2.2 圆的对称性-【课时提优计划作业本】2024-2025学年九年级数学上册（苏科版）

一课时提优计划作业本数学九年级上)》 2.2圆的对称性 第1课时 圆的中心对称性 课堂演练 1.(教材习题变式)如图，在⊙O中，若C是AB的中点，∠A=50°，则∠BOC的度数为() A.40 B.45 C.50° D.60 (第1题)》 (第3题) (第5题) 2.在同圆或等圆中，下列说法错误的是 A,相等的圈心角所对的孤相等 B.相等的弧所对的弦相等 C.相等的弦所对的孤相等 D.相等的弦所对的圆心角相等 3.如图，BD是⊙O的直径，C是AB的中点，若∠AOC=70°，则∠AOD的度数为 4.若弦AB把圆分成1：3两部分，则弦AB所对的劣弧的度数为 ,弦AB所对的优弧 的度数为 5.(教材习题变式)如图，在Rt△ABO中，∠O=90°，∠A=30°，以点O为圆心，OB的长为半径 的⊙O分别交AO、AB于点C、D,则BD的度数为 ,CD的度数为 6.如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点E,AB=CD,连接AD、BC (1)求证：AD=BC (2)求证：AE=CE. 课后拓展 7.在半径为1的圆中，长度等于√2的弦所对的弧的度数为 A.909 B.145 C.90°或270 D.270°或145° 8.已知⊙O中，AB=2CD,则弦AB和2CD的大小关系是 ( A.AB2CD B.AB=2CD C.AB<2CD D.不能确定 44 第2章对称图形一圆 9.如图，在扇形OAB中，∠AOB=110°，将扇形OAB沿过.点B的直线折叠，点O恰好落在AB 上的点D处，折痕交OA于点C,则AD的度数为 A.40 B.50 C.60 D.70° (第9题) (第10题) (第11题) 10.如图，AB是⊙O的直径，OC⊥AB,D是OC的中点，DE∥AB,则EA的度数为 1L.如图，A是直径MN上方半圆上的一个三等分点（靠近点N这一侧），B是AN的中点，P 是直径MN上的一个动点，若⊙O的半径为3，则AP十BP的最小值为 12.如图，正方形ABCD内接于⊙O,M为AD的中点，连接BM、CM. (1)求证：BM=CM. (2)求∠BOM的度数 13.如图，以□ABCD的顶点A为圆心、AB的长为半径作圆，分别交AD、BC于点E、F,延长 BA交⊙A于点G. (1)求证：GE-EF (2)若BF的度数为70°，求∠C的度数， 45 课时提优计划作业本数学九年级上>>》 第2课时 圆的轴对称性 课堂演练 1.(教材习题变式)如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点. (1)求证：AC=BD. (2)连接OA、OC,若OA=6,OC=4,∠OCD=60°，求AC的长. 2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E,则下列结论不一定正确的是 (》 A.BE=OE B.AC=AD C.CB=BD D.∠CAB=∠DAB 10 D (第2题) (第3题) 3.如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB,垂足为D,若OA=5,AB=8,则CD的长为() A.5 B.4 C.3 D.2 4.(2023·永州)如图，⊙O是一个盛有水的容器的横截面，已知⊙O的半径为10cm,水的最深 处到水面AB的距离为4cm,则水面AB的宽度为 cm. O (第4题) (第5题) 5.(2023·东营)“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在 壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？”转化为现在的数学语言表达就 是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD,垂足为E,CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长 度为 寸. 46 第2章对称图形一圆 课后拓展 6.已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的 点有 () A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 7.如图，在⊙O中，弦AB=5,点C在AB上移动，连接OC,过点C作CD⊥OC交⊙O于点D, 则CD长的最大值为 A.5 C.3 D.2 (第7题) (第8题) (第9题) (第11题) 8.如图，在半圆O中，直径AB=6,将半圆O沿弦BC所在的直线折叠，若BC恰好过圆心O,则 BC的长是 A.33 B.π C.2π D.4元 9.如图，AB、AC都是⊙O的弦，BC是直径，OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M、N,如果 MN=3,那么BC= 10.⊙O的半径为10cm,AB、CD是⊙O的两条弦，且AB∥CD,已知AB=12cm,CD= 16cm,则AB与CD的距离为 11,如图，在平面直角坐标系Oy中，一个圆与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点.已知点 A(6,0)、B(一2,0)、C(0,3),则点D的坐标为 12.如图，P是⊙O内的一个定点. (1)过点P作弦AB,使P是AB的中点（不写作法，保留作图痕迹）. (2)若⊙O的半径为13，OP=5. ①求过点P的弦的长度m的取值范围： ②过点P的弦中，长度为整数的弦有 条 47 二课时提优计划作业本数学九年级上2>》 13.如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E,∠DEB=30°，AE=2,EB=6,求CD的长. 14.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径作⊙O,分别交AC、BC于点D、E,过点E作 EF⊥AB,垂足为G,交⊙O于点F,连接BF (1)若∠C=58°，求∠BFE的度数. (2)若AC=26,BG=8,求弦EF的长. C 15.如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m,拱高CD为4m. (1)求拱桥的半径. (2)有一艘宽为7.8m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3m,此货船是否能顺利通 过此圆弧形拱桥？请说明理由. 48第2课时圆的有关概念 11.50°解析：∠A=65°，.∠B+∠C=180°-65=115. 课堂演练 :OB=OD.OE=OC,.∠ODB=∠B.∠OEC=∠C 1.证明：连接OA、OB.OA=OB,.∠A=∠B.OC=OD, ∴.∠ODB+∠OEC=115,∴.∠BOD+∠COE=360°-230°= ·∠0CD=∠0DC:∠0CD+∠0CA=180,∠ODC+130.∠D0E-180-130=50.12.设正方形ABCD的 ∠ODB=180°，.∠OCA=∠ODB,.△ACO≌△BDO 边长为x,即AB=BC=CD=AD=,由正方形的性质，得 (AAS)AC=BD.2.C解析：直径是弦，①正确：弦不一 ∠ABC=∠DCO=90°又：∠POM=45..CO=CD=x, 定是直径，②错误：半径相等的两个半圆是等弧，③正确：能够 ,∴.O=2x.连接QA,则O4=OM=25.在Rt△ABO中，AB+ 完全重合的两条弧是等弧，④错误：根据半圆的定义可知，半)=OA,即+(2x)2=(25),x=2,即AB的长度为2 圆是弧，但弧不一定是半圆，⑤正确.综上所述，正确的说法有13.证明：(1)DF⊥CE,∴∠CFD=90°，∠CDF+∠FCD= 3个.3.B解析：：圆的直径为圆中最长的弦，.⊙O中最90°.，∠BEC=90°，∴.∠BEC=∠CFD.,四边形ABCD为 长的弦的长度为2×3=6(cm).4.D解析：，在R1△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=50,∴∠B=40.点D在以点B为 为菱形.∴BC=CD.在R△BCE和R△CDF中，CE=DG’ 圆心，BC的长为半径的弧上.BD=BC.∠BCD=∠BDC= ∴.Rt△BE≌Rt△CDF(HI),∴.∠BCE=∠CDF,∴.∠BCE+ 2(180-∠B)=2×(180-40*9=702.∠ACD=∠AcB- ∠FCD=90°，.∠BCD=90,∴.菱形ABCD是正方形 (2)如图，连接AF,ED.,四边形ABCD为正方形.∠ADC= ∠BCD=90°-70=20.5.ABCD,EF、ABAE,EB、90.AD=CD.F是线段CE的中点.∴EF=CF.又DF⊥ EF,ED,EC ADC,ADE、ABF、ABD6.10解析：如图.CE.DF是CE的垂直平分线.DE-DC=AD.∠DAE= 连接OC:CD⊥AB,.∠CDO=90°.在Rt△OCD中，OC ∠DEA,∠DEC=∠DCE.·∠DAE+∠DEA+∠ADE=18O, √OD+D=√32+4F=5,∴AB=20C=10,即⊙0的直 ∠DC+∠DE+∠CDE=180.∠AED=18O°-∠ADE 2 径为10. ∠DEC=18O-∠CDE.∠AEF=∠AED+∠DEC 180-2(∠ADE+∠CDE)=180°-45=135.∴.∠AEB= 360°-135°-90°=135，.∠AEF=∠AEB.由(1)，得 R△BCE≌R△CDF,∴，BE=CF,∴.EF=EB.在△ABE和 AE-AE. 课后拓展 △AFE中， ∠AEB=∠AEF.∴.△ABE≌△AFE(SAS). 7.C解析：如图，连接OP.在Rt△PAB中，AB=PA'+ EB=EF, PB.又：在矩形PAOB中，OP=AB,.PA+PB=AB= AB=AF,.点F在以AB的长为半径的⊙A上 OP,OP的大小不变，PA+PB的值不变. B 8.C解析：连接OD,设∠C的度数为n°.，CD=OA=OD 2.2圆的对称性 .∠DC=∠C=n,∴∠ADO=∠DC+∠C=(2n)°.OA 第1课时圆的中心对称性 OD.∴∠A=∠ADO=(2r).:∠AOC+∠C+∠A=180, 课堂演练 ∠4C=75,∴.75十1十2=180，解得n=35..∠A=(2n)°= 1.A解析：OA=OB.∴∠B=∠A=50°.∴.∠AOB=180° 70°.9.A解析：由题意得，△BHC是直角三角形.又，M ∠A-∠B=180°-50°-50°=80°.C是AB的中点，∴.AC= 是BC的中点，∴MH=号BC.当BC取得最大值时，MH BC.∴∠B0C=∠A0C=之∠A0B=40.2.C解析：在 也取得最大值.，BC的最大值为6，，MH长的最大值为3. 10.108°解析：设∠COD=∠A=x.则∠AOB=(180 同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧和劣弧分别相等，故C选 2x,∠C=∠D=180d.∠A0B+∠=180,180- 项错误。3.40°+.90°270°解析：劣弧的度数为360°× 2 3 2+180,I=180,解得x=36,∠A0B=(180-2x)°=108. 1中3=90，优氟的度数为360°×千3270.5.60°30 2 解析：连接OD.在Rt△AB0中，∠O=90°，∠A=30°， 课时提优计划作业本·数学·九年级上(SK版) ·12. .∠B=60°.：OD=OB,∴.△OBD是等边三角形，.∠DOB=OB.OQM,OD.,四边形ABCD是正方形，.AB=BC=CD= 60°，∴∠C0D=30°，∴BD的度数为60，CD的度数为30， DA,AB=BC=CD=DA.∠AOB=∠AOD=90.'M 6证明：1)：AB=CD,AB=CD,CD-AC-AB-AC,为AD的中点，∠AOM=45,∠BOM=∠AOB+∠AOM= 即AD=BC..AD=BC.(2)连接AC.AD=CB,CD= 90°+45°=135. AB,AC=CA,∴△ADC≌△CBA(SSS),∴·∠ACD=∠CAB, ..AE=CE. 课后拓展 7.C解析：设弦AB=Z,圆心为O.,在△AOB中，OA十 OB=AB,∴∠AOB=90°，.弦AB所对的劣弧度数为90°， 第12题 第13题 所对的优弧度数为270,8.C解析：如图，取AB的中点E, 13.(1)证明：如图，连接AF.由题意得AF=AB.∠ABF= AE=BE.AB=2 CD...AE=BE=CD...AE=BE= ∠AFB.:四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC, CD..AB<AE+BE...AB<2CD. ∴∠DAF=∠AFB,∠GAD=∠ABF,∴∠GAD=∠DAF, ∴.GE=EF(2):BF的度数为70°，∠BAF=70°：AB AF÷.∠B=∠AFB=2(180°-∠BAF)=号×(180°- 70)=55.,四边形ABCD为平行四边形，∴.AB∥CD, .∠C=180°-∠B=180°-55°=125 第8题 第9题 第2课时圆的轴对称性 9.B解析：如图，连接OD.由折叠的性质，得BD=BO课堂演练 :OB=OD,∴BD=BO=DO,.△OBD为等边三角形，1，(1)证明：如图，过点O作OH⊥CD于点H.OH⊥CD, .∠D0B=60,∴.∠AOD=∠AOB-∠DOB=110°-60°= .CH=DH.AH=BH.,.AH-CH=BH一DH,即AC= 50°.∴.AD的度数为50°.10.30解析：如图.连接(OE. BD.(2)如图，连接OD.OC=OD,∠OCD=60°，.△OCD OCLAB.DE∥AB.DELOC.D是(OC的中点，.OD= 是等边三角形.∴CD=(C=4,∴.CH=2,∴OH1=√C一C开= 20C0E=0C.0D=0E∠0ED=30∠A0E- V④-2=23，∴AH=OA-OF=162-(23) 30°，∴.EA的度数为30， 26,∴.AC=AH-CH=26-2. 第10题 第11题 第1题 第4题 山.32解析：如图，作点B关于MN的对称点B,连接2.A3D解析：CLAB,AB=8AD=BD=号AB OA,OB、AB,AB交MN于点P',连接PB.PB=PB', ∴PA+PB=PA+PB'=AB,∴此时PA+PB的值最4在R1△OAD中，OD=VOA-AD=V-枣=3， 小“A是直径MN上方半圆上的-个三等分点∠AON=CD=OC-OD-5-3=2.4.16解析：如图，过点O作 60.:B是AN的中点.∠BON=号∠AON=30, OD⊥AB于点C,交⊙O于点D,连接OA,∴.AC=BC= R∠A0g=∠AON+∠BON=0+30=90,:△AOB为2A8由题意m.0A=10cm.CD=4em,.0C=6cm在 等腰直角三角形，∴AB=/2OA=32,∴AP+BP的最小值为R△AOC中，AC=OM-CC=/0-6=8(m),.AB= 3/2.12(1)证明：四边形ABCD是正方形，AB=CD,2AC-16cm5.26解析：如图，连接OA,设⊙O的半径为 AB=CD.:M为AD的中点AM=M,.AB+AM=r寸.：直径CD⊥AB,AE=号AB=号×10=5（寸）， CD+DM,即BM=CM.∴BM=(CM(2)如图，连接OA、CE=1寸，∴OE=(一1)寸.OA=OE+AE.∴r2 课时提优计划作业本·数学·九年级上(SK版) ·13 (一1)2+5，解得r=13,.直径CD的长度为26寸. 1山.(0，一4)解析：如图，设圆心为P,过点P分别作PE⊥ AB于点E,PF1CD于点F,则EA=EB=号AB=4,FC- FD=2CD.∴OE=EB-OB=4-2=2,…点E的坐标为(2， 0).设点P的坐标为(2，m),则点F的坐标为(0，m),连接 PC,PA.在R△CPF中，PC=(3-m)十2.在R1△APE 课后拓展 中，PA=m2十42，PA=PC,.(3一m)2十22=m2十4，解 6.B解析：如图，过点O作OC⊥AB交⊙O于点P,∴.OC 3,,OP=5,∴.PC=2,即点P到直线AB的距离为2：由图可 得=一 心点F的坐标为(O,-2)FC=FD=3 知，在直线AB的另一边，⊙O上还有2个点到直线AB的距 (-)=子∴0D=0F+FD=+子=4点D的坐标 离为2.综上所述，一共有3个点满足题意。 为(0，-4). 第6题 第7题 7.B解析：如图，连接OD.,CD⊥OC,∴∠DCO=90°， D ∴.CD=OD-0C=√P-C.当OCLAB时，OC的值 第11题 第12题 最小，此时CD长的值最大，且DB两点重合，∴CD=CB=12.(1)如图，弦AB即为所求.(2)①过点P的所有弦中，直 之AB=号×5=号即CD长的最大值为受.8A解析。 径最长，为26：与OP垂直的弦最短，如图，连接OA.,OP AB..AP=BP=0A-)P=13-5=12,∴.AB= 如图，过点O作OD⊥BC于点E,交半圆O于点D,连接AC 2AP=24..过点P的弦的长度n的取值范围为24m≤26. 由折叠的性质，得ED-B0.OE=OB:OD⊥C, ②4解析：过点P的弦最长为26，最短为24，长度为25的弦 .∠OC=30°，即∠ABC=30.:AB为直径，∴.∠ACB=90°， 有两条，过点P的弦中，长度为整数的弦共有4条 ∴AC=号AB-号×6=3，C=VB-A=6-3=35. 13.如图，连接COD,过点O作OF⊥CD,交CD于点F,则 CF=DF.AE=2.EB=6...AB=AE+EB=2+6=8, ∴.OA=4,.OE=OA-AE=4-2=2.在R△OFE中， ∠DEB=30,∴OF=OE=1:在R△0FD中，0F=1,0D OA=4,根据勾服股定理得DF=√OD一OF=√一1下= 9.6解析：OMLAB,ONLAC.·AM=MB=2AB,AN= /15,.CD=2DF=215. NC=号AC,MN为△ABC的中位线，.BC=2MN=2× 3=6.10.14cm或2cm解析：如图1，在Rt△OAE中， 0A=10m,AB=号AB=6m,根据勾吸定理，得0E- 8cm,同理可得OF=6cm,故EF=OE-OF=2cm:如图2， 同理可得OE-8cm,OF=6cm,故EF=OE+OF=14cm.综 上所述，AB与CD的距离是14cm或2cm 第13题 第14题 D 14.(1)EF⊥AB,∠EGB=90,BE=BF,BE=BF ∠BEF=∠BFE.AB=AC,∴.∠C=∠ABC,∠C 58°，∴∠ABC=58°，.∠BEF=90°-58=32°，.∠BFE 32.(2)如图，连接OE.:AB=AC,AC=26,.AB=26, 图1 图2 ..OE=OB=13.BG=8...0G=5.EF LAB.'.EG=FG, 课时提优计划作业本·数学·九年级上(SK版) ·14. ∠OE=90.在R△(OG中，G=OE一OG=/13一=的距离不一定相等，可知平行四边形的四个顶点不一定在同 12,.EF=2EG=24,即弦EF的长为24.15.(1)如图，设 一个圆上，故B选项符合题意：矩形的对角线互相平分且相 拱桥的圆心为O,连接OB.,OC⊥AB,.D为AB的中点， 等，所以矩形的四个顶点到对角线交点的距离相等，可知矩形 “AB=12m.∴BD=号AB=6m设OB=0C=rm.CD 的四个顶点一定在同一个圆上，故C选项不符合题意：正边 形的中心到各个顶点的距离相等，可知正n边形的各个顶点 4m,则OD=(r一4)m.在Rt△BOD中，根据勾股定理得广= 一定在同一个圆上，故D选项不符合题意.8.C解析：设 (一4)2十6，解得r=6.5..拱桥的半径为6.5m(2)如 1k十b=2, 图，设MN为货船船舱的顶部，连接ON.,CD=4m,船舱顶 直线MN的函数表达式为y=x+b,则有 解得 3k十b=-3, 部为长方形并高出水面3m,CE=4一3=1(m),∴.OE=r 5 CE=6.5-1=5.5(m).在R△OEN中，EN=ON2一OE= 2 .直线MN的函数表达式为y=一 r+是.当 5 6.5-5.52=12,.EN=2/5≈3.5(m).∴.MN=2EN≈ b= 2 7.0m<7.8m.∴.此货船不能顺利通过这座拱桥. x=3时，y=-3≠5：当.x=一3时，y=12≠5：当x=一1时， y=7:当x=1时，y=2≠-2.点(-1,7)在直线MN上，即 该点不满足要求.9.(1,2)或(4,3)或(5,2)解析：由勾股 定理得PA=PB=+2=5.:P是△ABC的外心， ∴PC=5.:点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整 2.3确定圆的条件 数，点C的坐标为(1,2)或(4,3)或 课堂演练 (5,2). 10. 解析：如图，过点A 1.(1)如图，⊙O即为所求作的圆.(2)如图，连接OA.设 作AD⊥BC于点D.:AB=AC,∴.BD= 40 ⊙0的半径为rm:CD垂直平分ABAD=DB=号AB= CD-=号BC-号×12=6.∴AD垂直平 D 12cm.在R△AD)中.OA=OC=rcm.OD=(r-8)cm,由 勾股定理得OD+AD=(OA,.(一8)2十12=2，解得r= 分BC,,△ABC的外接圆圆心O在AD上，连接OB,设⊙O的 13,∴.⊙0的半径是13m 半径为r.在R:△ABD中，AB=10,BD=6,∴.AD= VAB-BD=8.在Rt△OBD中，OD=AD-OA=8-r, OB=r根据勾股定理得OD+BD=OB,即(8一r)+6 R 户，解得r=5 1L.△ABD、△ACD、△BCD解析：由题图 可知，OA=,1+2=5,OB=+2=5,0C= /+22m√5，OD=/1+2=/5,0E=1+3=/10 01234567x .OA=OB=OC=OD≠OE,∴.△ABD、△ACD、△BCD的外 第1题 第6题 心都是O.12.50解析：如图，设圆心为O,连接OA,OC 2.B3.D解析：根据“不在同一直线上的三点确定一个 :直线1是它的对称轴.∴.AN=40m,CM=30mm:AV+ 圆”可得，经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为6个， ON=CF+(OF,∴.40+(70-OMD2=302+OF,解得 4.5解析：，直角三角形两直角边的长分别为6和8，斜 OM=40,∴.0C=/30+40=50(mm),∴.能完全覆盖这个 边的长为√6十8=10，.该直角三角形的外接圆的直径为 平面图形的圆面的最小半径是50mm 10,其外接圆的半径为5.5.9x解析：：AB=AC,AD 0 是∠BAC的平分线，，BD=CD,AD⊥BC,又EF是AC的 垂直平分线且交AD于点O,.O是△ABC外接圆的圆心 :OA=3,∴.△ABC外接圆的面积为πr2=π×3=9元 6.(5,2)解析：如图，△ABC外接圆的圆心为点P,其坐标 21 为(5,2). 1 课后拓展 7.B解析：根据三点共圆可知三角形的三个顶点一定在同 第12题 第13题 一个圆上，故A选项不符合题意：平行四边形的对角线互相平 13.(1)证明：：∠ABP=∠APD=∠PCD=90°，∠APB+ 分但不一定相等，所以平行四边形的四个顶点到对角线交点 ∠PAB=90°，∠APB+∠DPC=90°，∴∠PAB=∠DPC,在 课时提优计划作业本·数学·九年级上(SK版) ·15·