4.1.1线段、射线、直线有关知识总结2024-2025学年北师大版数学七年级上册

直线、射线、线段知识点总结 一、有关定义： 1、直线：只可以向两个方向延伸的线叫直线。 2、射线：直线上一点和它一旁的部分叫射线。 3、线段：直线上任意两点和它们之间的部分叫线段。B 二、表示方法： a A 1、 AMmaaaaaamlll 记作：直线AB或直线BA或 直线a. 2、 记作：射线PB或 直线m P B m 3、 记作：线段AB或线段BA或 线段a A a B 注意事项： ⑴表示直线的两个字母没有顺序性，只要在直线上即可； ⑵表示线段的两个大写字母也没有顺序 ⑶射线的表示具有方向性，表示端点的字母必须要写在前面； 三、直线、射线、线段的关系 端点个数 延伸情况 延长线条数 反向延长线条数 能否度量 表示方法 直线 0 2 0 0 不可度量 ①两个大写字母表示 ②一个小写字母表示 射线 1 1 0 1 不可度量 ①两个大写字母表示 ②一个小写字母表示 线段 2 0 2 2 可度量 ①两个大写字母表示 ②一个小写字母表示 四、直线、射线、线段的有关性质、公理： 1、过一点有无数条直线。 2、直线公理：过两点有且只有一条直线。 简称“两点确定一条直线”。 3、线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短。简称：“两点之间线段最短。” 4、线段的大小比较方法：（1）度量法；（2）叠合法. 5、线段的中点：把一条线段平均分成两条相等的线段的点叫做线段的中点. AB AB=2AC=2BC, AC=BC=ABc 6、两点间的距离：连接两点之间的线段的长度，叫做这两点间的距离. 五、典型例题剖析 探究类型之一 直线、射线与线段的概念 例1 观察图形，下列说法正确的个数是（ ）. （1）如右上图：直线BA和直线AB是同一条直线； （2）如右上图：射线AC和射线AD是同一条射线； （3）如右上图： AB+BD＞AD； （4）三条直线两两相交时，一定有三个交点． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 探究类型之二 求线段的和差倍分 例2 如图，B、C两点把线段AD分成2∶3∶4的三部分，M是AD的中点，CD=8，求MC的长． (1) 分析：因为知道AB、BC、CD的比例，且知道CD的长， 所以可求出线段AB,BC，CD和线段AD的长。 又因为点M是AD中点，根据总长可得出MD的长，MC=MD-CD即可. 解：设AB=2x，则BC=3x，CD=4x，所以AD=AB+BC+CD=9x 由CD=4x=8，得x=2， 所以AD=18. 因为M是AD的中点，所以MD=AD=9. 所以MC=MD-CD=9-8=1. (2) 强调：①此题的突破口，即各线段的比例关系 ②线段AB中的线段二字可省略不写，直线、射线不可省略 探究类型之三 线段的中点 例3：如图，已知点B和点C是线段AD上的两点，且点M是AB的中点，点N是CD的中点， 如果MN=a ,BC=b，求AD. 分析：要求AD的长，只要再知道AM和ND的长就可以了. 解：由题意得MB + CN = MN – BC = a- b. 又因为点M和点N分别是AB、CD的中点， 所以AM=MB,ND=CN. 所以AM + ND =MB + CN =a-b. 所以AD = AM + ND + MN=a-b +a =2a-b. 探究类型之四 求直线、线段的条数 例4 我们知道过两点有且只有一条直线． 阅读下面文字，分析其内在涵义，然后回答问题： 如图，同一平面中，任意三点不在同一直线上的四个点A，B，C，D，过每两个点画一条直线，一共可以画出多少条直线呢？ 我们可以这样来分析： 过A点可以画出三条通过其他三点的直线，过B点也可以画出三条通过其他三点的直线．同样，过C点、D点也分别可以画出三条通过其他三点的直线．这样，一共得到3×4=12条直线，但其中每条直线都重复过一次，如直线AB和直线BA是一条直线，因此，图中一共有 条直线．请你仿照上面的分析方法，回答下面问题： （1） 若平面上有五个点A，B，C，D，E，其中任何三点都不在一条直线上， （2） 过每两点画一条直线，一共可以画出 条直线； （3） 若平面上有符合上述条件的六个点，一共可以画出 条直线； （4） 若平面上有符合上述条件的n个点，一共可以画出 条直线（用含n代数式表示）． 分析：①、尝试用五个点，你能一条条的画出所有的直线吗 ②如果给你50个点呢？你还能不能画出来呢？更多的点呢？ 可以从点数比较少的时候开始画，然后找规律，总结多个点时直线的条数. ③总结规律：过两点的直线有1条， 过不在同一直线上的任意三点的直线有3条， 过任何三点都不在一条直线上的四点的直线有×3×4=6条， 过任何三点都不在一条直线上的五点的直线有×4×5=10条， 按此规律，过任何三点都不在一条直线上的n个点的直线有n(n-1)条 探究类型之五 最短路线问题 例5 某人租用一辆汽车由A城前往B城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：时）如图所示，若汽车行驶的平均速度为80km/h,而汽车每行驶1km需要的平均费用为1.2元，试指出此人从A城出发到B城的最短路线（要有推理过程），并求出所需费用最少为多少元？ 分析：从A城到B城的情况很多,可考虑分情况讨论: 一种情况是从A城到B城需经过O城; 另一种情况是不经过O城. 解：从A城到B城的路线分两类： 第一类，经过O城： 从A城到O城最短时间为26小时，从O城到B城最短时间为22小时，此时从A城到B城最短要26 +22 =48 （小时）. 第二类，不经过O城： A→C→D→E→B与A→F→G→H→B都需要49小时. 综上所述，从A城到B城最短时间为48小时，所走的路线是A→F→O→E→B,所需的费用最少是80×48×1.2 =4608（元）. 思想方法总结 1、线段的计数方法： （1）左端点顺次数线段法； （2）线段上标数字法. 2、数学思想： （1）方程思想：计算线段长度时，当直接用和差倍分关系计算比较困难时，可引用方程的思想. （2）分类讨论思想：在计算线段长度时，当没有给出具体的图形时，常常考虑分类讨论思想，分类讨论是数学中常用的方法,它能把复杂的问题简单化、合理化。 （3）建模思想：遇到复杂的排列组和等问题，可以建立几何模型或找规律模型进行解决. （4）转化思想：把几何关系转化为代数关系式是求线段的和、差、倍、分以及证明等式的重要方法。 类似性问题： 1.如果线段AB=5cm，BC=3cm，那么A、C两点间的距离是（ ） A 8cm B 2cm C 4cm D 不能确定 2、如图所示，点C分线段AB为5 ：7的两段，点D分线段AB为5 ：11的两段，若CD=10cm， 则AB=______cm. 3、 如果A、B、C在同一直线，且线段AB=5cm，BC=3cm，那么线段AC=（ ） 4、如图，已知C是AB的中点，D是AC的中点，E是BC的中点． （1）若DE=9 cm，求AB的长； （2）若CE=5 cm，求DB的长． 5、点B、C将线段AD分成2∶3∶4三部分，且M是AD的中点，若MC=2，求线段AD的长． 6、 如图，点C在线段AB上，AC=8cm，CB=6cm，点M、N分别是AC、BC的中点. （1）求线段MN的长. （2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB=acm，其他条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由. （3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC-CB=bcm，M、N分别为AC、BC的中点。你能猜想MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由. 7、若某校初中24个班之间进行篮球比赛，第一阶段采用单循环比赛（每两个班之间比赛一场），类比上面的分析计算第一阶段比赛的总场次是多少？ 8、通过阅读所得的启示回答下列问题（阅读中的结论可以直接用）. 阅读：在直线上有n个不同的点，则此图中共有多少条线段？分析：通过画图尝试，得表格： 问题1：萧县初级中学七年级共有40个班进行辩论赛，规定进行单循环赛（每两班之间赛一场），那么该校九年级的辩论赛共需要进行多少场次？ 问题2：萧县初级中学七年级11班共有50名同学，春节后回校时，每两个同学会握手一次，那么，该班这次一共会握手多少次？ 问题3：萧县初级中学九年级11班共有48名同学，初三毕业时，每两个同学会互赠一件礼品，那么该班毕业时所有同学一共会互赠多少件礼品？ 问题4：京沪高铁从北京到上海一共有12个车站，那么京沪高铁运营公司一共要设计多少种车票？ 问题5：京台高铁在北京到台州之间有15个车站，那么京台高铁运营公司一共要设计多少件种车票？ 9、 如图,某公司员工分别住在A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人. 三个区在同一条直线上，该公司的接送车打算在三区中设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在哪个区？ 10、 若平面内有3条直线两两相交时，则可能有 个交点 11、 若平面内有4条直线两两相交时，则可能有 个交点 12、 若平面内有5条直线两两相交时，则可能有 个交点 13、 若平面内有100条直线两两相交时，则最多可能有 个交点 14、 若平面内有100条直线两两相交时，则最多可能有 个交点 15、 下列现象：①农民伯伯拉绳插秧；②解放军叔叔打靶瞄准；③学生早操队列对齐；④在墙上至少要用两根钉子才能把木条固定；⑤改直弯曲的河道，缩短航程．其中可以用“两点确定一条直线”来解释的有__________．(填序号) 16、 有三个不同的点A、B、C，过其中每两个点画直线，可以画出直线的条数是（ ） A、1条 B、3条 C、1或3条 D、无法确定 17、（1）若一条直线上有 n 个点，则在这条直线上一共有 条线段，一共有 条射线； （2）平面内的 n 条直线两两相交，最多有 ⁠个交点. 18. 从一个 n 边形的某个顶点出发，可以作 条对角线， 这些对角线可以把 n 边形分成 个三角形. 这个n 边形一共有 条对角线. 答 案 类似性问题1、分析: 当点A、B、C共线时,AC=8 cm或2 cm； 当A、B、C不共线时,AC间的距离不确定.故选D. 类似性问题2、 分析:因为点C分线段AB为5∶7的两段,点D分线段AB为5∶11的两段, 所以AC=AB, AD=AB. 又DC=AC-AD=AB -AB=AB，且CD=10 cm, 所以AB=96 cm. 类似性问题3： 8cm或 2cm 类似性问题4、解:(1)因为D是AC的中点,E是BC的中点,所以AC=2CD,BC=2CE, 所以AB=AC+BC=2(CD+CE)=2DE=18 cm; (2)因为E是BC的中点,所以BC=2CE=10 cm. 因为C是AB的中点,D是AC的中点,所以DC=AC=BC=5 cm, 所以DB=DC+CB=5+10=15 (cm). 类似性问题5解:根据题意,设AB,BC,CD的长分别为2k,3k,4k,所以AD=2k+3k+4k=9k. 因为M是AD的中点,所以MD=AD=4.5k,所以MC=MD-CD=4.5k-4k=0.5k=2, 解得k=4, 所以AD=9k=9×4=36. 类似性问题6：解：（1）因为AB=8cm，CB=6cm，所以AB=14cm. 因为M、N分别是AC、CB的中点，所以MC=AC，CN=CB； MN=MC+CN=AB=7cm. 答：MN的长是7cm. （2）若C是线段AB上任一点，满足AC+CB=a，其他条件不变，则MN=a. 理由： 因为M、N分别是AC、CB的中点， 所以MC=AC，CN=CB； MN=MC+CN=AB=a （3）如图，因为M、N分别是AC、CB的中点， 所以MC=AC，CN=CB； MN=MC-CN=AB=b. 类似性问题7 解：将24个班看作平面上的24个点，其中任何三个点都不在一条直线上， 每两个班之间进行一场比赛可以表示成平面上每两个点之间画一条直线， 24个班之间进行篮球比赛的总场次等于平面上的24个点之间所画直线的总条数， n(n-1)=×24×（24-1）=276 类似性问题8：略（同7） 类似性问题9，分析：如何比较三个区的路程之和？应分别计算出三个区的路程和. 解：所有员工步行到停靠点A区的路程之和： 0+100×15+（100+200）×10=4500（m） 所有员工步行到停靠点B区的路程之和： 100×30+0×15+200×10=5000（m） 所有员工步行到停靠点C区的路程之和： （100+200）×30+15×200+10×0=12000（m） 综上，停靠点的位置应设在A区. 16题A 17题 n（n−1）/2 、 2 n 、 n（n−1）/2 18题 （ n －3） 、 （ n －2） 、 n（n−3）/2 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$