平面向量的数量积及其应用专题讲义-2025届高三数学一轮复习

平面向量的数量积及其应用 ( 考纲导向 小 ) 考点要求 考题统计 考情分析 (1) 平面向量数量积的含义和几何含义 (2) 平面向量数量积的基本运算 (2) 运用数量积表示向量的夹角 2024年Ⅱ卷 5分 2023年甲卷 5分 2023年乙卷 5分 2023年I卷 5分 2023年II卷 5分 2023年北京卷 5分 2022年甲卷 5分 2022年乙卷 5分 2022年II卷 5分 （1）本讲为高考命题热点，题型以选择题为主； （2）重点是理解平面向量数量积的含义及其几何含义，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；主要考查平面向量数量积的基本运算，运用数量积求平面向量的模和夹角. ( 考点梳理 小 考纲导向 小 ) 1、向量的夹角 （1）若，则 就是向量与的夹角； （2）向量角范围 ； 2、数量积定义 已知两个非零向量与，夹角为，则数 叫做与的数量积，记作，即； 3、几何意义 （1）投影： 叫做向量在方向上的投影， 叫做向量在方向上的投影； （2）的几何意义：等于的长度与在方向上的投影的乘积. 4、向量数量积的运算律 5、 数量积的性质 6、数量积运算常用公式 （1） （2） （2）为锐角，为钝角； 4、向量数量积的运算律 （1）________ （2）____________. （3）________. 5、数量积的性质 已知非零向量，，与的夹角为. 结论 符号表示 坐标表示 模 _____ _____ 夹角 的充要条件 _________________ _________________ 与的关系 ___ 6、常用公式及结论 1.常用公式 （1）； （2）。 2.有关向量夹角的两个结论 （1）若与的夹角为锐角，则； 若，则与的夹角为锐角或0。 （2）若与的夹角为钝角，则； 若，则与的夹角为针角或. 课堂练习 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）两个向量的夹角的范围是（ ） （2）向量在另一个向量上的投影向量为数量，而不是向量.（ ） （3）两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.（ ） 2.（必修第二册P60T8改编）已知向量与向量垂直，则等于 A. B. C. D. 3.（2023郑州模拟）已知向量，满足，且与的夹角为，则等于 A.12 B.4 C.3 D.1 4.（2023深圳模拟）已知，为单位向量，且，则与的夹角为 A. B. C. D. 高考真题 例1.（1）（2022-高考全国卷乙）已知向量，满足，，，则（ ） A.-2 B.-1 C.1 D.2 例2.（1）（2022·新高考卷II）已知向量，，，若，则（ ） A.-6 B.-5 C.5 D.6 例3.（1）（2020-高考全国卷II）已知单位向量，的夹角为，则在下列向量中，与垂直的是（ ） A. B. C. D.. 例4（2023新高考全国I）已知向量，，若，则 A. B. C. D. 拨高练习 1.在四边形中，，，，则该四边形的面积是________. 2.（2023山东烟台模拟）在梯形中，，，，，若在线段上运动，且，则的最小值为________. 3.（2023江苏盐城模拟）在菱形中，，，点是上的一点，已知，则线段的长为__________。 4.（2022·春季高考上海卷）在中，， ，为边的中点，若点在边上运动（点可与，重合），则的最小值为_______. 课堂总结 1.用向量解决平面几何问题的两种方法及步骤 （1）向量的线性运算法的四个步骤： ①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找相应关系；④把几何问题向量化. （2）向量的坐标运算法的四个步骤： ①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找相应关系；④把几何问题向量化. 课堂总结 2、求两个向量的数量积的三种方法 1.在中，，，，和分别是边上的高和中线，则等于（ ） A.14 B.15 C.16 D.17 2.已知向量，，写出一个与垂直的非零向量_________. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$