13.3 分式方程（第1课时 分式方程及其解法)（教学课件)-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（沪教版2024）

沪教版（2024）七年级数学上册 第十三章 分式 第一课时 分式方程及其解法 13.3 分式方程 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 1.掌握解分式方程的基本思路和解法.（重点） 2.理解分式方程可能无解的原因.（难点） 学习目标 京沪高铁上海虹桥站至北京南站全程约1318km.如果某趟列车的平均速度提高，其从上海虹桥站至北京南站的行驶时间将缩短37min，那么这趟列车提速前后的平均速度分别为多少(结果精确到1km/h)? 新知探究 设火车提速前的平均速度是xkm/h，根据问题可以列出方程 -= 概念归纳 像这样，分母里含有未知数的方程叫作分式方程．像一元一次方程等分母里不含有未知数的方程称为整式方程．只含有一个未知数的方程的解称为这个方程的根． 在① x2－ x ＋ ，② －3＝ x ＋4，③ ＋5 x ＝6，④ ＝1中， 关于 x 的分式方程的个数为(　B　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 B 分式方程-=的两边都乘公分母 x,得到一元一次方程 1318×-1318=×x 解得 x≈305 所以这趟列车提速前的平均速度约为305km/h,提速后的平均速度约为356km/h. 解方程：-= 解分式方程的关键是把分母“去掉”，将其转化成整式方程. 解分式方程+= 方程的两边都乘公分母 x(x+1),得到一元一次方程 (x+1)+x=1 解得 x=0 由于x=0使的分母的值为0,因此,0不是原分式方程的根,原分式方程无解. 典例剖析 概念归纳 在分式方程变形时，有时会产生不符合原分式方程的根，这种根叫作原分式方程的增根，应舍去．检验一个数是否是方程的根的过程，称为验根． 在上面的求解中，x=0是分式方程+=的增根. 解分式方程为什么会产生增根? 在分式方程两边同乘一个整式，由于这个整式的值可能为0，这就可能产生增根． 例1 解方程=. 解： 方程两边同乘2(3x+1),得 2(2x+1)=3x+1 去括号，得 4x-2=3x+1 移项，化简，得 x=3 将x=3代入原方程检验，得 左边===右边 所以原方程的解是x=3. 课本例题 例2 解方程+1=. 解： 方程两边同乘x-1,得x+(x-1)=1. 移项，化简，得 x=1 将x=1代入原方程检验，此时方程中分式的分母的值为0,分式无 意义. 所以x=1不是原方程的解，原方程无解. 课本例题 你能归纳出解分式方程的一般步骤吗? 解分式方程的一般步骤是： (1)去分母，转化成整式方程并求解； (2)验根，并写出结论. 1.下列方程中，哪些是分式方程? (1)x+=3; (2)=2; (3)+=； (4)=. 是 是 不是 是 课堂练习 2.解方程： (1)=5; 解： (2)=; (1)方程两边同乘x,得 2=5x 移项，化简，得 x= 将x=代入原方程检验，得 左边=2×=5=右边 所以原方程的解是x=. 课堂练习 (2)方程两边同乘x(x-2),得 2x=x-2 移项，化简，得 x=-2 将x=-2代入原方程检验，得 左边==-=右边 所以原方程的解是x=-2. 2.解方程： 解： (3)+=1; (4)=+2. (3)方程两边同乘2x,得 4+1=2x 移项，化简，得 x= 将x=代入原方程检验，得 左边=2×+=1=右边 所以原方程的解是x=. 课堂练习 (4)方程两边同乘x-3,得 4=-1+2(x-3) 移项，化简，得 x= 将x=代入原方程检验，得 左边=4×==右边 所以原方程的解是x=. 3.x=2是下列哪个分式方程的解？ (1)=; (3)=. (2)x-=; 解： (1)将x=2代入原方程检验，左边===右边，所以x=2是原分式方程的解; (2)将x=2代入原方程检验，左边=2-=≠右边，所以x=2不是原分式方程的解; 课堂练习 (3)因为x=2使的分母的值为0，所以x=2不是原分式方程的解. 1. [2024承德期末]若关于 x 的分式方程 －6＝ 的解是 x ＝3， 则 m ＝ ⁠. －4　 分层练习-基础 2. [2024石家庄期中]嘉淇解分式方程 ＝ －1的过程如下. 解：去分母，得3＝2 x －(3 x ＋3).① 去括号，得3＝2 x －3 x ＋3.② 移项、合并同类项，得－ x ＝6.③ 化系数为1，得 x ＝－6.④ 以上步骤中，开始出错的一步是(　B　) A. ① B. ② C. ③ D. ④ B 3. [2023恩施州中考]分式方程 ＝ 的解是(　B　) A. x ＝3 B. x ＝－3 C. x ＝2 D. x ＝0 B 4. [2024石家庄裕华区期末]若关于 x 的方程 － ＝0无解，则 m 的值是 (　C　) A. －2 B. 2 C. 3 D. －3 C 5. 若 和 的值互为相反数，则 x ＝ 　 . 　 6.解分式方程： (1) ＝ ； (2) － ＝2； 解：(1)去分母，得6 x ＝ x ＋5， 解得 x ＝1， 经检验， x ＝1是原分式方程的解. (2)去分母，得 x ＋3＝2( x －1)， 去括号，得 x ＋3＝2 x －2， 移项、合并同类项，得 x ＝5， 经检验， x ＝5是原分式方程的解. 解：(3)去分母，得 x ＋2－ x ＝2 x －4， 解得 x ＝3， 经检验， x ＝3是原分式方程的解. (4)去分母，得5 x ＋2＝3 x ， 解得 x ＝－1， 经检验， x ＝－1使得原分式方程中分母为0， ∴原分式方程无解. (3) － ＝ ； (4) ＝ . 7. [2023张家口期末]已知关于 x 的分式方程 ＝2－ . (1)当 m ＝1时，求此方程的解； 解：(1)当 m ＝1时，分式方程为 ＝2－ ， 方程两边同乘 x －3，得 x ＝2( x －3)＋1， 解得 x ＝5，当 x ＝5时， x －3≠0， ∴当 m ＝1时，该分式方程的解为 x ＝5. 解：(2) ＝2－ ， 去分母，得 x ＝2( x －3)＋ m ，解得 x ＝6－ m ， ∵分式方程 ＝2－ 的解为正数， ∴6－ m ＞0且6－ m ≠3，解得 m ＜6且 m ≠3. ∴ m 的取值范围为 m ＜6且 m ≠3. (2)若分式方程 ＝2－ 的解为正数，求 m 的取值范围. 8. [2024廊坊月考]在解关于 x 的方程 ＝ －2时，嘉琪在去分母的过程中，右边的“－2”漏乘了公分母，因而求得方程的解为 x ＝2，则该方程正确的解是 x ＝(　D　) A. － B. C. － D. D 分层练习-巩固 9. 【学科素养·抽象意识】[2023沧州一模]对于 a ， b 定义 a ★ b ＝ ，已知分式方程 x ★(－1)＝ 的解满足不等式(2－ a ) x －3＞0，则 a 的取值范围为(　D　) A. a ＜1 B. a ＞1 C. a ＜3 D. a ＞3 D 10. [2024邢台月考]已知关于 x 的分式方程 － ＝1无解，求 m 的值. 甲同学的结果： m ＝0. 乙同学的结果： m ＝－8. 关于两位同学的结果，说法正确的是(　D　) D A. 甲同学的结果正确 B. 乙同学的结果正确 C. 甲、乙两位同学的结果合在一起才正确 D. 甲、乙两位同学的结果合在一起也不正确 点拨： － ＝1，去分母，得( x －2)2－ mx ＝ x2－4，解得 x ＝ . ∵关于 x 的分式方程 － ＝1无解， ∴ 无意义或 x ＝ 为增根.当 无意义时， m ＋4＝0， 解得 m ＝－4，当 x ＝ 为增根时， ＝2或 ＝－2，解得 m ＝0或 m ＝－8. 综上可知， m ＝－4或 m ＝0或 m ＝－8，因此甲、乙两 位同学的结果合在一起也不正确. 11. [2023石家庄期末]若关于 x 的分式方程 ＝ 有正整数解，则整数 m 的值是 ⁠. 点拨：去分母，得2 x ＝ mx － m ， 解得 x ＝ ＝1＋ . ∵分式方程有正整数解，且 m 为整数， ∴ m －2＝1或2，∴ m 的值是3或4.经检验， m 的值是3 或4时， x ＝ 是分式方程的解. 3或4　 12. [2024衡水期中]已知 m ＝ － . (1)若 m ＝3时关于 x 的方程无解，则 a 的值是 ⁠； (2)若 x 为整数，当 a ＝5时， m 的所有整数值的和为 ⁠. 3　 8　 13. [2023保定期末]嘉伟准备完成题目：解分式方程： ＝2－ ，发现数字 ◆印刷不清楚. (1)他把“◆”猜成5，请你解方程 ＝2－ ； 解：(1)将方程整理，得 ＝2＋ ， 去分母，得 x ＝2( x －3)＋5，解得 x ＝1， 检验：当 x＝1时， x －3≠0，∴分式方程的解为 x ＝1. 解：(2)设原题中“◆”是 a ，方程变形， 得 ＝2＋ ， 去分母，得 x ＝2( x －3)＋ a . 由分式方程无解，得 x ＝3， 把 x ＝3代入整式方程，得 a ＝3. (2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解.” 通过计算说明原题中“◆”是几. 14. 【学科素养·创新意识】解方程： ① ＝ －1的解为 x ＝ ⁠； ② ＝ －1的解为 x ＝ ⁠； ③ ＝ －1的解为 x ＝ ⁠； ④ ＝ －1的解为 x ＝ ⁠； 0　 1　 2　 3　 …. (1)根据你发现的规律直接写出第⑤，第⑥两个方程及它们的解； 解：(1)第⑤方程为 ＝ －1，解为 x ＝4. 第⑥方程为 ＝ －1，解为 x ＝5. 分层练习-拓展 14. 【学科素养·创新意识】解方程： ① ＝ －1的解为 x ＝0； ② ＝ －1的解为 x ＝1⁠； ③ ＝ －1的解为 x ＝2 ； ④ ＝ －1的解为 x ＝3⁠； …. (2)请你用一个含正整数 n 的式子表示符合上述规律的方程，并求出它的解. 解：(2)由题意，得 ＝ －1， 方程两边都乘 x ＋1，得 n ＝2 n －( x ＋1)，解得 x ＝ n －1， 经检验， x ＝ n －1是该方程的解. 课堂小结 分式 方程 定义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程 注意 (1)去分母时，原方程的整式部分漏乘 步骤 （去分母） 一化（分式方程转化为整式方程）； 二解（解整式方程）； 三检验（代入最简公分母看是否为零） (2)约去分母后，分子是多项式时,没有添括号(因分数线有括号的作用） (3)忘记检验 $$