第2章对称图形——圆 复习课-【课时提优计划作业本】2024-2025学年九年级数学上册（苏科版）

复习课 2∠BAC=120°.：OD⊥BC,.∠BOD=60°，BD=CD, 知识梳理 六∠0BD=30.又0B=1OD=子在R△ODB中，由 1.(1)②定点定长例心半径(2)线段园心(3)部 分直径优劣(4)圆心圆周上圆(5)相同相等 勾股定理得D=、05-0D1F一（号）-5C 重合2.(1)轴对称每一条经过圆心的直线(2)弦 弦所对的两条弧(3)圆心(4)①弧弦②圆心角弧 2BD=73. 弦③相等(5)①一半相等②直角90°③互补 3.(1)=外内(2)一个圆(3)①外接圆三边垂直平 分线三个顶点②角平分线三边(4)①<=> ②(1)外端这条半径且只有一个半径(i)且只有一 个半径切点4.(1)①每条边都相等且每个角都相等 (0 第7题 第8题 ②内接外接外接外接③轴对称”中心偶数 中心对称中心(2)1=需巴S=需 &1D:D是AB的中点，DXCLAB.“AC=BC=合AB 21R(3)Sw=x1 2×6=3(m,DC经过圆心.设拱桥的桥拱ADB所在圆的圆 题组提优训练 心为O,如图，连接OA,OC,设半径ODA=OD=R,OC=OD 考点一：LB解析：：AD=CD=8,∴OB⊥AC在R△AOD中， DC=R-1.在R△ACO中，由勾股定理得OA°=(OC十AC, 由勾股定理得0A=VAD+OD=/8+6=10,OB= 即R=(R一1)炉+3，解得R=5,即主桥拱所在圆的半径长为 OA=10.BD=OB-OD=10-6=42.D解析：连接5m(②)如图.设OD与EF相交于点G,连接OE:EF∥AB, OE.OB=OE,·∠B=∠OEB.'∠AOB=3∠D=∠B+ OD LAB,.OD⊥EF,∠OGF=90°.在Rt△OGF中，OG ∠D,∠B=2∠D,∴.∠0EB=2∠D.∠OEB=∠D+5-1-1=3(m),0F=5m.∴.FG=O-(G=-3 ∠DOE..∠DOE=∠D,∴DE=OE=(OB.3.C解析：4(m),∴.EF=2FG=8m,即此时水面的宽度为8m :∠BOD=124,·∠AOD=180°-∠BOD=180°-124°=9.(1D连接AO并延长交BC于点E.AB=AC,∴AB=AC. 56∴∠ACD-之∠A0D=号×56=28.4C解析：如：AE过圆心0.AE垂直平分C.AE平分∠BAC,BE- 图，延长OC交⊙0于点D,交AB于点E,连接OA,OB.AC、2BC=2×83=45,∠BAC=2∠BAE:0A=OB, BC.C为折叠后AB的中点，AC=BC,.AC-BC:OA=∴∠ABD=∠BAE.AB=AC,∠ACB=60,∴∠ABC= OB.0C垂直平分AB.AE=BE=专AB=是×8=4.在∠ACB=∠BAC=60,∴∠ABD=号∠BAC=30,∠CBD R△AE0中.由勾股定理得OE=OA-AE区=√-4=30°.∴.OA=OB=20E.∴.BE=O形-OE=3OE.∴.OE= 3,.DE=OD-OE=5-3=2.由折叠的性质，得CE=DE=4,∴.OA=OB=8,即⊙O的半径为8.(2)设∠ABD=x,由 2,.0C=OE-CE=3-2=1 (1)知∠BAC=2∠ABD=2x,∴.∠BDC=3x.①若BD=BC,则 ∠C=∠BDC=3x,AB=AC,.∠ABC=∠C=3r,在 △ABC中，∠ABC+∠C+∠BAC=180°.∴.3x+3x+2x= 180°，解得x=22.5°，∴.∠BCD=3x=67.5:②若BC=CD.则 ∠CBD=∠BD=3x,·∠ABC=∠ACB=4x,在△ABC中， ∠ABC+∠C+∠BAC=180°，.∴.4.x+4x+2.x=180°，，.x 】 第4题 第5题 18.∴∠BCD=4x=72°.综上所述，当△BCD是等腰三角形 5.30°解析：如图.连接C.O4⊥BC,AC=AB. 时，∠BCD的度数为67.5或72. 考点二：l.C解析：：∠ABC=25,.∠AOP=2∠ABC= ∴∠A0C=∠A0B=60,·∠ADC=2∠A0C=号X60= 50°.PA是⊙O的切线，∴.PA⊥AB,.∠PAO=90°，∴.∠P= 30°.6.35°解析：：AB为⊙O的直径，.∠ACB=90°.90°-∠AOP=90°一50°=40°.2.C解析：如图，连接OB. ∠ADC=20°，∴.∠ABC=∠ADC=20°.∴.∠BAC=90°- AC是⊙O的切线，，OB⊥AC,.∠AB)=∠CBO=90° ∠ABC=90°-20°=70°.又：AD平分∠BAC,∴.∠BAD= :∠A=30°，.OA=2OB,∴.AB=、OA-0B=5OB. 2∠BAC=号×70=35.7.73解折：如图，过点0作AB=2B,OB=2.又：BC=30C=VBC+OB OD⊥BC于点D,连接OB、OC.,∠BAC=60°，∴.∠BOC=√3+2=13. 课时提优计划作业本·数学·九年级上(SK版) ·35 -言o0·EE-Or-0-器D 2BE-48 1 第2题 第3题 3.C解析：如图，连接OA、OB,在优弧AB上取一点D,连 接AD、BD.AP、BP是⊙O的切线，.∠OAP=∠OBP 90.又∠P=70°，.∠A0B=360°-90°-90°-70°=110， ∴∠ADB=2∠A0B=2×10=5,∠ACB=180 考点三：L.D解析：：AB=CB,∠ACB=∠BAC=15 ∠ADB=180°-55°=125,4.A解析：连接AQ、AP. ∴.∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC=180°-15°-15°=150° PQ切⊙A于点Q,.∠AQP=90..AQ+QP=AP, 设这个正多边形为正边形，则m一2》X180=150°，解得1 ∴.PQ=AP严-AQ=AP-1,当AP最小时，PQ最小，即当 AP⊥x轴时，PQ最小，此时点P的坐标为（一4,0）.5.50° 12,即这个正多边形是正十二边形.2.C解析：这个圆锥 解析：：BC与⊙O相切于点B,.OB⊥BC,∴∠OBC=90°.的侧面展开图中AA'的长为2x×4=8元.3.C解析：如图， ∠ABC=65°，∴.∠OBA=∠OBC-∠ABC=90°-65°=连接OA、OA.OB、OB,OC,OC、OO、OO、OO,则 25.:OB=O0A,.∠OAB=∠OBA=25,∴∠BOD= △OAO、△0BO、△OO、△OOO都是边长为1的正三 2∠01B=2X25”506,万解折：连接ODAB切角形S分=3544A=3×(品×xX1P）-受(am. ⊙0于点D,∴.∠ODB=90.∠B=30,.OB=2OD=2× 3=6,∠BOD=60°.又，C=OD,∴.∠O0C=∠0CD=(180° 60°)÷2=60°，在R△AOB中，AB=2OA,OA2+OB形=AB, ∴.OA+62=(20A),.0A=25.∠C0E=90°，∠E 90°-∠0CD=90°-60°=30°，∴.CE=20℃=2×3=6.∴.OE= √/C-OC=6-3=35,∴.AE=OE-OA=33 25=3.7.60°解析：：BO与AB所在的圆相切于点 B,.OB⊥OB,∠OBO=90.,将△OBP沿PB折叠得到 4警5m解桥：AC-4m,0C=12m,∴0A=0C+AC- △0B即，∠P0=∠P0=专∠00=号×90=45.12+4=16(m.又：∠A0B=120B的长为126 180 :∠0=75，.∠0PB=∠OPB=180°-∠PB0-∠0= (m.519 解析：如图，由题意得，AC的长为2x× 180°-45-75=60°，∴.∠AP0=180°-∠0PB-∠OPB 180°-60°-60°=60°.8.2<r<69.(1)证明：由题意得， 2=标am,设AC所对的圆心角为n,则气高3=，解得刀= OC⊥CD.ADLCD,∴.(OC∥AD,∠OCD=∠ADC=90°.：AB 90,.粘贴部分所对应的圆心角为100°一90°=10，∴.圆雏上 为⊙O的直径，.∠AEB=90,又：OC∥AD,.∠OFB= ∠AEB=90°，即OF⊥BE.∴.EF=BF(2)∠AEB=90°， 粘贴部分的面积是品×x×8=1（(cm》。 9 ∴.∠DEB=180°-∠AEB=90°.由(1)知∠CD=∠ADC= 90°，∴.四边形EFCD为矩形，.EF=CD=4,CF=DE=2, ,BF=EF=4.设OB=C=r.在R1△OFB中，由勾股定理 得OF十BF=OB,即(r-2)2+4=产，解得r=5,∴.直径 4B的长为10.10.(1)证明：如图，连接B0并延长，交⊙O 于点M,连接MD.:BM是⊙O的直径，.∠BDM=90°， (C) ∴.∠DBM+∠M=90°.W∠DBC=∠A=∠M,∴.∠DBC+ ∠DBM=0C,即RCLOB.B是O0的切线C2)在6号 解析：在☐ABCD中，AB=3+1,BC=2,∴AD=BC= R△OBC中，由勾股定理得OC=OB+BC=、6+8=2,CD=AB=5+1,AB∥CD.:AH⊥CD,垂足为H,AH= 10.E为BD的中点，OE1BD,BD=2BESm=2OB·瓦，DH=VAD-AF=√2-(3)=1=号AD, 课时提优计划作业本·数学·九年级上(SK版) ·36- ∴.∠DAH=30°，.CH=CD-DH=3+1-1=3,∴.CH= AH,△ACH是等腰直角三角形，∴.∠ACH=∠CAH=45°. :AB/CD,∴∠BAC=∠ACH=4.根据题意，有45mX5 180 n,微=2解得n=复n-得n--号 2xn180 图1 图2 (2)如图2.，设此时半圆O与AD交于点E,V,连接ON,过点 5-泵.7.(1)直线CD与⊙0相切.理由如下：连接OD O作OHLEN于点H.,∠DAF=60,EF⊥AF,.∠AEF= 1224' OA=OD,∴.∠DAB=∠ADO,∴.∠DOB=2∠DAB=90°. 30.∴0H=20E=号，EH=VOB-0F-3g.:ON CD∥AB,∴.∠ODC=180°-∠DOB=180°-90°=90°，即 OE,∴∠ONE=∠AEF=30°，∴.∠NVOE=120.OH⊥NE, OD⊥CD,.直线CD与⊙O相切.(2)，⊙O的半径为1，即 OA=OB=OD=1,∴.AB=OA+(OB=2.:BC∥AD,CD∥ NE=2EH=2X39-33,Ctw-1203+3v3 2 180 AB.∴.四边形ABCD是平行四边形，，CD=AB=2.,SD 0B+CD)·0D=号×1+2)X1=号S4 2x+35,S0=SsvE-5avE=器×xXg-合× Sm一Sun-号一器XxX1=是一平8D证 33×是-3x-9 4 直击中考前沿 明：如图，连接OD.:AB=AC,∴∠B=∠C.:OB=OD, 1.D解析：∠AOB=2∠C.∠C=55,∠AOB=110. ∴.∠B=∠ODB,∴∠ODB=∠C,∴.AC∥OD.:DF⊥AC. 2.C解析：如图，连接OC.,I是△ABC的内心，A1平分 .ODLDF.:OD是⊙O的半径，∴.DF是⊙O的切线. ∠BAC.∠CA1=35°，.∠BAC=2∠CA1=70°.：O是 (2)如图，连接AD,设⊙O的半径为r,则AB=2r.在 △ABC外接圆的圆心，∴.∠BOC=2∠BAC=140°.又：OB= Rt△CED中，CE=w3.CD=2,∴.EI)=C一CE=4一3=1， .ED=1,.∠C=30,∴∠B=30°，∴.∠AOD=2∠B=60. 0C.∠0BC=∠0cB=2×180°-∠00=2×(180 :AC∥OD,O为AB的中点，.OD是△ABC的中位线，.D140)=20° 是BC的中点，BD=CD=2.,AB是⊙O的直径，∴∠ADB 90∴AD-2AB=nBD=VAB-AD=3r=2,∴r AB2AE-AC-CE-AB-CE 5-=S-S=×(停+2） 第2题 第3题 1-照×x×(25)-复- 3.C解析：如图，连接OB.,AB切⊙O于点B,.OB LAB ∴∠AB)=90°.：BD∥OA.∴.∠D=∠O0CD=25,∴.∠O= 2∠D=50°，.∠A=90°-∠0=90°-50°=40°.4.B 解析：圆锥的侧面展开图如图，设圆锥的侧面展开图的扇形的 圆心角为n,根据题意，有X30=20x,解得n=120, 180 ∠ABA'=120°，过点B作BC⊥AA于点C,.∠BAA'= 30°，BC= 9.(1)√73一310平行解析：连接OA、AE.由题意得， AB-15 cm,..AC=15/3 cm...AA'=2AC- OM=OF=号EF=3,AF=8,EFLk,∴OA=AF+OF= 303cm..这条彩带的最短长度是30,3cm /73,AE=AF+EF=10.当点M在线段OA上时，AM 有最小值，最小值为73一3：当点M与点E重合时，AM有 最大值，最大值为10.如图1，连接B).过点B作BGL直线1， 垂足为G,则BG∥OF.:∠DAF=60°，∠BAD=90°，∴∠B4G 30,∴BG=号AB=号×6=3.∴0F=BG.又：BG∥OE, .四边形OBGF为平行四边形，∴.OB∥FG,即OB∥直线L 第↓题 第5题 课时提优计划作业本·数学·九年级上(SK版) ·37 5.A解析：作D点关于直线OB的对称点E,连接AE,与AB,即D.C,O三点共线，∴.OC=2,.CD=OD-OC=2一2. OB的交点为C,此时阴影部分周长最小.在扇形A(OB中， ∠AOB=60°，OD平分∠AOB交AB于点D,∴.∠AOD= =B+思-2+2=3=2-1- 2 180 ∠BOD=30°，由轴对称的性质，得∠EOB=∠OD=30°，OE m-3≈0.1. OD,.∠AOE=90°，，.△AOE是等腰直角三角形.又.OA= 1A5=反.D的长为瓷-音阴影都分周长的最小 值为2+吾.6.12解析：设圆锥的底面圆半径为rm,高 为hcm根据题意，得号×2xXrX13=65元，解得r=5,h= 第10题 第1川题 13一5=12(cm),即这个圆锥的高是12cm7.1 1山.(1D证明：∠ACB=是∠AOB,∠BAC=是∠B0C 解析：如图，连接OB.:∠ACB=60,∴∠AOB=2∠ACB ∠ACB=2∠BAC,∴.∠AOB=2∠BOC.(2)过点O作OD⊥ 120°.OD⊥AB.∴.AD=BD.∠OEA=90°，∴.∠AOD= AB交⊙O于点D,垂足为E,连接BD,∴.AE=BE,:∠AOB= ∠B0D=2∠A0B=60∠0AE=9W°-∠M0D=0-0=2ZB0C.∠D0B=∠A0B,·∠D0B=∠B0C.BD= 30,∴0E=20=号×2=1. BC.AB=4,BC=5,∴.BE=2,DB=5.在R△BED中， 由勾股定理得DE=YBD一B=√(5)2-2=1.在 R△(OEB中，由勾股定理得(OB=(OE十BE,即OB=(OB D+28,解得OB=多.⊙0的半径是多2.证明： (1)AF是⊙O的切线，∴.AF⊥OA,即∠OAF=90° ,CE是⊙O的直径，.∠CBE=90°，∴.∠OAF=∠CBE 0 :AF∥BC,∠BAF=∠ABC,∴∠OAF-∠BAF=∠CBE- 8.(-3)cm解析：如图，连接OA,OB,OC,OC交AB ∠ABC,即∠OAB=∠ABE,.AO∥BE.(2),∠ABE与 于点M由折叠的性质得，OM=CM=2C=1cm,QA=AC, ∠ACE都是EA所对的圆周角，∴.∠ABE=∠ACE又：OA CC,∴∠ACE-∠OAC,∴.∠ABE=∠OAC又由I)知，∠OAB= ABLOC,.OA=0C=AC=2cm,∴.∠AOC=60°，AM= ∠ABE.∴·∠OAB=∠OAC,即AO平分∠BAC.13.(1)证 √OA一OM=y2-1下=3(cm),∴.S题分=S形r一 明：如图，连接OE、OD.:∠C=90°，AC=BC,∠OAD= 5r=器×x×z-2×2x5=(管-万)m》。 ∠B=45°.又OM=OD.∴∠ADO-∠OAD=45,∴.∠AOD 90.:E是DF的中点.·∠DOE=∠OF=7∠DOF=5, .∠OEB=180°-∠E0F-∠B=180°-45-45=90°，∴.OE1 BC,,OE是半圆O的半径，BC是半圆O的切线. D 第8题 第9题 身.号解析：如图，设⊙C与AB所在的直线相切：切点为D, E 连接CD,CD是⊙C的半径，AB与⊙C相切于点D,AB 第13题 第15题 CD.,∠ACB=90°，AC=8,EC=6,∴.AB=√AC+BC= (2),OE⊥BC,∠B=45,∴.△OEB是等腰直角三角形.设 8+6=10.:号AB·CD=号AC·C=5am× BE=OE=x,则OB=2x,.AB=x十2x.AB=2BC, 10CD=号×8X6,解得CD-=号=CD-装1001 ∴r十√2x=2(2十x),解得x=2.S训分=S2m 解析：如图，连接OD.OA=2,∠AOB=90°.∴.OB=2,AB= Sr=之×2X2-镉××2=2-受.14(1证明：在 22.C是弦AB的中点，点D在AB上，CD⊥AB..OC⊥⊙O中，：AD=AD,∠ACD=∠ABD=45°，即∠FCE= 课时提优计划作业本·数学·九年级上(SK版) ·38- 45.:∠CE=5i∠CEF10∠CE-∠nCE-dte.e=3b+e+d0∴一-}a+b+c+d0-号6+c+ 180°-45-45°=90°，即直线1⊥直线CE.(2)①证明：，四 1 边形ABCD是o0的内接四边形.∠ABC+∠ADC-180.d=立3a-b一（一d.a<6.a<c,a<d.a+a+a<什c中 又：∠GDE+∠ADC=18,∴∠ABC=∠GDE.AB为O0的d,即a一b-一d<0,x一<0<，即>x同理可得 直径，∴∠ACB=90°由(1)知，∠CEF=90,即∠GED=90, y>x,y>>无，11.7解析：2、3、4、n2、的平均数 ∠ACB-∠G). 是5，.2+3+4十+x十=30，十x+=21,则、 ·∠ACB=∠GED在△ABC和△GDE中， ∠ABC=∠GDE, AB-GD. 西的平均数是21÷3=7.2号解析：根据题意，得十 ∴△ABC≌△GDE(AAS).②由①得△ABC≌△GDE,b什c=2×3=6,d+e=3×2=6,a,b.c、4,de的平均数是 ∴C-DE∴BC+CD=DE+CD=CE=是.又：R=1,a士c4+山e_5+5-号.1B（a十D解析：根据 6 6 3+ AB=2R=2.?AB为⊙0的直径，·∠ADB=90.题意，得2+x+3-1-4-1=0,解得x=1.放2号学生的身商 ,∠ABD=45,,∠BAD=45°，∴.AD=BD在R△ABD 为(a十1)m14.(1)500×62%=310(份).答：学校食堂每 中，由勾股定理得AD+BD=AB,即2AD=AB形=22=4， 天需要准备310份晚餐、(2)50×20+40=300（人）.答：估 ∴.AD=2,.四边形ABCD的周长为AB+BC+CD十AD= 100 2+是+厄=号+2.1.1)如图，连接0C:m=C 计该校学生就餐时间不超过17分钟的有300人. (3)14×20+16X40+18X14+20X2+2X4=17（mim. .∠BOD=∠BOC.OA=OC,∴∠OCA=∠OAC, 100 ∴∠BOC=2∠A.又'∠BOD=2∠F,∴.∠A=∠E.又答：估计该校学生在食堂就餐的平均用餐时间为17min :∠AGE=∠BGF,∴∠AEG=∠GBF.:DE⊥AC, 第2课时加权平均数 ·∠AEG=90°.∴∠GBF=90,∴.(OB⊥BF又OB为⊙O课堂演练 的半径，∴.BF是⊙O的切线.(2)△DGB为等腰三角形.理 1A解析，80X3+90X270X5=77(分.2.C解析： 由如下：：BC=BD,AB是⊙O的直径，∴.AD=AC,BC⊥ 3+2+5 :12×15%+10×60%+8×25%=9.8(元).3.B4.88 AC,,∠ABD=∠ABC.'DE⊥AC,BC⊥AC,.EF∥BC, .∠AGE=∠ABC,又∠AGE=∠FGB,.∠FGB= 解析：90X3+90X3十85X4=8(分).5.(1)m=85× 3十3十4 ∠ABD,.BD=DG,∴·△DBG为等腰三角形.(3)由(1) 50%+95×40%十95×10%=90.(2)：9091..B选手 (2)可知，AB⊥BF,∠FGB=∠ABD,∴∠DBF=90°- 获得第一名，A选手获得第二名. ∠ABD,∠F=90°-∠FGB,∴∠F=∠DBF,∴.DF=BD.又 课后拓展 由(2)知，BD=DG,∴.DF=DG=BD=2,∴，FG=DF+DG= 6.C解析：50×10%+30×15%+20×55%+10×20%= 2+2=4 22.5(元).7.B解析：设小明的面试成绩为x分，小芳的 第3章数据的集中趋势和离散程度 面试成绩为y分.由题意，得82×60%十40%.x>85×60%+ 3.1平均数 40%y,x一y>4.5.又，x,y均为整数，.小明的面试成绩 第1课时算术平均数 需至少比小芳多5分.8.30解析：捐100元的有5人， 占全班总人数的10%，.全班共有5÷10%=50（人），.捐款 课堂演练 20元的有50一20一10-5=15（人）.∴.全班同学平均每人捐 L.B2.B解析：(12×3+13×5+14×8+15×5+16× 款10X20+20X15+50X10+100X5=30(元. 3)÷24=14(岁).3.94945.立×(2+3-5+10+ 9.(1)甲的 50 12+8-1+2-5+4-10-2+5+5)=2(分)，83+2= 总成绩为74X4+58X3+87=69.625(分)，乙的总成绩为 4+3+1 85(分)，∴这个小组的平均成绩为85分 课后拓展 87×4+74×3+43=76.625（分)，丙的总成绩为 4+3+1 6.B7.A8.B解析：数据4,5,6,5的平均数为 90×4+70X3+50=77.5(分).：77.5>76.625>69.625， 4+3十1 4十5士6+5=5添加数据5，新数据的平均数仍然是5 丙将被录用.(2)，专业知识、语言能力和综合素质三项 9.A10.A解析：设五位评委给选手圆圆打分为a,b,c,d、得分的比例为x:y:1,且x十y十1=10，y=9一.甲的 ,其中a<<d,则x-子a+6什c十d,y一叶c+总成绩为74士58g+,乙的总成绩为 10 课时提优计划作业本·数学·九年级上(SK版) ·39.。课时提优计划作业本数学九年级上 》)》》》》》 复 习 课 知识梳理 L.圆的有关概念 (1)定义：①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的 图形叫作圆，固定的端点O叫作圆心，线段OA叫作半径.②圆是到 的距离等于 的点的集合，定点就是 ,定长就是 (2)弦、直径：连接圆上任意两点的 叫作弦，经过 的弦叫作直径， (3)弧、半圆、优弧、劣弧：圆上任意两点间的 叫作圆弧.圆的任意 的两个端点把 圆分成两条弧，每条弧都叫作半圆，大于半圆的弧叫作 弧，小于半圆的弧叫作 弧 (4)圆周角、圆心角：顶点在 的角叫作圆心角：顶点在 ,并且两边都和 相交的角叫作圆周角. (5)等圆、等弧：圆心 ,半径 的两个圆叫作同心圆：能够互相 的两个 圆叫作等圆：能够互相重合的弧叫作等弧. 2.圆的性质 (1)轴对称性：圆是 图形， 都是它的对称轴. (2)垂径定理：垂直于弦的直径平分 ,并且平分 (3)中心对称性：圆是中心对称图形 是它的对称中心. (4)圆心角、弧、弦之间的关系： ①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 相等. ②在同圆或等圆中，如果 中有一组量相等，那么它们所对应的其 余各组量都分别相等。 ③圆心角的度数与它所对的弧的度数 (5)圆周角的性质： ①圆周角的度数等于它所对弧的圆心角度数的 ,同弧或等弧所对的圆周角 ②直径（或半圆）所对的圆周角是 的圆周角所对的弦是直径 ③圆内接四边形的对角 3.与圆有关的位置 (1)点与圆的位置关系：如果⊙O的半径为r,点P到圆心O的距离为d,那么点P在⊙O上d r:点P在⊙O 台d>r;点P在⊙O d<r. (2)圆的存在性定理：不在同一条直线上的三点确定 (3)三角形的外心、内心： ①外心：三角形的外心是三角形 的圆心，是三角形 的交点，它到 的 距离相等. ②内心：三角形的内心是 的交点，它到三角形 的距离相等 (4)直线与圆的位置关系： ①如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么直线l与⊙O相交台d r;直 线l与⊙O相切台d r:直线l与⊙O相离台d r. ②圆的切线： (「)判定方法：经过半径的 并且垂直于 的直线是圆的切线：与圆有 公共点的直线是圆的切线：与圆心的距离等于 的直线是圆的切线。 88 第2章对称图形一圆 (ⅱ)性质：圆的切线与圆有 公共点；圆心到圆的切线的距离等于 ;圆的切线 垂直于经过 的半径 ()切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，并且这个点与圆心的连线平分两 切线的夹角 4.正多边形与圆 (1)正多边形的定义及性质： ① 的多边形叫作正多边形 ②一般地，用量角器把一个圆n(≥3)等分，依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的 正n边形，这个圆是这个正n边形的 圆.正多边形的 圆的圆心叫作正多 边形的中心， 圆的半径叫作正多边形的半径， ③正多边形都是 图形，一个正n边形共有 条对称轴，每条对称轴都经过正n 边形的 如果一个正多边形有 条边，那么它又是 图形，对称中心就是这 个正多边形的 (2)弧长与扇形面积： ①在半径为R的圆中，弧长l与所对的圆心角度数n的关系为 ②在半径为R的圆中，圆心角度数为n的扇形面积为 :在半径为R的圆中，弧长 为（的扇形面积为 (3)圆锥的展开图： 在圆锥中，连接圆锥的顶点与底面圆上的任意一点的线段叫作圆锥的母线.设圆锥的母线长为 ,底面圆的半径为r,它的侧面积为 题组提优训练 目/考点一/圆的有关概念及性质 1.(2023·宜昌)如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，AC、OB交于点D.若AD=CD=8,OD= 6,则BD的长为 () A.5 B.4 C.3 D.2 (第1题》 (第2题) (第3题)》 (第4题)》 2.如图，AC是⊙O的直径，点B在圆上（不与点A,C重合），点D在AC的延长线上，连接BD 交⊙O于点E.若∠AOB=3∠D,则下列关系正确的是 () A.DE-EB B.2DE=EB C.3DE-DO D.DE-OB 3.(2023·广元)如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，连接CD、OD、AC.若∠BOD 124°，则∠ACD的度数为 A.56° B.33 C.28 D.23 4.如图，将半径为5的⊙O折叠，折痕AB长为8，C为折叠后AB的中点，则O℃的长为() A.2 B.3 C.1 D.√2 89 一课时提优计划作业本数学九年级上>)，)) 5.(2023·随州)如图，在⊙O中，OA⊥BC,∠AOB=60°，则∠ADC的度数为 0 (第5题) (第6题) (第7题) 6.(2023·深圳)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠BAC的平分线与⊙O交于点D. 若∠ADC=20°，则∠BAD的度数为 7.(2023·广安)如图，△ABC内接于⊙O,已知⊙O的半径为7，∠BAC=60°，则弦BC的长 度为 8.如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面AB的宽度为6m,拱高CD(孤的中点 到水面的距离)为1m. (1)求主桥拱所在圆的半径. (2)若水面下降1m,求此时水面的宽度. 9.如图，在△ABC中，AB=AC,⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D. (1)若∠ACB=60°，BC=8/3,求⊙O的半径 (2)当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的度数. 目/考点二/直线与圆的位置关系 1.(2022·河池)如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A,∠ABC=25°，O℃的延长线 交PA于点P,则∠P的度数为 A.25 B.35 C.40 D.50 (第1题) (第2题) 2.(2023·重庆)如图，AC是⊙O的切线，B为切点，连接OA、OC.若∠A=30°，AB=23, BC=3,则OC的长度为 () A.3 B.23 C.√13 D.6 90 第2章对称图形一圆 3.如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B,∠P=70°，C为劣弧AB上一点，则∠ACB的度 数为 A.110 B.120° C.125 D.130° B (第3题)》 (第4题) (第5题) (第6题) (第7题) 4.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（一4，一3），⊙A的半径为1，P为x轴上一 动点，PQ切⊙A于点Q,则当PQ的长最小时，点P的坐标为 () A.(-4,0) B.(-5,0) C.(-4,0)或(-5,0)D.(-3,0) 5.(2023·邵阳)如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B,连接OB,若 ∠ABC=65°，则∠BOD的度数为 6.如图，半径为3的⊙O与Rt△AOB的斜边AB相切于点D,交OB于点C,线段CD的延长 线与线段OA的延长线交于点E.若∠B=30°，则线段AE的长为 7.如图，在扇形AOB中，点P在OA上，连接PB,将△OBP沿PB折叠得到△OBP.若∠O= 75°，且BO与AB所在的圆相切于点B,则∠APO的度数为 8.在平面直角坐标系xOy中，以点P(3,4)为圆心的圆上有且仅有两个点到x轴的距离等于 2,则该圆的半径r的取值范围是 9.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D,且交 ⊙O于点E,连接OC、BE相交于点F. (1)求证：EF=BF (2)若CD=4,DE=2,求直径AB的长. 10.如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，C是⊙O外一点，OE的延长线与 BC交于点C,与⊙O交于点F,且∠DBC=∠A. (1)求证：BC是⊙O的切线 (2)若⊙O的半径为6，BC=8,求弦BD的长. 0 91 课时提优计划作业本数学九年级上，2号 目/考点三/与圆有关的计算 1.(2023·自贡)第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整的正多边形 图案，小华量得图中一边与对角线的夹角∠ACB=15°，则这个正多边形的边数是 ( A.9 B.10 C.11 D.12 0 0* 01 (第1题) (第2题) (第3题) 2.(2023·湘潭)如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中AA'的长为() A.4x B.6π C.8π D.16π 3.(2023·滨州)如图，某玩具品牌的标志由半径为1cm的三个等圆构成，且三个等圆⊙O、 ⊙O2、⊙O相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为 A.牙cm B牙cm C.em D.x cm2 4.如图，某小区内的消防车道有一段弯道，弯道的内外边缘均为圆弧，AB,CD所在圆的圆心均为 O,点C、D分别在OAOB上.已知消防车道半径OC=12m,消防车道宽AC=4m,∠AOB= 120°，则弯道外边缘AB的长为 粘贴部分 (第4题) (第5题) (第6题) 5.(2023·自贡)如图，小珍同学用半径为8cm、圆心角为100°的扇形纸片制成一个底面半径 为2cm的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是 cm. 6.(2023·苏州)如图，在□ABCD中，AB=√3十1，BC=2,AH⊥CD,垂足为H,AH=3.以 点A为圆心、AH的长为半径画弧，与AB、AC、AD分别交于点E,F、G.若用扇形AEF围 成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为1：用扇形AHG围成另一个圆锥的侧面， 记这个圆锥底面圆的半径为2，则r一2 (结果保留根号). 92 第2章对称图形一圆 7.如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB=45°，BC∥AD,CD∥AB. (1)判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由. (2)若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积. 8.(2023·巴中)如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC,以AB为直径作⊙O交BC于点D, 过点D作DF LAC于点E,交BA的延长线于点F, (1)求证：DF是⊙O的切线 (2)若CE=√3，CD=2,求图中阴影部分的面积（结果用π表示）. 9.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点A在直线1上，AD与直线l相交所得的锐角为 60°.点F在直线L上，AF=8,EF⊥l,垂足为F,且EF=6,以EF为直径在EF的左侧作半 圆O,M是半圆O上任一点， (1)AM的最小值为 ,AM的最大值为 ,OB与直线I的位置关系是 (2)矩形ABCD保持不动，半圆O沿直线I向左平移，当点E落在边AD上时，求半圆与矩 形重合部分的周长和面积， 93 课时提优计划作业本数学九年级上2)2 直击中考前沿 1.(2023·河南)如图，点A、B、C在⊙O上.若∠C=55°，则∠AOB的度数为 A.95 B.100° C.105 D.110 (第1题) (第2题) (第3题) (第4题) 2.(2023·聊城)如图，O是△ABC外接圆的圆心，I是△ABC的内心，连接OB、IA.若∠CA1 35°，则∠OBC的度数为 () A.15° B.17.5 C.20 D.25 3.(2023·眉山)如图，AB切⊙O于点B,连接OA交⊙O于点C,BD∥OA交⊙O于点D,连 接CD.若∠OCD=25°，则∠A的度数为 A.25 B.35 C.40° D.45 4.(2023·赤峰)某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽.如图，这个圆锥的底面圆 周长为20πcm,母线AB长为30cm.为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘 贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最 短长度是 A.30 cm B.30/5cm C.60 em D.20πcm 5.(2023·通辽)如图，在扇形AOB中，∠AOB=60°，OD平分∠AOB交AB于点D,C是半径 OB上一动点.若OA=1,则阴影部分周长的最小值为 () A.2+8 B2+3 C22+看 D名2+骨 (第5题) (第7题) 6.(2023·黑龙江)已知圆锥的母线长13cm,侧面积为65πcm,则这个圆锥的高是 cm. 7.(2023·长沙)如图，点A、B、C在半径为2的⊙O上，∠ACB=60°，OD⊥AB,垂足为E,交 ⊙O于点D,连接OA,则OE的长度为 94 第2章对称图形一圆 8.(2023·绥化)如图，⊙O的半径为2cm,AB为⊙O的弦，C为AB上的一点，将AB沿弦AB 翻折，使点C与圆心O重合，则阴影部分的面积为 (结果保留π与根号). (第8题) (第9题) (第10题) 9.(2023·衡阳)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6.以点C为圆心、r为半径 作圆，当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时，r的值为 10.(2023·常德)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的 “会圆术”，如图，AB是以点O为圆心、OA的长为半径的圆弧，C是弦AB的中点，点D在 AB上，CD1AB,“会圆术"给出AB的长1的近似值：的计算公式：=AB+识当OA=2, ∠AOB=90时，1-s= (结果保留一位小数). 11.(2023·武汉)如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠ACB=2∠BAC. (1)求证：∠AOB=2∠BOC. (2)若AB=4,BC=5,求⊙O的半径. 12.(2023·福建)如图，已知△ABC内接于⊙O,C)的延长线交AB于点D,交⊙O于点E,交 ⊙O的切线AF于点F,且AF∥BC. (1)求证：AO∥BE. (2)求证：AO平分∠BAC 0 95 二课时提优计划作业本数学九年级上2>》司 13.(2023·十堰)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC,点O在AB上，以点O为圆心、 OA的长为半径作半圆分别交AC、BC、AB于点D、E、F,且E是DF的中点. (1)求证：BC是半圆O的切线， (2)若CE=√2，求图中阴影部分的面积（结果保留π）. 14.(2023·株洲)如图，四边形ABCD是半径为R的⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径， ∠ABD=45°，直线1与CD、CA、DA的延长线分别交于点E、F、G,且∠CFE=45°. (1)求证：直线⊥直线CE. (2)若AB=DG. ①求证：△ABC≌△GDE, ②若R=1,CE=号，求四边形ABCD的周长 15.(2023·兰州)如图，△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径，BC=BD,DE⊥AC于点E,DE 交BF于点F,交AB于点G,∠BOD=2∠F,连接BD. (1)求证：BF是⊙O的切线 (2)判断△DGB的形状，并说明理由. (3)当BD=2时，求FG的长 96