精品解析：湖南省邵阳市武冈市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

2024年下学期期中考试试卷 高一数学 注意事项： 1.本试卷考试时量120分钟，满分150分； 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 3.请将答案填写在答题卡上，写在本试卷上无效，请勿折叠答题卡，答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则集合可用列举法表示为（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数是定义在R上的奇函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数分别由下表给出： 1 2 3 1 2 3 1 3 1 3 2 1 则满足的的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 1和2 6. 已知函数（，且）的图象恒过定点，若点在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若对于任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 若函数是幂函数，则一定（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 在上单调递减 D. 在上单调递增 10. 已知a、b都是正实数，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的图象由如图所示的两条线段组成，则 A. B. C. ， D. ，不等式的解集为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，，若，则______. 13. 已知函数是定义在区间上的奇函数，则___________． 14. 定义区间，，，的长度为，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如：的长度为，设，，其中表示不超过x的最大整数，，若用d表示不等式的解集的区间长度，则当时， __________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 若集合． （1）若，全集，试求． （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知：关于的方程有实数根，：． （1）若命题是真命题，求实数的取值范围； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 17. 心理学家通过研究学生的学习行为发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲授开始时，学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用表示学生掌握和接受概念的能力（的值越大，表示学生的接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：min），可有以下关系式：. （1）讲课开始后的5min时刻和讲课开始后的20min时刻比较，何时学生的注意力更集中？ （2）某一道数学题目，需要讲解13min，并且要求学生的注意力至少达到55，那么老师能否在学生达到所需状态下一次性连续讲授完这道题目？请说明理由. 18. （1）已知，且满足.求的最小值； （2）当时，不等式恒成立，求实数的最大值； （3）已知，求的最大值. 19. 已知是定义在[－2,2]上的函数，若满足且. （1）求的解析式； （2）判断函数在[－2,2]上的单调性，并求使成立的实数t的取值范围； （3）设函数，若对任意，都有恒成立，求m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下学期期中考试试卷 高一数学 注意事项： 1.本试卷考试时量120分钟，满分150分； 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 3.请将答案填写在答题卡上，写在本试卷上无效，请勿折叠答题卡，答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用特称命题的否定规则即可得到所给命题的否定形式. 【详解】命题“”的否定是 故选：B 2. 若，则集合可用列举法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用列举法表示集合，可得结果. 【详解】因为，则. 故选：D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解方程可求得的解，根据充分必要条件定义可得结论. 【详解】将代入成立，即“”是“”的充分条件； 由得：或，所以“”不是“”的必要条件， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 已知函数是定义在R上的奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由得，利用给定解析式求出，再由函数奇偶性，即可得出结果. 【详解】因为， 当时，，所以， 又函数是定义在R上的奇函数， 所以，因此. 故选：D. 5. 已知函数分别由下表给出： 1 2 3 1 2 3 1 3 1 3 2 1 则满足的的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 1和2 【答案】B 【解析】 【分析】由题意按照、、分类讨论，先求出内函数的函数值，再求出外函数的函数值，逐个判断即可得解. 【详解】当时，，，不合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，不合题意； 综上，满足的的值为2. 故选：B. 【点睛】本题考查了函数的表示法：列表法的应用，考查了运算求解能力，要注意先求出内函数的函数值后再求外函数的函数值，属于基础题. 6. 已知函数（，且）的图象恒过定点，若点在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由指数函数性质求得定点坐标，由定点求得幂函数解析式，确定图象． 【详解】由得，，即定点为， 设，则，，所以，图象为B． 故选：B． 7. 已知函数，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出函数图象，数形结合即可得出结论. 【详解】由题知在同一坐标系下画出，图象如下所示： 由图可知的解集为. 故选：A. 8. 已知函数，若对于任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定是增函数，奇函数，利用这两个性质变形不等式，再由分离参数法化为，然后利用勾形函数的单调性求得右边的最大值即得． 【详解】是上的增函数，又，即是奇函数， 所以不等式可化为， 所以，又，所以， 由勾形函数的性质知在上是增函数，所以时，， 所以， 故选：D． 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 若函数是幂函数，则一定（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 在上单调递减 D. 在上单调递增 【答案】BD 【解析】 【分析】 根据函数是幂函数，由求得m，再逐项判断. 【详解】因为函数是幂函数， 所以， 解得或， 所以或， 由幂函数性质知是奇函数且单调递增， 故选：BD. 10. 已知a、b都是正实数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式判断ABD，用作差法判断C． 【详解】因为， 所以，当且仅当，即时取等号，A正确； ，当且仅当时取等号，B错； ，当且仅当时等号成立，所以，C正确； ，又，因此，从而，当且仅当时取等号，D正确． 故选：ACD． 11. 已知函数的图象由如图所示的两条线段组成，则 A. B. C. ， D. ，不等式的解集为 【答案】AC 【解析】 【分析】由，可判断A；由，可判断B；由图可得时，；时，，可判断C；由，结合图象可判断D. 【详解】A. 因为，，所以，正确； B. ，，所以，错误； C. 由图得，当时，设解析式为，图象经过，所以，解得，所以； 时，设解析式为，图象经过，所以，解得，所以解析式为；即，，正确； D. 由C得 ，，如图： 所以不存在大于零的，使得不等式的解集为，故D错误. 故选：AC. 【点睛】本题考查数形结合法求函数的解析式、求函数值、求参数，关键是由图象判断出函数的类型并求出解析式，本题考查分析问题、解决问题能力，运算求解能力. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据交集结果得到，或，检验后得到答案. 【详解】因为，所以，或， 当时，，与集合元素的互异性矛盾，舍去； 当时，，与集合元素的互异性矛盾，舍去； 当时，，满足集合元素互异性，满足要求. 故答案为：. 13. 已知函数是定义在区间上的奇函数，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：奇函数定义域关于原点对称，所以解得，或．当时，,定义域为[-6，6]，显然x=0时函数无意义，故舍去．当时，， 定义域为[-2，2]，显然符合题意． 考点：函数的奇偶性． 【方法点睛】定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．判断奇偶性前，先看定义域是否关于原点对称，如果不对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数；如果关于原点对称则进一步判断．因此本题首先得到，从而求出m的值，然后通过函数的单调性对m的值进行取舍． 14. 定义区间，，，的长度为，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如：的长度为，设，，其中表示不超过x的最大整数，，若用d表示不等式的解集的区间长度，则当时， __________. 【答案】2024 【解析】 【分析】先化简，再分即和即两种情况化简，并分段、、、、讨论求解不等式的解集，从而得出不等式在上的解集，进而得解. 【详解】由题， 所以即，即， （i）当即时，不等式化为， 当，，不等式化为，符合，所以； 当，，不等式化为，不符合； 当，，不等式化为即，不符合； 当，，不等式化为即，不符合； … 以此类推至，都有，从而不存在x使不等式成立. 所以不等式在上的解集为； （ii）当即时，不等式化为， 当，，不等式化为即，所以； 当，，不等式化为即，所以； 当，，不等式化为即，所以； 当，，不等式化为即，所以； … 以此类推至，，不等式化为即，所以， 所以不等式在上的解集为. 综上，不等式在上的解集为. 所以. 故答案为：2024. 【点睛】关键点睛：本题求解的关键是充分利用分类讨论思想求解问题，先分即和即两种情况化简，再分段、、、、讨论求解不等式的解集，从而简化问题的难度. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 若集合． （1）若，全集，试求． （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求得，得到和，结合集合的交并补运算即可得解. （2）求得，结合题意得到，结合集合的包含关系，即可求解. 【小问1详解】 当时，可得， 因为，可得， 则，所以． 【小问2详解】 因为， 由，可得，所以， 即实数的取值范围是. 16. 已知：关于的方程有实数根，：． （1）若命题是真命题，求实数的取值范围； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由命题是真命题，可得命题是假命题，再借助，求出的取值范围作答. （2）由是的必要不充分条件，可得出两个集合的包含关系，由此列出不等式求解作答. 【小问1详解】 因为命题是真命题，则命题是假命题，即关于的方程无实数根， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 由（1）知，命题是真命题，即， 因为命题是命题的必要不充分条件，则， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 17. 心理学家通过研究学生的学习行为发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲授开始时，学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用表示学生掌握和接受概念的能力（的值越大，表示学生的接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：min），可有以下关系式：. （1）讲课开始后的5min时刻和讲课开始后的20min时刻比较，何时学生的注意力更集中？ （2）某一道数学题目，需要讲解13min，并且要求学生的注意力至少达到55，那么老师能否在学生达到所需状态下一次性连续讲授完这道题目？请说明理由. 【答案】（1）讲课开始后的5min时刻的学生注意力更集中 （2）不能，理由如下： 当时，解，，得； 当，解，因为，得； 当，解，得. 所以，仅在这一时段内，学生的注意力至少达到55. 又因为，且， 所以，老师不能在学生达到所需状态下一次性连续讲授完这道题目. 【解析】 【分析】（1）根据函数解析式分别求出和，即可比较； （2）令，解得得到，持续时间，即可判断. 【小问1详解】 由题意得，，， 所以，讲课开始后的5min时刻的学生注意力更集中. 【小问2详解】 略 18. （1）已知，且满足.求的最小值； （2）当时，不等式恒成立，求实数的最大值； （3）已知，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知把变形为，展开后用基本不等式求得最小值； （2）分离参数化为恒成立，再利用基本不等式求出不等式右边的最小值即可得解； （3）令，，可得，代入所求式子化简整理，运用基本不等式可得所求最大值； 【详解】（1）由，可得 ； 当且仅当，即时，等号成立， 所以，的最小值为 （2）不等式恒成立化为恒成立， 又因为，所以，因此 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 即实数的最大值为9． （3）令，， 可得， 所以，； 当且仅当时，上式取得等号， 可得的最大值为． 19. 已知是定义在[－2,2]上的函数，若满足且. （1）求的解析式； （2）判断函数在[－2,2]上的单调性，并求使成立的实数t的取值范围； （3）设函数，若对任意，都有恒成立，求m的取值范围. 【答案】（1）（） （2）单调递增， （3） 【解析】 【分析】（1）由求得，由及求得得函数解析式； （2）由定义证明单调性，然后由奇偶性、单调性解不等式； （3）问题等价于，求出的最小值，转化为在[1,2]上恒成立，用分离参数法转化为max，再由勾形函数的单调性求得右边的最大值即得． 【小问1详解】 ∵为奇函数，∴ ∴， 由，得， ∴ ， ∴ ， ∴（）； 【小问2详解】 设，则， ∵，， ∴，即， ∴在[－2,2]上为单调递增，又∵， ∴ ,得，即为所求； 【小问3详解】 问题等价于，由（2）题得在[1,2]上为增函数， ∴最小值为， 故问题转化为在[1,2]上恒成立， ∴max， 易知在上递减，在上递增，而时，. 时，，故，∴，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $