交于点E,连接CE,则∠B+∠AEC= 180°，而已知∠B十∠ADC=180°，所以∠AEC=∠ADC,而 大值为3-g5.Q-10.H1)∴(-1-})十 ∠AIDC是△CED的外角，∠ADC>∠AEC,出现矛盾，故假 设不成立，因此点D在过A、BC三点的圆上，【学习任务】 1-0)=(5),解得d=1或d=一子点D的坐标为 (1)圆内接四边形的对角互补(2)①证明：由旋转的性质，得 10)或(-0) AE=AD,∠EAD=a.∴∠BAC=∠EAD,∴.∠BAC-∠BAD= ∠EAD-∠BAD,即∠BAE=∠CAD.又：AB=AC. 46》