精品解析：上海市南洋中学2025届高三上学期期中考试数学试题

高三年级数学学科期中考试试题 （满分150分，考试时间120分钟） 命题人：金霞 审题人：张瑜 一、填空题（1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分） 1. 设全集，集合，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用补集的概念运算即可. 【详解】由全集，集合，可知. 故答案为： 2. 抛物线y2=8x的焦点坐标是______ 【答案】(2,0) 【解析】 【详解】试题分析：一次项系数除以4得焦点横坐标或纵坐标，所以焦点 考点：抛物线焦点 点评：的焦点 3. 复数（是虚数单位）在复平面内对应的点的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法运算和几何意义即可得到答案. 【详解】， 则其在复平面内对应的点的坐标为. 故答案为：. 4. 已知的展开式中，含项的系数等于280，则实数________. 【答案】2 【解析】 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得展开式中的含x3项的系数，再根据含x3项的系数等于280，求得实数a的值． 【详解】解：∵（1+ax）７的展开式为 Tr+1•（ax）r，令r＝3，可得含x3项的系数等于a3•280， 解得 a＝2， 故答案为2． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题． 5. 已知函数的表达式为，则函数的值域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数和对数函数的单调性即可得到函数值域. 【详解】当，，此时单调递增，则， 当，，此时单调递增，则， 综上，函数的值域为. 故答案为：. 6. 已知向量和的夹角为，且，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量数量积定义和运算律即可得到答案. 【详解】， 则. 故答案为：. 7. 已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离，进而利用弦长公式，即可求得． 【详解】因为圆心到直线的距离， 由可得，解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题． 8. 三人被邀请参加一个晚会，若晚会必须有人去，去几人自行决定，则恰有一人参加晚会的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出参加晚会的所有情形，利用古典概型计算即可. 【详解】不妨记三人为甲，乙，丙， 则所有参加晚会的情形有：①只去一人，甲，乙，丙；②去两人，甲乙，甲丙，乙丙； ③去三人，甲乙丙；共计7种情形， 所以恰有1人去的概率为. 故答案为： 9. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦定理，求得，再由，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】在中，因为， 可得，且，， 由正弦定理得， 又因为， 可得， 所以的面积为. 故答案为：. 10. 直线与曲线相切，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设切点坐标为，由导数的几何意义求解即可. 【详解】设切点坐标为，由于， 所以切线的斜率为：， 所以曲线在处的切线方程为：，即， 所以，， 故答案为：. 11. 已知，且恒成立，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式求出的最小值，再根据不等式恒成立转化为一元二次不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 因为， 当且仅当，即，即时取得等号， 所以有最小值为3， 因为恒成立，所以，即， 解得， 故答案为: . 12. 椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上且同时满足： ①是等腰三角形； ②是钝角三角形； ③线段为的腰； ④椭圆上恰好有4个不同的点． 则椭圆的离心率的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】 由已知是以为腰的等腰三角形，即点在以为圆心，2c为半径的圆上，结合圆与椭圆有两个交点，及为钝角，结合余弦定理建立关于的不等式，解不等式即可求得结果. 【详解】如图，根据椭圆的对称性知，点及关于x轴，y轴，原点对称的其它3点，即为椭圆满足条件的4个不同的点． 根据题意可知是以，为两腰的等腰三角形，故，即点在以为圆心，为半径的圆上， 由题知以为圆心，2c为半径的圆与椭圆有两个交点，即可存在两个满足条件的等腰， 此时必有，即，即，所以离心率； 又为钝角，则，利用余弦定理知，即， 整理得，两边同除以得，，解得： 综上，可知椭圆的离心率的取值范围是 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的基本性质，及椭圆离心率的取值范围，解题关键是找到关于的不等关系，本题中是以为腰的等腰三角形，结合圆与椭圆有两个交点，及为钝角，建立关于的不等式，解不等式求得结果，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题． 二、选择题（13-14每题4分，15-16每题5分，共18分） 13. ，，，，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】ACD举反例；B选项由不等式的可加性可判断. 【详解】对于A，若，则，选项不成立，故A错误； 对于B，由不等式的可加性可知，，故B正确； 对于C、D，若，则选项不成立，故C、D错误． 故选：B． 14. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和的余弦公式及同角三角函数的基本关系求出、，再由两角差的余弦公式计算可得. 【详解】因为， ，解得， 所以. 故选：A 15. 蒙古包是我国蒙古族牧民居住的房子，适于牧业生产和游牧生活．如图所示的蒙古包由圆柱和圆锥组合而成，其中圆柱的高为，底面半径为是圆柱下底面的圆心．若圆锥的侧面与以为球心，半径为的球相切，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合圆柱、圆锥以及球的结构特征解得圆锥母线长，进而可求圆锥的侧面积. 【详解】设为圆锥高，为圆锥母线长 以为球心，半径为4的球与圆锥侧面相切，则， 在中，，可得， 且，则，解得， 所以圆锥的侧面积为. 故选：C. 16. 我们知道，函数的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数，给出下列两个命题：命题p：若函数满足为奇函数，且的图像与函数的图像有2024个交点，记为（，2，…，2024），则；命题q：函数的导函数的图像关于直线对称.则下列说法正确的是（ ） A. 命题p是真命题，命题q是假命题 B. 命题p是假命题，命题q是真命题 C. 命题p、命题q都是真命题 D. 命题p、命题q都是假命题 【答案】C 【解析】 【分析】求出，得到关于中心对称，结合关于中心对称，分析出一定不经过，的图像与函数的2024个交点关于中心对称，从而得到；两边求导，得到，命题p、命题q都是真命题. 【详解】的定义域为R， 且， 故， 所以为奇函数，关于中心对称， 又为奇函数，故关于中心对称， 由于，而两函数交点个数为2024个，偶数个， 故一定不经过， 所以的图像与函数的2024个交点关于中心对称， 故，，p是真命题； 因为的定义域为R，且， 两边求导得，即， 故的图像关于直线对称，命题q是真命题. 故选：C 三、解答题（共78分） 17. 已知函数是定义域为R的偶函数. （1）求实数a的值； （2）已知关于x的方程在上有解，求实数k的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由可构造方程求得的值； （2）利用换元法令，从而得到方程在时有解，再分参数，求出右边的值域即可. 【小问1详解】 由偶函数定义知：， 即，. 【小问2详解】 由（1）知， ，即， 即，令，则， 则方程在时有解， 则，令，，则. 18. 已知函数的表达式为. （1）求函数的单调增区间； （2）求方程在上的解. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式及差角公式、辅助角公式化简函数式，再利用三角函数的性质计算即可； （2）利用（1）求出的解析式结合三角函数的性质直接解方程即可. 【小问1详解】 由 ， 令，解之得， 即该函数的单调增区间为； 【小问2详解】 由（1）知：， 所以若，即， 因为，所以， 则满足题意的或，即或. 19. 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面平面ABCD，为等边三角形，且，，，，M为PA的中点. （1）证明：； （2）求平面PCD与平面PAB所成锐二面角的大小. 【答案】（1）证明：取的中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 又平面，所以平面. 因为平面，所以， 又是的中点，所以， 因为平面，且， 所以平面，又因为平面， 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，先证明平面，再证平面，最后证明平面，得证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，由（1）知四边形为矩形，则， 又平面，所以平面， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则， 取平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以， ， 设平面与平面所成二面角为， 则，所以， 所以平面与平面所成二面角的大小为. 20. 如图，已知双曲线（，）的渐近线方程为，点在双曲线C上，A、B为双曲线C的左、右顶点，P为双曲线C右支上的动点，直线AP和直线交于点N，直线NB交双曲线C的右支于点Q. （1）求双曲线C的方程； （2）若点P在第一象限，且满足，求的面积； （3）探究直线PQ是否过定点，若过定点，求出该定点坐标，并说明理由. 【答案】（1）； （2）36； （3） 直线经过点，理由如下： 设直线的方程为：， 代入，整理得：， 由可得. 设，则 故有.（*） 直线的方程为：，令，代入解得，即, 因三点共线，故,又， 则得，即， 将代入，化简得：， 由（*），可得， 代入整理得：， 即得：，也即， 因点是双曲线右支上的动点，故不能恒为0，故. 此时直线的方程为：，故直线必过定点. 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程组，解出，即得双曲线方程； （2）设点,由题设条件依次求得点，，再求三角形面积即可； （3）设，直线PQ的方程为，联立双曲线的方程，结合韦达定理可得，写出直线AP的方程，进而可得N点的坐标，又N，B，Q三点共线，则，解得，即可求得定点． 【小问1详解】 依题意，可得，解得. 故双曲线C的方程为； 【小问2详解】 如图，设点，由可得点是的中点， 又，，则， 依题意，点在直线上，则，解得， 将其代入，解得，因点P在第一象限，故. 于是直线的方程为：， 代入，整理得，解得或，故得， 于是的面积为; 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与双曲线位置关系的应用，属于较难题. 关键是在解决第2问时，利用韦达定理实现非对称代换，整理方程后推得直线过定点. 21. 若函数在区间上有定义，且，，则称是的一个“封闭区间”． （1）已知函数，区间且的一个“封闭区间”，求的取值集合； （2）已知函数，设集合． （i）求集合中元素的个数； （ii）用表示区间的长度，设为集合中的最大元素．证明：存在唯一长度为的闭区间 ，使得 是的一个“封闭区间”． 【答案】（1） （2）（i）2； （ii）证明：由（i）得，假设长度为的闭区间是的一个“封闭区间”， 则对，， 当时，由（i）得在单调递增， ，即，不满足要求； 当时，由（i）得在单调递增， ， 即，也不满足要求； 当时，闭区间，而显然在单调递增， ， 由（i）可得，， ，满足要求． 综上，存在唯一的长度为的闭区间，使得 是的一个“封闭区间”． 【解析】 【分析】（1）根据“封闭区间”的定义，对函数求导并求出其值域解不等式可得的取值集合； （2）（i）对求导得出函数的单调性，利用零点存在定理即可求得集合中元素的个数为2个； （ii）根据区间长度的定义，对参数 进行分类讨论得出的所有可能的“封闭区间”即可得出证明. 【小问1详解】 由题意，，， 恒成立，所以在上单调递增， 可得的值域为， 因此只需， 即可得，即， 则的取值集合为． 【小问2详解】 （i）记函数， 则， 由得或；由得； 所以函数在和上单调递增，在上单调递减． 其中，因此当时，，不存在零点； 由在单调递减，易知，而， 由零点存在定理可知存在唯一的使得； 当时，，不存在零点． 综上所述，函数有0和两个零点，即集合中元素的个数为2． （ii）略 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解“封闭区间”的定义，结合导函数判断出各函数的单调性和对应的单调区间，再结合区间长度的定义分类讨论即可得出结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级数学学科期中考试试题 （满分150分，考试时间120分钟） 命题人：金霞 审题人：张瑜 一、填空题（1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分） 1. 设全集，集合，则__________. 2. 抛物线y2=8x的焦点坐标是______ 3. 复数（是虚数单位）在复平面内对应的点的坐标为__________. 4. 已知的展开式中，含项的系数等于280，则实数________. 5. 已知函数的表达式为，则函数的值域为__________. 6. 已知向量和的夹角为，且，，则__________. 7. 已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________． 8. 三人被邀请参加一个晚会，若晚会必须有人去，去几人自行决定，则恰有一人参加晚会的概率为__________. 9. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则的面积为__________. 10. 直线与曲线相切，则______． 11. 已知，且恒成立，则实数的取值范围为________． 12. 椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上且同时满足： ①是等腰三角形； ②是钝角三角形； ③线段为的腰； ④椭圆上恰好有4个不同的点． 则椭圆的离心率的取值范围是______． 二、选择题（13-14每题4分，15-16每题5分，共18分） 13. ，，，，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 15. 蒙古包是我国蒙古族牧民居住的房子，适于牧业生产和游牧生活．如图所示的蒙古包由圆柱和圆锥组合而成，其中圆柱的高为，底面半径为是圆柱下底面的圆心．若圆锥的侧面与以为球心，半径为的球相切，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 16. 我们知道，函数的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数，给出下列两个命题：命题p：若函数满足为奇函数，且的图像与函数的图像有2024个交点，记为（，2，…，2024），则；命题q：函数的导函数的图像关于直线对称.则下列说法正确的是（ ） A. 命题p是真命题，命题q是假命题 B. 命题p是假命题，命题q是真命题 C. 命题p、命题q都是真命题 D. 命题p、命题q都是假命题 三、解答题（共78分） 17. 已知函数是定义域为R的偶函数. （1）求实数a的值； （2）已知关于x的方程在上有解，求实数k的取值范围. 18. 已知函数的表达式为. （1）求函数的单调增区间； （2）求方程在上的解. 19. 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面平面ABCD，为等边三角形，且，，，，M为PA的中点. （1）证明：； （2）求平面PCD与平面PAB所成锐二面角的大小. 20. 如图，已知双曲线（，）的渐近线方程为，点在双曲线C上，A、B为双曲线C的左、右顶点，P为双曲线C右支上的动点，直线AP和直线交于点N，直线NB交双曲线C的右支于点Q. （1）求双曲线C的方程； （2）若点P在第一象限，且满足，求的面积； （3）探究直线PQ是否过定点，若过定点，求出该定点坐标，并说明理由. 21. 若函数在区间上有定义，且，，则称是的一个“封闭区间”． （1）已知函数，区间且的一个“封闭区间”，求的取值集合； （2）已知函数，设集合． （i）求集合中元素的个数； （ii）用表示区间的长度，设为集合中的最大元素．证明：存在唯一长度为的闭区间 ，使得 是的一个“封闭区间”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $