内蒙古兴安盟科尔沁右翼前旗第二中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

第 1页 共 4页 ◎ 第 2页 共 4页 2024-2025 学年度高二数学期中考试卷 一、单选题（每小题 5 分，共 40 分） 1．下列直线中，与直线 : 3 1l y x  垂直的是（ ） A．直线 3 1y x   B．直线 3 1y x  C．直线 1 1 3 y x  D．直线 1 1 3 y x   2．若点  1,2P  到直线 l： 3y x a  的距离为 10，则 a （ ） A．5 B． 15 C．5或 15 D． 5 或 15 3．M ，N分别为直线3 4 12 0x y   与6 8 5 0x y   上任意一点，则 MN 最小值为 （ ） A． 29 10 B． 29 5 C． 17 5 D． 17 10 4．直线 2 1 0ax y   和直线 2 3 0y x b   平行，则直线 y ax b  和直线 3 1y x= + 的 位置关系是（ ） A．重合 B．平行 C．平行或重合 D．相交 5．在四棱锥 P ABCD 中， PD 底面 ABCD，底面 ABCD是正方形，且 1PD AB= = ， G为 ABCV 的重心，则PG与底面 ABCD所成角的正弦值为（ ） A． 3 17 17 B． 2 3 C． 17 17 D． 1 3 6．已知圆C与直线 3 0x y   相切，直线 1 0mx y   始终平分圆C的面积，则圆C 方程为（ ） A． 2 2 2 2x y y   B． 2 2 2 2x y y   C． 2 2 2 1x y y   D． 2 2 2 1x y y   7．已知直线 : 1 0l mx y   ，若直线 l与连接  1, 2A  、  2,1B 两点的线段总有公共点， 则直线 l的倾斜角范围为（ ） A． π π, 4 4     B． 3π , π 4     C． π 3π, 4 4      D． π 3π0, , π 4 4           8．如图，在三棱锥 P ABC 中， ABCV 为等边三角形， PAC 为等腰直角三角形， 4PA PC  ，平面 PAC 平面 ABC，D为 AB的中点，则异面直线 AC与 PD所成角的 余弦值为（ ） A． 1 4 B． 1 2 C． 2 4  D． 2 4 二、多选题（每小题 6 分，共 18 分） 9．向量    2 ,1,3 , 1, 2 ,9a x b y    ，若 a b∥  ，则（ ） A． 1 5 x  B． 3 2 y   C． 1 3 a b  D． 1 2 a b  10．下列说法正确的是（ ） A．若 0abc  ，且直线 0ax by c+ + = 不经过第二象限，则 0ab  ， 0bc  B．方程    2 1 2 5 0x y      （ R  ）表示的直线都经过点  2,1 C．mR，直线 2 2 0m x y   不可能与 y轴垂直 D．直线3 3 1 0x y   的横、纵截距相等 11．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、 公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面 直角坐标系中，曲线C： 2 2 2 2x y x y   就是一条形状优美的曲线，对于此曲线， 下列说法正确的有（ ） 第 3页 共 4页 ◎ 第 4页 共 4页 A．曲线C围成的图形有 4条对称轴 B．曲线C围成的图形的周长是4 3 C．曲线C上的任意两点间的距离不超过 6 D．若  ,T a b 是曲线C上任意一点， 4 3 18a b  的最小值是11 5 2 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．过点  1,4A 的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为 13．圆 2 2 2 3 0x y x    与圆 2 2 2 4 1 0x y x y     的公共弦长为 . 14．如图，已知正三棱柱 1 1 1ABC ABC 的所有棱长均为 1，动点 P在线段 1AB 上，则 1PBC 面积的最小值为 . 四、解答题 15．（13分） 求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在 y轴上，且经过两个点 0,2 和 1,0 ； (2)已知椭圆的两个焦点坐标分别是  2,0 ， 2,0 ，并且经过点 5 3, 2 2      ． 16．已知直线 l：3 4 12 0x y   和圆C： 2 2 2 4 1 0x y x y     .（15分） (1)求圆 C的圆心坐标和半径； (2)求经过圆C的圆心且与直线 l垂直的直线方程. 17．（15分）如图，在三棱锥 P ABC 中， 2BC BA PC PA PB     ，且 90CBA CPA     . (1)证明：平面 PAC 平面 ABC； (2)若棱 PA上存在不同于 P，A的动点M ，满足 AM AP   ，使二面角P BC M  的 余弦值为 7 9 ，求的值. 18．（17分）在平面直角坐标系 xOy中，已知圆C的方程为： 2 2 8 11 0x y x    ，直 线 l的方程为    2 1 1 7 4 0     m x m y m . （1）当 1m  时，求直线 l被圆C截得的弦长； （2）当直线 l被圆C截得的弦长最短时，求直线 l的方程； （3）在（2）的前提下，若 P为直线 l上的动点，且圆C上存在两个不同的点到点 P的 距离为 5 ，求点 P的横坐标的取值范围. 19．（17分）在四棱锥 P ABCD 中， AB CD∥ ， 2 2 2 2AB CD BC AD    ， 60DAB  ， AE BE ， PAD△ 为正三角形，且平面 PAD 平面 ABCD. (1)求二面角 P EC B  的余弦值； (2)线段 PB上是否存在一点 M（不含端点），使得异面直线 DM和 PE所成的角的余弦 值为 6 4 ？若存在，指出点 M的位置；若不存在，请说明理由. 答案第 1页，共 1页 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A B A D D D BC BD 题号 11 答案 ACD 1．D 【分析】由两直线垂直，当斜率存在时，有，即得解 【详解】因为直线的斜率为3，所以与直线垂直的直线的斜率为，经观察只有选项D中的直线的斜率为 故选：D 2．C 【分析】由点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由题意可得：点P到直线l的距离，解得或． 故选：C. 3．A 【分析】利用两平行线间的距离公式可求出的最小值. 【详解】由，可得两条直线相互平行， 所以最小值为平行线之间的距离，可化为， 所以，. 故选：A 4．B 【分析】利用两直线平行的等价条件即可求解. 【详解】因为直线和直线平行， 所以， 故直线为，与直线平行 故选：B 5．A 【分析】建系，借助空间向量线面角的求法，求出与底面所成角的正弦值. 【详解】 如图分别以所在直线为轴､轴､轴建立直角坐标系， 由已知，得， 则重心，因而， 设与底面所成的角为，则 . 故选：A. 6．D 【分析】计算出直线所过定点的坐标，由题意得出定点是圆的圆心，然后利用点到直线的距离公式计算出圆的半径长，即可得出圆的方程. 【详解】在直线的方程中，令，则，则直线过定点. 由于直线始终平分圆的面积，则点是圆的圆心， 又圆与直线相切，则圆的半径. 因此，圆的方程为，即. 故选D. 【点睛】本题考查圆的方程的求解，同时也考查了直线过定点问题，求出圆的圆心坐标为解题的关键，考查运算求解能力，属于中等题. 7．D 【分析】根据直线过定点，即可根据斜率公式求解边界线的斜率，即可根据斜率与倾斜角的关系求解. 【详解】直线的方程可得，所以，直线过定点， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 所以，即，因为，所以或， 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：D． 8．D 【分析】取的中点，连接，，根据面面垂直的性质定理得平面，建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线夹角的余弦值即可. 【详解】取的中点，连接，，因为，所以. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面.又因为，所以，于是以为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系，结合为等腰直角三角形， ，为等边三角形， 则，，，， 所以，， 所以， 故异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D 9．BC 【分析】利用空间向量平行列出关于的方程组，解之即可求得的值和的关系. 【详解】因为，所以，由题意可得， 所以，则． 故选：BC 10．BD 【分析】将直线方程化为斜截式，从而得到的不等式组，求解可判断A，利用直线过定点的求法可判断B，直接举例可判断C，求出直线的横、纵截距可判断D. 【详解】对于A，因为，所以可化为， 若直线不经过第二象限，则即，，故A错误； 对于B，直线方程可整理为， 由得 所以直线恒过定点，故B正确； 对于C，当时，直线方程为，此时与轴垂直，故错误； 对于D，直线的横、纵截距均为，故正确． 故选：BD． 11．ACD 【分析】由圆的方程作出曲线图象，再由弧长公式，点到直线的距离公式对选项逐一判断， 【详解】当时，曲线方程可化为，即，是以为圆心，为半径的圆的一部分， 同理可作出其他象限内图象，如图所示， 对于A，曲线围成的图形有4条对称轴，分别是直线，，，，故A正确， 对于B，曲线围成的图形的周长是，故B错误， 对于C，曲线上的任意两点间的距离最大值为，故C正确， 对于D，到直线的距离为， 而到直线的距离为，由圆的性质得曲线上一点到直线的距离最小为， 故的最小值是，故D正确， 故选：ACD 12．或 【分析】根据两坐标轴上的截距之和为零，先设直线方程，再根据点在线上求参即可得出直线方程. 【详解】因为直线在两坐标轴上的截距之和为零 所以设直线方程为或, 再因为直线过点可得， ,可得. 所以直线方程为或. 故答案为：或. 13． 【分析】两圆方程相减即可得公共弦所在直线，分别求出其中一圆的圆心到直线的距离与半径，再利用直线与圆的相交弦长公式即可求出答案. 【详解】联立方程组，， 两式相减，得，为公共弦长所在直线的方程， 又圆的圆心为，， 圆心到直线的距离为， 所以两圆公共弦长. 故答案为：. 14．/ 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求出点到直线的距离的最小值，即可得解. 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 所以， 因动点在线段上，则令， 即有点，所以，则， 从而， 因此点到直线的距离 ， 当且仅当时取等号， 所以线段上的动点P到直线的距离的最小值为， 又因为， 所以面积的最小值. 【点睛】关键点点睛：求出点到直线的距离的最小值是解决本题的关键. 15．(1) (2) 【分析】（1）由条件可设椭圆方程为，再由条件列方程求，即可得椭圆方程； （2）结合焦点坐标知可设椭圆方程为，且，结合椭圆定义可求，由此可求及椭圆方程. 【详解】（1）因为椭圆的焦点在轴上， 所以设它的标准方程为． 又椭圆经过点和， 所以解得 所以所求椭圆的标准方程为． （2）由于椭圆的焦点在轴上， 所以设它的标准方程为， 设椭圆的半焦距为，则， 又， 所以， 所以， 所以所求椭圆的标准方程为． 16．(1)半径为2，圆心坐标为 (2) 【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，即可求解； （2）首先利用垂直关系设所求直线方程为，再代入圆心坐标，即可求解. 【详解】（1）圆可化为，则圆心为，半径为2； （2）设与直线垂直的直线的方程为 已求出圆的圆心坐标为， 又因为直线经过圆心，所以，即， 故所求直线方程为 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，分别证得和，利用线面垂直的判定定理。证得平面，进而证得平面平面； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，令，得到向量的坐标，再分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，列出方程，即可求解. 【详解】（1）证明：由，且，所以， 取的中点，连接，可得， 再由，可得，即， 因为，且为的中点，可得， 又因为，且面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）解：由（1）可知，，又由， 以为坐标原点，以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，， 所以，， 令，其中，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以； 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 则， 设，其中，则上式可化为，即， 解得或舍去，所以，解得. 18．(1) . （2）. （3）． 【详解】试题分析：（1）圆的方程化为标准式，可得圆心，半径，根据点到直线距离公式以及勾股定理可得直线被圆截得的弦长；（2）当所截弦长最短时，取最大值， 圆心到直线的距离，令，，利用配方法可得时取最大值，弦长取最小值，直线上方程为，（）设，当以为圆心，为半径画圆，当圆与圆刚好相切时，，解得或，可得点横坐标的取值范围为． 试题解析：（）圆的方程为，圆心，半径． 当时，直线的方程为， 圆心到直线的距离， 弦长． （）∵圆心到直线的距离 ， 设弦长为，则， 当所截弦长最短时，取最大值， ∴，令， ． 令 ， 当时，取到最小值． 此时，取最大值，弦长取最小值， 直线上方程为． （）设， 当以为圆心，为半径画圆，当圆与圆刚好相切时， ， 解得或， 由题意，圆与圆C有两个交点时符合题意， ∴点横坐标的取值范围为． 19．(1) (2)存在，点M位置为 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值； （2）设，利用向量法求异面直线的夹角，得到，解方程即得解. 【详解】（1）设是中点，为正三角形，则. 因为平面平面ABCD，平面平面， 又平面PAD，所以面ABCD. 又因为，， 所以为正三角形，所以， 以为原点，分别以为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，， 于是，，. 设平面PEC的法向量为， 由即可取. 平面EBC的一个法向量为， 设二面角的平面角为，则 由图知为为钝角，所以二面角的余弦值为. （2）设，则， ，， 所以， 解得或0（舍），所以存在点M使得. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$