云南省开远市第一中学校2024-2025学年高二上学期期中检测数学试题

开远市第一中学校2024年秋季学期高二年级11月期中考试 数 学 2024.11 考生注意： 1.本试满分150分，考试时间120分钟。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效。 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知（i为虚数单位），那么复数z的虚部是（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则A∩(CRB)=（     ） A． B． C． D． 3．已知向量满足，且，则在上的投影向量的坐标为（     ） A． B． C． D． 4．已知为坐标原点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 5．空间中有两个不同的平面、和两条不同的直线m、n，则下列说法中正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 6．定义在R上的奇函数满足：任意，都有，设， ，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．在正三棱台中，，，侧棱与底面所成角的余弦值为．则此棱台的表面积是（     ） A． B． C． D． 8．设双曲线的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线与交于两点，，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 2、 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数列，记的前项和为，下列说法正确的是（     ） A． B．是等差数列 C． D． 10．已知函数，，则下列结论正确的是（     ） A．与的图象有相同的对称轴 B．与的值域相同 C．与有相同的零点 D．与的最小正周期相同 11．已知抛物线：的焦点为，直线与交于两点，设，，的中点为，则下列说法中正确的有（    ） A．若直线过焦点，则 B．若直线过焦点，则的最小值为 C．若直线的斜率存在，则其斜率与无关，与有关 D．若为坐标原点，直线的方程为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知命题，成立，若为真命题，则实数的取值范围是 . 13．若数列是等比数列，且是与的等差中项，则 . 14．已知角，，，，则 . 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）在△ABC中，内角所对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若，△ABC的面积为，求△ABC的周长. 16.（15分）蒙自石榴，红河哈尼族彝族自治州蒙自市特产.蒙自石榴营养丰富，含有人体所需的多种维生素和氨基酸，可食部分百分率较高，可溶性固性物含量较高，籽粒“透明晶亮若珍珠，果味浓甜如蜂蜜”，品质佳良.每年9—10月份正是石榴成熟之季，蒙自石榴通过电商销往全国各地.一电商老板收果时要求石榴重量(单位：克)如下：克以下的为次果，克为小果，克为中果，克为大果，克及以上为特大果.为了了解果农家石榴情况，在果园里随机摘取了个石榴称重量（单位：克）并统计分析，绘制成如图所示的频率分布直方图（各区间分别为，，，，）. (1)根据频率分布直方图，求图中的值和估计这个石榴的平均重量及第百分位数(每组数据用所在区间的中点值作代表) (2)此电商老板来收购果农家石榴，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，用样本估计总体，该石榴果园中有石榴大约万个，在今年的石榴行情下，电商老板提出以下两种收购方案： 方案①：所有石榴以元/千克收购； 方案②：对重量低于克的石榴以元/个收购，对重量高于或等于克的石榴以元/个收购． 请通过计算确定果农选择哪种方案获利更多？ 17．（15分）如图，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，平面，为上一点，且，连接、、. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 18.（17分）已知数列是以为首项的常数列，为数列的前n项和． (1)求； (2)设正整数，其中．例如：，则，；，则，．若，求数列的前n项和． 19.（17分）已知椭圆 的左、右焦点分别为 为椭圆的一个顶点，且右焦点 F₂到双曲线渐近线的距离为 (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线与椭圆C交于 A、B两点. ①若直线过椭圆右焦点F₂，且△AF₁B的面积为 求实数k的值； ②若直线过定点P(0,2)， 且k>0， 在x轴上是否存在点T(t,0)使得以TA、TB为邻边的平行四边形为菱形? 若存在，则求出实数t的取值范围； 若不存在，请说明理由. 【高二年级11月期中考试 数学卷 第1页（共2页）】 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学11月期中考试参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B A D C C A D BD AD BCD 12. 13. 14. 1．【详解】由可得， 所以,的故虚部为. 故选：A 2．【详解】令，解得，即， 可得CRB={x|x<2}，所以A∩(CRB)=(－2 , 2). 故选：B. 3．【详解】已知，所以，可得， 所以在上的投影向量的坐标为. 故选：A. 4．【详解】设，，则，，即，①. 因为点A在圆上运动，所以满足②. 把①代入②，得，即. 故线段OA的中点P的轨迹方程为. 故选：D 5．【详解】对于选项A：若，，，则可能异面，故A错误； 对于选项B：若，，则与不一定垂直， 且，所以与不一定垂直，故B错误； 对于选项C：若，，可知， 且，所以，故C正确； 对于选项D：若，，，则可能有，故D错误. 故选：C. 6．【详解】因为是在R上的奇函数，且任意，都有， 所以在R上单调递增，又因为， 所以， 又因为，， 所以，所以 即. 故选：C. 7．【详解】在正三棱台中，令BC和的中点分别为，上、下底面的中心分别为， 则，由侧棱与底面所成角的余弦值为， 得，则， 而，则， ，，， 正三棱台三个侧面都是面积相等的等腰梯形，于是侧面积为， 所以此棱台的表面积是. 故选：A 8．【详解】 由双曲线的对称性可知，，有四边形为平行四边形， 令，则， 由双曲线定义可知，故有，即， 即，， ， 则，即，故， 则有， 即，即，则，由，故. 故选：D. 9． 10．【详解】画出函数的图象如下图所示：    易知的对称轴为，值域为，零点为，最小正周期为； 易知，其图象如下图所示：    易知的对称轴为，即，值域为，零点为，最小正周期为； 因此可得与的图象有相同的对称轴，它们的最小正周期相同. 故选：AD 11．【详解】由题意可知：，且，直线的斜率可以不存在，但不为. 对于A，因为，故A错误； 对于选项B：若直线过焦点，设直线， 联立方程，消去可得， 则，可得， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，故B正确； 对于选项C：因为，在抛物线C上， 则，两式作差可得， 若直线的斜率存在，则， 所以直线的斜率与无关，与有关，故C正确； 对于选项D：联立方程，消去可得， 可得，且， 由选项C可知：，且，可得， 则，所以，故D正确； 故选：BCD. 12.【详解】:，为真命题， 所以. 13．【详解】设等比数列的公比为，因为是与的等差中项， 所以，所以，解得， 所以 14．【详解】因为角，，所以， 又因为，所以， 则，与联立， 解得，， 故. 15．【详解】（1）由正弦定理得，所以 所以，整理得， 因为，所以，因此，所以， 所以. （2）由△ABC的面积为，得，解得， 又,则，. 由余弦定理得，解得，， 所以△ABC的周长为. 16．【详解】（1）由题表知，解得； 平均重量： 由频率分布直方图可知： 前组的频率之和为， 前组的频率之和为， 则第百分位数一定位于内，设第百分位数为， 则，解得； （2）方案①收入：（元）， 方案②收入：低于克的石榴收入为（元）， 不低于克的石榴收入为（元）， 故方案②的收入（元）； 由于，所以选择方案②获利多． 17．【详解】（1）因为平面，又平面， 所以.又，且， 所以平面.因为，所以平面. （2）作，垂足为.则.又， 所以四边形是平行四边形，又， 所以四边形是矩形，又四边形为等腰梯形，且，，所以. 由（1）知平面，所以.又， 所以.在中，. 在中，. 由上可知，以，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系.     则，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为， 由，得，可取.   设平面的法向量为， 由，得，可取.     因此，. 依题意可知，平面与平面的夹角的余弦值为. 18．【详解】（1）由题意可得：，则， 可得，可知数列是以首项，公比的等比数列， 所以. （2）因为 则 由题意， 所以， 可得， （i）先求数列的前n项和，记之为， 则① ② ①②得：， 所以； （ⅱ）再求的前n项和，记之为，则； 综上所述：. 19．【详解】（1）由双曲线. 的渐近线方程为， 再由椭圆的右焦点分别为到渐近线的距离为可得： ，因为，所以解得， 再由椭圆的一个顶点为，可得， 所以由，即椭圆C的标准方程为； （2）①直线过椭圆右焦点F₂可得：，即， 所以由直线与椭圆C的标准方程联立方程组，消去得： ， 设两交点，则有 所以， 又椭圆左焦点到直线的距离为， 所以， 解得：或（舍去），即； ②假设存在点使得以为邻边的平行四边形为菱形， 由于直线过定点， 且，可知直线方程为， 与椭圆联立方程组，消去得：， 由，且，解得，    设两交点，中点，则有 所以， 即，整理得， 又因为，所以，则. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$