专题04 与圆有关的压轴题（期末复习专项训练，七种题型）九年级数学上学期苏科版

专题04 与圆有关的压轴题型 题型1 四点共圆 题型2 圆幂定理 题型3 垂径定理 题型4 定弦定角 题型5 定角定高模型（探照灯模型） 题型6 阿氏圆 题型7 瓜豆原理 题型一 四点共圆（共4小题） 1．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）【推理证明】 （1）如图①，在四边形中，，求证：、、、四点共圆．小明认为：连接，取的中点，连接、即可证明，请你按照小明思路完成证明过程． 【尝试应用】 （2）如图②，在正方形中，点是边上任意一点，连接，交于点，请利用无刻度的直尺与圆规在线段上确定点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】 （3）在（2）的基础上，若，，直接写出线段的长． 2．（2025·广东广州·一模）直线交轴于点，抛物线交轴于点和点，． (1)求点的坐标； (2)如果，，且抛物线始终在直线下方，求的取值范围； (3)过点作的平行线，在第一象限内交抛物线于另外一点，如果点的横坐标是，且的面积是32，、、、四点共圆．当时，探究有没有最值（最大值或最小值）？如果有，请求出最值，如果没有，请说明理由． 3．（24-25九年级上·福建南平·期末）综合与实践：数学活动课上，兴趣小组开展“探究四点共圆的条件”活动． 【提出问题】如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上． 探究展示： 设是的外接圆 如图2，假设点在内，延长交于点，连接 点在上， ∴（_____） 在中， 这与已知条件矛盾 点不在内 如图3，假设点在外，； 综上所述，作的外接圆，点在上，即，，，四点共圆． 【归纳结论】 （1）上述探究过程中的括号内填的依据是_____； （2）如图3，请你帮助小聪按照上面的思路，写出该证明的省略部分； 【结论运用】 （3）如图4，已知四边形中，，若，平分，记，的值是否会发生改变，如果不发生改变，请求出其值，如果发生改变，请求出的取值范围． 4．（23-24九年级下·福建莆田·月考）在学习《圆》这章时，我们学习了圆周角定理的推论：圆内接四边形的对角互补；事实上，它的逆命题：对角互补的四边形的四个顶点共圆，也是一个真命题．在图形旋转的综合问题中经常会出现对角互补的四边形，那么，我们就可以借助“对角互补的四边形的四个顶点共圆”，然后借助圆的相关知识来解决问题，例如： 已知：如图，是等腰直角三角形，，点是内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，并延长交直线于点．请解答下列问题： (1)当点在如图所示的位置时， ①求的度数； ②利用题干中的结论，证明：四点共圆； (2)连接，点在内部运动的过程中，若，直接写出线段的长． 题型二 圆幂定理（共4小题） 1．（2025·江苏苏州·一模）如图已知过外一点向作两条割线分别交于点和点，其中，，经测量得知，则弧的度数不可能是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）如图，割线与交于点A，B，割线过圆心O，且，若弦，的半径，求的长．    3．（2025·河南郑州·一模）【 问题背景】 如图（1），点在外，点，，在上 ． 【解决问题】 （1）请判断和的大小关系，并加以证明； 【实践应用】 （2）在足球比赛场上，仅从射门的角度考虑，球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进．如图()，为对方球门，当甲带球冲到点时，同伴乙已经冲到点(点在外)，直接判断：甲是自己射门好，还是将球传给乙，让乙射门好? 【拓展延伸】 （3）一位足球运动员在某场赛事中有一精彩进球，如图（3），他在点处接到球后，沿方向带球跑动，并在对球门的视角最大的点处射门(视角最大时，经过点，，的 圆 与切于点)．已知，，视角，(点在的延长线上)．求的长．(结果保留根号) 4．（2025·天津河东·一模）已知，，过点，且与边，分别交于点，． (1)如图①，若过点，且，连接，求的大小； (2)如图②，若点在上，与切于点，过上点作交于点，连接，若，，求的长． 题型三 垂径定理（共6小题） 1．（25-26九年级上·甘肃武威·期末）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，某天下雨后，水管水面上升了，求此时排水管水面的宽． 2．（25-26九年级上·浙江温州·期末）如图1是直径为圆形干果盘，其示意图如图2，四条隔板长度相等，横纵隔板互相垂直且交于隔板的三等分点，则该干果盘的隔板长为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）壁挂铁艺盆栽是一种兼具装饰性和实用性的家居园艺用品，适合用于阳台、客厅墙面或其他空间，增添绿意和艺术感．图①是一种壁挂铁艺盆栽，花盆外围是圆形框架．图②是其截面示意图，为圆形框架的圆心，弦和劣弧围成的区域为种植区．若种植区的深度为，弦的长为，则圆形框架的半径为 ． 4．（24-25九年级上·重庆开州·月考）如图是开州区竹溪镇一菜农蔬菜大棚的截面，形状为圆弧型，圆心为O，跨度（弧所对的弦）的长为8米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米．圆弧所在圆的半径为 米；在修建过程中，在距蔬菜大棚的一端（点B）1米处将竖立支撑杆，支撑杆的高度为 米． 5．（24-25九年级上·福建莆田·期末）月日上午时分，世界最长高速公路隧道天山胜利隧道全线贯通．天山胜利隧道的建成将进一步巩固新疆在国家安全和维护边疆稳定中的作用，对于防御外部威胁和保障国家安全具有重要意义．隧道中导洞的横截面如图所示，是以为圆心的圆的一部分．已知路面宽约为，净高，那么圆的半径约为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图1，筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写到：“破浪于川湄”，“斡流于波面”，“多寄临川之郡”，描述了筒车的工作原理和应用场景．如图2，筒车盛水桶的运动轨迹是以轴心为圆心的圆．已知圆心在水面上方，被水面截得的弦长为米，的直径米，若是运动轨道的最低点（劣弧的中点），求点到水面的距离． 题型四 定弦定角（共5小题） 1．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，中，，是内部的一个动点，且满足，则线段的最小值为 ． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，等边三角形中，点D，E分别在边、上，，连接，交于点P． (1)求证：； (2)若等边三角形的边长为，的最小值是多少？ 3．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，等边的边长为2，点D是边上一动点（不与A、B重合），以为直径的与边交于点E，连接与交于点F，连接，当点D在边上移动时，的最小值为 ． 题型五 定角定高模型（探照灯模型）（共4小题） 1．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，，过点作，且，连接，则的最大值为 ． 2．（2023九年级上·浙江·竞赛）如图，在四边形中，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏镇江·月考）[学习心得]（1）小刘同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加轴助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，长为半径作辅助圆，则C、D两点必在上，是的圆心角，是的圆周角．则 ． [初步运用]（2）如图2，在四边形中，，，则 ；    [方法迁移] （3）如图3，已知线段和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得（不写作法保留作图痕迹）； [问题拓展] （4）如图4，已知正方形的边长为6，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿逆时针方向向终点C和D运动，连接和交于点P，连接，则的最小值是 ． （5）如图5，在中，，是边上的高，且，．求的长．    4．（2023·重庆·模拟预测）在直角中，，，点D是外一点，连接，以为边作等边． (1)如图1，当点F在线段上，交于点M，且平分，若，求的面积； (2)如图2，连接并延长至点E，使得，连接、、，证明：； (3)如图3，旋转使得落在的角平分线上，M、N分别是射线、上的动点，且始终满足，连接，若，请直接写出的面积最小值． 题型六 阿氏圆（共6小题） 1．（九年级·全国·专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（    ）      A．7 B．5 C． D． 2．（九年级上·陕西西安·月考）如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP＝．连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．连接CQ、DQ，则DQ+CQ的最小值为 ． 3．（九年级上·江苏宿迁·期末）问题提出：如图1，在中，，，，的半径为2，P为圆上一动点，连接，，求的最小值． (1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图1，连接，在上取一点D，使，连接，则．又因为，所以，所以．所以．所以．请你完成余下的思考，并求出的最小值； (2)自主探案：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值； (3)拓展延伸：如图2，已知在扇形中，，，，，P是上一点，求的最小值． 4．（2024·安徽·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于两点，为抛物线顶点． (1)求的值； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 5．（24-25九年级上·广东珠海·期末）如图，以直径 ，已知，点为⊙上一动点． (1)如图1所示，时，求的长． (2)如图2所示，移动点使它和边上的点满足且，四边形是什么四边形，请说明理由； (3)如图3，在中，，线段绕点在平面内旋转，过点作的垂线，交射线于点．若，求的最大值． 6．（江苏常州·一模）如图，在中，点A、点B在上，，，点C在OA上，且，点D是的中点，点M是劣弧AB上的动点，则的最小值为 ． 题型七 瓜豆原理（共5小题） 1．（2025·山东·二模）如图，点是上一个动点，点在外一个定点，已知是等边三角形．当点在上运动时，点的位置也跟着发生改变，则的最小面积为 ． 2．（2025·广东深圳·一模）如图，在等腰中，，点P在以斜边为直径的半圆上，M为的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，的最小值是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，正方形的边长为7，以C为圆心，3为半径作．点P为上的动点，将绕点逆时针旋转得到，连接．在点P运动的过程中，长度的最大值是 ．    4．（23-24九年级下·江苏无锡·月考）如图，在中，，．点M是平面内的一点，．将线段绕点A按顺时针方向旋转一周，连接，取的中点N，连接，则的取值范围是 ． 5．（23-24九年级下·北京·月考）如图，A，B为上两点，，C为上一动点（不与A，B重合），D为的中点．若的半径为2，则的最大值为 ．    1．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）如图，在矩形中，，，点，分别是，边上的点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 2．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且与轴分别交于两点，若点、点关于原点对称，则的最大值为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 3．（24-25九年级上·广东河源·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，、是半径为1的上两动点，且，P为弦的中点，当的面积最大时，点的坐标为 ．    4．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，正方形边长为4，点G是以为直径的半圆上的一个动点，点F是边上的一个动点，点E是的中点，则的最小值为 ． 5．（24-25九年级上·山东淄博·月考）如图，是的直径，点C在上，，垂足为D，，点E是上的动点（不与C重合），点F为的中点，若在E运动过程中的最大值为4，则的值为 ． 6．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·月考）如图，在矩形中，，，是矩形左侧一点，连接、，且，连接，为的中点，连接，则的最大值为 ． 7．（22-23九年级上·江苏扬州·单元测试）如图，在矩形中，，，点分别是边上的动点，且，点是的中点，连接，则四边形面积的最小值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 与圆有关的压轴题型 题型1 四点共圆 题型2 圆幂定理 题型3 垂径定理 题型4 定弦定角 题型5 定角定高模型（探照灯模型） 题型6 阿氏圆 题型7 瓜豆原理 题型一 四点共圆（共4小题） 1．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）【推理证明】 （1）如图①，在四边形中，，求证：、、、四点共圆．小明认为：连接，取的中点，连接、即可证明，请你按照小明思路完成证明过程． 【尝试应用】 （2）如图②，在正方形中，点是边上任意一点，连接，交于点，请利用无刻度的直尺与圆规在线段上确定点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】 （3）在（2）的基础上，若，，直接写出线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半证明，即可得出结论； （2）以为直径作圆，交于点P，由直径所对圆周角等于，即可得出； （3）由正方形性质和勾股定理求出，再证明得是等腰直角三角形，由此求出． 【详解】（1）证明：连接，取的中点，连接、， ∵， ∴， ∴、、、四点在以点O为圆心，以为半径的圆上． （2）如图，； （3）∵在正方形中，，， ∴，，， ， ∴， ∵， ∴， 又∵是直角三角形，， ∴， ∴ 又∵， ∴即 ∴． 【点睛】本题考查了证明四点共圆以及圆周角定理，正方形性质、直角三角形性质、勾股定理等知识，添加合适的辅助线是解题的关键． 2．（2025·广东广州·一模）直线交轴于点，抛物线交轴于点和点，． (1)求点的坐标； (2)如果，，且抛物线始终在直线下方，求的取值范围； (3)过点作的平行线，在第一象限内交抛物线于另外一点，如果点的横坐标是，且的面积是32，、、、四点共圆．当时，探究有没有最值（最大值或最小值）？如果有，请求出最值，如果没有，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)有，最大值为8，最小值为0 【分析】（1）令，求出值即可； （2）利用一元二次方程根的判别式解决函数交点问题； （3）根据题意易得，进而可知，根据抛物线的对称性可知，点为抛物线顶点，再根据四点共圆，求出坐标，进而即可求出，，，从而求出解析式，据此求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ； （2）解：抛物线始终在直线下方， 当时，抛物线与直线有交点，不成立， 当时，抛物线开口向下，与直线没有交点， ， ， ， ； （3）解：直线且过点， 直线解析式为， ， ， ， ， 当时，不成立， ， 如图， 则为等腰三角形，， 根据抛物线的对称性可知，点为抛物线顶点， 点、、、四点共圆， 设点为外接圆圆心 过作于， 点在上， 连接， 在中，， 解得半径，， 点，点在第一象限内， ， ，，， 将，，代入抛物线得： ，解得：， ， ， ， 最大值为8，最小值为0． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质、二次函数与直线交点问题、四点共圆、二次函数最值等问题，熟练掌握相关知识是解题的关键． 3．（24-25九年级上·福建南平·期末）综合与实践：数学活动课上，兴趣小组开展“探究四点共圆的条件”活动． 【提出问题】如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上． 探究展示： 设是的外接圆 如图2，假设点在内，延长交于点，连接 点在上， ∴（_____） 在中， 这与已知条件矛盾 点不在内 如图3，假设点在外，； 综上所述，作的外接圆，点在上，即，，，四点共圆． 【归纳结论】 （1）上述探究过程中的括号内填的依据是_____； （2）如图3，请你帮助小聪按照上面的思路，写出该证明的省略部分； 【结论运用】 （3）如图4，已知四边形中，，若，平分，记，的值是否会发生改变，如果不发生改变，请求出其值，如果发生改变，请求出的取值范围． 【答案】（1）同弧所对的圆周角相等；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据圆周角定理的推论作答即可； （2）假设点在外，设交于点，连接，利用反正法，根据圆周角定理及三角形的外角性质即可得解； （3）延长至点，使得，过点作于，证明得，再利用勾股定理及 30 度直角三角形的性质得，从而得，进而即可得解． 【详解】解：（1）同弧所对的圆周角相等； （2）证明：如图3，假设点在外，设交于点，连接， 点在上， ， 在中，， ， 这与已知条件矛盾， 点不在外； （3）解：的值不会发生改变；理由如下： 已知四边形中，，若，平分，记，延长至点，使得，过点作于， ，，，四点在同一个圆上， 平分， ， ， ； ，，，四点在同一个圆上， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， 平分，， ， ， ， ， ， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理， 30 度直角三角形的性质，圆周角定理，反证法，等腰三角形的三线合一，角平分线的定义，熟练掌握勾股定理， 30 度直角三角形的性质，圆周角定理是解题的关键． 4．（23-24九年级下·福建莆田·月考）在学习《圆》这章时，我们学习了圆周角定理的推论：圆内接四边形的对角互补；事实上，它的逆命题：对角互补的四边形的四个顶点共圆，也是一个真命题．在图形旋转的综合问题中经常会出现对角互补的四边形，那么，我们就可以借助“对角互补的四边形的四个顶点共圆”，然后借助圆的相关知识来解决问题，例如： 已知：如图，是等腰直角三角形，，点是内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，并延长交直线于点．请解答下列问题： (1)当点在如图所示的位置时， ①求的度数； ②利用题干中的结论，证明：四点共圆； (2)连接，点在内部运动的过程中，若，直接写出线段的长． 【答案】(1)①；②证明见解析 (2)或 【分析】（1）①根据全等三角形的性质可得，根据，进而得出，即可得出； ②根据四边形对角互补，可得四点共圆； （2）连接，过点D作于点H，勾股定理求得，进而得出，根据四点共圆，得出是等腰直角三角形，进而即可求解． 【详解】（1）解：①∵是等腰直角三角形， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴ ， ， ， ， ； ②证明： ， ， ， 四点共圆； （2）解：①如图，当点F在线段上时，连接，过点D作于点H， ， ， ，， ，， 四点共圆， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ②当点F在线段的延长线上时， 由①可知：， ∴， 四点共圆， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， ∴， ∴， ∴的长为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，圆内接四边形对角互补，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型二 圆幂定理（共4小题） 1．（2025·江苏苏州·一模）如图已知过外一点向作两条割线分别交于点和点，其中，，经测量得知，则弧的度数不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 连接，得到，由三角形外角的性质得到，继而得到，得出弧的度数不可能是，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ， ，， ， 弧的度数不可能是， 故选：A ． 2．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）如图，割线与交于点A，B，割线过圆心O，且，若弦，的半径，求的长．    【答案】的长为13 【分析】作于点，根据垂径定理可得出，在中利用勾股定理求得，根据含30度角的直角三角形的性质可求得，即可求得PC． 【详解】解：如图，作于点，    则， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴的长为13． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确地添加辅助线是解题的关键． 3．（2025·河南郑州·一模）【 问题背景】 如图（1），点在外，点，，在上 ． 【解决问题】 （1）请判断和的大小关系，并加以证明； 【实践应用】 （2）在足球比赛场上，仅从射门的角度考虑，球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进．如图()，为对方球门，当甲带球冲到点时，同伴乙已经冲到点(点在外)，直接判断：甲是自己射门好，还是将球传给乙，让乙射门好? 【拓展延伸】 （3）一位足球运动员在某场赛事中有一精彩进球，如图（3），他在点处接到球后，沿方向带球跑动，并在对球门的视角最大的点处射门(视角最大时，经过点，，的 圆 与切于点)．已知，，视角，(点在的延长线上)．求的长．(结果保留根号) 【答案】（）见解析；（）见解析；（）． 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外角性质，切线的性质，等边三角形的性质与判定等知识，掌握相关知识的应用是解题的关键． （）根据圆周角定理和三角形的外角性质即可求解； （）根据圆周角定理和三角形的外角性质即可求解； （）设经过，，三点的圆的圆心为，过点作的垂线，分别交，于点，连接，证明是等边三角形，则，由，，则，所以，，过点作于点，则，再由勾股定理和线段和差即可求解； 【详解】解：（）， 证明：如图()，设与交于点，连接，则， ∵， ∴， ∴； （）将球传给乙，让乙射门好， 如图，连接，， 同（）理得：， ∵球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进， ∴将球传给乙，让乙射门好； （）设经过，，三点的圆的圆心为， 如图()，过点作的垂线，分别交，于点，连接， 则，， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∴， 过点作于点，则， ∴， ∴． 4．（2025·天津河东·一模）已知，，过点，且与边，分别交于点，． (1)如图①，若过点，且，连接，求的大小； (2)如图②，若点在上，与切于点，过上点作交于点，连接，若，，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）连接，根据，得出为直径，根据等边对顶角得出，圆周角定理即可得出． （2）连接，，设半径为，根据切线的性质得出．结合，得出，是等腰直角三角形，勾股定理求出，即可得，求出．根据，即可求出，在中，勾股定理求出，在中，勾股定理即可求出． 【详解】（1）解：连接， 过点，， 为直径， ， ， ． （2）解：连接，，设半径为， 与切于点， ． ， ，是等腰直角三角形， ， ， ． ， ， 在中，， 在中，． 【点睛】该题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，切线的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 题型三 垂径定理（共6小题） 1．（25-26九年级上·甘肃武威·期末）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，某天下雨后，水管水面上升了，求此时排水管水面的宽． 【答案】 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键． 先根据勾股定理求出的长，再根据垂径定理求出的长，即可得出结论． 【详解】解：如图：作于E，交于F， ∵， ∴， ∵水管水面上升了， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·浙江温州·期末）如图1是直径为圆形干果盘，其示意图如图2，四条隔板长度相等，横纵隔板互相垂直且交于隔板的三等分点，则该干果盘的隔板长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要运用垂径定理和勾股定理求解．过点O作于点K，连接，由垂径定理求出，确定，根据题意，最后利用勾股定理即可计算． 【详解】解：∵直径为圆形干果盘， ∴， 如图，过点O作于点K，连接， 则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得： ，即， 解得：． 故选∶A． 3．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）壁挂铁艺盆栽是一种兼具装饰性和实用性的家居园艺用品，适合用于阳台、客厅墙面或其他空间，增添绿意和艺术感．图①是一种壁挂铁艺盆栽，花盆外围是圆形框架．图②是其截面示意图，为圆形框架的圆心，弦和劣弧围成的区域为种植区．若种植区的深度为，弦的长为，则圆形框架的半径为 ． 【答案】10 【分析】本题考查垂径定理的应用，如图，作交于点，交于点，连接，设的半径为，利用垂径定理得出，利用勾股定理求出即可．根据垂径定理正确地利用辅助线构造出直角三角形解决问题是关键． 【详解】解：如图，作交于点，交于点，连接 在中， ∴ ∵，， ， 设的半径为，则：， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 解得， 故的半径为 故答案为：10． 4．（24-25九年级上·重庆开州·月考）如图是开州区竹溪镇一菜农蔬菜大棚的截面，形状为圆弧型，圆心为O，跨度（弧所对的弦）的长为8米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米．圆弧所在圆的半径为 米；在修建过程中，在距蔬菜大棚的一端（点B）1米处将竖立支撑杆，支撑杆的高度为 米． 【答案】 5 1 【分析】本题考查了矩形判定和性质、勾股定理、垂径定理的应用，解题关键是矩形判定定理和垂径定理的应用． 根据垂径定理的推论得到圆心在的延长线上，设的半径为米，则米．由垂径定理得到米．由勾股定理得，得到方程，解方程即可求出该圆弧所在圆的半径；过点作于点，连，先求出，证明四边形为矩形，则．，求出．根据四边形为矩形即可得到答案． 【详解】解：垂直，点C是弧中点， 圆心在的延长线上． 设的半径为米，则米． ， （米． ， 即， 解得． 过点作于点，连接． 米， （米． ， 四边形为矩形， ，， （米． 米， 米． 米． 故答案为：5；1． 5．（24-25九年级上·福建莆田·期末）月日上午时分，世界最长高速公路隧道天山胜利隧道全线贯通．天山胜利隧道的建成将进一步巩固新疆在国家安全和维护边疆稳定中的作用，对于防御外部威胁和保障国家安全具有重要意义．隧道中导洞的横截面如图所示，是以为圆心的圆的一部分．已知路面宽约为，净高，那么圆的半径约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆中垂径定理和勾股定理的知识，掌握以上知识是解题的关键； 【详解】解：由题可得：，，， ∵是的弦， ∴， ∴， 设，， 在中，， 即， 解得：， ∴圆的半径约为， 故选：B； 6．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图1，筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写到：“破浪于川湄”，“斡流于波面”，“多寄临川之郡”，描述了筒车的工作原理和应用场景．如图2，筒车盛水桶的运动轨迹是以轴心为圆心的圆．已知圆心在水面上方，被水面截得的弦长为米，的直径米，若是运动轨道的最低点（劣弧的中点），求点到水面的距离． 【答案】米 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，求得是解答的关键．连接交于D，连接，利用垂径定理的逆定理得到，米，在中，由勾股定理得，进而求得即可． 【详解】解：连接交于D，连接， 由题意，米，米， ∵是劣弧的中点， ∴， ∴米， 在中，由勾股定理得， ∴米， ∴（米）， 答：点到水面的距离为米． 题型四 定弦定角（共5小题） 1．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，中，，是内部的一个动点，且满足，则线段的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题为求线段的最值-隐圆问题，考查了“直角所对的弦是直径”，勾股定理等知识﹒根据，得到点P在以为直径的圆上，以为直径作圆O，连接交圆O于点P，此时有最小值﹒根据勾股定理求出，即可求出有最小值为2﹒ 【详解】解：如图，∵是内部的一个动点，且满足， ∴点P在以为直径的圆上， 以为直径作圆O，连接交圆O于点P，此时有最小值﹒ ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴﹒ 故答案为：2 2．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，等边三角形中，点D，E分别在边、上，，连接，交于点P． (1)求证：； (2)若等边三角形的边长为，的最小值是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及轨迹和最值问题，解题的关键是确定点的运动轨迹并利用几何性质求的最小值． （1）利用等边三角形性质得、，通过证明，推出，结合角的和差及对顶角相等，最终证得． （2）由确定点的运动轨迹是一段劣弧，连接，通过全等三角形及角度关系求出和半径，利用“两点之间线段最短”，得的最小值． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，． 在和中， ． ． ， ． ． ． ． ，，， ． ． （2）∵． 点的运动轨迹是点为圆心，半径为的劣弧，且． 如图所示，连接． ，，， ． ，． ， ． ． ， ． ． ． 的最小值为． 3．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，等边的边长为2，点D是边上一动点（不与A、B重合），以为直径的与边交于点E，连接与交于点F，连接，当点D在边上移动时，的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据是等边三角形得出，，利用直径所对的圆周角为直角的定义得出的度数，再由同弧所对的圆周角相等得出，进而求得的度数，作出点A，F，B所在的，在上取点N，连接，，，，则，得到， ，进而证得四边形是菱形，连接，，求出菱形对角线的长度，由两点之间线段最短可知，，当点C，F，M三点共线时等号成立，从而求得的最小值． 【详解】解：如图，连接，， ∵是等边三角形， ∴，， 又∵为的直径， ∴， ∴， ∵所对应的圆周角相等， ∴， ∴， 作出点A，F，B所在的，在上取点N，连接，，，，则， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴，即四边形是菱形， 连接，，则，， 由两点之间线段最短可知：，即 ，当点C，F，M三点共线时等号成立， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，菱形的判定与性质，构造隐圆的问题，圆周角定理及三角形的三边关系等知识点． 题型五 定角定高模型（探照灯模型）（共4小题） 1．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，，过点作，且，连接，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】作的外接圆，过点作交延长线于点，连接，则，，由题意得，利用等腰直角三角形的性质得到，，进而得到，利用勾股定理求出的长，再利用两点之间线段最短的性质即可求出的最大值． 【详解】解：如图，作的外接圆，过点作交延长线于点，连接， 则，， 由题意得，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当三点共线时，有最大值． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定，结合图形构造三角形外接圆求线段最值是解题的关键． 2．（2023九年级上·浙江·竞赛）如图，在四边形中，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的定义，三角形的面积，含30度角的直角三角形的性质，过点作于点，以为圆心作为半径的圆，当在的延长线上时，的面积的最大，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，以为圆心作为半径的圆， ∵， ∴当在的延长线上时，的高取得最大值，则的面积最大， ∵， ∴， ∴， ∴的面积的最大值为， 故选：D． 3．（25-26九年级上·江苏镇江·月考）[学习心得]（1）小刘同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加轴助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，长为半径作辅助圆，则C、D两点必在上，是的圆心角，是的圆周角．则 ． [初步运用]（2）如图2，在四边形中，，，则 ；    [方法迁移] （3）如图3，已知线段和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得（不写作法保留作图痕迹）； [问题拓展] （4）如图4，已知正方形的边长为6，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿逆时针方向向终点C和D运动，连接和交于点P，连接，则的最小值是 ． （5）如图5，在中，，是边上的高，且，．求的长．    【答案】（1）；（2）25；（3）见解析；（4）；（5） 【分析】（1）由圆周角定理可得出答案； （2）取的中点，连接、．由直角三角形的性质证明点、、、共圆，由圆的性质得出，则可得出答案； （3）作出等边三角形，再以O为圆心，为半径画圆，由圆周角定理可得圆与直线的交点即为点P； （4）如图所示，取的中点O，连接，，，证明出，得到，然后求出，得到点P在以点O为圆心，为半径的圆上运动，得到当点O，P，C三点共线时，有最小值，勾股定理求出，进而求解即可； （5）作的外接圆，过圆心作于点，作于点，连接、、．由圆周角定理及勾股定理可得出答案． 【详解】解：（1）是的圆心角，是的圆周角，， ； 故答案为：； （2）如图2，取的中点，连接、．    ， ，， ， 点、、、共圆， ， ， ． 故答案为：25； （3）作图如下： 由图知，；同理．    （4）如图所示，取的中点O，连接，，，    根据题意得， ∵四边形是正方形 ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴点P在以点O为圆心，为半径的圆上运动 ∴ ∴当点O，P，C三点共线时，有最小值 ∵， ∴ ∴ ∴的最小值为； （5）如图，作的外接圆，过圆心作于点，作于点，连接、、，则四边形是矩形， ∴．   ， ． 在中，， ． ，为圆心， ， ． 在中，，， ． 在中，，， ， ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了正方形的性质、等边三角形的性质、圆周角定理、尺规作图、勾股定理、等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质，垂径定理等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 4．（2023·重庆·模拟预测）在直角中，，，点D是外一点，连接，以为边作等边． (1)如图1，当点F在线段上，交于点M，且平分，若，求的面积； (2)如图2，连接并延长至点E，使得，连接、、，证明：； (3)如图3，旋转使得落在的角平分线上，M、N分别是射线、上的动点，且始终满足，连接，若，请直接写出的面积最小值． 【答案】(1)； (2)见解析； (3) 【分析】（1）过点M作交于点N，设，则，，解得，从而求得； （2）延长至M，使得，连接，，证，，则，，从而证得； （3）过点D作于点H，过点D作于点G，过点D作交延长线于点K，证，运用定角定高模型进行分析． 【详解】（1）解：如图1，过点M作交于点N， ∴是等边三角形，， ∴． ∵在直角中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 设， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故． （2）证明：如图2，延长至M，使得，连接，， 在与中， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，． ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 即． 在与中， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 设，则， ∴，， ∴， ∵， ∴． （3）解：如图3，过点D作于点H，过点D作于点G，过点D作交延长线于点K， ∵，平分，，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴． 在中， ∵，，， ∴， ∵，，， 过点A作于点Q， ∴，， ∴，． 对于，， ∵， ∵， ∴当有最小值时，即最小， ∵， ∴最小，也即最小． ∵，， ∴当过外接圆圆心时，有最小值，即有最小值，也即有最小值，此时， ∵，， ∴， 即当是等边三角形时，的面积最小，为． 此时，由图形对称性可得，， 故的面积最小值为． 【点睛】本题是图形综合题，考查了锐角的三角函数值，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，定角定高模型，综合运用以上几何性质是解题关键． 题型六 阿氏圆（共6小题） 1．（九年级·全国·专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（    ）      A．7 B．5 C． D． 【答案】B 【详解】思路引领：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．利用相似三角形的性质证明MPPA，可得AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM即可解决问题． 答案详解：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM． ∵PC＝3，CM＝1，CA＝9， ∴PC2＝CM•CA， ∴， ∵∠PCM＝∠ACP，    ∴△PCM∽△ACP， ∴， ∴PMPA， ∴AP+BP＝PM+PB， ∵PM+PB≥BM， 在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7， ∴BM5， ∴AP+BP≥5， ∴AP+BP的最小值为5． 故选：B． 2．（九年级上·陕西西安·月考）如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP＝．连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．连接CQ、DQ，则DQ+CQ的最小值为 ． 【答案】5 【分析】连接AC、AQ，先证明△BCP∽△ACQ得即AQ＝2，在AD上取AE＝1，证明△QAE∽△DAQ得EQ＝QD，故DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE，求出CE即可． 【详解】解：如图，连接AC、AQ， ∵四边形ABCD是正方形，PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ， ∴∠ACB＝∠PCQ＝45°， ∴∠BCP＝∠ACQ，cos∠ACB＝，cos∠PCQ＝， ∴∠ACB=∠PCO， ∴△BCP∽△ACQ， ∴ ∵BP＝， ∴AQ＝2， ∴Q在以A为圆心，AQ为半径的圆上， 在AD上取AE＝1， ∵，，∠QAE＝∠DAQ， ∴△QAE∽△DAQ， ∴即EQ＝QD， ∴DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE， 连接CE， ∴， ∴DQ+CQ的最小值为5． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，三角函数，解题的关键在于能够连接AC、AQ，证明两对相似三角形求解. 3．（九年级上·江苏宿迁·期末）问题提出：如图1，在中，，，，的半径为2，P为圆上一动点，连接，，求的最小值． (1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图1，连接，在上取一点D，使，连接，则．又因为，所以，所以．所以．所以．请你完成余下的思考，并求出的最小值； (2)自主探案：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值； (3)拓展延伸：如图2，已知在扇形中，，，，，P是上一点，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)13 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、圆的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键． （1）连接，得到当点A，P，D在同一条直线上时，最小，即的最小值为的长．求出的长即可； （2）连接，在上取点D，使，连接，，证明．得到．则．当点B，P，D在同一直线上时，的值最小，即的最小值为的长，进一步求出的长即可； （3）延长到点E，使，连接，．证明．得到．．当E，P，B三点共线时，取得最小值，即的最小值为的长．进一步求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ，要使最小，即最小． 当点A，P，D在同一条直线上时，最小，即的最小值为的长． 在中，，，． 的最小值为． （2）如图，连接，在上取点D，使，连接，，． ， ． ． ． ． 当点B，P，D在同一直线上时，的值最小，即的最小值为的长， 在中，． 的最小值为． （3）如图，延长到点E，使，连接，． ． ，， ． ， ． ． ． ． 当E，P，B三点共线时，取得最小值，即的最小值为的长． 在中，． 的最值为13． 4．（2024·安徽·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于两点，为抛物线顶点． (1)求的值； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）通过长度先得到点坐标，再将两点代入函数解析式，解方程即可； （2）先求出直线的函数表达式，设出点坐标为，进而得到两点坐标，再通过列出方程，解方程即可； （3）取取，连接，，先证得，得到，进而可得到，再通过两点坐标求得长度． 【详解】（1）解：， 点坐标为， 将，代入， 得， 解得， （2）解：设直线的表达式为， 由（1）可知抛物线的表达式为， 故点坐标为， 直线的表达式为 设点坐标为， 则， ， ， 若， 则， 解得， ， 故，此时点坐标为； （3）如图，取，连接， ，，， 又， ， ， ， ， ， 故的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数综合问题，能够熟练掌握二次函数的基本性质以及相似三角形的应用是解题关键． 5．（24-25九年级上·广东珠海·期末）如图，以直径 ，已知，点为⊙上一动点． (1)如图1所示，时，求的长． (2)如图2所示，移动点使它和边上的点满足且，四边形是什么四边形，请说明理由； (3)如图3，在中，，线段绕点在平面内旋转，过点作的垂线，交射线于点．若，求的最大值． 【答案】(1) (2)菱形，见解析 (3) 【分析】本题是圆的综合题，考查了等腰直角三角形性质和判定，圆周角定理及其推论，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理． （1）先根据圆周角定理得，再由勾股定理即可解答； （2）先根据垂径定理得：，再证明，得，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得结论； （3）如图3，连接，先根据圆周角定理可知：点在以为直径的圆上，且，由旋转可得：点在以为圆心，2为半径的圆上，则当为相切时，的值最大，即可解答． 【详解】（1）∵为直径， ∴在中． ∵在中， （2）∵为直径 ，． 四边形是平行四边形 ∴四边形是平行四边形 ∴平行四边形是菱形 （3）如图，，， ∴点是在以为直径的圆上运动， ，且是绕点C旋转， ∴点是在以为圆心，以为半径的圆上运动， ， ∵当最小时，最大，此时与圆C相切于点D， ， ， 连接 ， ， ， 此时，即AE的最大值为． 6．（江苏常州·一模）如图，在中，点A、点B在上，，，点C在OA上，且，点D是的中点，点M是劣弧AB上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．延长到T，使得，连接，．利用相似三角形的性质证明，求的最小值问题转化为求的最小值．利用两点之间线段最短得到，利用勾股定理求出即可解题． 【详解】解：延长到T，使得，连接，． ， ， 点D是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又在中，，， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 题型七 瓜豆原理（共5小题） 1．（2025·山东·二模）如图，点是上一个动点，点在外一个定点，已知是等边三角形．当点在上运动时，点的位置也跟着发生改变，则的最小面积为 ． 【答案】/ 【分析】如图，以为边作等边，连接，可证，然后可得点的运动轨迹是以点为圆心，长为半径的圆上，要使得 面积最小，则求出点到线段的最小距离，点到的最小值为，最后求出面积即可． 【详解】解：如图，以为边作等边，连接， ∵ ∴ ，即， 在和 中， ∴ ∴ ∴点的运动轨迹是以点为圆心，长为半径的圆上， 要使得 面积最小，则点到线段的距离最小， ∵是边长为2的等边三角形， ∴点到的距离为， ∴点到的最小值为， ∴面积最小值为： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查动点轨迹圆相关知识点，全等三角形的判定，勾股定理的运用，构造辅助圆的方法求最值问题，解题关键是利用构造全等三角形找到动点的轨迹，再求出圆上一点到定点线段距离的最小值． 2．（2025·广东深圳·一模）如图，在等腰中，，点P在以斜边为直径的半圆上，M为的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的轨迹与等腰三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理．取的中点，取的中点，连接，，，则，故的轨迹为以为圆心，为半径的半圆弧，据此求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接，取的中点，连接，， ∴为的中位线， ∵在等腰中，，点在以斜边为直径的半圆上， ∴， ∴， ∵为的中位线， ∴， ∵， ∴当点在同一直线上时，有最小值，的最小值是， ∵在等腰中，，点斜边的中点， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故选：A． 3．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，正方形的边长为7，以C为圆心，3为半径作．点P为上的动点，将绕点逆时针旋转得到，连接．在点P运动的过程中，长度的最大值是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了圆外一点到圆上一点的最大距离．连接，，通过证明可推出的轨迹是以为圆心，2为半径的圆上，从而求出取到最大值时的位置，结合勾股定理从而可求出的最大值．本题的做题关键是通过全等来推出动点的轨迹． 【详解】解：如图，连接，， ， ， ，， ． ， 在以为圆心，3为半径的圆上， 连接，则当在的延长线上时，最长， 根据勾股定理可得， 此时，    故答案为：． 4．（23-24九年级下·江苏无锡·月考）如图，在中，，．点M是平面内的一点，．将线段绕点A按顺时针方向旋转一周，连接，取的中点N，连接，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了由动点产生的圆外一点到圆上的点的距离问题，三角形中位线定理；取的中点为，连接，由三角形中位线定理得，可得点的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆，当、、三点共线，在线段上时，最小，当、、三点共线，在线段上时，最大，据此即可求解；找出动点的运动轨迹是解题的关键． 【详解】解：如图，取的中点为，连接， 是的中点， ， 线段绕点A按顺时针方向旋转一周， 点的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆， 如图，当、、三点共线，在线段上时，最小， 此时 ； 如图，当、、三点共线，在线段上时，最大， 此时 ； 的取值范围是， 故答案：． 5．（23-24九年级下·北京·月考）如图，A，B为上两点，，C为上一动点（不与A，B重合），D为的中点．若的半径为2，则的最大值为 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查圆的定义及性质，能够通过性质得出点的轨迹是解题关键．取的中点E，连接，得到，即D是以点E为圆心，1为半径的圆上的一点，再求最值即可． 【详解】解：如图，取的中点E，连接，则，    ∵D为线段的中点， ∴是的中位线， ∴． ∴，即D是以点E为圆心，1为半径的圆上的一点． ∴求线段长度的最大值即是求点B与上的点的最大距离． 如图2，当点D在线段的延长线上时，线段的长度取得最大值，    ∵， ∴． ∴线段长度的最大值为． 故答案为：． 1．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）如图，在矩形中，，，点，分别是，边上的点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形的性质，勾股定理，最短路径． 由直角三角形斜边上中线的性质可得，可知点的轨迹为：以为圆心，为半径的圆弧（一部分），作关于的对称点，连接，交于，交以为圆心，以为半径的圆于，此时的值最小，最小值为的长，根据勾股定理可得，即可得的最小值． 【详解】解：，点为的中点， ， 点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧（一部分）， 作关于的对称点，连接，交于，当为与的交点时，的值最小，最小值为的长， ，， ， 在中，， ， 的最小值为， 故选：A． 2．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且与轴分别交于两点，若点、点关于原点对称，则的最大值为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，关于原点对称的点，勾股定理，确定何时有最大值是解题关键．连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即，当取得最大时，有最大值，当点P在的延长线上与交于点P时，最大，即可求出的最大值． 【详解】解：连接，如图： ∵点A、点B关于原点O对称， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∴，即， 当取得最大时，有最大值， ∵点P是上的任意一点， ∴当点P在的延长线上与交于点P时，最大，如图： ∵的半径为2，圆心M的坐标为， ∴， ∴的最大值为14． 故选：C． 3．（24-25九年级上·广东河源·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，、是半径为1的上两动点，且，P为弦的中点，当的面积最大时，点的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了一点到圆上一点的距离的最值问题，一次函数与几何综合，两点距离计算公式，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，过点作于点，连接，可证明是等腰直角三角形，则；求出，，可证明是等腰直角三角形，则，，可证明当点O在线段上时，有最大值，此时，即此时点P到的距离最大，则此时的面积最大，且，求出直线解析式为，设，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点，连接，    由题意可知，，， ， ∴是等腰直角三角形， 为弦的中点， ， 在中，当，则；当，则，解得：， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 为的中点， ∴，， ∵， ∴当点O在线段上时，有最大值，此时，即此时点P到的距离最大， ∴此时的面积最大，且， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 设，则， 解得或（舍去）， ∴ 故答案为：． 4．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，正方形边长为4，点G是以为直径的半圆上的一个动点，点F是边上的一个动点，点E是的中点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了轴对称－最短距离问题，圆的有关性质，勾股定理等知识；解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．作点E关于的对称点H，连接，此时，最小，最小值为的长，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：作点E关于的对称点H，设的中点为O，连接，交于点F，交圆O于点G，如图： 则，此时，最小，最小值为的长； ∵正方形边长为4，点E是的中点， ∴，则， ∵点G是以为直径的半圆上的一个动点， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·山东淄博·月考）如图，是的直径，点C在上，，垂足为D，，点E是上的动点（不与C重合），点F为的中点，若在E运动过程中的最大值为4，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是点与圆的位置关系、勾股定理等问题．解题关键是确定点、、三点共线时，有最大值，并利用了数形结合的思想．方法一：取中点，连接和，设的半径为，根据点的运动轨迹，确定点的运动轨迹，根据，可确定当点、、三点共线时，有最大值，此时，求出，再根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，则，联立即可求出半径的值，然后求出的长，利用勾股定理即可求出的长；方法二：连接，，根据题意得到当为直径时，有最大值，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：方法一：如图所示、取中点，连接和，设的半径为， ∵点为的中点， ∴， ∵点是上的动点（不与重合），点为顶点， ∴点的运动轨迹是以点圆心，以的长为半径的圆上， 则， ∴当点、、三点共线时，有最大值，此时， ∴， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴，解得：， ∴， 在中， ； 方法二：如图，连接，，    ∵，是直径， ∴， 又∵点是的中点， ∴， 当为直径时，有最大值， ∴ ， ∴， ∴， 在中， ； 故答案为：． 6．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·月考）如图，在矩形中，，，是矩形左侧一点，连接、，且，连接，为的中点，连接，则的最大值为 ． 【答案】6 【分析】此题主要是考查了点到圆的最值，勾股定理，三角形的中位线定理．延长到点，使，取中点，连接并延长交于点，取中点，连接，则，利用勾股定理求得的长，则可得的最大值，利用中位线定理可得的最大值． 【详解】解：延长到点，使，取中点，作为直径的，连接并延长交于点，取中点，连接， 矩形， 四边形为矩形， 则， 点为中点，点为中点， 为中位线， ，， ， 为圆上一动点， 当点三点共线时，， 此时为最大值， 的最大值为． 故答案为：6． 7．（22-23九年级上·江苏扬州·单元测试）如图，在矩形中，，，点分别是边上的动点，且，点是的中点，连接，则四边形面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及矩形中的与动点相关的最值问题，连接，过作于，以为圆心，为半径作圆，交于，由，点是的中点，，则在以为圆心，为半径的弧上，当运动到时， 最小，此时四边形面积的最小值，最小值即为四边形的面积，解题的关键是利用直角三角形斜边的直线等于斜边的一半确定出点的运动轨迹． 【详解】如图，连接，过作于，以为圆心，为半径作圆，交于，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∴在以为圆心，为半径的弧上，当运动到时， 最小，此时四边形面积的最小值，最小值即为四边形的面积， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，，即四边形面积的最小值是， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $