专题三 利用隐圆巧解几何题-【课时提优计划作业本】2024-2025学年九年级数学上册（苏科版）

第2章对称图形一圆 专题三利用隐圆巧解几何题 目/类型一/共端点的几条线段长相等 1.如图，O为线段BC的中点，点A、C、D到点O的距离相等，若∠ABC=40°，则∠ADC的度 数为 A.130° B.140° C.150° D.160 (第1题) (第2题) 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=6,D是BC的中点，E是边AB上的一个 动点，把△BDE沿直线DE翻折，得到△FDE,连接AF,则AF的最小值为 3.如图，在锐角三角形ABC中，AB=4,BC=5,∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向 旋转，得到△ABC.M为线段AB的中点，P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆 时针方向旋转的过程中，点P的对应点是P:,则线段MP,长的最大值为 ,最小 值为 目/类型二/定角对定弦构造圆 4.如图，在边长为2的正方形ABCD中，动点F、E分别以相同的速度从D、C两点同时出发向 点C和点B运动（任何一个，点到达即停止），AE、BF交于点P,连接CP.在运动过程中，线 段CP的最小值为 D (第4题) (第6题) 5.在△ABC中，∠BAC=45°，BC=4,则△ABC面积的最大值是 6.如图，已知等边三角形ABC的边长为2、6，D、E分别为BC、AC上的动点，且AE=CD,连 接BE、AD交于点P,连接CP,则CP的最小值是 59 二课时提优计划作业本数学九年级上2>》司 7.如图，在△ABC中，∠C=120°，在△ABC所在的平面上是否存在点M,使△ABM的面积等 于△ABC的面积，且∠AMB=60°？若存在，画出该点的位置：若不存在，请说明理由。 8.在平面直角坐标系zOy中，已知A(3,0)、B(一1,0)，C是y轴上的一个动点，当∠BCA 45时，求点C的坐标 目/类型三/对角互补的四边形的四个顶点共圆 9.如图，在菱形ABCD中，P是边BC上的一个动点(，点P和，点C不重合)，连接AP,AP的垂 直平分线交BD于点G,交AP于点E,在点P从点B到点C的运动过程中，∠APG的大小 变化情况是 () A.变大 B.先变大后变小C.先变小后变大D.不变 D (第9题) (第10题) 10.如图，在△ABC中，∠ABC-90°，AB=6,BC-8,O为AC的中点，过点O作OE⊥OF, OE、OF分别交射线AB、BC于点E、F,则EF的最小值为 11.如图，在正方形ABCD中，AC、BD是对角线，P为对角线BD上的一点，连接AP,作PE⊥ AP交BC于点E.若∠CAE-15,求器的值， 60) B[CD-180. BCD=105*..A=75.BOD=ADC=180.ABC=40..'ADC=140 2 A-150*.BOC-2COD..BOD-3COD= 15 0{...COD-50*.CBD-1COD-x50*-25°。 8. C 解析:如图,连接OB、OC·.BC/AD...DBC ADB..AB-CD.: AOB-COD.CAD= ADB. ·DB]AC..AED=90”,.CAD-ADB-45. 第1题 ' AOB-2ADB-90,COD-2CAD-90”.AOD 第2题 120 ,1. BOC=360”-90”-90*-120*=60”.'OB=OC. 2. 2 解析:'D是BC的中点,BC-6.i.CD=DB-BC- ..△OBC是等边三角形...BC-OB.:OA-OD.AOD 3.由翻折的性质知,DF一DB一3,.'.点F在以点D为圆心、 12 0 .0AD-ODA-30*.AD-3OA-③..0A-1. 3为半径的D上,如图,连接AD,则当点F在AD上时,AF *.BC-1..CAO-CAD-OAD-45*-30*-15°. 的长最小..AD-vAC+CD-5...AF的最小值为5 1AB-2.如图,过点B作BF1AC.垂足为F.:△ABC为锐 角三角形..,点F在线段AC上.在Rt△BCF中.ACB-45” 第8题 第1题 '.BF-CF,由勾股定理得BF+CF=BC...BF-CF 9. 155* 解析:连接AE,则四边形AEDC是O的内接四边 BC-5.以点B为圆心、BF的长为半径画圆交AB于点 形...C十AED-180”。.AB的度数为50,.AEB= 1X50{=25”.._C+乙BED-CC+乙AED-乙AEB= G.当BP与AC垂直,目P在线段AB上时,MB最小.BB的 最小值为BG,此时MP:的最小值为BP -BM-BG-BM- 180*-25*-15510. 2/3 解析:如图,连接AC.·BA平 52 一2;以点B为圆心、BC的长为半径画圆交AB的延长线 分 DBE..ABE-ABD:ABE十ABC-ABC十 ADC-180..ABE-ADC.又:ABD-ACD. 于点H,当P:在线段AB的延长线上,即在点H的位置时. '. ACD=ADC..'AC-AD=5.·'AEICB..AEC=MP,最大,此时MP;的最大值为BM+BH-2+5-7.综上 明:.E-F.DCE-BCF.ADC=E+DCE ABC-F十BCF...ADC-ABC (2)由(1)知 ADC=ABC..四边形ABCD为O的内接四边形. “.ADC+ABC=180*.'.ADC-ABC-90..A 90*-42*-48{。(3)··四边形ABCD为O的内接四边形 '.ABC十ADC-180”又:E+A十ABC-F+ 1 A+ADC-180*'2A+E+F+180*-360*,即 2 A+a+g-180”.乙A-180-(g+②-90--+ 第3题 第4题 12.(1):AB是O的直径...ACB- ADB-90”:AB- 4. /5一1 解析:由题意得DF-CE.·四边形ABCD为正方 10 cm.BC-8cm...AC-AB-BC-v10-8-6(cm). 形,*.CD-CB=AB.DCB- ABC=90*..CD-DF-CB ·CD平分ACB..ACD=DCB..ABD=BAD. [AB-BC. '.AD-BD.在Rt△ABD中,由勾股定理得AD+BD=CE.即CF-BE.在△ABE和△BCF中,{乙ABE-/BCF, AB.'.BD-AD-52 cm (2)Sxn-S+So= BE-CF. 1AC·BC+AD·BD-×6×8+×5v/②×5/2-49(ar). .ABEBCF(SAS)..BAE-CBF..ABC-90. :. ABP+ CBF=90.'BAE+ABP-90.APB 专题三 利用隐圆巧解几何题 90{.'点P在以AB为直径的圆上.如图,取AB的中点O.连接 1. B 解析:由题意得,A、B、C、D四点在同一个圆上.作O OP、OC.在Rt△OBC中,OC-OB+BC-1+2-/5. 如图所示...四边形ABCD为O的内接四边形,..ABC十 .CPOC-OP(当且仅当O、P、C三点共线时取等号).*.CP 课时提优计划作业本·数学·九年级上(SK版) .19. 的最小值为OC-OP一v5-1. 5.42+4 解析:如图,以 为圆心、PA的长为半径作P交y轴于点C,作PD1y轴于 BC为一条弦作O.且 BAC=45:连接OB.OC.当AD 点D,易得点P(1,2).PA-2/②..'PC=2②,PD=1.OD-2. BC且过点O时,△ABC面积最大..BAC-45”...BOC= '.CD-vPC-PD-(2/②y-1-7.OC-OD+CD 90°.'BC-4.:.OA-0B-0C-2v2.0D-BC-2.AD- 2+7.1.点C(02+/7).同理可得点C(0.-2-7)也满足条件. OA+OD-2/2+2.'.SxAnc-BC·AD-x4X(2v2+ 综上所述,满足条件的点C的坐标为(0.2+7)或(0.-2-/7). 9. D 解析:如图,连接AC交BD于点O.连接EO、AG·四 2)-4②4. 边形ABCD是菱形...AOB-90{。:EG是AP的垂直平分 线 ..AG-PG. AEG- AOB-90{。.'A.E、G、O四点共 圆,'PAG-EOB.又APG-PAG,.'FOB 乙APG:四边形ABCD是菱形,..OA-OC.AE-PE .OE/BC..EOB-DBC= 1乙ABC..APG= 2乙ABC.·菱形ABCD固定,.乙ABC的度数不变, 第5题 第6题 6.2/2 解析:如图,画△ABP的外接圆O.连接OA、OB. ../APG的度数不变 OP.OC·△ABC是等边三角形.../ABD- BCE-60 AB-BC-AC'CD=AE..BC-CD-AC-AF.即BD AB-BC. CE.在△ABD和△BCE中,ABD-BCE...△ABD BD-CE. △BCE(SAS)... BAD=/CBE../BPD=ABE+ 第9题 BAD-乙ABE十CBE- ABC-60{..APB=120{ 第10题 '点P的运动轨迹是劣孤AB./AOB-120*·OA-OB, 10. 5 解析:如图,取EF的中点D,连接OB..'EOF一 AC-BC,OC-OC,..△AOC△BOC(SSS)...OAC= 90*},ABC-90..'OE.B.F四点在以EF为直径的D OBC.ACO- BCO-30{.AOB十ACB-180, 上.:OB EF...当且仅当OB经过点D.即OB为D的直径 .OAC+OBC-180*.OAC-OBC-90在 时,OB-EF-ABC-90*,AB-6.BC-8.AC-10.·O为 Rt△OBC中,BC-26,由勾股定理得OB+BC=OC*= AC的中点..'.OB-5...当OB为D的直径时,EF最小,最 小值为5. 11. ABE-APE-90{*..'A、B、E、P四点 (20B),解得OB-2②(负值舍去)..'.OC-4/2.当O.P、C 在以AE为直径的圆上,'BPE一BAE一BAC一 三点共线时,CP取得最小值,最小值为CP一OC一OP= /CAE-45*-15{-30”如图,过点E作EGBP于点G,则 OC-0B-4/2-2②-2/2.7. 存在.如图,构造等边三角 可设BG-EG=a...PE-2EG=2a...PG-3a..'.PB 形ABE,作△ABE的外接圆O,过点C作AB的平行线交 O于点M和M,则 AMB-AMB- AEB-60{。 2 MM/AB...Sw-Sa.B-S.分别作点M、M关 _ _ 于AB的对称点M、M,则点M、M:也满足要求.故符合题 意的点有4个,它们分别是点M、M、M、M. 2.5 直线与圆的位置关系 第1课时 直线与圆的位置关系 课堂演练 1. B 2. C 3.C 解析:·点(3,2)到:轴的距离为2. . M. r-3..圆与x轴相交;.点(3,2)到y轴的距离为3.r一3. 第7题 第8题 .圆与y轴相切4.(1)相交(2)相离 (3)8cm5.过 8. 如图,先以AB为斜边作等腰直角三角形PAB,再以点P:点C作CH1AB,垂足为H.在Rt△BCH中,·B-30* 课时提优计划作业本·数学·九年级上(SK版) .20.