练习5 一元二次方程的有理根问题-练习8 求代数式的值-【课时提优计划作业本】2024-2025学年九年级数学上册（苏科版）

九年级上 练习5一元二次方程的有理根问题 【方法提示】对于系数为有理数的一元二次方程，当？一4ac是有理数的平方时，方程的根 是有理根， 1.已知整数m满足0≤m<13,如果关于x的一元二次方程m.x2一(2m一1)x十m一2=0 有有理根，则m的值为 2.关于x的一元二次方程m.x2十2x一1=0有两个不相等的实数根. (1)求m的取值范围 (2)若方程的两个根都是有理数，写出满足条件的的最小整数值，并求出此时方程 的根。 3.观察下面一元二次方程的解法： ①2.x2-3.x-5=0 解：这里a=2,b=-3,c=-5,-4ac=(-3)2-4×2×(-5)=49, ÷方程的根为x=二（二洁®-3牛，即一号=-1 2×2 ②3.x2+6.x+2=0 解：这里a=3,b=6,c=2,-4ac=62-4×3×2=12, “方程的根为x=一6誥亚=一6士23=一-3±5 2×3 6 3 即0=一3+3 3 2=-3-3 3 【观察思考】 (1)方程①的两个根都是有理数（称为有理数根），而方程②的两个根是含有无理数的 实数根.若一元二次方程a.x2十b.x十c=0(a、b、c均为整数，且a≠0)的根是有理数， 则a、b、c应满足的条件是 【问题解决】 (2)若一元二次方程2.x2一5.x十k=0有两个不相等的有理数根，求满足条件的正整数k 的值 《5 提分练习 练习6根的判别式与几何综合 【方法提示】在理解几何问题中相关数量关系的基础上，根据一元二次方程根的判别式解 决问题， 1.如图，在菱形ABCD中，m、n、t分别是菱形ABCD的两条对角线的长和边长，这时我 们把关于x的形如m.x2十2、2tx十n=0的一元二次方程称为“菱系一元二次方程”.请 解决下列问题： (1)①当m=2,n=4时，t ②用含m、n的代数式表示：t (2)求证：关于x的菱系一元二次方程”mr2+2x十2n=0必有实数根 2.探索：任意给定一个矩形A,是否存在另一个矩形B,它的周长和面积分别是已知矩形 周长和面积的一半？ (1)当已知矩形A的边长分别是6和1时，小亮同学是这样思考的：设所求矩形的两边 长分别是x、y,由题意，得 x+y=2'消去，化简得22-7x+6=0.(-7)2- xy=3, 4×2×6=49-48=1>0,.m= 2 .存在满足要求的矩形B (2)如果已知矩形A的边长分别是2和1，请你仿照小亮的方法探索是否存在满足要 求的矩形B. (3)如果矩形A的边长分别为，，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？ 6》 九年级上 练习7构造一元二次方程 【方法提示】以阅读理解的形式呈现，渗透根据问题的特征构造一元二次方程的方法，并根 据一元二次方程根与系数的关系解决问题。 1.问题：已知实数a、b、c满足a≠b,且21(a一b)十/21(b一c)+(c一a)=0,求 h一c)ca的值. (a-b)2 小明在思考时，感觉无从下手，就去请教小刚，小刚审题后思考了片刻，对小明说：我们 可以构造一个一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系及整体代入即可解 答，并写下了部分解题过程供小明参考： 解：令21=x,则21=x2,原等式可变形为关于x的一元二次方程(a一b)x2十(b c)x十(c一a)=0(a≠b),可以发现：(a一b)×12十(b一c)×1+(c-a)=0,从而可知所 构造方程的两个根分别是1和√21.由一元二次方程根与系数的关系，得1十√21= ,1×21= 请你根据小刚的思路完整地解答本题， 2.阅读材料并解决下列问题： 已知实数m、n满足m2-m-1=0,n2一n-1=0,且m≠n,求”+m的值. 解：由题知，m、n是方程2一x一1=0的两个不相等的实数根，由一元二次方程根与系数的 关系，得m十n=1,mm=-1”+m=i+t_m+n)-2m_1-2X(-D=一3 m n m 17271 一1 根据上述材料解决下面的问题： (1)已知实数m、n满足3m2一3m一1=0,32一31-1=0，且m≠n,求mn十mn2的值. (2)已知实数p、q满足p2=7p一2,2g=7g一1，且p≠2q,求p2十4g的值 (3)已知3m-7m-2=0,2m+7m-3=0且mn≠1，求m十7m+的值， (④已知实数a,6e满足a+b=(-5ab=,且c<5,求e的最大值。 《7 提分练习 练习8求代数式的值 【方法提示】将所求代数式拆分成与一元二次方程的根有关的代数式的形式（两根之和、两 根之积的形式)，再整体代入. 1.若x1、x2是方程x2=2.x十2024的两个实数根，则代数式x一2.x1十2024x2的值为 2.已知关于x的方程(x一1)(x一2)一p2=0. (1)求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根. (2)若方程两根分别为x1、x2,且p=1,求x一2x1十x2的值. 3.阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程a.x2十bx十c=0(a≠0)的两个实数根x1、x2和系数a、 be有如下关系十2=一b, 材料2：已知一元二次方程x2一x一1=0的两个实数根分别为m、1,求mn十的值 解：，m、1是一元二次方程x2一x一1=0的两个实数根， ..m十n=1,m=-1, ,∴.mn十mn2=mn(m+n)=-1×1=-1. 根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题： 应用：(1)已知一元二次方程2x2十3x一1=0的两个实数根分别为x1、x2,则x1十x2= x1x2= 类比：(2)已知一元二次方程2.x2+3.x一1=0的两个实数根分别为m、n,求2十？的值. 提升：(3)已知实数s1满足2+3s-1=0,2r+31-1=0,且中4，求}-的值。 8》爹考答案与详解 练习1根据一元二次方程的解求代数式的值 46-c=0,∴.2a2-4(a-2)-c=0,.c=2a2-4a+8=2(a- 1.A解析：n是方程x2-2x一1=0的一个根，∴一21一 1)2+6,当a=2时，c取最小值，最小值是2×(2-1)2+6 1=0,.2-2m=1.,3十2n-2=3-(n2-2n）=3-1=2. 2+6=8 2.0解析：m是方程x+3x一2024=0的一个根，∴m+ 2 解析：3x+2x+1=3(x+号)+1日 3m-2024=0,.m2+3m=2024,.m+2-2027m十 2024=m(m+3m1-2027)-m+2024=m(2024-2027)- (+》-]+1=3(+)》+号当=时 m2+2024=-3m-m2+2024=-2024+2024=0. 3(1)414194解析：x2-4r+1=0,x-4+1 多项式3r+2x+1有最小值号 3.12解析：，a2十-4a-10b十29=0，，∴.(a2一4a十4)十 +士=4(x+1）广=162+2+=16d+是-(G-106+25)=0(a-2+6-5)r=0.a-2y≥0， (6-5)2≥0，.4-2=0，b-5=0,解得a=2,b=5.长为2、 4(+）-106++2=16r+=19 2、5的三条线段不能组成三角形，∴这个等腰三角形三边的长 @2-7+2=0x号+-0+士-+ 分别为5、5、2，.这个等腰三角形的周长为5+5十2=12 4,-2解析：W=5x2-4.xy十y-2y+8x+3=x2+4x2 是-(+)）°-2=(3）广-2=4.+=(x+ 4xy+y-2y+8x+3=4x2-4xy+y2-2y+x2+8r+3= (4x2-4xy+y)-2y十x+8.x+3=(2x-y)2-2y+2+ 1)(x-1+）=2×(4-)- .(3):a是方程4z+4x+3=(2x-y)+4r-2y+x+4z+3=(2x-y)+ 2(2.x-y)+1-1+x2+4x+4-4+3=[(2x-y)2+2(2x x2十x-1=0的一个根，∴.a2+a-1=0,即a2-1=一a,a2+ y)+1]+(x2+4x十4)-2=(2x-y+1)2+(x+2)2-2.,x a=1原武=3+a)+a+a马=3+a-=3+“2- y均为实数，.(2x-y+1)2≥0，(x十2)≥0，∴.W≥-2.即 3-1=2. W的最小值为一2. 练习2与一元二次方程的解有关的新定义阅读题 5.(1)8解析：22+4x+10=2(x2+2x)+10=2(x2+2x+ 1一1)+10=2(：x+1)+8.:无论x取何实数，都有2(.x+ 1.(1)x2+x-6=0,.(x十3)(x-2)=0,x=-3,x 1)2≥0.，∴.2(x十1)2十8≥8，即2x2十4x十10的最小值为8. 2.2一（一3）=5≠1.，.方程x2十x一6=0不是“邻根方程” 2)整理方程，得mjx+2》0.=m,2.:方2+r+2-(+号）广+子.：(r+号)》广≥0∴2+x+ 程x2一(m一2)x一2n=0(m是常数)是“邻根方程”，.m= 2>0,∴无论x取何实数，二次根式x十x+2都有意义 -1或m=一3.(3)解方程ax2十hx十2=0，得= -什=&，=b西：关于x的方程x+ 3):ACLBD,“.四边形ABCD的面积为号AC·BD, 2a 2a ,AC+BD=10.∴.BD=10-AC.∴.四边形ABCD的面积为 +2-0a6是常数<0)是邻根方程.什+号AC10-AC=-号AC+5AC=-吉AC-5+要 2a 1=一么应“一=一a,等号两边同时平方，得：∴当AC=5时，四边形ABCD的面积最大，最大值为受 2a 2-8a=a2,.2=a2十8a≥0，a≥0或a≤-8.a<0, 练习4一元二次方程的解法拓展 ∴a≤-8.：t=2-∥，∴l=2-(a2+8a)=-(a+4)2+18, 1.(1)x2+2.x-3=(x十3)(x-1).(2).x2-4x十3=0，原方 ∴.当a=一8时，t取得最大值，最大值为2. 程转化为(x一3)(x-1)=0,∴.x-3=0或x一1=0.∴1=3， 2.(1)y一2y一1=0解析：设所求方程的根为y,则y= =1.(3)5.x2+7.x-6=0,原方程转化为(5x-3)(x十2)= -x,x=-y,把x=-y代入方程x2十2x1=0,得y2 2一1=0，(2)设所求方程的根为y,则y=(r≠0)， 05r-3=0或叶2=0∴函=号西=-2 2.(1)降次转化(2)D因式分解，得x(x十2)(x一2)=0 x=(y≠0)，把r=1代人方程ar2+hr+c=0,得xr=0或x+2=0或x一2=0，解得五=0，=-2=2 y ②设x2十r=y,则原方程转化为y一4y一12=0，，.(y a()）°+6（号）+c=0,去分母，得cy+6y+a=0.若c=0,6(g十2）=0，解得=6为=-2当1=6时，+x=6. 有axr2+x=0,则方程a.x2十ba+c=0有一个根为0，不符合∴.1=2，x=-3:当均=一2时，x2十x=-2,此方程无实数 题意，∴.c≠0，故所求方程为cy+y十a=0(c≠0). 解..原方程的解为1=2，=一3. 练习3配方法的应用 练习5一元二次方程的有理根问题 L.C解析：：a一一2=0.∴.？=a一2>≥0，a≥2.2a一1.2或6或12解析：根据题意，得m≠0.若方程有有理根， 《41 则[一(2m-1)]一4m(m一2)=4m十1为完全平方数.又，整2.(1)：m,n满足3m2-3m一1=0,3r-3n-1=0,m≠n, 数m满足0<m<13,,.m=2时，4m十1=9：m=6时，4m十 ∴.m,n可以看作3一3x一1=0的两个不相等的实数根， 1=25:m=12时，4m+1=49.故m的值为2或6或12. 2.(1)根据题意，得2十4m>0且m≠0，解得m≥一1且m≠ m十=lm=-号dmn十m=mm+n)=-号× 0.(2):方程的两个根都是有理数，.4m十是有理数且1=一弓 (2)由题意知.p与2g为方程x2一7.x十2=0的两 不等于0，∴.满足条件的m的最小整数值为3.当m=3时，方 个不相等的实数根，.p十2g=7,20=2,.十4g=(p十 程为3r+2一1=0，解得=-1=子 2q)2-4p=7-2×2=45.(3)由3m2-7m-2=0,2m+ 3.(1):一44c为完全平方数(2)由题意，得（一5）2一4×2× 7n-3=0且m≠1，可知m≠0，n≠0，.2m+7n一3=0可变 =25-8k>06<复：k是正整数k=1或2或3.当形为3（分）广-7（分）-2=0.又：m≠1…m≠根据 k=1时，25一8k=17,17不是完全平方数，不符合题意：当k= 3m2-7m-2=0和3()广'-7（月）-2=0的特征，可以将 2时，25一8k一9,9为完全平方数，符合题意：当k一3时.25 8k=1,1为完全平方数，符合题意.综上所述，满足条件的正整 m,号看作方程3x-1x一2=0的两个不相等的实数根，根据 数k的值为2或3. 练习6根的判别式与几何综合 元二次方程根与系数的关系，得m十】=子，”=一号， n 3'n L.(1)①5解析：在菱形ABCD中，m、n,t分别是菱形ABCD 1-子…山1+是-号+(-号) 的两条对角线的长和边长，AOLD0当m=2,n=4时，则AO= 景小mn百-是（0a+6一5ob点可以 5 3 2.DO=1.在R△AOD中，由勾股定理得AD=vA+) 2+T=5,即1=5.②}m+心 解析：由题意知， 将a6看作是方程r-一5)r十写总。=0的两个实数根， A0-之AC-之m,D0-受BD=2.则AD-=/A0+D0= --50-4X1×>≥0又：c<56-eP≥64 ∴.5-c≥4.解得≤1，c的最大值为1. √（合m)+()=√m+r…=AD= m2+ 练习8求代数式的值 青元.(2)证明：“f=青m+},∴(2-4m…号n 1.4048解析：将x2=2x+2024整理，得x一2x一2024=0. ,x、x1是方程x2一2x-2024=0的两个实数根，.十 4r-2m=m十n-2mm=(m-n)2≥0，∴.关于x的菱系一 x=2,-2.x1=2024,.x-2x7十2024x2=1(x 元二次方程”m+2z十之n=0必有实数根。 2x1)+2024x=2024x1+2024x2=2024(x1+x2)= 2024×2=4048. 2.(日)2多(2)设所求矩形的两边长分别是，由题意·2.（D证明：将(x一1)（红一2）一护=0整理，得一3十2 3 3 p=0.(-3)2-4×1×(2-p)=9-8+4p=1+4p>0, 得T十=2'消去，化简得22-3x十2=0.：(-3y- ∴·无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根.(2)当 xy=1, p=1时，原方程可化为一3.x十1=0，由题意，得x1十=3， 4×2×2=9一16=一7<0，.不存在满足要求的矩形B. -3m1+1=0,∴-21十=(x-3十1)+(+)- (3)设所求矩形的两边长分别是x、y,由题意，得1=0十3-1=2. r十y=m十n 2 (2):一元二次方程2x十3x一1-0的两 消去y.化简得2x一(m十n)x十m=0.由题 根分别为m,m十=一受m=一之dd十=(m十 意，得原方程有解，.[一(m十n)]一8mm=(m十n)子-8m≥ m-2m=(-2)广-2x(-）=是+1= 4 ,(3)实 0,即当(m十n)2一8m≥0时，矩形B存在. 练习7构造一元二次方程 数s,1满足2+3s-1=0,2r+31-1=0,且s≠1，∴s,1是 1.令2I=x,则21=x,原等式可变形为关于x的一元二次 元二次方程2十3一1=0的两个实数根，∴十1=一号4= 方程(a-b)x2十(0一c)x十(-a)=0(a≠b).当x=1时，(a b)X12+(b一c)×1+(c一a)=0,.x=1是-元二次方程 -2:-9=+-4w=(-2)广-4×(-2)= (a一b)x2+(b一c).x+(c一a)=0(a≠b)的一个根，∴.一元二次 ±7 方程(a一b).x2十(h-c)x十(-a)=0(a≠b)的两个根分别为 2 =±/17 1和21，由一元二次方程根与系数的关系，得1十√2 1xva-。二名1+a)×m 练习9面积问题 21+v2I,6-ca=-21-2I. 1.(1)设与墙垂直的边长为xm,则与墙平行的边长为(26+十 (a-b)2 2-2.x)m.根据题意，得x(26十2-2x)=80,整理，得x2一 42》