1.3一元二次方程的根与系数的关系提优测试卷2025-2026学年苏科版九年级数学上册

1.3一元二次方程的根与系数的关系提优测试卷苏科版九年级上册 一．选择题（共8小题，每题3分，共24分。） 1．已知实数x1，x2满足x1+x2＝7，x1x2＝12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（　　） A．x2﹣7x+12＝0 B．x2+7x+12＝0 C．x2+7x﹣12＝0 D．x2﹣7x﹣12＝0 2．关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，且α2+β2＝12，那么m的值为（　　） A．﹣1 B．﹣4 C．﹣4或1 D．﹣1或4 3．设a，b是方程x2+x﹣2011＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　） A．2009 B．2010 C．2011 D．2012 4．关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（　　） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根 5．一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0与x2﹣x+3＝0的所有实数根的和等于（　　） A．2 B．﹣4 C．4 D．3 6．已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，且满足+＝﹣1，则m的值是（　　） A．3 B．1 C．3或﹣1 D．﹣3或1 7．设x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两根，则x13﹣4x22+15等于（　　） A．﹣4 B．8 C．6 D．0 8．设x1，x2是方程x2﹣2003x+2005＝0的两个实根，实数a，b满足：ax12003+bx22003＝2003，ax12004+bx22004＝2004，则ax12005+bx22005的值为（　　） A．2005 B．2003 C．﹣2005 D．﹣2003 二．填空题（共10小题，每题3分，共30分。） 9．已知关于x的方程x2﹣6x+k＝0的两根分别是x1，x2，且满足+＝3，则k的值是　 　 ． 10．已知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3＝0的两根分别是x1、x2，则（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是 　 　 ． 11．设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2018＝0的两个实数根，则m2+3m+n＝　 　 ． 12．已知α、β是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则α2+2β＝　 　 ． 13．如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+）＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数k的取值范围是　 　 ． 14．已知：m2﹣2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0且mn≠1，则的值为　 　 ． 15．已知关于x的方程x2+（3﹣2k）x+k2+1＝0的两个实数根分别是x1、x2，当|x1|+|x2|＝7时，那么k的值是　 　 ． 16．对于实数a，b，定义运算“a*b＝”例如4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣8x+16＝0的两个根，则x1*x2＝　 　 ． 17．设A是方程x2﹣x﹣2009＝0的所有根的绝对值之和，则A2＝　 　 ． 18．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有　 　 （填序号） ①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程； ②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：则4m2+5mn+n2＝0； ③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程； ④若方程以ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac． 三．解答题（共7小题，共96分。） 19．已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若x1，x2满足x12+x22＝16+x1x2，求实数k的值． 20．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0的两个实数根． （1）求k的取值范围． （2）是否存在实数k，使得等式+＝k﹣2成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由． 21．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程的两个不相等的实数根是a，b，求﹣的值． 22．若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c＝0的两个实数根，且|x1|+|x2|＝2|k|（k是整数），则称方程x2+bx+c＝0为“偶系二次方程”．如方程x2﹣6x﹣27＝0，x2﹣2x﹣8＝0，x2+3x﹣＝0，x2+6x﹣27＝0，x2+4x+4＝0，都是“偶系二次方程”． （1）判断方程x2+x﹣12＝0是否是“偶系二次方程”，并说明理由； （2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2+bx+c＝0是“偶系二次方程”，并说明理由． 23．已知关于x，y的方程组与的解相同． （1）求a，b的值； （2）若一个三角形的一条边的长为2，另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b＝0的解．试判断该三角形的形状，并说明理由． 24．阅读材料，解答问题： 材料1 为了解方程（x2）2﹣13x2+36＝0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y＝x2，则原方程可化为y2﹣13y+36＝0，经过运算，原方程的解为x1，2＝±2，x3，4＝±3．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2 已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，显然m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n＝1，mn＝﹣1． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 方程x4﹣5x2+6＝0的解为 　 　 ； （2）间接应用： 已知实数a，b满足：2a4﹣7a2+1＝0，2b4﹣7b2+1＝0且a≠b，求a4+b4的值； （3）拓展应用： 已知实数m，n满足：+＝7，n2﹣n＝7且n＞0，求+n2的值． 25．阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1+x2＝，x1x2＝． 材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值． 解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n， ∴m+n＝1，mn＝﹣1， 则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝　 　 ．x1x2＝　 　 ． （2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求的值． （3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求的值． 参考答案 一．选择题（共8小题） 1．已知实数x1，x2满足x1+x2＝7，x1x2＝12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（　　） A．x2﹣7x+12＝0 B．x2+7x+12＝0 C．x2+7x﹣12＝0 D．x2﹣7x﹣12＝0 【解答】解：以x1，x2为根的一元二次方程x2﹣7x+12＝0， 故选：A． 2．关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，且α2+β2＝12，那么m的值为（　　） A．﹣1 B．﹣4 C．﹣4或1 D．﹣1或4 【解答】解：∵关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根， ∴Δ＝[2（m﹣1）]2﹣4×1×（m2﹣m）＝﹣4m+4≥0， 解得：m≤1． ∵关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β， ∴α+β＝﹣2（m﹣1），α•β＝m2﹣m， ∴α2+β2＝（α+β）2﹣2α•β＝[﹣2（m﹣1）]2﹣2（m2﹣m）＝12，即m2﹣3m﹣4＝0， 解得：m＝﹣1或m＝4（舍去）． 故选：A． 3．设a，b是方程x2+x﹣2011＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　） A．2009 B．2010 C．2011 D．2012 【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣2011＝0的两个实数根， ∴a+b＝﹣＝﹣1， 并且a2+a﹣2011＝0， ∴a2+a＝2011， ∴a2+2a+b＝a2+a+a+b＝2011﹣1＝2010． 故选：B． 4．关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（　　） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根 【解答】解：∵关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）， ∴x2+x﹣2﹣p2＝0， ∴b2﹣4ac＝1+8+4p2＝9+4p2＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， 根据根与系数的关系，方程的两个根的积为﹣2﹣p2＜0， ∴一个正根，一个负根， 故选：C． 5．一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0与x2﹣x+3＝0的所有实数根的和等于（　　） A．2 B．﹣4 C．4 D．3 【解答】解：方程x2﹣3x﹣1＝0中Δ＝（﹣3）2﹣4×（﹣1）＝13＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根， 根据两根之和公式求出两根之和为3． 方程x2﹣x+3＝0中Δ＝（﹣1）2﹣4×3＝﹣11＜0，所以该方程无实数根． ∴方程x2﹣3x﹣1＝0与x2﹣x+3＝0一共只有两个实数根， 即所有实数根的和3． 故选：D． 6．已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，且满足+＝﹣1，则m的值是（　　） A．3 B．1 C．3或﹣1 D．﹣3或1 【解答】解：根据条件知： α+β＝﹣（2m+3），αβ＝m2， ∴＝﹣1， 即m2﹣2m﹣3＝0， 所以，得， 解得m＝3． 故选：A． 7．设x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两根，则x13﹣4x22+15等于（　　） A．﹣4 B．8 C．6 D．0 【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两根， ∴x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣3，x12＝3﹣x1，x22＝3﹣x2 ∵x13＝x1x12＝x1（3﹣x1）＝3x1﹣x12， ∴x13﹣4x22+15＝3x1﹣x12﹣4x22+15＝3x1﹣（3﹣x1）﹣4（3﹣x2）+15＝4（x1+x2）＝﹣4 ∴x13﹣4x22+15＝﹣3﹣1﹣6+6＝﹣4， 故选：A． 8．设x1，x2是方程x2﹣2003x+2005＝0的两个实根，实数a，b满足：ax12003+bx22003＝2003，ax12004+bx22004＝2004，则ax12005+bx22005的值为（　　） A．2005 B．2003 C．﹣2005 D．﹣2003 【解答】解：x1，x2是方程x2﹣2003x+2005＝0的两个实根可得：x1+x2＝2003，x1×x2＝2005， 故ax12005+bx22005＝（x1+x2）（ax12004+bx22004）﹣x1x2（ax12003+bx22003）， ＝2003×2004﹣2005×2003， ＝﹣2003． 故选：D． 二．填空题（共10小题） 9．已知关于x的方程x2﹣6x+k＝0的两根分别是x1，x2，且满足+＝3，则k的值是　2　 ． 【解答】解：∵x2﹣6x+k＝0的两个解分别为x1、x2， ∴x1+x2＝6，x1x2＝k， +＝＝＝3， 解得：k＝2， 故答案为：2． 10．已知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3＝0的两根分别是x1、x2，则（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是 　8　 ． 【解答】解：∵关于x的方程x2+2kx+k2+k+3＝0的两根分别是x1、x2， ∴x1+x2＝﹣2k，x1•x2＝k2+k+3， ∵Δ＝4k2﹣4（k2+k+3）＝﹣4k﹣12≥0，解得k≤﹣3， ∴（x1﹣1）2+（x2﹣1）2 ＝x12﹣2x1+1+x22﹣2x2+1 ＝（x1+x2）2﹣2x1x2﹣2（x1+x2）+2 ＝（﹣2k）2﹣2（k2+k+3）﹣2（﹣2k）+2 ＝2k2+2k﹣4 ＝2（k+）2﹣， ∵k≤﹣3，2×（﹣3+）2﹣＝8， ∴2（k+）2﹣≥8， 故（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是8． 故答案为：8． 11．设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2018＝0的两个实数根，则m2+3m+n＝　2016　 ． 【解答】解：∵m为一元二次方程x2+2x﹣2018＝0的实数根， ∴m2+2m﹣2018＝0，即m2＝﹣2m+2018， ∴m2+3m+n＝﹣2m+2018+3m+n＝2018+m+n， ∵m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2018＝0的两个实数根， ∴m+n＝﹣2， ∴m2+3m+n＝2018﹣2＝2016． 12．已知α、β是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则α2+2β＝　5　 ． 【解答】解：∵α，β是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根， ∴β2﹣2β＝1，α+β＝2，α•β＝﹣1， ∴α2+2β＝（α+β）2﹣2αβ﹣（β2﹣2β）＝22﹣2×（﹣1）﹣1＝5． 方法二：∵α，β是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根， ∴α2﹣2α﹣1＝0，∴α2＝2α+1 ∴α2+2β＝2α+1+2β＝2（α+β）+1＝2×2+1＝5 故答案为：5． 13．如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+）＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数k的取值范围是　3＜k≤4　 ． 【解答】解：由题意，得：x﹣1＝0，x2﹣2x+＝0； 设x2﹣2x+＝0的两根分别是m、n（m≥n）；则m+n＝2，mn＝； m﹣n＝＝； 根据三角形三边关系定理，得： m﹣n＜1＜m+n，即＜1＜2； ∴，解得3＜k≤4． 14．已知：m2﹣2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0且mn≠1，则的值为　3　 ． 【解答】解：由n2+2n﹣1＝0可知n≠0． ∴1+﹣＝0． ∴﹣﹣1＝0， 又m2﹣2m﹣1＝0，且mn≠1，即m≠． ∴m，是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根． ∴m+＝2． ∴＝m+1+＝2+1＝3， 故答案为：3． 15．已知关于x的方程x2+（3﹣2k）x+k2+1＝0的两个实数根分别是x1、x2，当|x1|+|x2|＝7时，那么k的值是　﹣2　 ． 【解答】解：∵x2+（3﹣2k）x+k2+1＝0的两个实数根分别是x1、x2， ∴Δ＝（3﹣2k）2﹣4×1×（k2+1）≥0， 9﹣12k+4k2﹣4k2﹣4≥0， k≤， ∵x1•x2＝k2+1＞0， ∴x1、x2同号， 分两种情况： ①当x1、x2同为正数时，x1+x2＝7， 即2k﹣3＝7， k＝5， ∵k≤， ∴k＝5不符合题意，舍去， ②当x1、x2同为负数时，x1+x2＝﹣7， 即2k﹣3＝﹣7， k＝﹣2， 故答案为：﹣2． 16．对于实数a，b，定义运算“a*b＝”例如4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣8x+16＝0的两个根，则x1*x2＝　0　 ． 【解答】解：x2﹣8x+16＝0，解得：x＝4， 即x1＝x2＝4， 则x1*x2＝x1•x2﹣＝16﹣16＝0， 故答案为0． 17．设A是方程x2﹣x﹣2009＝0的所有根的绝对值之和，则A2＝　10045　 ． 【解答】解：对于方程x2﹣x﹣2009＝0，设其两根是m，n． 必有m+n＝，mn＝﹣2009． ∵mn＝﹣2009＜0， ∴m，n异号． 所以A＝|m|+|n|＝|m﹣n|． 则A2＝（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝10045． 故本题答案为：10045． 18．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有　②③④　 （填序号） ①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程； ②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：则4m2+5mn+n2＝0； ③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程； ④若方程以ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac． 【解答】解：①解方程x2﹣x﹣2＝0得，x1＝2，x2＝﹣1，得，x1≠2x2， ∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程； 故①不正确； ②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x1＝2， 因此x2＝1或x2＝4， 当x2＝1时，m+n＝0， 当x2＝4时，4m+n＝0， ∴4m2+5mn+n2＝（m+n）（4m+n）＝0， 故②正确； ③∵pq＝2，则：px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0， ∴x1＝﹣，x2＝﹣q， ∴x2＝﹣q＝﹣＝2x1， 因此是倍根方程， 故③正确； ④方程ax2+bx+c＝0的根为：x1＝，x2＝， 若x1＝2x2，则，＝×2， 即，﹣×2＝0， ∴＝0， ∴＝0， ∴3＝﹣b ∴9（b2﹣4ac）＝b2， ∴2b2＝9ac． 若2x1＝x2时，则，×2＝， 即，则，×2﹣＝0， ∴＝0， ∴﹣b+3＝0， ∴b＝3， ∴b2＝9（b2﹣4ac）， ∴2b2＝9ac． 故④正确， 故答案为：②③④ 三．解答题（共7小题） 19．已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若x1，x2满足x12+x22＝16+x1x2，求实数k的值． 【解答】解：（1）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2， ∴Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）＝﹣4k+5≥0， 解得：k≤， ∴实数k的取值范围为k≤． （2）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2， ∴x1+x2＝1﹣2k，x1•x2＝k2﹣1． ∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝16+x1•x2， ∴（1﹣2k）2﹣2×（k2﹣1）＝16+（k2﹣1），即k2﹣4k﹣12＝0， 解得：k＝﹣2或k＝6（不符合题意，舍去）． ∴实数k的值为﹣2． 20．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0的两个实数根． （1）求k的取值范围． （2）是否存在实数k，使得等式+＝k﹣2成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0有两个实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（k+2）≥0， 解得：k≤﹣1， ∴k的取值范围为k≤﹣1． （2）∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝2，x1x2＝k+2． ∵+＝k﹣2， ∴＝＝k﹣2， ∵k2﹣4＝2， ∴k2﹣6＝0， 解得：k1＝﹣，k2＝， 经检验，k1＝﹣，k2＝均为原方程的解，k2＝不符合题意，舍去， ∴k＝﹣． ∴存在这样的k值，使得等式+＝k﹣2成立，k值为﹣． 21．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程的两个不相等的实数根是a，b，求﹣的值． 【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝4+4k＞0， 解得k＞﹣1． ∴k的取值范围为k＞﹣1； （2）由根与系数关系得a+b＝﹣2，a•b＝﹣k， ﹣＝＝＝1． 22．若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c＝0的两个实数根，且|x1|+|x2|＝2|k|（k是整数），则称方程x2+bx+c＝0为“偶系二次方程”．如方程x2﹣6x﹣27＝0，x2﹣2x﹣8＝0，x2+3x﹣＝0，x2+6x﹣27＝0，x2+4x+4＝0，都是“偶系二次方程”． （1）判断方程x2+x﹣12＝0是否是“偶系二次方程”，并说明理由； （2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2+bx+c＝0是“偶系二次方程”，并说明理由． 【解答】解：（1）不是， 解方程x2+x﹣12＝0得，x1＝3，x2＝﹣4． |x1|+|x2|＝3+4＝7＝2×3.5． ∵3.5不是整数， ∴x2+x﹣12＝0不是“偶系二次方程； （2）存在．理由如下： ∵x2﹣6x﹣27＝0和x2+6x﹣27＝0是偶系二次方程， ∴假设c＝mb2+n， 当b＝﹣6，c＝﹣27时， ﹣27＝36m+n． ∵x2＝0是偶系二次方程， ∴n＝0时，m＝﹣， ∴c＝﹣b2． ∵是偶系二次方程， 当b＝3时，c＝﹣×32． ∴可设c＝﹣b2． 对于任意一个整数b，c＝﹣b2时， Δ＝b2﹣4ac， ＝4b2． x＝， ∴x1＝﹣b，x2＝b． ∴|x1|+|x2|＝2|b|， ∵b是整数， ∴对于任何一个整数b，c＝﹣b2时，关于x的方程x2+bx+c＝0是“偶系二次方程”． 23．已知关于x，y的方程组与的解相同． （1）求a，b的值； （2）若一个三角形的一条边的长为2，另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b＝0的解．试判断该三角形的形状，并说明理由． 【解答】解：（1）由题意得，关于x，y的方程组的相同解，就是方程组的解， 解得，，代入原方程组得，a＝﹣4，b＝12； （2）该三角形是等腰直角三角形，理由如下： 当a＝﹣4，b＝12时，关于x的方程x2+ax+b＝0就变为x2﹣4x+12＝0， 解得，x1＝x2＝2， 又∵（2）2+（2）2＝（2）2， ∴以2、2、2为边的三角形是等腰直角三角形． 24．阅读材料，解答问题： 材料1 为了解方程（x2）2﹣13x2+36＝0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y＝x2，则原方程可化为y2﹣13y+36＝0，经过运算，原方程的解为x1，2＝±2，x3，4＝±3．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2 已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，显然m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n＝1，mn＝﹣1． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 方程x4﹣5x2+6＝0的解为 x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣　 ； （2）间接应用： 已知实数a，b满足：2a4﹣7a2+1＝0，2b4﹣7b2+1＝0且a≠b，求a4+b4的值； （3）拓展应用： 已知实数m，n满足：+＝7，n2﹣n＝7且n＞0，求+n2的值． 【解答】解：（1）令y＝x2，则有y2﹣5y+6＝0， ∴（y﹣2）（y﹣3）＝0， ∴y1＝2，y2＝3， ∴x2＝2或3， ∴x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣； 故答案为：x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣； （2）∵a≠b， ∴a2≠b2，或a2＝b2， 当a2≠b2时，令a2＝m，b2＝n． ∴m≠n，则2m2﹣7m+1＝0，2n2﹣7n+1＝0， ∴m，n是方程2x2﹣7x+1＝0的两个不相等的实数根， ∴， 此时a4+b4＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝． 当a2＝b2（a＝﹣b）时，a2＝b2＝，此时a4+b4＝2（a2）2＝． 综上所述，a4+b4＝或． （3）令＝a，﹣n＝b，则a2+a﹣7＝0，b2+b﹣7＝0， ∵n＞0， ∴≠﹣n，即a≠b， ∴a，b是方程x2+x﹣7＝0的两个不相等的实数根， ∴， 故+n2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝15． 25．阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1+x2＝，x1x2＝． 材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值． 解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n， ∴m+n＝1，mn＝﹣1， 则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝　　 ．x1x2＝　﹣　 ． （2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求的值． （3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求的值． 【解答】解：（1）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2， ∴x1+x2＝＝，x1x2＝＝﹣， 故答案为：，﹣； （2）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n， ∴m+n＝，mn＝﹣， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝； （3）∵实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0， ∴s与t看作是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根， ∴s+t＝，st＝﹣， ∴（s﹣t）2＝（s+t）2﹣4st， （s﹣t）2＝（）2﹣4×（﹣）， （s﹣t）2＝， ∴s﹣t＝， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/3 7:16:43；用户：沈晓伟；邮箱：orFmNt-72lbAHdKYUsSxwOObB6og@weixin.jyeoo.com；学号：23270586 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $