2.4—2.5 圆周角 直线与圆的位置关系 考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年九年级数学上册（苏科版）

2.4—2.5 圆周角 直线与圆的位置关系 一、圆周角 1.圆周角定义 顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫做圆周角。这个定义明确了圆周角的基本特征，即顶点必须在圆上，且两边都必须与圆相交。 2.圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。这个定理揭示了圆周角与它所对的弧以及圆心角之间的内在联系。 3.圆周角定理的推论 （1）直径所对的圆周角是直角。这一推论是圆周角性质的一个重要应用，它使得我们可以利用直角来判断一个弦是否是直径。 （2）90°的圆周角所对的弦是直径。这一推论与上一个推论互为逆命题，它们共同构成了圆周角与直径之间的完整关系。 4.圆周角与圆心角的关系 圆周角与圆心角之间存在着密切的联系。在同圆或等圆中，一个圆周角所对的弧所对的圆心角是圆周角的两倍。这一关系进一步加深了我们对圆周角和圆心角之间联系的理解。 二、直线与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系主要有三种：相交、相切、相离。 （1） 相交：直线与圆有两个公共点，此时直线称为圆的割线。 （2） 相切：直线与圆有且仅有一个公共点，此时直线称为圆的切线，这个唯一的公共点称为切点。 （3） 相离：直线与圆无公共点。 2.数量关系 设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则： （1） 直线与圆相交：d<r （2） 直线与圆相切：d=r （3） 直线与圆相离：d>r 3. 切线的判定与性质 （1） 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 （2） 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 （3） 切线的其他性质： ①切线与圆只有一个公共点。 ②切线到圆心的距离等于半径。 ③经过圆心且垂直于切线的直线必过切点。 ④必过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 4. 切线长定理 （1） 切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 （2） 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 注意：切线和切线长是两个完全不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是一条线段的长。 巩固课内例1:圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半 1．如图，为半圆O的直径，平分，交半圆于点D，，交于点E，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，点A、B、C在上，若，则的度数为 ． 3．如图，是的一条弦，，垂足为，交于点，点在上． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 巩固课内例2:直径所对的圆周角是直角 1．如图，是的直径，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，四边形内接于，为直径延长线上一点，，，则 ． 3．如图，四边形的顶点都在半圆O上，是半圆O的直径，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 巩固课内例3:圆弧所对的圆周角相等 1．如图，是的直径，弦交于点E，连接、．若，则（　　） A．24° B．28° C．31° D．32° 2．如图，内接于，是的直径，，则的度数为 ． 3．如图，在中，弦，点在上． (1)如图①，若是的直径，求的度数； (2)如图②，在弧上取一点，若，请用含的式子表示的度数． 巩固课内例4:圆内接四边形对角互补 1．如图，在的内接四边形中，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，四边形内接于，为直径延长线上一点，，则 ． 3．已知四边形内接于，与直径交于点，平分． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，点在的延长线上，连接，，，求的长． 巩固课内例5:判断直线与圆位置关系 1．已知的半径，直线上有一点到圆心O的距离为，那么直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离或相切 D．相切或相交 2．在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径为，那么轴与的位置关系是 ． 3．在中，，以点为圆心，为半径画，根据下列条件，分别求出的取值范围． (1)边与相离； (2)边与相切； (3)边与相交． 巩固课内例6:切线的证明 1．如图，点P为外一定点，连接，作以为直径的，与交于两点Q和R，根据切线的判断，直线和是的两条切线．由得，，，即切线长定理．上述过程中，可以判定的定理是（ ） A． B． C． D． 2．如图，已知点为⊙O外一点．尺规作图： （1）连接，作线段的中点； （2）以点为圆心，以线段的长为半径作⊙C，与⊙O交于，两点； （3）作射线，． 不再另外添加辅助线和字母，请根据以上信息写出一个正确结论： ． 3．如图是的直径，是上异侧的两点，点在的延长线上，，是的切线，，连接． (1)求的度数； (2)求证：是的切线． 巩固课内例7:内切圆的性质 1．如图，为的内切圆，，，，点D、E分别为，上的点，且为的切线，则的周长为（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 2．如图，的内切圆与两直角边，分别相切于点，，过劣弧（不包括端点，）上任一点作的切线与，分别交于点，，若的半径为2，则的周长为 ． 3．如图所示，在四边形中，，是四边形的内切圆，E为与的切点．若，，求的长． 巩固课内例8:切线长定理 1．如图，是正五边形的内切圆，点，，分别是边，，与的切点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，和是的切线，点B和点C是切点，是的直径，已知，则 ． 3．如图，四边形是的外切四边形，切点分别为，，，．连接． (1)若，则的长为___________； (2)求证． 类型一、圆周角的概念 1．下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．如图，所对的圆周角是 ，所对的圆周角是 ．    3．把下面的语句还原成图形： 作图区域： (1)的半径为1cm，是的一条弦（不经过M），、分别是劣弧所对应的圆心角和圆周角； (2)是中的一条弧，且． 类型二、切线的概念 1．如图，与相切的直线是（   ） A． B． C． D．和 2．如图，以边为直径作交于点，恰好是的切线，为切点，连接．若，则的度数为 ． 3．如图，是锐角三角形，请用尺规作图法作，使它与相切于点E．（保留痕迹，不写作法） 类型三、已知直线与圆位置关系求解 1．如果一圆的半径为，圆心到直线的距离为，且这个圆与这条直线有公共点，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．在中，，以为圆心，为半径画圆，若与边有两个公共点，则的取值范围是 ． 3．如图1，在矩形中，边长，，其中a，b（）分别是方程的两个根，连接．点O从点C出发，沿向点B运动（到达点B停止运动），速度为每秒1个单位，设运动时间为秒．在运动过程中，以O为圆心，的长为半径作半圆，交射线于点Q． (1)______． (2)如图2，当t为多少时，点O运动到的角平分线上，此时，半圆O与有怎样的位置关系，并加以说明． (3)如图3，当半圆O与的边有两个交点时，求t的取值范围． 类型一、圆周角定理 1．折叠一张圆形纸片，是的直径，是的弦，先将沿翻折交于点D，再将沿翻折交于点E．若，则的度数为（　） A． B． C． D． 2．如图，四边形内接于，交的延长线于点E，若平分，，，则 ． 3．如图，在中，连接，，，，已知． (1)求的度数； (2)若弧与弧相等，求证：四边形是菱形． 类型二、切线的性质与判定 1．如图，在中，E是半径上一点，射线，交圆于B，P为上任一点，射线交圆于C，D为射线上一点，且，下列结论：①为的切线；②；③，其中正确的结论有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 2．如图，为的直径，，分别与相切于点，，经过上一点，，若，，则的长为 ． 3．如图，是的直径，与相切于点，交的延长线于点，交的延长线于点， (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径． 类型三、三角形周长、面积、内切圆半径关系 1．《测圆海镜》卷中记载：“假令有圆城一所，不知周径．甲乙二人俱在干地，乙东行三百二十步而立，甲南行六百步望见乙，问径几里？”意思是：如图，中，步，步，是的内切圆，切点为，，，求的直径．根据题意，的直径是（    ） A．200步 B．240步 C．280步 D．320步 2．如图，是的内切圆． （1）若，则的度数为 ． （2）若，则的半径为 ． 3．阅读与思考 阅读下列材料，完成下面的任务． 关于“三角形的内切圆”的研究报告 【研究内容】如图，在中，三边，，，是它的内切圆，切点分别为，，，如何求、、的长呢？ 【解法】是的内切圆，切点为，，，，，．设，，，则有，，如果设，那么有． 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______． (2)如图，这是一张三角形纸片，为它的内切圆，小悦沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，，，求三角形纸片的周长． (3)如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，，，，求． 类型一、圆与三角形结合 1．如图，在中，，，，是的内切圆，分别与，，相切于点，，，则圆心到顶点的距离是（   ） A． B． C． D． 2．如图，是的外接圆，，于点，的延长线交于点． （1） （填“，或”）： （2）若，，则 ． 3．如图，是的直径，弦于点E，F是上一点，C是的中点，与交于点G，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，若是直径且，求的长． 类型二、圆与四边形结合 1．如图，等腰内接于，直径，D是圆上一动点，连接，且交于点G．下列结论：①平分；②；③当时，四边形的周长最大；④当，四边形的面积为．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，四边形是的内接四边形，若，则的大小为 ．    3．【问题提出】在正方形中，点分别在边上，且，连结．求证：． 【问题探究】如图①，小亮采用“截长补短”的方法，在的延长线上截取， ，通过证明三角形全等，进而得证． 下面是小亮的部分证明过程： 证明：在的延长线上截取，连接． 四边形是正方形， ． 又， ． ． 证明过程缺失 ． 请补全缺失的证明过程． 【方法总结】常用“截长补短”的方法证明线段间的数量关系． 【问题解决】如图②，在【问题探究】的基础上，连结，点在上，过点作，垂足为点，交延长线于点且．若，则线段的长为___________． 【问题拓展】如图③，是的外接圆，，点在的外接圆上，且点与点在的两侧，连接、、．若，则的值为________． 类型三、动圆相切求t 1．如图，已知．动点从点出发，以每秒3个单位的速度向右做匀速运动；动直线从点的位置出发，且轴，以每秒1个单位的速度向轴负方向作匀速平移运动．若它们同时出发，运动的时间为秒，当直线运动到时，它们都停止运动．当直线与以为圆心，1为半径的圆相切时，求的值是（    ） A． B． C．或 D．或 2．如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点为圆心、为半径作圆．从点出发，以每秒个单位的速度沿轴正半轴运动，运动时间为．连接，将沿翻折，得到．当 时，直线与相切；当 时，直线与相切． 3．如图1，在矩形中，边长，，其中分别是方程的两个根，连接．点从点出发，沿向点运动（到达点停止运动），速度为1个单位每秒，设运动时间为秒． (1)______． (2)如图2，在运动过程中，以为圆心，的长为半径作半圆，交射线于点，当为______时，点运动到的角平分线上，此时，半圆与有怎样的位置关系，并加以说明． (3)如图3，在运动过程中，连接，将沿折叠，得到，连接，当取最小值时，为______，此时，的值为______． (4)如图4，当半圆与的边有两个交点时，直接写出的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4—2.5 圆周角 直线与圆的位置关系 一、圆周角 1.圆周角定义 顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫做圆周角。这个定义明确了圆周角的基本特征，即顶点必须在圆上，且两边都必须与圆相交。 2.圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。这个定理揭示了圆周角与它所对的弧以及圆心角之间的内在联系。 3.圆周角定理的推论 （1）直径所对的圆周角是直角。这一推论是圆周角性质的一个重要应用，它使得我们可以利用直角来判断一个弦是否是直径。 （2）90°的圆周角所对的弦是直径。这一推论与上一个推论互为逆命题，它们共同构成了圆周角与直径之间的完整关系。 4.圆周角与圆心角的关系 圆周角与圆心角之间存在着密切的联系。在同圆或等圆中，一个圆周角所对的弧所对的圆心角是圆周角的两倍。这一关系进一步加深了我们对圆周角和圆心角之间联系的理解。 二、直线与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系主要有三种：相交、相切、相离。 （1） 相交：直线与圆有两个公共点，此时直线称为圆的割线。 （2） 相切：直线与圆有且仅有一个公共点，此时直线称为圆的切线，这个唯一的公共点称为切点。 （3） 相离：直线与圆无公共点。 2.数量关系 设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则： （1） 直线与圆相交：d<r （2） 直线与圆相切：d=r （3） 直线与圆相离：d>r 3. 切线的判定与性质 （1） 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 （2） 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 （3） 切线的其他性质： ①切线与圆只有一个公共点。 ②切线到圆心的距离等于半径。 ③经过圆心且垂直于切线的直线必过切点。 ④必过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 4. 切线长定理 （1） 切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 （2） 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 注意：切线和切线长是两个完全不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是一条线段的长。 巩固课内例1:圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半 1．如图，为半圆O的直径，平分，交半圆于点D，，交于点E，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理、对顶角相等、角平分线的定义，由题意得，根据角平分线的定义得，再根据圆周角定理得，进而求得，最后根据对顶角相等求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．如图，点A、B、C在上，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了圆周角定理，圆心角，弧，弦的关系，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半得：，进而可得答案． 【详解】解：∵与是弧所对的圆周角与圆心角，， ∴． 故答案为：． 3．如图，是的一条弦，，垂足为，交于点，点在上． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，掌握相关知识的应用是解题的关键． （）由垂径定理可得=，然后通过圆周角定理即可求解； （）由垂径定理可得，即，然后通过勾股定理得，从而求解． 【详解】（1）解：∵， ∴=， ∴， （2）解：∵， ∴，即， 在中，， ∴． 巩固课内例2:直径所对的圆周角是直角 1．如图，是的直径，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，直径对的圆周角是直角，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键．根据是的直径得出，即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，四边形内接于，为直径延长线上一点，，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了已知圆内接四边形求角度，半圆（直径）所对的圆周角是直角，利用弧、弦、圆心角的关系求解，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 连接，根据圆内接四边形性质求得，结合弧、弦、圆心角的关系推出，进而得到，再利用半圆（直径）所对的圆周角是直角，得到，最后根据求解，即可解题． 【详解】解：连接， 四边形内接于，， ， ， ， ， 为直径， ， ； 故答案为：． 3．如图，四边形的顶点都在半圆O上，是半圆O的直径，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理，熟知圆周角定理和垂径定理是解题的关键． （1）由圆周角定理可得，则可证明，据此可证明． （2）连接，交于点E．由题意知，由直径所对的圆周角是直角得到，即，则可证明，由垂径定理可得点E为的中点，则是的中位线，即可得到．设半圆的半径为r，则．由勾股定理知，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴． （2）解：连接，交于点E．由题意知， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴点E为的中点， 又∵O是的中点， ∴是的中位线， ∴． 设半圆的半径为r，则． 由勾股定理知，， 即， 解得，（舍去）． ∴． 巩固课内例3:圆弧所对的圆周角相等 1．如图，是的直径，弦交于点E，连接、．若，则（　　） A．24° B．28° C．31° D．32° 【答案】B 【分析】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键． 连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，同弧所对的圆周角相等可得，进而即可求解． 【详解】解：如图，连接， 是的直径， ， ， ， 故选：B． 2．如图，内接于，是的直径，，则的度数为 ． 【答案】/69度 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理，由直径所对的圆周角是直角得到，则由三角形内角和定理可得，则可得到． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 3．如图，在中，弦，点在上． (1)如图①，若是的直径，求的度数； (2)如图②，在弧上取一点，若，请用含的式子表示的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查圆周角定理，圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质，正确运用相关知识是解答本题的关键． （1）根据是的直径可得，由可得，再运用圆内接四边形的性质可得结论； （2）连接，由可得，根据等弧所对圆周角相等得，可得，根据圆内接四边形的性质可得，从而可得结论． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵ ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴； （2）解：连接，如图， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴． 巩固课内例4:圆内接四边形对角互补 1．如图，在的内接四边形中，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是圆内接四边形性质及圆周角定理，掌握圆内接四边形性质及圆周角定理是解题关键，先求出，再根据圆周角定理求出结论即可． 【详解】解：在的内接四边形中，， ， ， 故选：A． 2．如图，四边形内接于，为直径延长线上一点，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的内接多边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．由四边形内接于，可得，又由，即可求得． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 3．已知四边形内接于，与直径交于点，平分． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，点在的延长线上，连接，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先由圆周角定理可得，再由平分，可得．再由，，可得，再由圆周角定理可得，得出，即可得出，再由等腰三角形的判定即可求证； （2）先由勾股定理可得，求出．再由平分，可得出，得出，即．再由圆内接四边形的性质可得．再求得．再证明，可得，，再证明为等腰直角三角形，可得，即，再求解即可． ． 【详解】（1）证明：为的直径， ． 平分， ． ，， ． 和是所对的圆周角， ， ， ， ； （2）解：在中，，，， ， ． 平分， ， ， ． 四边形内接于， ． ， ． 在和中， ，，， ， ，． 为的直径， ， ， 为等腰直角三角形， ， 即， 解得． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的定与性质及勾股定理等知识，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的定与性质及勾股定理是解题的关键． 巩固课内例5:判断直线与圆位置关系 1．已知的半径，直线上有一点到圆心O的距离为，那么直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离或相切 D．相切或相交 【答案】D 【分析】本题考查了判断直线和圆的位置关系，熟练掌握直线和圆的位置关系是解题的关键．比较圆心O到直线上的距离与的半径大小关系，即可得出结论． 【详解】解：直线上有一点到圆心O的距离为， 圆心O到直线上的距离， 的半径， ， 当时，直线与相切； 当时，直线与相交； 直线与的位置关系是相切或相交． 故选：D． 2．在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径为，那么轴与的位置关系是 ． 【答案】相交 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，坐标与图形，由题意可求到y轴的距离d为3，根据直线与圆的位置关系的判定方法可求解． 【详解】解：∵的圆心坐标为， ∴到y轴的距离d为3， ∵， ∴y轴与相交， 故答案为：相交． 3．在中，，以点为圆心，为半径画，根据下列条件，分别求出的取值范围． (1)边与相离； (2)边与相切； (3)边与相交． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定． （1）过作于，根据勾股定理得到，再根据三角形的面积公式得到的长，然后根据圆心到的距离与半径的关系即可得到结论； （2）解法同（1），边与相切时，； （3）解法同（1），边与相交时，． 【详解】（1）解：如图，过作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴直线与相离，则的取值范围是； （2）解：直线与相切，则的值是； （3）解：直线与相交，则的取值范围是． 巩固课内例6:切线的证明 1．如图，点P为外一定点，连接，作以为直径的，与交于两点Q和R，根据切线的判断，直线和是的两条切线．由得，，，即切线长定理．上述过程中，可以判定的定理是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、圆周角定理，掌握直角三角形全等的判定定理是解题的关键． 根据圆周角定理得到，根据切线的判定定理得到直线和是的两条切线，利用证明，得到答案． 【详解】解：是的直径， ， ，， 直线和是的两条切线， 在和中， ， ， ，， 判定的定理是， 故选：D． 2．如图，已知点为⊙O外一点．尺规作图： （1）连接，作线段的中点； （2）以点为圆心，以线段的长为半径作⊙C，与⊙O交于，两点； （3）作射线，． 不再另外添加辅助线和字母，请根据以上信息写出一个正确结论： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查圆周角定理、切线的判定及切线长定理，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．连接，则可得，根据切线的判定可得直线，与相切，即可得结论． 【详解】解：连接，∵为的直径， ∴， ∵为的半径， ∴直线与相切， 同理，直线与相切， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 3．如图是的直径，是上异侧的两点，点在的延长线上，，是的切线，，连接． (1)求的度数； (2)求证：是的切线． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了切线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）根据切线性质结合题意可以判定出为等边三角形，得到，进而得到结果； （2）通过证明，得到，进而得出结论． 【详解】（1）解：是的切线 ， ， 为等边三角形 ， （2）证明：如图，连接， 是的直径， ，即 ， 由（1）知， 在和中 ， ， 是的半径， 是的切线． 巩固课内例7:内切圆的性质 1．如图，为的内切圆，，，，点D、E分别为，上的点，且为的切线，则的周长为（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】此题主要是考查了切线长定理．设和圆的切点分别是P，N，M，Q，根据切线长定理得到，，所以的周长即是的值，求解即可． 【详解】解：设和圆的切点分别是P，N，M，Q，设， 根据切线长定理，得，， 则有， 解得：． 所以的周长． 故选：B． 2．如图，的内切圆与两直角边，分别相切于点，，过劣弧（不包括端点，）上任一点作的切线与，分别交于点，，若的半径为2，则的周长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了切线长定理和切线的性质，证明的周长等于是关键． 证明四边形是正方形，然后根据切线长定理证明的周长等于即可求解． 【详解】解：连接、． 和是的切线， ，，， 则四边形是正方形． ， 又是切线， ，， 的周长 ． 故答案是：4． 3．如图所示，在四边形中，，是四边形的内切圆，E为与的切点．若，，求的长． 【答案】． 【分析】本题考查的是切线的性质，勾股定理的应用；先证明，再证明，，可得，利用勾股定理，结合切线的性质，利用等积法即可求得． 【详解】解：∵， ∴， ∵为四边形内切圆， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵切于， ∴， ∴， ∴． 巩固课内例8:切线长定理 1．如图，是正五边形的内切圆，点，，分别是边，，与的切点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正多边形与圆，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，如图，连接，．求出，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，． ，，分别是，，与的切点， ，， ， 正五边形中 ， ， ， 故选：A． 2．如图，和是的切线，点B和点C是切点，是的直径，已知，则 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查了切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，由切线的性质可得，，由等边对等角结合三角形内角和定理可得，求出，由圆周角定理可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵和是的切线，点B和点C是切点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，四边形是的外切四边形，切点分别为，，，．连接． (1)若，则的长为___________； (2)求证． 【答案】(1)3 (2)见解析 【分析】本题考查了内切圆的定义和性质，全等三角形的判定和性质． （1）连接，，，，根据内切圆的定义得，，，，，进而得，，，，，，则，，再由得，即可得出结论； （2）由证明得，同理可得，，，进而可推出，再由可得结论． 【详解】（1）解：如图，连接，，，， ∵四边形是的外切四边形，切点分别为，，，， ∴，，，，， ∴，，，， 设，， ∴，， ∴， ∴，即， 故答案为：3； （2）证明：∵，，， ∴， ∴， 同理可得，，， ∴ ， 又∵， ∴． 类型一、圆周角的概念 1．下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角与圆心角的识别，掌握圆周角和圆心角的定义是解答本题的关键．顶点在圆周上，角的两边与圆相交的角是圆周角；圆心角的定义：顶点在圆的角是圆心角．根据圆周角和圆心角的定义解答即可． 【详解】解：A．图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； B．图中既有圆心角，也有圆周角，选项符合题意； C．图中图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； D．图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意； 故选：B． 2．如图，所对的圆周角是 ，所对的圆周角是 ．    【答案】 【分析】根据圆周角的定义即可解答． 【详解】解：如图，   所对的圆周角是， 所对的圆周角是． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了圆周角，顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 3．把下面的语句还原成图形： 作图区域： (1)的半径为1cm，是的一条弦（不经过M），、分别是劣弧所对应的圆心角和圆周角； (2)是中的一条弧，且． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）画非直径的弦，在优弧上取点C，连接，，即可解答； （2）在上取一点D，以为半径画弧，交于点E，即可． 【详解】（1）解：如图，和为所作； 作图区域：        （2）解：如图，在上取一点D，以为半径画弧，交于点E，根据等弦对等弧，可得，即为所作， 作图区域：    【点睛】本题考查了作图-复杂作图，熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解乘基本作图，逐步操作即可． 类型二、切线的概念 1．如图，与相切的直线是（   ） A． B． C． D．和 【答案】A 【分析】本题主要考查切线的定义，根据与圆有唯一公共点的直线是圆的切线进行判断即可． 【详解】解：∵与有唯一公共点的直线是， ∴与相切的直线是， 故选：A． 2．如图，以边为直径作交于点，恰好是的切线，为切点，连接．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、圆周角定理、切线的定义，首先根据切线的定义可得：，再根据三角形内角和定理求出，最后再根据圆周角定理可求． 【详解】解：为直径，是的切线，为切点， ， 在中，， ， 对应的圆心角为，圆周角为， ． 3．如图，是锐角三角形，请用尺规作图法作，使它与相切于点E．（保留痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图、切线的判定等知识，过点B作于E，然后以B为圆心，为半径作即可， 【详解】解∶如图， 即为所求， 类型三、已知直线与圆位置关系求解 1．如果一圆的半径为，圆心到直线的距离为，且这个圆与这条直线有公共点，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解答本题的关键． 根据这个圆与这条直线有公共点，可判断出直线与圆相切或相交，即可得到与的大小关系． 【详解】解：这个圆与这条直线有公共点， 直线与圆相切或相交， 圆心到直线的距离为， ， 故选：B． 2．在中，，以为圆心，为半径画圆，若与边有两个公共点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，掌握垂线段最短、直线与圆相切以及直线与圆的位置关系是解题的关键． 作于，由勾股定理求出，由三角形的面积求出，由，可得以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点；若与斜边有两个公共点，即可得出的取值范围． 【详解】解：作于，如图所示： ∵， ∴， ∵的面积， ∴， 即圆心到的距离， ∵， ∴以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点， ∴若与斜边有两个公共点，则的取值范围是． 故答案为：． 3．如图1，在矩形中，边长，，其中a，b（）分别是方程的两个根，连接．点O从点C出发，沿向点B运动（到达点B停止运动），速度为每秒1个单位，设运动时间为秒．在运动过程中，以O为圆心，的长为半径作半圆，交射线于点Q． (1)______． (2)如图2，当t为多少时，点O运动到的角平分线上，此时，半圆O与有怎样的位置关系，并加以说明． (3)如图3，当半圆O与的边有两个交点时，求t的取值范围． 【答案】(1)5 (2)，与相切 (3)或 【分析】（1）先解一元二次方程，得到，根据矩形的性质，得到，利用勾股定理即可求解； （2）运用角平分线性质定理得，可得是圆的切线，根据面积可求出，即可得到的值； （3）根据题意，分为当半圆与有2个交点；当点半圆与有1个交点，与有1个交点；当点半圆与有1个交点，与有1个交点；三种情况讨论，分别求出半径的范围，即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：由，即， 解得：，， 边长，，其中，分别是方程的两个根， ，， 四边形是矩形， ， 在中，，， ， 故答案为：5； （2）解：如图，过点作，垂足为点， 是的平分线， 又在矩形中，，，， ， ， 是的切线，即与相切， 又， ， ，即， ， ； （3）解：如图，当半圆与相切时，此时半圆与△的边有1个交点，即为切点，设切点为，连接， 由（2）知，， 如图，当点与点重合时，此时半圆与的边有2个交点， 此时，为半圆的直径，， ， 当时，半圆与有2个交点， 即半圆与的边有2个交点； 如图，此时，半圆与有1个交点，与有1个交点， 如图，当半圆与相切时，此时半圆与的边有3个交点，设与半圆的切点为，连接， ， ， 当时，半圆与有1个交点，与有1个交点， 即半圆与的边有2个交点； 如图，当半圆与经过点时，此时半圆与的边有3个交点； 连接， 设，由勾股定理得： ， 解得：， ， ， 如图，当点与点重合时，此时点停止运动， ， ， 当时，半圆与有1个交点，与有1个交点， 即半圆与的边有2个交点； 综上，半圆与的边有两个交点时，或． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，直线与圆的位置关系，切线的判定，矩形判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是画出图形，分类讨论． 类型一、圆周角定理 1．折叠一张圆形纸片，是的直径，是的弦，先将沿翻折交于点D，再将沿翻折交于点E．若，则的度数为（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查翻折变换，圆周角定理等知识，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 作点D关于直线的对称点L，点E关于直线的对称点F，连接、，进而垂直平分垂直平分，结合圆周角定理推出，即可求出的度数． 【详解】解：作点D关于直线的对称点L，点E关于直线的对称点F，连接、， ∵垂直平分垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴的度数为， 故选：B． 2．如图，四边形内接于，交的延长线于点E，若平分，，，则 ． 【答案】4 【分析】连接，根据平分，可得；根据四边形内接于，可得，进而可得，即有，则有，最后利用勾股定理即可作答， 【详解】解：连接，如图，    ∵平分， ∴， ∵四边形内接于， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴在中，； 故答案为：4． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定、圆周角定理、勾股定理、角平分线定义等知识；熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质是解题的关键． 3．如图，在中，连接，，，，已知． (1)求的度数； (2)若弧与弧相等，求证：四边形是菱形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了圆的内接四边形，圆周角定理及其推论，等边三角形的判定，菱形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据圆的内接四边形，可知，从而求得，再利用圆周角定理，可求得； （2）连接，根据弧与弧相等，可算得，结合半径相等，可判定和为等边三角形，从而推出四边形四边相等，从而得证． 【详解】（1）解：四边形是的内接四边形， ， ， ， ； （2）证明：连接，如图所示： 由（1）可知，， 弧与弧相等， ， ， 和为等边三角形， ， 四边形是菱形． 类型二、切线的性质与判定 1．如图，在中，E是半径上一点，射线，交圆于B，P为上任一点，射线交圆于C，D为射线上一点，且，下列结论：①为的切线；②；③，其中正确的结论有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题主要考查切线的性质与判定，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键；根据已知及切线的判定等对各个结论进行分析，从而得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴为的切线，①正确； ②由图可知不一定； ∵为的切线， ∴． ∵， 又∵， ∴， ∴，③正确． 故选：B． 2．如图，为的直径，，分别与相切于点，，经过上一点，，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】连接，，过点作，垂足为点，根据题意可得，根据全等三角形的判定和性质可得，根据切线的判定定理即可证明是的切线，根据切线的性质以及矩形的判定和性质可得，，得出，根据切线长定理可得，， 得出，根据勾股定理即可求得的长． 【详解】解：如图：连接，，过点作，垂足为点， ∵是的切线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线， ∵是的切线， ∵， ∵，，， 即， ∴四边形是矩形， ∴，， 则， ∵是的切线，是的切线，是的切线， ∴，， ∴， ∵， 在中，， 即， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，切线长定理，勾股定理，矩形的判定和性质，根据切线长定理得出，是解题的关键． 3．如图，是的直径，与相切于点，交的延长线于点，交的延长线于点， (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)与相切，见解析 (2) 【分析】本题主要综合考查了切线的性质和判定和勾股定理，能运用性质进行推理和计算是解此题的关键． （1）过点O作，先根据切线的性质、同角或等角的余角相等证明，进而可得，，由到圆心距离等于半径的直线是圆的切线即可得出结论； （2）由勾股定理求出，进而可得，再在中，由勾股定理列方程求出的半径． 【详解】（1）解：证明：过点O作， 是的直径，与相切于点A， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， 与相切； （2）由（1）证得， ， ，，， ∴ 由（1）证得， ， ， 设的半径为：， ， ， 的半径为． 类型三、三角形周长、面积、内切圆半径关系 1．《测圆海镜》卷中记载：“假令有圆城一所，不知周径．甲乙二人俱在干地，乙东行三百二十步而立，甲南行六百步望见乙，问径几里？”意思是：如图，中，步，步，是的内切圆，切点为，，，求的直径．根据题意，的直径是（    ） A．200步 B．240步 C．280步 D．320步 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内切圆、勾股定理、三角形面积公式等知识，熟练掌握三角形内切圆的性质是解题关键．首先根据勾股定理解得，设内切圆的半径为，根据三角形面积公式求得的值，即可获得答案． 【详解】解：∵中，步，步，， ∴步， 设内切圆的半径为， ∵， ∴， 解得， ∴内切圆的直径是240步． 故选：B． 2．如图，是的内切圆． （1）若，则的度数为 ． （2）若，则的半径为 ． 【答案】 【分析】此题重点考查三角形的内切圆与内心、三角形内角和定理、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）由得，因为是的内心，所以，，则即可求得． （2）作于点，利用解得，再利用勾股定理解得，，故，设的内切圆的半径为，与、、分别相切于点、、，连接、、、，则利用即可求出的半径． 【详解】解：（1）， ， ， 是的内心， 平分，平分， ， ， ， 答案为：． （2）作于点，则， ， ， 即， 解得， ， ， 在中， ． 设的内切圆的半径为，与、、分别相切于点、、，连接、、、， ，，，且， ， ， ， 解得：． 故答案为：． 3．阅读与思考 阅读下列材料，完成下面的任务． 关于“三角形的内切圆”的研究报告 【研究内容】如图，在中，三边，，，是它的内切圆，切点分别为，，，如何求、、的长呢？ 【解法】是的内切圆，切点为，，，，，．设，，，则有，，如果设，那么有． 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______． (2)如图，这是一张三角形纸片，为它的内切圆，小悦沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，，，求三角形纸片的周长． (3)如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，，，，求． 【答案】(1)； (2)三角形纸片的周长是； (3)． 【分析】（1）由题意得出，则可得出答案； （2）由题意得，如图，设切点分别为，，，则，由三角形周长可得出答案； （3）设，依题意得，，根据勾股定理可得，解方程得出，则可得出答案． 【详解】（1）解：是的内切圆，切点为，，， ，，， 设，，，则有， 三式相加可得， ， 故答案为：； （2）解：的周长为， 由题意得， 如图，设切点分别为，，，则， ，， ， 三角形纸片的周长， ；， （3）解：设，依题意得，， ，， ， 根据勾股定理可得，整理得， 解得或不合题意，合去， ， ，， ． 【点睛】本题考查的知识点是三角形内切圆与内心、切线长定理、勾股定理解直角三角形、解一元二次方程，解题关键是熟练掌握三角形内切圆的性质、切线长定理． 类型一、圆与三角形结合 1．如图，在中，，，，是的内切圆，分别与，，相切于点，，，则圆心到顶点的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用勾股定可得，根据切线的性质可得，四边形是正方形，设，可得，则有，在中，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， 如图所示，连接， ∵是的内切圆，分别与，，相切于点，，， ∴， ∴，四边形是正方形， ∴， 设， ∴，，， ∴， 解得，，即， ∴， 在中，， 故选：C ． 【点睛】本题考查了三角形与圆的综合，切线的性质，切线长的运用，勾股定理的知识，掌握切线的性质，切线长的运用是解题的关键． 2．如图，是的外接圆，，于点，的延长线交于点． （1） （填“，或”）： （2）若，，则 ． 【答案】 【分析】（1）延长交于点，连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，根据直角三角形两锐角互余可得，，根据在同圆中，等弧所对的圆周角相等可得，根据等角的余角相等可得，根据等边对等角可得，即可推得； （2）根据直角三角形两锐角互余可得，结合（1）中结论和根据等角的余角相等可得，结合对顶角相等可得，根据等角对等边可得，设，则，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方列方程，解方程求出的值，即可求出、的值，根据即可求解． 【详解】解：（1）延长交于点，连接，如图：    ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，等角对等边，等边对等角，勾股定理，直角三角形的性质等；熟练掌握圆的相关性质是解题的关键． 3．如图，是的直径，弦于点E，F是上一点，C是的中点，与交于点G，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，若是直径且，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题是圆的综合题，主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的判定及性质，直角三角形的特征，勾股定理等，掌握有关性质是解题的关键． （1）先求得，可得，再证得，在和中，，可得，从而得出，即可求证； （2）先求得，再求得，证明是等边三角形，再由可得，再由勾股定理求得，再证明是直角三角形，再求解即可． 【详解】（1）证明：是的中点， ， ， ，AB是直径， ， 在和中，， ， ， 即； （2）解：DF是直径，由（1）知 ， 又 ， 又， 是等边三角形， 又 ， ， 是直径， ， 是直角三角形， 又G是AC的中点， ． 类型二、圆与四边形结合 1．如图，等腰内接于，直径，D是圆上一动点，连接，且交于点G．下列结论：①平分；②；③当时，四边形的周长最大；④当，四边形的面积为．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】证明，由圆周角定理以及三角形的外角性质即可证明①②正确；当时，四边形的周长最大，即可证明③正确；作，交延长线于M，证明，利用勾股定理以及三角形面积公式，可得四边形的面积，可得④错误，即可． 【详解】解：∵等腰内接于圆O，且为直径， ∴， ∴，即平分；故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴；故②正确； ∵为直径， ∴， ∵， ∵， ∴要使四边形的周长最大，要最大， ∴当时，四边形的周长最大， 此时，，故③正确； 作，交延长线于M， ∵， ∴， ∵A、C、B、D四点共圆， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ∵， ∴； ∵， ∴； ∵直径，，， ∴，， ∴， 四边形的面积为 ，故④错误； 综上，①②③正确； 故选：C 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，圆周角定理，等腰直角三角形的性质等知识点的综合运用，综合性比较强，难度偏大． 2．如图，四边形是的内接四边形，若，则的大小为 ．    【答案】 【分析】根据圆内接四边形的性质求出的度数，根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ， ∴， 由圆周角定理得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补、同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 3．【问题提出】在正方形中，点分别在边上，且，连结．求证：． 【问题探究】如图①，小亮采用“截长补短”的方法，在的延长线上截取， ，通过证明三角形全等，进而得证． 下面是小亮的部分证明过程： 证明：在的延长线上截取，连接． 四边形是正方形， ． 又， ． ． 证明过程缺失 ． 请补全缺失的证明过程． 【方法总结】常用“截长补短”的方法证明线段间的数量关系． 【问题解决】如图②，在【问题探究】的基础上，连结，点在上，过点作，垂足为点，交延长线于点且．若，则线段的长为___________． 【问题拓展】如图③，是的外接圆，，点在的外接圆上，且点与点在的两侧，连接、、．若，则的值为________． 【答案】【问题探究】见解析；【问题解决】9；【问题拓展】 【分析】问题探究：在原题解答的基础上，通过证明即可得出结论； 问题解决：过点M作于点H，利用等腰直角三角形的判定与性质求得，利用全等三角形的判定与性质得到，再利用【问题探究】的结论解答即可得出结论； 问题拓展：延长至点E，使，连接，利用全等三角形的判定与性质得到，，利用等腰直角三角形的判定与性质得到，再利用已知条件化简运算即可． 【详解】问题探究：证明：在的延长线上截取，连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 问题解决：解：过点M作于点H，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由【问题探究】知：， ∵， ∴． 故答案为：9； 问题拓展：解：延长至点E，使，连接，如图， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，圆的有关性质，圆的内接四边形的性质，本题是阅读型，熟练掌握题干中的“截长补短”的方法是解题的关键． 类型三、动圆相切求t 1．如图，已知．动点从点出发，以每秒3个单位的速度向右做匀速运动；动直线从点的位置出发，且轴，以每秒1个单位的速度向轴负方向作匀速平移运动．若它们同时出发，运动的时间为秒，当直线运动到时，它们都停止运动．当直线与以为圆心，1为半径的圆相切时，求的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】 本题考查了切线的性质，理解直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径是解题的关键． 利用切线的性质得到点P为直线l的距离为1，结合动点运动速度，分两种情况：圆在直线的左侧或圆在直线的右侧，分别建立的方程，再解方程即可． 【详解】解：∵， ∵， ∵直线l与以P为圆心，l为半径的圆相切， ∴点P为直线l的距离为1， ∴或， 解得或， 即t的值为 或． 故选：C． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点为圆心、为半径作圆．从点出发，以每秒个单位的速度沿轴正半轴运动，运动时间为．连接，将沿翻折，得到．当 时，直线与相切；当 时，直线与相切． 【答案】 或 【分析】本题考查了切线的性质，折叠的性质以及勾股定理的应用等； （1）根据切线的性质以及折叠得出，进而根据等面积法得出的长，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解； （2）当与相切时，分两种情况讨论，同（1）的方法，根据切线的性质以及勾股定理，即可求解， 【详解】解：（1）当与相切时，如图， 设切于点，连接， 将沿翻折，得到． ， 经过点， ， 即， 在中，， 故答案为：． （2）当与相切时，如图， 设切于点，连接，交于，连接， 切于点， ，， ， ， ，， ， 将沿翻折，得到． ， ，， ，即， ， 在中，，解， 解得或舍去； 当的反向延长线与相切时， 设切于点，连接，交轴于， ， ， ， ， ， ， ， ，即 解得： 故答案为：或． 3．如图1，在矩形中，边长，，其中分别是方程的两个根，连接．点从点出发，沿向点运动（到达点停止运动），速度为1个单位每秒，设运动时间为秒． (1)______． (2)如图2，在运动过程中，以为圆心，的长为半径作半圆，交射线于点，当为______时，点运动到的角平分线上，此时，半圆与有怎样的位置关系，并加以说明． (3)如图3，在运动过程中，连接，将沿折叠，得到，连接，当取最小值时，为______，此时，的值为______． (4)如图4，当半圆与的边有两个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)5 (2) (3)， (4)或 【分析】（1）先解一元二次方程，得到，根据矩形的性质，得到，利用勾股定理即可求解； （2）运用角一部分线性质定理得，可得是圆的切线，根据面积可求出，即可得到的值； （3）由折叠的性质得到，即，，当点O在运动过程中，的长度和的长度是固定不变的，由此可以得到当点B、P、D三点共线时，的长度最短，即有最小值，最小值为，此时，求出，，再利用勾股定理即可求的值； （4）根据题意，分为当半圆O与有2个交点；当点半圆O与有1个交点，与有1个交点；当点半圆O与有1个交点，与有1个交点；三种情况讨论，分别求出半径的范围，即可得到t的取值范围． 【详解】（1）解：，即， 解得：， ∵边长，，其中分别是方程的两个根， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴, 故答案为：5； （2）解：如图，过点作垂足为点, ∵是的平分线， 又在矩形中， ， ∴ ∴ ∴是的切线，即与相切； 又， ∴， ∴，即 ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由折叠的性质得：， ∴， 点O在运动过程中， ∵的长度和的长度是固定不变的，如图， ∵， ∴当点B、P、D三点共线时，的长度最短，即有最小值，最小值为，此时，， 过点P作垂足为F点，于点T，如图， 所以，四边形是矩形， ∴ 由（1）知， 由（2）知， ∴， ∴，， 又 ∴ ∴, ∴； 在中，， ∴， 在中，． 故答案为：，； （4）解：如图，当半圆O与相切时，此时半圆O与的边有1个交点，即为切点，设切点为H，连接， 由（2）知，； 如图，当点Q与点B重合时，此时半圆O与的边有2个交点， 此时，为半圆O的直径， ∴， ∴， ∴当时，半圆O与有2个交点， 即半圆O与的边有2个交点； 如图，此时，半圆O与有1个交点，与有1个交点， 如图，当半圆O与相切时，此时半圆O与的边有3个交点，设与半圆O的切点为M，连接， ∵， ∴， ∴当时，半圆O与有1个交点，与有1个交点， 即半圆O与的边有2个交点； 如图，当半圆O与经过点A时，此时半圆O与的边有3个交点；连接， 设，由勾股定理得： ， 解得：， ∴， ∴， 如图，当点O与点B重合时，此时点O停止运动， ∴， ∴， ∴当时，半圆O与有1个交点，与有1个交点， 即半圆O与的边有2个交点； 综上，半圆O与的边有两个交点时，或． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，直线与圆的位置关系，切线的判定，矩形判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是画出图形，分类讨论． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$