5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式第1课时教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第五章 三角函数 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第1课时 两角差的余弦公式   一、教学目标 1．理解两角差的余弦公式的推导过程，掌握两角差的余弦公式的内容； 2．能够运用两角差的余弦公式进行三角函数的化简、求值和证明； 3．引导学生运用多种方法推导公式，培养学生的创新意识和探索精神，通过对公式的推导，培养学生的逻辑推理能力、分析问题能力和解决问题能力； 4．在公式运用过程中，让学生体会从特殊到一般、从具体到抽象的数学思维方法．   二、教学重难点 重点：借助图形，与之前所学内容相结合，掌握两角差的余弦公式的内容及应用. 难点：掌握数形结合的学习方法，面对问题能够举一反三，使知识融会贯通，提升直观想象与数学运算的核心素养.   三、教学过程 （一）创设情境 公式一： 公式二：. 公式三：． 公式四：． 公式五：． 公式六：． 观察诱导公式，可以发现它们都是特殊角与任意角的和（或差）的三角函数与这个任意角的三角函数的恒等关系．如果把特殊角换为任意角，那么任意角与的差的三角函数与，的三角函数会有什么关系呢？ 师生活动：教师带领学生观察诱导公式，引导学生思考两个任意角的差的三角函数与这两个任意角的三角函数之间的关系，引出本节课内容，方便学生理解. 设计意图：通过诱导公式思考两个任意角的差的三角函数与这两个任意角的三角函数之间的关系，引出本节课的内容.使学生体会到知识点之间的联系，将知识融会贯通. 提升学生举一反三的能力和逻辑推理的核心素养. （二）探究新知 任务1：探究与角，的余弦之间的关系． 思考1：当Z时，设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1，0)，以x轴非负半轴为始边作角，，，它们的终边分别与单位圆相交于点，，P，请问这三个点的坐标是什么呢？ 答：. 思考2：连接，AP，你能表示出这两条线段的长度吗？他们的长度之间有什么大小关系呢？ 提示：两点间的距离公式：平面上任意两点间的距离公式． 圆的旋转对称性：任意一个圆绕着其圆心旋转任意角后都与原来的圆重合，这一性质叫作圆的旋转对称性． 答：根据两点间的距离公式可知：. 若把扇形OAP 绕着点O 旋转角，则点 A，P分别与点重合．根据圆的旋转对称性可知，与重合，从而，所以 = 师生活动：首先，教师借助单位圆作角，，，然后，引入两点间的距离公式和圆的旋转对称性，通过问答的方式引导学生思考，逐步完成这部分的教学. 设计意图：通过数形结合的方式，帮助学生更加直观地理解这部分内容.在作图的过程中，培养学生直观想象的核心素养.通过两点间的距离公式计算出和AP的长度，培养学生数学运算的核心素养.通过圆的旋转对称性推导出，AP的长度大小关系，培养学生逻辑推理的核心素养. 思考3：你能总结出与角，的余弦之间的关系吗？ 答：当Z时， ． 又已知， 所以， 化简得，. 当Z时，上式显然成立， 所以对于任意角，有. 师生活动：教师带领学生计算当时，与角，的余弦之间的关系，分Z与Z两种情况进行讨论，最后得出结论. 设计意图：通过计算当时，与角的余弦之间的关系，培养学生数学运算的核心素养.最后由学生自己总结出最终结论，加深学生对本节内容的理解. 总结：差角的余弦公式： 对于任意角有．此公式给出了任意角的正弦、余弦与其差角的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作． 公式特征： (1)公式中的，是任意角； (2)公式的结构特点：左边是“两角差的余弦值”，右边是“这两角余弦积与正弦积的和”； (3)公式两边符号相反． （三）应用举例 例1：利用公式证明：(1)；(2)． 证明：(1)． (2)． 总结：在利用公式进行证明或计算时，关键是牢记差角的余弦公式：．记忆规律为“余余正正，符号相反”．“余余正正”表示展开的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的符号相反. 例2：已知是第三象限角，求的值. 解：由，得 又由是第三象限角，得 ， 求得 总结：解决此类问题的方法步骤： 第一步，确定解题依据的是哪个公式(本节用到的都是两角差的余弦公式)； 第二步，牢记公式内容，与公式相比较，观察题目的形式特点，确定需要求出哪些值； 第三步，根据第二步得到的方案先求值，再代入，解决问题. 例3：已知则的值可能为 ( ) A. B. C. D. 解：当时，当时，故答案为BC. 例4：已知，且，，求的值． 解：因为，所以， 由，得， 又，所以， 所以 ． 总结：两角差的余弦公式常见题型及解法： (1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解； (2)已知某一个角的三角函数值，求另一个角的余弦值时，要找到这两个角之间的联系，通过构造两角差的余弦的形式，利用公式进行计算； (3)由于和、差角与单角是相对的，因此做题过程中要根据需要灵活地进行拆角或拼角的变换． 常见角的变换有： ①； ②； ③； ④． 设计意图：巩固知识，强化理解. （四）课堂练习 1.已知，是第二象限角，则的值为( ) A. B. C. D. 解：因为是第二象限角，所以．故选B． 2.化简的结果为( ) A. B. C. D. 解：原式．故选D． 3.在平面直角坐标系中，点A，B在单位圆上，且点A在第一象限，横坐标是，将点A绕原点O顺时针旋转到B点，则点B的横坐标为( ) A. B. C. D. 解：点A，B在单位圆上，且点A在第一象限，设射线OA对应的角为，横坐标是，故点A的纵坐标为将点A绕原点顺时针旋转到B点，则OB射线对应的终边对应的角为则点B的横坐标为故选B． 4.化简 . 解：原式．故答案为0． 5. . 解：故答案为. 设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固所学知识，能够灵活运用. （五）归纳总结 回顾本节课的内容，你都学到了什么？ 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. 学科网（北京）股份有限公司 $$