第2章 专题4 圆中常见的多解问题-【课时提优计划作业本】2025-2026学年九年级上册数学（苏科版2012）

课时提优计划作业本数学九年级上册(SK版)))》》 专题4圆中常见的多解问题 目/类型一/由点与圆的位置关系引发多解 1.若一个点到圆的最大距离为9cm,最小距离为3cm,则该圆的半径为 A.3cm或6cm B.6 cm C.12 cm D.12cm或6cm 2.若⊙O的半径为4，点P到⊙O的最短距离为2，则点P到⊙O的最长距离是 3.已知P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B,∠APB=70°，C为⊙O上一点（不与点 A、B重合)，则∠ACB的度数为 目/类型二/由点在弦上的位置引发多解 4.已知⊙O的半径为15，弦AB的长为18，点P在弦AB上且OP=13,则AP的长为() A.4 B.14 C.4或14 D.6或14 5.已知在直径AB为13的半圆上有一点C,CD⊥AB,垂足为D,且CD=6,则AD的 长为 目/类型三/由圆心与弦的位置关系引发多解 6.已知AB和AC是⊙O的两条弦，∠BAC=57°，M、N分别是AB、AC的中点，则∠MON的 度数为 7.已知⊙O的半径为5cm,弦AB∥CD,且AB=6cm,CD=8cm,则AB、CD之间的距离 为 8.已知横断面是直径为2m的圆形下水管道的水面宽AB=1.2m,则下水管道中水的深度 为 9.已知⊙O的直径AB=2cm,过点A的两条弦AC=√2cm,AD=√3cm,则∠CAD的度数 为 目/类型四/由一弦对两弧引发多解 10.已知⊙O的直径为2，弦AB=1,则弦AB所对的圆周角的度数为 () A.30° B.60° C.30°或150 D.60°或120° 11.若圆被弦所分成的两条弧长之比为2：7，则这条弦所对的圆周角的度数为 目/类型五/由外心与三角形的位置关系引发多解 12.已知⊙O是△ABC的外接圆，若⊙O的半径为4cm,弦AB的长为43cm,则∠ACB的 度数为 13.已知⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥BC,垂足为D,且∠BOD=32°，则∠BAC的度数 为 88 第2章对称图形—圆 目/类型六/由直线与圆的位置关系引发多解 14.已知⊙O的直径等于12cm,直线l上一点P到圆心O的距离为6cm,则直线l与⊙O的位 置关系是 () A.相离 B.相切 C.相交 D.相切或相交 15.如图，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（一3,0），以点P为圆心、2为半径的⊙P以 2个单位长度/s的速度沿着x轴正方向移动，移动的时间为ts,则当⊙P与y轴相切时， t的值为 (第15题) (第18题) (第19题) 16.已知l1∥L2,l1、l2之间的距离是3cm,圆心O到直线l1的距离是1cm,如果⊙O与直线l1、 2有三个公共点，那么⊙O的半径为 cm 17.在平面直角坐标系xOy中，如果以点A(一2,3)为圆心、r为半径的圆与坐标轴恰好有三个 公共点，那么x的值为 18.如图，在等腰三角形ABC中，∠ACB=120°，BC=AC=8,半径为2的⊙O的圆心O在射 线AC上运动.当⊙O与△ABC的一边相切时，线段CO的长为 19.如图，⊙O的半径OA=2,B是⊙O上的动点（不与，点A重合），过点B作⊙O的切线BC, BC=OA,连接OC、AC.当△OAC是直角三角形时，其斜边的长为 目/类型七/由旋转轴的选择引发多解 20.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,绕Rt△ABC的一边所在直线旋转一周得 到一个几何体，求这个几何体的全面积 《89∠BAD=180°-120°=60°. D :∠AEB=90°，∴.∠BAE=30°， BE=合AB=合×4=2∴AE= √AB-BE=√4-2=2V3, “扇形的面积为器×x×a3r= B 4元. (2)设圆锥的底面半径为，则2x-120XX2,5,解得 180 2∴这个圆锥的底面积为心=x×()-织 课后拓展 9.B解析：连接BC.,∠BAC=90°，.BC是⊙O的直径， ∴BC=2.又AB=AC,AB=√2，即扇形的半径R=√2，弧 长1=90XX区_，设圆锥的底面圆半径为，则有2= 180 2 ,解得，-？。10.1：4解析：“扇形的额长等于圆维 2 的底面周长，即圆的周长，∴号×2R=2m,r:R=1:4 11.√一1解析：如图，过点B作BH⊥AC于点H.在 R△ABH中，∠CAB=30,.BH=7AB=号X2=1, .AH=√3BH=√3.在Rt△BCH中，∠ACB=45°，∴.CH= BH=1,∴.AC=AH+CH=√3+1.，△ABC绕点A逆时针 旋转一定的角度至△ADE,∴.∠CAE=∠BAD.设∠CAE BAD-2mxx2Xx3+D 180 180 r2 2=3-1 3+1 B (第11题) (第12题) 12.（1).圆锥的底面半径为10，母线长为40，.底面圆的周 长为2πX10=20π.设这个圆锥的侧面展开图的圆心角为n°， 根据慝意，得念0-2》，m-90,即网维侧面展开图的圆 心角为90°.(2)如图，由圆锥的侧面展开图可知，小虫从点 A出发沿着圆锥侧面绕行到母线CA'的中点B所走的最短路 线是线段AB.在Rt△ACB中，CA=40,CB=20,,.AB= 20W5,即小虫走的最短路程是20√5.13.(1)设∠BAC= 心，根据题意，得x,ED=匹P:ED:AD=1:2,∴n 90,即∠BAC=90°.(2)由(1)，得AD=2ED=10cm,'AB AC,AD⊥BC,∠BAC=90°，∴.BD=CD=AD,∴.BC=2AD= 20m∴Ss粉=号C·AD-Sg=合×20X10器× πX102=(100-25π)(cm). 专题4圆中常见的多解问题 1.A解析：若点在圆外，圆的直径为9一3=6(cm),半径为 3cm;若点在圆内，圆的直径为9十3=12(cm),半径为6cm. 2.6或10解析：当点P在⊙0内时，最长距离是4×2-2= 6;当点P在⊙0外时，最长距离是4×2+2=10.3.55°或 125°解析：如图，连接OA、OB.:PA、PB分别切⊙O于点 A、B,∴.OA⊥PA,OB⊥PB,∴.∠PAO=∠PBO=90°.又 课时提优计划作业本·数 2 ∠APB=70°，.∠AOB=360°-90°-90°-70°=110°.当点 C在ACB上时，∠ACB=号∠AOB=?X110°=55；当点 C在AC2B上时，∠ACB=180°-55°=125°.综上所述， ∠ACB的度数为55°或125°. B (第3题) (第4题) 4.C解析：如图，过点O作OCLAB-于点C,则AC=号 AB 9.∴.OC=√OA2-AC=√152-92=又OP=13,∴.PC= √OP-OC=5.当点P在线段AC上时，AP=AC-PC= 9-5=4;当点P在线段BC上时，AP=AC+PC=9+5=14. 5.4或9解析：取AB的中点O,连接OC,则OC=OA= OB=合AB=号.如图1，当点D在线段0A上时，0D √()-6=号，则AD=0A-0D=号-吾=4：如图2 当点D在线段OB上时，同理可得OD=号，则AD=OA+ OD=+5=9.综上所述，AD的长为4或9. 2 2 D O O D B 图1 图2 6.123°或57°解析：连接OM、ON.,M、N分别是AB和AC 的中点，∴.OM⊥AB,ON⊥AC,即∠OMA=∠ONA=90°.如 图1，当AB、AC在圆心O的两侧时，在四边形AMON中， :∠BAC=57°，.∠M0N=360°-90°-90°-57°=123°；如 图2，当AB、AC在圆心O的同侧时，，∠ADM=∠ODN, ∠AMD=∠OND,∴.∠MON=∠BAC=57°.综上所述， ∠MON的度数为123°或57°. B M M N D 图1 图2 7.7cm或1cm解析：过点O作OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分 别为E、F,连接OB,OD,则BE=2AB=3cm,DF=2CD- 4cm.又.OB=OD=5cm,.OE=4cm,OF=3cm.如图1， 当AB、CD位于圆心O的两侧时，AB、CD之间的距离为 OE十OF=4+3=7(cm);如图2，当AB、CD位于圆心O的同 侧时，AB、CD之间的距离为OE一OF=4一3=1(cm).综上所 述，AB、CD之间的距离为7cm或1cm B 图1 图2 学·九年级上册(SK版) 9- 8.0.2m或1.8m解析：过点O作OE⊥AB交AB于点D, 连接OB,则BD=AD=2AB=0.6m:OB=1m,∴0D= √OB2-BD=√12-0.6=0.8(m).如图1，DE=OE- OD=1一0.8=0.2(m);如图2，DE=OE十OD=1+0.8= 1.8(m).综上所述，下水管道中水的深度为0.2m或1.8m B D B E E 图1 图2 9.75°或15°解析：连接BC、BD、OC、OD.AB是⊙O的直 径，∴∠ACB=∠ADB=90.:0C=0A=7AB=号X2= 1(cm),AC=√2cm,∴.OA2+OC=AC,∴.∠AOC=90°， ∠CAO=45°.在△ABD中，根据勾股定理得BD= √AB-AD=1(cm),∴.OB=OD=BD=1cm,∴∠ABD= 60°，∠BAD=30°.如图1，当弦AC、AD位于直径AB的两 侧时，∠CAD=∠CAO+∠BAD=45°+30°=75°；如图2，当 弦AC、AD位于直径AB的同侧时，∠CAD=∠CAO一 ∠BAD=45°-30°=15°.综上所述，∠CAD的度数为75或15°. D D 图1 图2 10.C11.40°或140°解析：如图，，弦AB把⊙O分成 2:7的两部分，∠A0B=360×号=80，.∠AMB= 7∠A0B=号×80=40，∠ANB=180-∠AMB= 1 180°-40°=140°. B C (第11题) (第12题) 12.60°或120°解析：如图，连接OA、OB,过点O作OD LAB 于点D,则AD-BD=号AB=2cm,0D=VO4-AD- 2am,0D=20A,∠0AD=30-∠0BA,∠A0B 120°.当点C在AC1B上时，∠ACB=60°；当点C在AC2B上 时，∠ACB=-120°.13.32°或148°解析：OD⊥BC,OB OC,.∠COD=∠BOD=32°，∠BOC=64°，∴.∠BAC 3∠B0C=32或∠BAC=180-号∠B0C=148.14.D 解析：，圆的半径r=6cm,且直线上存在一点到圆心的距离 d=6cm,∴直线与圆至少有一个交点.当直线与圆有且只有一 课时提优计划作业本·数 3 个交点时，直线与圆相切；当直线与圆有两个交点时，直线与圆 相交.综上述，直线与圆的位置关系是相交或相切. 15.0.5或2.5解析：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切 时，平移的距离为1，∴t=1÷2=0.5(s);当⊙P位于y轴的 右侧且与y轴相切时，平移的距离为5，.t=5÷2=2.5(s). 16.2或4解析：设圆的半径为rcm如图1，r一1=3，解得 r=4;如图2，r十1=3，解得r=2.综上所述，⊙O的半径为 2cm或4cm. 图1 图2 17.3或√13解析：，点A的坐标为（一2,3），.点A到x轴 的距离为3，到y轴的距离为2.当⊙A与x轴相切时，与y轴 有2个交点，圆与坐标轴恰好有三个公共点，此时r=3;当 ⊙A经过原点时，圆与坐标轴恰好有三个公共点，此时 √22+3=√13；当⊙A与y轴相切时，与x轴无交点，不符 合题意，综上所述，r的值为3或V厄。1&4或 解析： 当⊙O与AB相切时，如图1，设切点为D,连接OD,则∠ADO= 90°.，AC=BC,∠ACB=120°，∴.∠A=30°，∴.AO=2OD=2X2= 4,∴.O℃=AC-AO=8一4=4；当⊙O与BC相切时，如图2， 设切点为E,连接OE.:∠ACB=120°，∴∠OCE=60°.OE= 2,“0C=.综上所述，线段C0的长度为4或45， 3 3 图1 图2 19.2√3或2√2解析：连接OB.BC是⊙O的切线， ∴∠OBC=90°.BC=OA,∴.OB=BC=2,∴.△OBC是等腰 直角三角形，∴∠BC0=45°，∴.∠ACO≤45°.△OAC是直角 三角形分两种情况：①当∠AOC=90°时，如图1，，OC= √2OB=2√2，∴AC=√OA2+O=√22+(2√2)2=2√5； ②当∠OAC=90°时，如图2，BC是⊙O的切线，.∠OBC= ∠OAC=90°，：BC=OA=OB,.△OBC是等腰直角三角形， '.OC=2√2.综上所述，当△OAC是直角三角形时，其斜边的 长为2√3或22 B 图1 图2 20.在Rt△ABC中，，∠C=90°，AC=3,BC=4,.AB= √AC+BC=5.①把Rt△ABC绕边AC所在直线旋转一 周，所得的几何体的全面积为底面半径为4、母线长为5的圆 学·九年级上册(SK版) 0- 锥侧面积和半径为4的圆的面积之和，故几何体全面积为π× 4X5+π×42=36π；②把Rt△ABC绕边BC所在直线旋转 周，所得的几何体的全面积为底面半径为3、母线长为5的圆 锥侧面积和半径为3的圆的面积之和，故几何体的全面积为 πX3X5+π×32=24π；③把Rt△ABC绕边AB所在直线旋 转一周，所得的几何体的全面积为底面半径都为2.4，母线长 分别为4、3的两个圆锥侧面积之和，故几何体全面积为π× 2.4×4+π×2.4×3=16.8π. 周练（七） 1.C解析：设此圆锥底面圆的半径为rc,根据题意，得2r 9016,解得r=4,∴此圆锥底面圆的半径为4cm2.A 180 解析：连接OA、OB.∠ACB=45,∴∠AOB=90°.：OA 4,“AB的长是90X4=2元3.C解析：如图，连接OA、 180 OF,过点O作OMIDF于点M,则FM=DM=号DE:O是 正六边形AECDEF的中心，∠AOF=360°=60.：OA=OF, 6 ∴△AOF是等边三角形，∴.AF=OA=6.在Rt△OMF中， ∠0FM-=号∠A0F=30,0F=6,∴FM=gOF=3V3, .DF=2FM=6√3，.四边形ACDF的周长是2AF十2DF= 12+12/3. D (第3题) (第4题) 4.B解析：如图，连接CF、OC、OF,OF交AC于点E.C为 BF的中点，∴.CF=BC,∠CAF=∠BAC=30°，.∠COF= ∠COB=2∠CAF=60°，∴∠AOF=60°.又，AB=2,.OA= OF=-CC-=2AB=1,∴△AOF和△C0F均为等边三角形， ∴∠AOF=∠CFO=60°，∴.AB∥CF,∴.S△cr=S△or,则阴 影部分的面积为S△ACr十S号形c=S△Dr十S马形cr=S扇形or 品×πX1=音点50r解桥：此圆锥的侧面积为xX5X 10=50π.6.45°解析：设圆心角度数为n°.根据题意，得 mX8=2x,解得n=45,该扇形的圆心角度数为45， 180 7,2√0+√0x解析：如图，连接AC,由勾股定理，得OA= 2 OC=√32+1￥=√10，AC=√42+2=25，∴.OA2+OC 20=AC,∠A0C=90°，AC的长为90mX画=⑩x 180 2 ∴扇形AOC的周长为2√10+0红 2 ) D (第7题) (第8题) 8.22.5°解析：如图，连接OH..正八边形ABCDEFGH内 课时提优计划作业本·数 ·3 接于⊙0，∴∠A0H=360°=45.又：对角线AE为⊙0的直 8 1 径，OE=OH,∠AEH=克∠AOH=22.5°， 9.10π 解析：：∠A=72°，∠A+∠B+∠C=180°，.∠B+∠C 108°.，以BC为直径作⊙O分别交AB、AC于点MN,∴.OB= OM=0C-0N=2BC=号×10=5，∴.∠B=∠OMB,∠C= ∠ONC,.∠OMB+∠ONC=∠B+∠C=108°，∴.∠BOM+ ∠CON=180°-（∠B+∠OMB)+180°-（∠C+∠ONC)= 360°-（∠B+∠C)-(∠OMB+∠ONC)=144°，∴.S影分= Saav十S影ax-器×xX5=1010.2x解析：如 图，连接BM.当Q在A、B之间运动时，QR及点B形成直角 三角形，：M为QR中点，总有BM=号QR=1,∴点M的 运动轨迹是以点B为圆心、1为半径的四分之一圆；同理，当 点Q在点B、C之间运动时，点M的运动轨迹是以点C为圆 心、1为半径的四分之一圆；当点Q在点C、D之间运动时，点 M的运动轨迹是以点D为圆心、1为半径的四分之一圆；当点 Q在点D、A之间运动时，点M的运动轨迹是以点A为圆心 1为半径的四分之一圆.综上所述，点M经过的路线的长为半 径1的圆的周长，即为2π. Q D D (第10题) (第11题) 11.(1)如图，在CD上取一点P,连接BP、AP、FP、FO.六 边形ABCDEF是正六边形，∴AF=AB,∠AOF=36 -=60°， 6 ∠APF=2∠AOP=30.:AF=AB,∴∠APB=∠APF 30°，∴.∠BPF=∠APB+∠APF=60.(2).∠AOF=60°， AO=FO,.△AOF是等边三角形，∴.∠DAF=60°，∴.DF= EAF,AD=2AF,Saw=号AF·DF-号AF=25, 2 ∴.AF=2,即⊙0的半径为2，∴.⊙O的面积为π×22=4π. 12.(1)如图，连接AB、OC.:∠ACB=90°，∴.AB是⊙O的直 径，A、O、B三点共线，∴.OB=OC=OA.又·AC=BC, ∴AB⊥OC.:⊙O的直径为2，则AC=BC=√2，故S扇形 8×xX(2)P=受∴Se4=xX1-吾= .(2)扇 形CAB中M8的长1-0离2-受，则2-受，解得 180 号，故该圆锥的底面圆的半径是号 13.(1)证明：.OC=OB,∴.∠BCO=∠B.∠B=∠D, .∠BCO=∠D.(2)设⊙O的半径为r..AB是⊙O的直 径，CDLAB于点E,∴CE=2CD.:CD=43,.CE= 2√3.在Rt△OEC中，OC=CE+OE,∴.2=(2√3)2+(r 学·九年级上册(SK版) 1·