黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

哈尔滨市第九中学校2024一2025学年度上学期 期中学业阶段性评价考试高二数学学科考试试卷 (考试时间：120分钟，满分150分) 第I卷（选择题共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，每小题只有一项是符合题目要求的） 1.已知直线l过点A(2,5)且与直线12：2x+y-4=0平行，则直线4的一般式方程为() A.2x+y+9=0 B.2x+y-9=0 C.x+2y+9=0 D.x+2y-9=0 2.“a=1”是“直线ax+(a-1)y-1=0与直线(a-1)x+y-1=0垂直”的() A,充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知只，为椭圆6+1的两个焦点，P为椭圆上一点，3P5P网，则aP听5的面积为( A.6 B.8 c. D.2Wō 4.正方体ABCD-AB,CD的棱长为1，则(4B+AD(AD+)=() A.-2 B.-1 C.0 D.1 5.已知点FA分别是椭圆三+卡=a>b>0)的左焦点、右顶点，B0b)满足历.西=0，则椭圆 的离心率等于() A.5+1 2 B.5-1 c.5+1 D.5- 2 2 2 6.己知P(-4,-4),Q是椭圆x2+2y2=16上的动点，M是线段PQ上的点，且满足PM=M0,则动 点M的轨迹方程是() A.(x-3)2+2y-3)2=1 B.(x+3)2+2(y+3)2=1 C.(x+1)2+2y+1)2=9 D.(x-1)2+2y-1)2=9 7.已知平面a的一个法向量为n=(2,2,-1),点M在a外，点N在a内，且N=(-1,4,-3),则点M到 平面x的距离d=（) A.1 B.2 C.3 D.4 第1页， 8.若圆C:(x+1)+(y-2)2=r2(r>0)上恰有2个点到直线1：4x-3y-10=0的距离为1，则实数r的取 值范围为() A.(3,+∞) B.(5,+o) c.(3,5) D.[3,5] 二、多选题（共3小题，每小题有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有 选错的得0分) 9.关于空间向量，以下说法正确的是() A.若直线1的方向向量为m=(2,4,-2),平面a的一个法向量为i=（-l,-2,),则1⊥α B.若空间中任意一点0，有O丽=号O+O丽+Oc,则RA8.C四点共面 3 6 C.若空间向量ā，6满足a.b<0,则a与b夹角为钝角 D.若空间向量a=(（1,0,),b=(0,l-1),则ā在6上的投影向量为 0-》 10.已知直线1：x-y+1=0和圆M:(x-)2+(0y-2)=4,则下列选项正确的是() A.直线1恒过点(0，-1) B.圆M与圆C:x2+y2=1公共弦所在直线方程为x+2y-1=0 C.直线1被圆M截得的最短弦长为2√互 D.当k=1时，圆M上存在无数对关于直线I对称的点 11.2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返 回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”.如图，在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐 标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点F(0,2),椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G.若 过原点O的直线与上半椭圆交于点A,与下半圆交于点B,则下列说法正确的有() A.椭圆的长轴长为4√2 B.线段AB长度的取值范围是[4,2+22] C.△ABF面积的最小值是4 D.△AFG的周长为4+4W2 B 共2页 第II卷（非选择题共92分) 三、填空题（共3小题，每小题5分，请将答案写在答题纸指定位置上） 已知椭因名+1(a>0)的一个焦点是(-5,0，则椭圆的长箱长是 12. 13.已知点4-1,0，B0,3),点P是圆(x-3》+y=2上任意一点，则P到直线AB距离的最小 值为 14.关于x的方程√4-X2=-2水+3有实数解，则实数k的取值范围是 四、解答题（共5小题，满分77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.已知直线1：x-y+1=0和圆C:x2+y2-2x+4y-4=0. (I)若直线I交圆C于A,B两点，求弦AB的长： (2)求过点(4，-1)且与圆C相切的直线方程. 。已知椭圆c:。+=1a>b>0)长轴长为4，且椭圆c的离心率V3 16. 2 ,其左右焦点分别为F,F (1)求椭圆C的方程： 2)设斜率为-5且过B的直线1与椭圆C交于P,Q两点，求△FPQ的面积。 17.如图，在以P为顶点，母线长为√2的圆锥中，底面圆O的直径AB长为2，C是圆O所在平面内 一点，且AC是圆O的切线，连接BC交圆O于点D,连接PD,PC, (I)求证：平面PAC⊥平面PBC: (2)若E是PC的中点，连接OE,ED,当∠BOD=I20°时，求平面PAC与平面DOE夹角的余弦值. 02B 第2页， 18.如图，已知椭圆C:号+茶=1a>6>0)过点P,)焦距为4，斜率为-的直线！与椭圆C相 y 交于异于点P的M,N两点，且直线PM,PN均不与x轴垂直 (1)求椭圆C的方程： (2)求MW中点E的轨迹方程： (3)记直线PM的斜率为k,直线PN的斜率为k2,证明：kk2为定值 19.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD,AB/1CD,且CD=2,AB=1,BC=2√2 PA=L,AB⊥BC,E,F分别为PD,BC的中点 (I)求证：EFII平面PAB: (2)在线段PD上是否存在一点M,使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值是 二？若存在，求出 DM 的值，若不存在，说明理由： (3)在平面PBC内是否存在点H,满足D·A=0,若不存在，请简单说明理由：若存在，请写出点H 的轨迹图形形状， E B D 共2页数学: 题号 6 2. 5. 10 答案 C ABD BCD B B D D. ABD 13. 10; 5 12. 6; 14. #2 15.(1)将圆C:x2+2-2x+4y-4=0化成标准方程:(x-1){}+(y+2){}=9 _...-.-1 所以的圆心为C(1,-2),半径r=3, 所以C(1-2)到直线/:x-y+1-0的距离d--(-2)+1-22, 2 --__--3 所以AB=2r*-d2-29-8-2; __...--5 (2)①当直线斜率不存在时,过点(4,-1)的直线为x=4,是圆C的一条切线: :-...-7 ②当直线的斜率存在时,设圆C的切线方程为y+1=k(x-4),即x-y-4k-1=0,-8 2-4-11-3, 所以圆心C(1,-2)到直线/x-y-4k-1=0的距离为r,即 2+1 解得:k--4 综上所述,所求的直线方程为:x=4或4x+3y-13=0. 16(1)由题意可知:2a=4,则a=2; .e二E 3,.c=3,.--2--1-- a 2 (2) F(-3,0)F(3,0),:直线1: 二一 2x+1--..--5 3 /2 {:1 联立方程组3 得7x2-4V3x=0 3x+1 3 43 设P(x,),O(x2,y),则x+x=4 3,x2-0 _...-7 #####)# lol-1+^|-:l= _-.-----11 2 点F到直线PQ的距离d= ------..--113. ####)# 2 .SrPo 7 17. (1)·AB是圆O的直径,AC与圆O切于点A,..AC1AB, ·PO1底面圆O,AC-底面圆O,:.PO1AC, ·POoAB=O,PO,ABc平面PAB, .AC1平面PAB, -----...- 又PB-平面PAB,AC 1 PB,-----------3 在 PAB中,PA=PB=AB=2,则PA^{}+PB^{②}=AB{, 'PA1PB$$$ ...-.-5 ·PAoAC=A,PA,ACc平面PAC, .:PB1平面PAC, 又PB一平面PBC, OB1PO, OD1PO, BOD为二面角B-PO-D的平面角,..BOD=120, 图以O为原点,在底面圆O内过点O作AB的垂线为x轴, )B.OP分别为V,z轴建立空间直角坐标系,易知OB-1, 14( -10) (9.10) 00) 2 10) (0.101) --.10 (1)知m=BP=(0,-1,1)为平面PAC的一个法向量, -.------11 平面ODE的法向量为n=(x,y,z) nOE,n1OD,.n.OE=0,nOD=0; 3 3 ,令x-3,得y-3,z=1, ## 1 (平面oDE的一个法向量为in=(3,3,1), -.---------13 m.n 26 .cos<m,n= -13· 26 .平面PAC与平面DOE夹角的余弦值为- 13 (a-23 (1)由题意得2c=42 8. 解得b-2 a2=b2+c2 (c-22 2 ,=1. #X+,M(x,),N(x,) 1 (2)设直线/的方程为y=一 MN中点为(x。,V。) 由 得4$$-6m$+9m$-36 =$ =1 4 由△=(6)-144(}→-4)→0,得4 3<4## 3 3 ×.+x2= 3m 2 4 则 所以轨迹为: =xxE(-3,3) ......----.-10. 3m (3)直线PM,PN均不与x轴垂直,所以x.去3,x.:3,则m幸0且m2, ×.-3x-3 (×-3)(x2-3) 1(m-1)(x+x)+(m-1)} .............-.114. $x2-3(×+x2)+9 9m}-36-(1)3-(1)} 9 40 -二 ---..-.-.---17.. 9m2-36 4 2 19.【详解】(1)如图,过E作EG1AD交AD于点G连接EG,GF. PA1面ABCD,AD-面ABCD,则PA1AD, 又EGC面PAD,PAC面PAD,且EG,PA不共线,故EG//PA, 而EGt平面PAB,PAC平面PAB,所以EG//平面PAB,--- 因为E为PD的中点,所以G也为AD中点,又F为BC的中点,所以GF//AB, 同理GF//平面PAB, 又因为EGOGF=G,EG,GF$C平面EGF, 所以平面EGF//平面PAB,而EFC平面EGF. 所以EF//平面PAB; ____ ___5 (2)如图,以点A为原点建立空间直角坐标系, 则P(0.0.1).B(0.1.0).C(2 2.1.0).D(2 2-1.0 故PB=(0,1,-1)P[C=(22,1,-1)PD=(22,-1,-1)CD=(0-2.0),-7 设DM=tPD(0<t<1),则CM=CD+DM=CD-tPD=(-22t,t-2,t), fn.PB-y-z=0 设平面PBC的法向量n=(x,y,z),则有 ,取 lln.PC=22x+y-2=0 n=(0,-1, 1),----10 |nCM 12(-21 cosnCM |||CM| 2×(-22)*+(-2)2}+ 2” 所以当 DP= 2 (3)由(2)知,平面PBC的一个法向量n=(0,1,1) #2+(-3)1 }## 则AD中点到平面PBC的距离为 #### 1+1 2 4 -...-.-1- 3.故H在面PBC上的轨迹是半径为, -的圆, -..------17 3、2 故存在符合题意的H, 此时轨迹是半径为 的圆. 4