天津市滨海新区塘沽第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

塘沽一中2024——2025学年度第一学期 高二年级期中考试数学学科试题 本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) 两部分，共150分，考试时间100分钟，试卷共4页。卷I答案用2B铅笔填涂在答题纸上对应区域，卷II答案用黑色字迹的笔答在答题纸规定区域内。 第I卷(共60分) 一、选择题(本卷共12小题，每题5分，共60分，每题只有一项符合题目要求) 1. 已知直线 过点，则直线 的倾斜角为( ) 2. 已知圆 和 则两圆的位置关系是 ( ) A. 外离 B. 外切 C. 内含 D. 内切 3. 抛物线 的准线方程是，则的值是( ) A. 4. 若直线平行, 则实数的取值为( ) 5. 设, 向量 且 则 （ ） 6. 若双曲线 的实轴长是虚轴长的两倍，则( ) 7. 已知线段的坐标是，端点A在圆 上运动，则线段AB的中点P的轨迹方程为( ) 高二数学 第 1 页 共 4 页 8. 如图, 空间四边形中, 点M在线段上, 且, 点中点, 则 ( ) 9 已知抛物线 的焦点与双曲线 的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为( ). 10. 下列四个命题，其中真命题是 ( ) A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若直线a的方向向量为 ，平面的法向量为 则 C. 若 则点B到直线AC的距离为2 D.向量 则向量b在向量a上的投影向量的坐标是 11. 双曲线 的左焦点为双曲线右支上的动点 且周长的最小值为14，则双曲线的离心率为( ) 12. 法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆. 的蒙日圆为 过C上的动点的两条切线，分别与两点，直线交Γ于两点，则下列说法中，正确的个数为( ) ①椭圆Γ的离心率为 ②M 到Γ的左焦点的距离的最小值为 高二数学 第 2 页 共 4 页 ③面积的最大值为 ④若动点D在Γ上, 将直线的斜率分别记为, 则 第II卷(共90分) 二、填空题(本题共8小题，每题5分，共40分) 13. 已知圆C过点且圆心在轴负半轴上, 则圆的标准方程为 . 14.焦点在轴上，右焦点到短轴端点距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是 . 15.已知抛物线C: 上的点P到焦点的距离为3，则点轴的距离为 . 16.在四面体中，空间的一点 满足 若四点共面, 则= . 17.平行六面体. 的底面是边长为2的正方形，且的交点, 则线段 的长为 . 18. 已知圆与圆 相交于点. ①若, 则公共弦所在直线方程为 ；②若弦长 则 . 19. 已知抛物线 的焦点为，准线为，过F 的直线交抛物线C于A，B两点， 交l于点M, 其中A在第一象限, 且, 则直线AB 的斜率为 ;若 的面积为 则 . 20. 已知双曲线C: 的左、右焦点分别为 O为坐标原点，过F₂作渐近线 的垂线，垂足为P，若 则双曲线C的离心率为 ，过双曲线C上任一点Q作两渐近线的平行线它们和两条渐近线围成的平行四边形的面积为 则双曲线C的方程为 . 高二数学 第 3 页 共 4 页 三、解答题(本题共4小题，共50分) 21. 已知圆 直线 过点. (1)求圆C的圆心坐标及半径长； (2)若直线 与圆C相切，求直线 的方程； (3)当直线的斜率存在且与圆C相切于点B时，求. 22. 设椭圆 的离心率 过点 (1)求椭圆的方程； (2) 直线与椭圆交于两点 ①当时, 求; ②当时, 求值.(O为坐标原点). 23. 如图,在四棱锥为直角梯形, 的中点. (I) 求证: ; (Ⅱ) 求平面的夹角的正弦值； (Ⅲ) 记的中点为 , 若N在线段上, 且直线与平面所成的角的正弦值为 求线段的长. 24. 椭圆 的左焦点为F，下顶点为，上顶点为是等边三角形. (1) 求椭圆的离心率； (2)设直线,过点A且斜率为的直线与椭圆交于点异于点,线段的垂直平分线与直线交于点P，与直线AC交于点Q，若 ②已知点 点在椭圆上，若四边形为平行四边形，求椭圆的方程. 高二数学 第 4 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$塘沽一中2024一2025学年度第一学期高二年级期中考试 数学答案 一、选择题BBDBC CBDCC AD 二、填空题 13.(x+3)2+y2=10 14 一+ =1 43 15.25 16日 17.√ 18.√5x-y-1=0:-4或0 19.2√5 2 20.√5 xy2 36 21.已知圆C:x2+y2-6x-8y+21=0,直线1过点A1,0). (I)求圆C的圆心坐标及半径长： (2)若直线/与圆C相切，求直线1的方程： (3)当直线I的斜率存在且与圆C相切于点B时，求|AB 解：（1)圆C方程可化为：(x-3)2+(y-4)2=4,圆心坐标为(3,4)，半径长为2. (2)①当直线/的斜率不存在时，方程为x=1,圆心(3,4)到直线1距离为2，满足题意. ②当直线/的斜率存在时，设直线/的方程是y=k(x-),即c-y-k=O 由圆心B利到直线1的距离等于半径得，B头4=2，解得长=} √k2+1 此时直线/的方程为3x-4y-3=0 第1/6页 综上，直线1的方程为x=1或3x-4y-3=0. (3) A 圆C的圆心坐标为(3,4)，1,0)， ACFV(3-I)2+(4-0)2=25 如图，由相切得，AB⊥BC,BC=2, ABAC2-BC2=20-4=4. 双.设横圆C苦+岁-=a>b0的病心率 ，过点引 (1)求椭圆C的方程： (2)直线y=x+m与椭圆交于M,N两点 ①当m=1时，求|MN: ②当OM⊥ON时，求m值.(O为坐标原点). a 2 a=2 解：(1)由题意可知 a2=b2+c2 c=1 椭圆C的方程为父+上 43=1. (2)设M(x,),N(32,), 第2/6页 联立方程子+了引，消去y得7以+8x-8=0, y=x+1 8 8 六+=-7，=一7， 因M-FG+广-6=x鄂-4引- (3)设M(x,),N(32,2), (xy 联立方程子+了=1，消去y得72+8x+4m-12=0, y=x+m -%,名=业，4=64m-4x7mr-12>0,得<7 所以+x=-8m, 7 由OM⊥ON→OM.ON=0,即 0M.0N=xx2+y=xx+(:+m(2+m)=2x3+m(+x)+m2 2xm,2+m}-724-0, 7 7 m2=24 2→m=土 2W42 均符合m2<7, 7 故m=t 7 23.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADIIBC,AD⊥DC, PA=PD=PB=25,BC=DC=D=2,E为AD的中点， B 第3/6页 (I)求证：PE⊥平面ABCD: (II)求二面角A-PB-C的正弦值： (II)记BC的中点为M,若N在线段PE上，且直线MN与平面PAB所成的角的正弦值 为6 求线段EN的长 18 解(D连接8E,则BC-1D=DE,树为AD1/,所以网边形BCDE为平行四边形： 所以BE=CD=2,因为PA=AD=2V5.AD=4.HE为AD的中点，所以PE LAD,所以 PE=√PD2-DE=√20-4=4，所以Pb+BE=PB,即PE⊥BE,又因为 ADI BE=E,所以PE⊥平面ABCD: (I)以E为原点，EA为x轴，EB为y轴，EP为：轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2,0,0),B(0,2,0),C(-22,0),P(0,0,4), 所以AB=(-2,2,0),PB=(0,2,4),BC=(-2,0,0). m·AB=0 设平面PAB的法向量为m=(x片，高)，则 -2x+2y=0 m.P丽=0 24-4=0，取 即 m=(2,2,1),设平面PBC的法向量为n=(x,2,),则 i.BC=0m∫-2x2=0 iP历=0即g4与=0 取n=(0,2,1), 第4/6页 m.n 2×0+2×2+1×1 5 .5 所以cos(m,n）= 2+2+P×0+2+下35了， 所以二面角A-PB-C的正弦值为 (I)设EN=1∈(0,4)，则N0,0.),而M(-1,2,0),所以NM=(-l2,),由() 知平面PAB的法向量为m=(2,2),设直线与平面PAB所成的角为0，则 sino-bos(x.- -1×2+2×2+(-)×1 +2+-x2+22+示 18 化简得52-241+19=0，解得：1=1或1=1 ，故线段W的长度为1或号 24设销手茶 +存=1(a>b>0)的左焦点为F,下顶点为A,上顶点为B,VFAB是等边 三角形 (1)求椭圆的离心率： (2)设直线I:x=-a,过点A且斜率为k(k>O)的直线与椭圆交于点C(C异于点A), 线段4C的垂直平分线与直线1交于点P,与直线4C交于点Q,若P@=l4C ()求k的值： (i)已知点M 点N在椭圆上，若四边形AMCN为平行四边形，求椭圆的方程. 解，)由题意可知，5，即6=5。 3 又因为a2=b+c2,ad2= 4 2 所以e=￡=因 a 2 (2)(i0d2=b2+c2=b2+36=4b2 设销圆方程为云+卡=1，直线为y三女+6， 联立 折+左=l斜(6+r-8k=0. y=kx-b 第5/6页 解得：=0毛一，则%=0白 8kb 4k2+1 (4kb -b 因为0为AC中点，4+4状+ ,IAC卡+kR8 4k2 因为所在的直线方程为y+=(-） b 4kb 令x=2解得P(+) pa-引0wa,a品 因为PQ=44C,所以3k2-2k-1=0,解得k=1或k=-写（舍） 所以k=1. 间图为=1，所以c(尝碧》0-M(引 设N(x,),Q四边形AMCN为平行四边形， 所以M=丽，（售6+）-（曾） 又因为点N(x0,%)在椭圆上，所以x后+4=462 解得公=4，b=2,该椭圆方程为：士+上=1. 164 第6/6页