8.8双曲线第二课时专项训练模拟练习-2025届高三数学一轮专题复习

2025高考数学一轮复习-8.8-双曲线-第二课时-专项训练模拟练习 【A级　基础巩固】 一、单选题 1．已知双曲线C：－＝1的一条渐近线方程是y＝x，F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，过点F2且垂直于x轴的垂线在x轴上方交双曲线C于点M，则tan∠MF1F2＝( ) A. B． C． D． 2．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为M，直线MF与另一渐近线交于点N，若M是FN的中点，则双曲线的离心率为( ) A. B．2 C． D．3 3．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，F1、F2分别为左、右焦点，点P在双曲线上，PF1⊥PF2，P到左焦点F1的距离是P到右焦点F2的距离的3倍，则双曲线的离心率是( ) A. B． C．2 D． 4．已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，过点F作x轴的垂线与双曲线及它的渐近线在第一象限内依次交于点A和点B.若|AB|＝|AF|，则双曲线C的渐近线方程为( ) A.x±y＝0 B．x±y＝0 C.x±y＝0 D．x±y＝0 5．设O为坐标原点，F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，已知双曲线C的离心率为，过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，则＝( ) A. B．2 C． D． 6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，以F为圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线的两个交点为A，B.若∠AFB＝60°，则该双曲线的离心率为( ) A. B． C． D． 7．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，以F2为圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于A，B两点，若|AB|>，则双曲线的离心率的取值范围是( ) A. B． C．(1，) D． 8．设直线y＝kx与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)相交于A，B两点，P为C上不同于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，若C的离心率为，则k1·k2＝( ) A．3 B．1 C．2 D． 二、多选题 9．已知双曲线C：－＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2，点P是C上一点，则( ) A．C的离心率为 B．若PF1⊥x轴，则|PF1|＝8 C．若|PF1|＝2|PF2|，则|PO|＝(其中O为坐标原点) D．点P到C的两条渐近线的距离之积为 10．已知双曲线C：－＝1，过其右焦点F的直线l与双曲线交于A，B两个不同的点，则下列结论正确的为( ) A．|AB|的最小值为 B．以F为焦点的抛物线的标准方程为y2＝20x C．满足|AB|＝2的直线有3条 D．若A，B同在双曲线的右支上，则直线l的斜率k∈∪ 三、填空题 11．已知双曲线－＝1的焦距为10，点P(2,1)在其渐近线上，则双曲线方程为 　 　 　. 12．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F1(－c,0)，坐标原点为O，若在双曲线右支上存在一点P满足|PF1|＝c，且|PO|＝c，则双曲线C的离心率为 　 　 　　. 13．记双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值 　 　 　. 四、解答题 14．已知过点P(2,0)的直线l1与双曲线C：－y2＝1的左右两支分别交于A、B两点．求直线l1的斜率k的取值范围． 15．双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)经过点(，1)，且渐近线方程为y＝±x. (1)求a，b的值； (2)点A，B，D是双曲线C上不同的三点，且B，D两点关于y轴对称，△ABD的外接圆经过原点O.求证：直线AB与圆x2＋y2＝1相切． 【B级　能力提升】 1．过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F(c,0)作其渐近线的垂线，垂足为点T，交双曲线C的左支于点P，若＝2，则双曲线C的离心率为( ) A. B． C．3 D．5 2．(多选题)已知双曲线C：x2－＝1，F1，F2为双曲线的左、右焦点，若直线l过点F2，且与双曲线的右支交于M，N两点，下列说法正确的是( ) A．双曲线C的离心率为 B．若l的斜率为2，则MN的中点为(8,12) C．若∠F1MF2＝，则△MF1F2的面积为3 D．使△MNF1为等腰三角形的直线l有3条 3.如图，已知双曲线M：－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，正六边形ABF2CDF1的一边AF1的中点恰好在双曲线M上，则双曲线M的离心率是 　 　 　　. 5．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为2，且焦点到渐近线的距离为1. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别交于P，Q两点，O为坐标原点，证明：△OPQ的面积为定值． 参考答案 【A级　基础巩固】 一、单选题 1．( D )[解析]　因为该双曲线的一条渐近线方程是y＝x，则＝，结合c2＝a2＋b2，可得＝.又M，所以tan∠MF1F2＝＝··＝××＝. 2．( B )[解析]　如图所示，由题意可知，∠AOF＝∠COF1，又因为若M是FN的中点，OM⊥FN，所以∠AOF＝∠AOC，所以3∠AOF＝π，∠AOF＝，根据双曲线的性质，双曲线的渐近线方程为：y＝±x，OF＝c，tan∠AOF＝，所以＝，所以e＝＝＝2.故选B. 3．( B )[解析]　设双曲线C的半焦距为c>0，由题意可知：|PF1|＝3|PF2|，则|PF1|－|PF2|＝2|PF2|＝2a，可得|PF1|＝3|PF2|＝3a，因为PF1⊥PF2，则|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即9a2＋a2＝4c2，整理得＝，所以双曲线的离心率是e＝＝＝.故选B. 4．( B )[解析]　由题意得F(c,0)，双曲线C的渐近线方程为y＝±x.设点A，B的纵坐标依次为y1，y2，因为－＝1，所以y1＝，所以|AF|＝.因为y2＝，所以|BF|＝.因为|AB|＝|AF|，所以＝，得c＝2b，所以a＝＝b，故＝，双曲线C的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，故选B. 5．( A )[解析]　不妨设a＝1，c＝，b＝，则|PF2|＝b＝，|OP|＝a＝1，cos∠POF2＝，cos∠POF1＝－.由余弦定理可得，|PF1|2＝|OF1|2＋|OP|2－2|OF1|·|OP|·cos∠F1OP＝3＋1－2××1×＝6，所以|PF1|＝，所以＝.故选A. 6．( C )[解析]　由题意知F(c,0)到直线bx－ay＝0的距离为，所以＝，因为a2＋b2＝c2，所以b＝，c2＝a2，e＝＝.故选C. 7．( D )[解析]　焦点F2(c,0)到渐近线y＝±x的距离为d＝＝b，所以|AB|＝2，因为|AB|>，即2>，∴9(a2－b2)>c2.解得e2<.即e<.∵e>1，∴1<e<.故选D. 8．( B )[解析]　解法一：点A，B关于原点对称，设A(x0，y0)，B(－x0，－y0)，P(x，y)，由点差法－＝1①，－＝1②，①减②得＝，则＝，即k1·k2＝e2－1，又由e＝，则k1·k2＝1，故选B. 解法二：由题意可取C：x2－y2＝1，不妨取k＝0，P(2，)，则A(－1,0)，B(1,0)，k1k2＝×＝1.故选B. 二、多选题 9．( ACD )[解析]　因为|F1F2|＝2，所以a2＋a2＋3＝5，解得a2＝1，故双曲线C：x2－＝1.双曲线C的离心率e＝，故A正确；由题可得F1(－，0)，又PF1⊥x轴，所以xP＝－，则5－＝1，解得yP＝±4，所以|PF1|＝4，故B错误；因为|PF1|＝2|PF2|，且|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＝4，|PF2|＝2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以PF1⊥PF2，所以|PO|＝|F1F2|＝，故C正确；设P(x0，y0)，则x－＝1，因为双曲线C的渐近线方程为x－＝0或x＋＝0，所以点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为·＝＝，故D正确．故选ACD. 10．( BD )[解析]　当直线l的斜率为0时，于A，B两点分别为双曲线的顶点，则|AB|＝2a＝6，又6<，故选项A不正确；F(5,0)，则以F为焦点的抛物线的标准方程为y2＝20x，故选项B正确；当A，B两点同在双曲线的右支时(通径为最短弦)，则|AB|≥＝>2，此时无满足条件的直线．当A，B两点分别在双曲线一支上时(实轴为最短弦)，则|AB|≥2a＝6>2，此时无满足条件的直线．故选项C不正确；过右焦点F分别作两渐近线的平行线l1，l2，如图，将l1绕焦点F沿逆时针方向旋转到与l2重合的过程中，直线与双曲线的右支有两个焦点．此时直线l的斜率k>或k<－，故选项D正确．故选BD. 三、填空题 11．[解析]　由题意知c＝5，＝，又c2＝a2＋b2，解得a2＝20，b2＝5，故双曲线方程为－＝1. 12．[解析]　如图，因为|PO|＝c＝|F1O|＝|F2O|，∴∠F1PF2＝，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴3c2＋(c－2a)2＝4c2,2c2－4ac＋4a2＝0，e2－2e＋2＝0，解得e＝＋1. 13．[解析]　双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为e，e＝，双曲线的渐近线方程为y＝±x，直线y＝2x与C无公共点，可得≤2，即≤4，即≤4，可得1<e≤，满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值可以为2，故答案为：2(e∈(1，]内的任意一个值都满足题意)． 四、解答题 14．[解析]　(1)当k＝0时，显然符合题意， 当k≠0时，设直线l1的方程为x＝ty＋2，其中t＝，设A(x1，y1)、B(x2，y2)， 与双曲线方程联立可得(t2－2)y2＋4ty＋2＝0， 因为直线l1与双曲线交于不同的两支，所以又 所以>0，解得t2>2，即>2，所以k2<且k≠0，解得－<k<0或0<k<， 综上可得－<k<. 15．[解析]　(1)由题意得 解得a＝b＝. (2)证明：由(1)得双曲线C的方程为x2－y2＝2. 易知直线AB一定不为水平直线且不与渐近线y＝±x平行， 所以可设直线AB的方程为x＝my＋n(m≠±1)， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1≠y2，D(－x2，y2)． 联立 整理得(m2－1)y2＋2mny＋n2－2＝0， Δ＝4(n2＋2m2－2)＞0，则y1y2＝. 由于△ABD的外接圆过原点，且B，D两点关于y轴对称， 所以可设△ABD外接圆的方程为x2＋y2＋Ey＝0. 则 所以y2(x＋y)＝y1(x＋y)， 因为x＝2＋y，x＝2＋y， 所以y2(2y＋2)＝y1(2y＋2)， 所以y1y2＝1， 所以y1y2＝＝1，所以n2＝m2＋1， 则原点到直线AB的距离d＝＝1， 所以直线AB与圆x2＋y2＝1相切． 【B级　能力提升】 1．( B )[解析]　如图所示，因为F(c,0)到其一条渐近线：y＝x的距离：|FT|＝＝b，因为＝2，所以点T为PF中点，且||＝2||＝2b，|OT|＝＝＝a，又原点O为FF1的中点，所以|PF1|＝2|OT|＝2a，由双曲线的定义得：|PF|－|PF1|＝2b－2a＝2a，化简得：b＝2a，因为双曲线的离心率：e＝＝＝，所以得：e＝，故B项正确．故选B. 2．( BCD )[解析]　由双曲线方程得a＝1，b＝，故c＝2，则离心率e＝2，故A错误； 由方程知F1(－2,0)，F2(2,0)，则直线l的方程为y＝2(x－2)， 联立双曲线方程化简得x2－16x＋19＝0， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x1＋x2＝16，故＝8，而y1＋y2＝2x1－4＋2x2－4＝2(x1＋x2)－8＝24， 则＝12，故MN的中点为(8,12)，故B正确， 若∠F1MF2＝，根据双曲线定义得|MF1|－|MF2|＝2，由余弦定理可得 cos∠F1MF2＝， 即＝， 可得|MF1|·|MF2|＝12，所以△MF1F2的面积为|MF1|·|MF2|·sin ＝×12×＝3，故C正确；当直线MN⊥x轴时，可得|MF1|＝|NF1|，△MNF1为等腰三角形； 根据双曲线定义得|MF1|－|MF2|＝2，|NF1|－|NF2|＝2，两式相加得|MF1|＋|NF1|＝4＋|MF2|＋|NF2|＝4＋|MN|，不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)(x1>0，y1>0，x2>0，y2<0)，若|MF1|＝|MN|，则|NF1|＝4， 所以解得可得N，此时△MNF1为等腰三角形；由对称性易知M时△MNF1也为等腰三角形，综上使△MNF1为等腰三角形的直线l有3条，故D正确． 3.[解析]　设AF1的中点为P，连接OP，PF2，易得PO⊥AF1，∠PF1O＝60°， 所以|OF1|＝c，|PF1|＝c，在△PF1F2中，由余弦定理得 |PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos∠PF1F2＝c2＋4c2－c2＝c2， 所以|PF2|＝c，所以2a＝|PF2|－|PF1|＝c－c， 所以双曲线M的离心率 e＝＝＝. 4．[解析]　设椭圆的长半轴长为a1，短半轴长为b1，半焦距为c，则c＝＝＝2， 故椭圆的离心率e1＝＝， 从而双曲线的离心率e＝＝＝2，可得a＝1， 根据双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝2a，即|PF1|＝|PF2|＋2， 故＝＝ ＝|PF2|＋＋4，由双曲线的范围可得|PF2|≥c－a＝1， 根据基本不等式可得 |PF2|＋＋4≥2＋4＝8， 当且仅当|PF2|＝， 即|PF2|＝2时取“＝”，所以的最小值为8. 5．[解析]　(1)依题意得2c＝2，c＝，一条渐近线为y＝x，即bx－ay＝0，右焦点为(，0)， 所以＝1，即＝1，b＝，所以b＝1， 所以a2＝c2－b2＝6－1＝5， 所以双曲线C的标准方程为－y2＝1. (2)证明：当直线l的斜率不存在时，若动直线l与双曲线C恰有1个公共点，则直线l经过双曲线的顶点，不妨设l：x＝，又渐近线方程为y＝±x， 将x＝代入y＝x，得y＝1，将x＝代入y＝－x，得y＝－1， 则|PQ|＝2，S△OPQ＝××2＝. 当直线l的斜率存在， 设直线l：y＝kx＋t，且k≠±， 联立消去y并整理得(1－5k2)x2－10ktx－5t2－5＝0， 因为动直线l与双曲线C恰有1个公共点， 所以 得5k2＝t2＋1， 设动直线l与y＝x的交点为P， 与y＝－x的交点为Q， 联立得xP＝－，同理得xQ＝－， 则|PQ|＝|xP－xQ|＝＝ 因为原点O到直线l的距离d＝， 所以S△OPQ＝|PQ|d＝··＝， 又因为5k2＝t2＋1，所以＝＝， 即S△OPQ＝， 故△OPQ的面积为定值，且定值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$