专题06 反比例函数拓展之几何篇（优质类型）-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

专题06 反比例函数拓展之几何篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、反比例函数中的等腰三角形 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，与x轴负半轴交于点B，其中点A的坐标为，．        (1)求m，k，b的值； (2)若一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点C，且，求a的值． (3)在（2）的条件下，若x轴上存在点P，使得是等腰三角形，写出P点坐标． 【融会贯通】 1．如图，反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，点是点关于轴的对称点，连接，． (1)求该反比例函数的解析式和正比例函数的解析式； (2)在轴上找一点，使得是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标． 2．如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，连接，． (1)求k的值． (2)x轴上是否存在一点E，使为等腰三角形?若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，一条直线与反比例函数的图象交于、两点，与x轴交于D点，轴，垂足为C． (1)如图甲，①求反比例函数的解析式；②求n的值及D点坐标； (2)如图乙，若点E在线段上运动，连接，作，交于F点． ①试说明； ②当为等腰三角形时，直接写出F点坐标． 类型二、反比例函数中的等腰直角三角形 【解惑】已知：如图，直线与双曲线相交于点和点． (1)求k和m的值． (2)根据图象直接写出当且时，自变量x的取值范围． (3)请问在x轴上是否存在点C，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【融会贯通】 1．如图，函数的图象过点和两点．点C是双曲线上介于点A和点B之间的一个动点，且， (1)求反比例函数解析式及C点的坐标； (2)过C点作，交x轴于点D，交y轴于点E，第二象限内是否存在点F，使得是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 2．已知一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，交y轴于点C． (1)当A点的横坐标为4时，求反比例函数的表达式和点B的坐标； (2)在（1）的条件下，若点A关于原点的对称点为，求的面积； (3)探究：点P在y轴上，是否存在一点P，使得为等腰直角三角形，且直角顶点为点P．若存在，求出P点坐标及此时的k值；若不存在，请说明理由． 3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求此反比例函数的表达式： (2)在轴上存在点，使得的值最小，求的最小值． (3)为反比例函数图象上一点，为轴上一点，是否存在点；使是以为底的等腰直角三角形?若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 类型三、反比例函数中的直角三角形 【解惑】已知：如图，直线与函数的图像交于A，B两点，且与x，y轴分别交于C，D两点． (1)若直线与直线平行，且面积为2，求m的值； (2)若的面积是的面积的倍，过A作轴于E，过B作轴于F，与交于H点． ①求的值； ②求k与m之间的函数关系式． (3)若点P坐标为，在（2）的条件下，是否存在k，m，使得为直角三角形，且，若存在，求出k，m的值；若不存在，请说明理由． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点A，B（点A在点B的左侧），已知点A的纵坐标是1． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图，将直线向上平移2个单位长度后得到新的直线，点M在直线上，设点M的横坐标为．连接，． ①求的面积； ②当是直角三角形时，求点M的坐标． 2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点（A在B的左侧），与x轴和y轴分别交于E，F两点．    (1)当时，求A、B两点的坐标： (2)在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，直线分别交反比例函数图象的另一支于点C和点D，连接和交x轴于点Q，交y轴于点G．若． ①求此时反比例函数的表达式． ②求． 3．如图1，点、点在直线上，反比例函数的图象经过点A．    (1)求a和k的值； (2)将线段向右平移m个单位长度，得到对应线段，连接、． ①如图2，当点D恰好落在反比例函数图象上时，过点C作轴于点F，交反比例函数图象于点E，求线段的长度； ②在线段运动过程中，连接，若是直角三角形，求所有满足条件的m值． 类型四、反比例函数中的平行四边形 【解惑】如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴，垂足为，连接，．    (1)求反比例函数的表达式． (2)若，以，为边作平行四边形，点在第三象限内，求点的坐标． 【融会贯通】 1．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点、 (1)求这两个函数的表达式． (2)求的面积． (3)已知点在该双曲上，点在轴上，若以、、、为顶点的四边形为平行四边形，试直接写出所有满足条件的点、的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与x轴交于点，点C在反比例函数图象上． (1)求a，b，m的值； (2)若O，A，B，C为顶点的四边形为平行四边形，求点C的坐标和k的值； (3)过A，C两点的直线与x轴负半轴交于点D，点E与点D关于y轴对称．若有且只有一点C，使得与相似，求k的值． 3．综合与探究 如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于C，D两点，与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式． (2)直接写出关于x的不等式的解集． (3)点P是x轴上一点，点Q是平面内任意一点，若点P的横坐标是m． ①将的面积用含m的式子表示出来． ②当四边形是平行四边形，且面积为10时，直接写出此时m的值． 类型五、反比例函数中的菱形 【解惑】如图1，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点（点在点左边），过两点作直线，与双曲线的另一交点为，过作直线的平行线交双曲线于点． (1)则点坐标为 ，点坐标为 ，并求直线的解析式； (2)如图2，点在轴负半轴上，连接，交直线于点，连接，且，将线段在轴上移动，得到线段（如图3），请求出的最大值； (3)如图4，点在轴上，在平面内是否存在一点，使以点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)直线交反比例函数的图象于另一点，求的面积； (3)点为轴上任意一点，点为平面内任意一点，若以，，，为顶点的四边形是菱形，求点的坐标． 2．如图，点和点是一次函数与反比例函数的图象的两个交点，点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式及一次函数的表达式； (2)设点是轴上的一个动点，当最小时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，点在直线上，其中，点为坐标系内一点，当四边形为菱形时，求点的坐标． 3．如图1，正方形中，，．过点作轴于点，过点作轴的垂线交过点的反比例函数的图象于点，交轴于点． (1)求证：； (2)求反比例函数的表达式及点的坐标； (3)如图2，过点作直线，点是直线上的一点，在平面内是否存在点，使得以点四个点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的横坐标，若不存在，请说明理由． 类型六、反比例函数中的矩形 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点是第一象限内一点，连接，，使轴，轴，连接，．若点在轴上，且的面积与四边形的面积相等，求点的坐标； (3)在直线上有一动点M，过M点做y轴的平行线交反比例函数于点N，当以M、N、B、C四个点为顶点的四边形是平行四边形时，求N点坐标； (4)在平面内是否存在两点H、Q，使得四边形是矩形，且该矩形面积为15？若存在，请直接写出H点坐标；若不存在，请说明理由． 【融会贯通】 1．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点为线段上一点，且，连接、，求； (3)如果一个矩形的长宽之比为，我们把该矩形称为“倍边矩形”．请探究，在平面内是否存在、两点（点在直线上方），使得四边形为倍边矩形，若存在，请求、两点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知点，将绕点顺时针旋转得到，点在反比例函数的图象上，连接．    (1)求的值； (2)若为平面内一点，为双曲线上一点，是否存在点和点，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象“的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和，因此，木栏总长为，能围出矩形地块，分别为：，；或 ， ． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若，能否围出面积为的矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点． （3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值． 【拓展应用】 小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围． 类型七、反比例函数中的正方形 【解惑】如图，已知双曲线与过原点的两条直线，相交，交点，在第一象限，，在第三象限，，点的横坐标分别为，． (1)求点的坐标； (2)四边形能否为矩形？能否为正方形？如可能，写出，满足的条件，如不可能，说明理由． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图像与x轴、y轴交于、B两点，与反比例函数（）的图像交于点． (1)求和的值； (2)已知四边形是正方形，连接，点在反比例函数（）的图像上．当的面积与的面积相等时，直接写出点P的坐标_________． 2．如图：已知点A在函数的图像上，点A的纵坐标为，长方形的边在x轴上，且 (1)用m表示点D的坐标； (2)当四边形为正方形时，求m的值； 3．平面直角坐标系中，横坐标为a的点A在反比例函数的图象上，点与点A关于点O对称，一次函数的图象经过点． (1)设，点在函数、的图象上． ①分别求函数、的表达式； ②直接写出使成立的x的范围； (2)设，如图②，过点A作轴，与函数的图象相交于点D，以为一边向右侧作正方形，试说明函数的图象与线段的交点P一定在函数的图象上． 类型八、反比例函数中的相似 【解惑】如图，函数的图像经过点、，点的坐标为．过点作轴，（点位于点的下方），过点作轴，与函数的图像交于点，过点作于点，连接、． (1)求的面积； (2)延长交于点，当时，求的长； (3)连接，取中点，以线段为较长直角边作，使与相似，求出点坐标． 【融会贯通】 1． 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点、两点，与轴、轴分别交于、两点，且点的坐标为．    (1)求一次函数和反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)点为反比例函数图像上的一个动点，轴于，是否存在以、、为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 2．如图，直线经过两点，与双曲线交于点． (1)求直线和双曲线的解析式； (2)不等式的解集为________________； (3)过点C作轴于点D，点P在x轴上，若以O，A，P为顶点的三角形与相似，直接写出点P的坐标． 3．如图，函数的图象过点和点B，过点A作轴，（C在A的下方），过点C作轴，与函数的图象交于点D，过点B作于点E，连接． (1)求的面积； (2)延长交于点F，当时，求的长； (3)连接，取中点Q，以线段为较长直角边且Q为直角顶点作，使得与相似，求出点P的坐标． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 反比例函数拓展之几何篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、反比例函数中的等腰三角形 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，与x轴负半轴交于点B，其中点A的坐标为，．        (1)求m，k，b的值； (2)若一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点C，且，求a的值． (3)在（2）的条件下，若x轴上存在点P，使得是等腰三角形，写出P点坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)或或或或 【分析】（1）作轴于点，先利用反比例二次函数的性质求得，再利用勾股定理求得的长，得到，利用待定系数法即可求解； （2）作轴于点，得到，推出，求得，再求得，利用待定系数法即可求解； （3）结合题意得可得：，，，再根据是等腰三角形，分三种情况：当时，当时，当时，分别讨论即可求解． 【详解】（1）解：作轴于点， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 将和代入，得， 解得； ∴，，； （2）作轴于点， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由（1）得直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴． （3）由（1）（2）可知，， 设点的坐标为， 可得：，，， 若是等腰三角形， 当时，即，可得：，解得：， 此时点的坐标为或； 当时，即：，可得：，解得：， 此时点的坐标为或； 当时，即：，可得，解得：， 此时点的坐标为； 综上，点的坐标为或或或或． 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数交点的问题，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的定义，勾股定理等．正确求出对应的函数解析式是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，点是点关于轴的对称点，连接，． (1)求该反比例函数的解析式和正比例函数的解析式； (2)在轴上找一点，使得是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，正比例函数的解析式为； (2)或或或． 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）利用对称性求出点的坐标，设，分点为顶点和点为顶点两种情况，利用两点间距离公式列出方程解答即可求解； 本题考查了待定系数法求反比例函数和正比例函数解析式，反比例函数的图象和几何应用，等腰三角形的性质，两点间距离公式，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 把代入得，， ∴， ∴正比例函数的解析式为； （2）解：∵点关于原点对称， ∴， 设， ∵是以为腰的等腰三角形， 当点为顶点时，， ∴， ，， ∴点的坐标为或； 当点为顶点时，， ∴， ，， ∴点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 2．如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，连接，． (1)求k的值． (2)x轴上是否存在一点E，使为等腰三角形?若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)10 (2)存在，或或或或 【分析】此题是一道反比例函数综合题，涉及待定系数法，一次函数与反比例函数的交点问题，解一元二次方程； （1）先求出，再根据求出点坐标，最后代入计算即可； （2）先求出，，再设，根据为等腰三角形列方程求解即可． 【详解】（1）对于，当时，． ∴， ∴， 设点B的横坐标为t，则 ∵， ∴， 解得． ∴， 把代入中，得 ∴． （2）由（1）得，则反比例函数解析式为， 联立，解得或， ∴，． 设，则 ，，． ①若，即， ∴， 解得． 此时点E的坐标为．· ②若，即， ∴， 解得， 此时点E的坐标为或， ③若，即， ∴， 解得， 此时点E的坐标为或， 综上所述，x轴上存在一点或或或或，使为等腰三角形． 3．如图，一条直线与反比例函数的图象交于、两点，与x轴交于D点，轴，垂足为C． (1)如图甲，①求反比例函数的解析式；②求n的值及D点坐标； (2)如图乙，若点E在线段上运动，连接，作，交于F点． ①试说明； ②当为等腰三角形时，直接写出F点坐标． 【答案】(1)①，②， (2)①见解析；②或或 【分析】（1）①把A的坐标代入反比例函数的解析式，即可求得函数的解析式，②根据反比例函数的解析式，求得B的坐标，即可得到n的值，然后利用待定系数法即可求得直线的解析式，进而求得与x轴的交点D的坐标； （2）①根据题意易证是等腰直角三角形，利用两角对应相等的两个三角形相似即可证得；②分三种情况，利用等腰三角形的性质，即可求得的长，则F的坐标可以求得． 【详解】（1）解：①把代入得：， 解得：， 则反比例函数解析式是：； ②把代入得：， ∴， 设直线的解析式为， 把、代入，得：， 解得：， 则直线的解析式是：， 令，解得：， 则D的坐标是：； （2）解：①∵轴， ， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ②∵为等腰三角形分三种情况．如图乙： 当时，， 又∵， ∴A，F重合，则F的坐标是； 当时，， ∴是等腰直角的角平分线， ∴E是的中点，， ∴， ∴F是的中点， ∴， ∴F的坐标是：； ③当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴F的坐标是：． 综上，点F的坐标为：或或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，三角形相似的判定条件坐标与图形，等腰三角形的存在问题，综合性性强． 类型二、反比例函数中的等腰直角三角形 【解惑】已知：如图，直线与双曲线相交于点和点． (1)求k和m的值． (2)根据图象直接写出当且时，自变量x的取值范围． (3)请问在x轴上是否存在点C，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在， 【分析】（1）由A点坐标可求得k的值，把B点坐标代入反比例函数解析式可求得m的值； （2）结合图象可知所求不等式即为直线在反比例函数图象上方时对应的自变量的取值范围，结合A、B坐标可求得答案； （3）可设C点坐标为，由A、B两点坐标，则可表示出的长，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理可得到关于x的方程，可得结论． 【详解】（1）解：∵双曲线过点， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵反比例函数图象过点B， ∴； （2）解：当时，即直线在反比例函数图象的上方时所对应的自变量的取值范围， ∵， ∴当且时，自变量的取值范围为； （3）解：存在． 设C点坐标为， ∴，，， ∵为等腰直角三角形， ∴或三种情况， ①当时，则有，即，解得， 但此时，即，故不符合题意； ②当时，则有，即，解得或， 当时，，即，故符合题意； 当时，，即，故不符合题意； ∴； ③当时，则有，即，解得， 此时，即，故不符合题意； 综上可知存在满足条件的点C，其坐标为． 【点睛】本题为反比例函数的综合应用，涉及函数图象点的坐标特征、待定系数法、勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想、数形结合思想及分类讨论思想等知识 【融会贯通】 1．如图，函数的图象过点和两点．点C是双曲线上介于点A和点B之间的一个动点，且， (1)求反比例函数解析式及C点的坐标； (2)过C点作，交x轴于点D，交y轴于点E，第二象限内是否存在点F，使得是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)存在，点或 ． 【分析】此题考查关于一次函数、反比例函数与动态三角形的综合题，熟练运用待定系数法求函数解析式，准确完整地讨论等腰直角三角形的各种可能的情况是解此题的关键． （1）将、两点的坐标分别代入反比例函数解析式，解方程组得、的值，得到反比例函数解析式，设直线解析式，由点A的坐标可求得此解析式，过点做轴于点，交于点，以为底，由的面积解出点坐标； （2）先用待定系数法求得进而求出直线的解析式，再分两种情况进行讨论：①以为直角边，为直角顶点；②以为直角边，为直角顶点．证明三角形全等并利用点的移动特点写出答案． 【详解】（1）解：函数的图象过点和两点，代入得： ， 解得， 反比例解析式为． ，， 点， 设直线的解析式为：， 把代入，得， 解得， 直线的解析式为：， 过点作轴于点，交直线于点，如图1， 设， ， ， ， 或（不符合题意舍去）， ； （2）解：第二象限内存在点，使得是以为腰的等腰直角三角形，理由如下： ，直线的解析式为，， 设直线的解析式为：， 点在直线上， ，即， 直线的解析式为：， 当时，， ，， 当时，， ，， 根据题意，分两种情况进行讨论： ①以为直角边，为直角顶点，如图1； 过做轴于点，可知：， ， ， 又， ， 又， ， ，， 故点到点的平移规律是：向左移3个单位，向上移6个单位得点坐标， ，且在第二象限， 即； ②以为直角边，为直角顶点，如图2； 同①理得，将点向左移3个单位，向上移6个单位得点坐标，得． 综上所述：点或． 2．已知一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，交y轴于点C． (1)当A点的横坐标为4时，求反比例函数的表达式和点B的坐标； (2)在（1）的条件下，若点A关于原点的对称点为，求的面积； (3)探究：点P在y轴上，是否存在一点P，使得为等腰直角三角形，且直角顶点为点P．若存在，求出P点坐标及此时的k值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)24 (3) 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． （1）将点的坐标代入解析式可求出，联立方程组即可得到答案． （2）求出点的坐标，再由三角形的面积公式即可得到答案． （3）过点A作轴于E，轴于D，设点，联立方程组求出点B的坐标，得到，证明，得到，从而得到，利用得到关于a的方程，求出a的值即可求解． 【详解】（1）解：设点， 一次函数图象过点A， ， ， 反比例函数的图象过点， ， 反比例函数的表达式为， 由， 解得或， 点的坐标为； （2）解：如图，过点作轴，交与Q，： ， 点A关于原点的对称点为的坐标为， 当时，， ∴，， 又， ， 即的面积是24； （3）解：如图，过点A作轴于E，轴于D， ， 设点， ，， 联立方程组可得： ∴， 解得：(点A的横坐标)， 当时，， 点， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求此反比例函数的表达式： (2)在轴上存在点，使得的值最小，求的最小值． (3)为反比例函数图象上一点，为轴上一点，是否存在点；使是以为底的等腰直角三角形?若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点使是以为底的等腰直角三角形，点坐标为或，理由见详解 【分析】（1）把，两点代入一次函数，运用求自变量，函数值的方法即可得到的坐标，再运用待定系数法即可求解反比例函数解析式； （2）如图所示，作点关于轴的对称点，可得，此时的值最小，运用两点之间的距离公式即可求解； （3）根据等腰直角三角形的判定和性质，图形结合分析，分类讨论：当点在点的右侧时；当点在点的左侧时；运用三角形全等的判定和性质列式求解即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ∴把，两点代入一次函数得，，， ∴，即，， 把代入反比例函数得，， ∴， ∴反比例函数的表达式为：； （2）解：如图所示，作点关于轴的对称点， ∴， ∴，此时的值最小， ∴，且， ∴， ∴的最小值为； （3）解：存在，理由如下， 设点，，且， 当点在点的右侧时，如图所示，过点作轴于点，过点作轴交的延长线于点， ∵是以为底的等腰直角三角形，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，且， 解得，， ∴； 当点在点的左侧时，如图所示， 同理可得，，则，且，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴； 综上所述，存在点使是以为底的等腰直角三角形，点坐标为或． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握待定系数法求解析式，轴对称最短路径的计算方法，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，两点之间的距离公式等知识的综合是解题的关键． 类型三、反比例函数中的直角三角形 【解惑】已知：如图，直线与函数的图像交于A，B两点，且与x，y轴分别交于C，D两点． (1)若直线与直线平行，且面积为2，求m的值； (2)若的面积是的面积的倍，过A作轴于E，过B作轴于F，与交于H点． ①求的值； ②求k与m之间的函数关系式． (3)若点P坐标为，在（2）的条件下，是否存在k，m，使得为直角三角形，且，若存在，求出k，m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②m与k的关系式为（） (3)存在，，或， 【分析】（1）利用两直线平行得到，从而得到点，设点，根据的面积求出a的值，从而得到点A的坐标，根据待定系数法即可求出m的值； （2）①设，（其中，），由得到，根据三角形的面积公式可推出，而，即可求解； ②由得到，进而有，联立与得，根据根与系数的关系得到，，代入后得到，从而； （3）过点B作轴于点N，，可证明，根据相似三角形的性质得到，即，变形得到，利用得到，进而，由（2）有，，代入后得到，求解即可得到m，k的值，从而可解答． 【详解】（1）解：∵直线与直线平行， ∴， 对于直线，令，则， ∴， ∴， 设， ∵，即， ∴， ∴， ∵点在函数的图像上， ∴； （2）解： ①设，（其中，） ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ②对于直线，令，则， ∴， ∴， 由①有， ∴，即， 联立与得， ∴，， ∴，即， ∴m与k的关系式为（）． （3）解：存在k，m，使得为直角三角形，且． 过点B作轴于点N， 若，则 ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 即， 由（2）有，， ∴，解得，， 当时，； 当时，； ∴存在k，m，使得为直角三角形，且． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，涉及待定系数法，一元二次方程根与系数的关系，相似三角形的判定及性质，三角形的面积等，解题的关键是熟练掌握反比例函数图像上点的坐标特征和一次函数图像上点的坐标特征；会求反比例函数与一次函数的交点坐标，灵活运用根与系数的关系；会利用相似比计算线段的长． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点A，B（点A在点B的左侧），已知点A的纵坐标是1． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图，将直线向上平移2个单位长度后得到新的直线，点M在直线上，设点M的横坐标为．连接，． ①求的面积； ②当是直角三角形时，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)①4；②或 【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数的图像和性质，一次函数和反比例函数的交点问题，熟练掌握一次函数和反比例函数的图像和性质是解题的关键． （1）根据题意求出，代入反比例函数即可求出答案； （2）①过点M作轴交直线于点N，则，根据对称性质得到，分情况计算出面积即可； ②分当时，当时两种情况分类讨论即可． 【详解】（1）解：把代入，得 又∵直线与反比例函数的图象交于点A，B 故反比例函数的表达式为 （2）解：①如图， 过点M作轴交直线于点N，则，由对称性可知， 当时， 当时， 综上所述，的面积为4 ②由题意可知，直线的函数表达式为，令，则；令，则 直线与x轴的交点为，与y轴的交点为 ， 点M在直线的第一象限图象上，当是直角三角形时，存在以下两种情况. （i）当时， 设，过点作一条直线平行轴，过点作垂线交直线于点，使． 根据坐标系可知，， 根据勾股定理可得，，， 由①得： ， 解得， ； （ii）当时，设，连接 是直角三角形，且点O是线段的中点， . 整理，得，解得，（舍去） 综上所述，当是直角三角形时，点M的坐标为或． 2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点（A在B的左侧），与x轴和y轴分别交于E，F两点．    (1)当时，求A、B两点的坐标： (2)在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，直线分别交反比例函数图象的另一支于点C和点D，连接和交x轴于点Q，交y轴于点G．若． ①求此时反比例函数的表达式． ②求． 【答案】(1) (2)或 (3)①；② 【分析】（1）解方程组即可得到结论； （2）分情况讨论，过点作于点，设与轴的交点为，根据相似的性质得到，设直线的解析式为，解方程组即可得到答案； （3）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，根据相似三角形的性质得到． ①设，解出，即可求出函数解析式； ②设直线的解析式为，得到的解析式为，得到，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：当时，反比例函数的解析式为， 联立， 解得或， ； （2）解：若 过点作于点，设与轴的交点为， 令，解得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 即， ， ， 设直线的解析式为， 则有，解得， 直线的解析式为， 解方程组， 解得或， ，    ②若， 过点作于点，设与轴的交点为， 令，解得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 即， ， ， 设直线的解析式为， 则有，解得， 直线的解析式为， 解方程组， 解得或， 点的坐标为，    综上所述，符合条件的点的坐标为或； （3）解：过点作轴于点，过点作轴于点， 则有， ， ， ①设， ， ， 即， 都在反比例函数上， ， ， ， 解得， ， ， ， 故反比例函数为；    ②设直线的解析式为， 则有， 解得， 故直线的解析式为， 令，解得， ， ， ， 根据轴对称的性质得到四边形为平行四边形， ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合题，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，待定系数求函数解析式，正确做出辅助线是解题的关键． 3．如图1，点、点在直线上，反比例函数的图象经过点A．    (1)求a和k的值； (2)将线段向右平移m个单位长度，得到对应线段，连接、． ①如图2，当点D恰好落在反比例函数图象上时，过点C作轴于点F，交反比例函数图象于点E，求线段的长度； ②在线段运动过程中，连接，若是直角三角形，求所有满足条件的m值． 【答案】(1)， (2)①；②1或5 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的应用，平移的性质，两点间的距离公式，勾股定理，、等，根据两点间的距离公式求出、的值，运用勾股定理进行分类讨论是解题的关键． （1）先根据待定系数法求出一次函数的解析式，在将点代入求出a值，待定系数法求反比例函数的解析式即可； （2）①根据平移的性质可得点D的纵坐标为1，代入求出点D的坐标，得出平移的距离，求出点C和点和点E的坐标，即可求解； ②根据平移的性质可得，，根据两点间的距离公式求出、的值，结合题意，根据勾股定理进行分类讨论，求解即可． 【详解】（1）解：将点代入，得=1， ∴一次函数解析式为， 将点代入得：， ∴ ， 将点代入，可得， ∴反比例函数解析式为； （2）解∶ ①∵点恰好落在反比例函数图象上，点D是点B平移后的对应点， ∴点D的纵坐标为1， 当时，，解得， ∴，， ∴， ∵点C作轴，交反比例函数图象于点E， ∴， ∴  ， ②若，如图1所示，则，； 若，与题意不符，舍去； 若，如图2所示，设，， 则， ， ， ∵为直角三角形 ∴ ∴ 解得 综上，的值为1或5．    类型四、反比例函数中的平行四边形 【解惑】如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴，垂足为，连接，．    (1)求反比例函数的表达式． (2)若，以，为边作平行四边形，点在第三象限内，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立正比例函数与反比例函数，解方程组可得，图形结合分析，再根据，由此即可求解； （2）把点代入反比例函数解析式可得，则，根据点关于原点对称可得，再根据平行四边形的性质可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于点， ∴， 解得，，， 根据图形可得，， ∴， ∵轴， ∴，点到的距离为， ∵， ∴， ∴反比例函数解析式为：； （2）解：由（1）可知，反比例函数解析式为，且点在反比例函数图象上， ∴，即， ∵轴， ∴， ∵正比例函数与反比例函数交于点， ∴点关于原点对称， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握一次函数与反比例函数交点的计算，解一元二次方程的方法，几何图形面积的计算方法，平行四边形的性质是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点、 (1)求这两个函数的表达式． (2)求的面积． (3)已知点在该双曲上，点在轴上，若以、、、为顶点的四边形为平行四边形，试直接写出所有满足条件的点、的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)，或，或，． 【分析】（1）由点A，B在反比例函数图象上，求出m，n，进而求出A，B坐标，再代入一次函数解析式中，即可得出结论； （2）设一次函数与轴、轴分别交于，两点，再过，两点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为，两点，首先求出，，，，然后利用代数求解即可； （3）根据题意设，，然后分是平行四边形的边和是平行四边形的对角线两种情况讨论，然后分别根据平行四边形的性质列方程组求解即可． 【详解】（1）解：将，两点代入反比例函数， 得，得， ∴， 将代入 得，， ∴ 将，代入一次函数 得 解得 ∴； （2）解：设一次函数与轴、轴分别交于，两点，再过，两点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为，两点，如图1， 当时， ∴，即， 当时，， ∴，即 ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）解：∵点在该双曲上，点在轴上， ∴设，， ∵以、、、为顶点的四边形为平行四边形，， ∴当是平行四边形的边时，则四边形或是平行四边形 ∴或， ∴或 解得或 ∴，或，； 当是平行四边形的对角线时，则四边形或是平行四边形 ∴， ∴ 解得 ∴，； 综上所述，点、的坐标为，或，或，． 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，平行四边形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与x轴交于点，点C在反比例函数图象上． (1)求a，b，m的值； (2)若O，A，B，C为顶点的四边形为平行四边形，求点C的坐标和k的值； (3)过A，C两点的直线与x轴负半轴交于点D，点E与点D关于y轴对称．若有且只有一点C，使得与相似，求k的值． 【答案】(1)；； (2)点的坐标为或，的值为 (3) 【分析】（1）将点A、点B分别代入相应解析式即可求解， （2）设，①当，为对角线时，，的中点重合，，②当，为对角线时，，的中点重合，，③当，为对角线时，，的中点重合，，分别解方程组可得答案； （3）设直线解析式为，可知，求出，，，，可得，，由与相似，可得，解得，直线的解析式为，根据有且只有一点，使得与相似，得只有一个解，即有两个相等实数根，可得，进行计算即可． 【详解】（1）解：把代入得：， ， 把代入得：， ； 直线为， 把代入得：， ， 的值为4，的值为6，的值为6； （2）解：设， 由（1）知，，， ①当，为对角线时，，的中点重合， ， 解得， 经检验，，符合题意， 此时点的坐标为； ②当，为对角线时，，的中点重合， ， 解得， 经检验，，符合题意， 此时点的坐标为； ③当，为对角线时，，的中点重合， ， 解得， ， 这种情况不符合题意； 综上所述，的坐标为或，的值为． （3）解：如图： 设直线解析式为，把代入得：， ， 直线解析式为， 在中，令得， ，， 与点关于轴对称， ，， ， ，， 与相似， 只能在左侧， ， 故与相似，只需即可，即， ，， ， ， 解得， 经检验，满足题意， 直线的解析式为， 有且只有一点，使得与相似， 直线与反比例函数图象只有一个交点， 只有一个解， 即有两个相等实数根， ，即， 解得， 的值为． 【点睛】本题考查反比例函数与几何的综合应用，平行四边形的判定与性质，相似三角形判定与性质，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握平行四边形和相似三角形的性质与判定． 3．综合与探究 如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于C，D两点，与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式． (2)直接写出关于x的不等式的解集． (3)点P是x轴上一点，点Q是平面内任意一点，若点P的横坐标是m． ①将的面积用含m的式子表示出来． ②当四边形是平行四边形，且面积为10时，直接写出此时m的值． 【答案】(1)， (2)或 (3)①；②4或2 【分析】（1）先把点B的坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式，再求出点A坐标，最后利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）根据函数图象写出不等式的解集即可； （3）①先求出点C的坐标，然后再表示出的面积即可； ②根据四边形的面积为10，得出的面积为5，求出m的值即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式为， 把代入得：， 解得：， ∴， 把，代入得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为：． （2）解：根据函数图象可知：当或时，反比例函数图象在一次函数的上面， ∴不等式的解集为或． （3）解：①把代入得：， 解得：， ∴点C的坐标为， ∴， ； ②∵四边形为平行四边形，面积为10， ∴， ∴， 解得：或． 类型五、反比例函数中的菱形 【解惑】如图1，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点（点在点左边），过两点作直线，与双曲线的另一交点为，过作直线的平行线交双曲线于点． (1)则点坐标为 ，点坐标为 ，并求直线的解析式； (2)如图2，点在轴负半轴上，连接，交直线于点，连接，且，将线段在轴上移动，得到线段（如图3），请求出的最大值； (3)如图4，点在轴上，在平面内是否存在一点，使以点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)点的坐标为或或或 【分析】（1）联立方程组即可得出点的坐标，利用待定系数法先求出直线的解析式，再求出的解析式即可； （2）设，先表示出，再求出，结合，求出，从而得出，将点向上平移4个单位长度，得到点，设点、关于轴对称，则，连接并延长交轴于点，即可得解； （3）设，，分三种情况：当为对角线时，当为边时，菱形为时，当为边时，菱形为时；分别利用菱形的性质结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：联立方程组， 解得：或， ∵点在点左边， ∴，， 设直线的解析式为， 将代入解析式得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为：， 将代入解析式得：， 解得：， ∴直线的解析式为：； （2）解：∵点、关于原点对称，， ∴， ∵点在轴负半轴上， ∴设， 令直线交轴于， ， 在中，当时，，即， ∴， ∴， 联立， 解得：或， ∴， ∴， 作于，连接、，则，， 设，， 由勾股定理得：，， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，则， 如图，将点向上平移4个单位长度，得到点，则，则为平行四边形， ∴， 设点、关于轴对称，则，连接并延长交轴于点， ， ∴的最大值为； （3）解：由（2）可得：，， 设，， ∵以点为顶点的四边形是菱形， ∴当为对角线时，， 解得：，即， 当为边时，菱形为时，， 解得：或，即或； 当为边时，菱形为时，， 解得：或（不符合题意，舍去），即； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、求一次函数解析式、三角形面积公式、勾股定理、菱形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)直线交反比例函数的图象于另一点，求的面积； (3)点为轴上任意一点，点为平面内任意一点，若以，，，为顶点的四边形是菱形，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2)3 (3)点的坐标为或． 【分析】（1）解方程或方程组即可得到结论； （2）根据中心对称的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）求得中点的坐标为，，设点，点，①当为菱形的对角线时，，，②当为菱形的对角线时，③当为菱形的对角线时，，根据菱形的性质列方程组即可得到结论． 【详解】（1）解：直线与反比例函数的图象相交于，两点， ， ， ， 反比例函数的表达式为， 解得，， ； （2）直线交反比例函数的图象于另一点， 点与点关于原点对称， ， ，； 过作轴，过作于，过作于， ，， 的面积四边形的面积的面积； （3），； 中点的坐标为，， 设点，点， 以，，，为顶点的四边形是菱形， ①当为菱形的对角线时，，， ， ， 解得， ； ②当为菱形的对角线时，，， ， 解得或（此时，点在直线上，不合题意舍去） ； ③当为菱形的对角线时，， ， 此方程组无实数根，这种情况不存在， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，菱形的性质，三角形的面积的计算，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键． 2．如图，点和点是一次函数与反比例函数的图象的两个交点，点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式及一次函数的表达式； (2)设点是轴上的一个动点，当最小时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，点在直线上，其中，点为坐标系内一点，当四边形为菱形时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，轴对称最短路径问题： （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，设点关于轴的对称点为，连接交轴于点，则最小，此时，据此求出直线的解析式，进而求出点M的坐标即可． （3）由菱形的性质可得．轴，则设， 利用两点坐标公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得：，解得， ∴一次函数解析式为； 把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：将代入，得， ． 设点关于轴的对称点为， 连接交轴于点，则最小，此时． 设过点和的直线为， 将，代入，得 解得 ， 点的坐标为． （3）解：设直线的表达式为， 将，代入，得，， ． 如图，当四边形为菱形时，．轴， 设， ∴， 解得， ∴或 点的坐标为，点的坐标为． 综上，点的坐标为或． 3．如图1，正方形中，，．过点作轴于点，过点作轴的垂线交过点的反比例函数的图象于点，交轴于点． (1)求证：； (2)求反比例函数的表达式及点的坐标； (3)如图2，过点作直线，点是直线上的一点，在平面内是否存在点，使得以点四个点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的横坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)点的横坐标为或3或或 【分析】此题属于反比例函数的综合题．考查了反比例函数图象上点的坐标特征、直角三角形的性质、正方形的性质、三角形全等的判定与性质、菱形的性质等． （1）由正方形性质可得，，利用同角的余角相等得出，再利用即可证得结论； （2）先求得，代入，求得，可得，当时，，即可求得答案； （3）利用待定系数法可得直线的解析式为，进而可得直线的解析式为，设，，分三种情况：当、为对角线时，当、为对角线时，当、为对角线时，分别列方程组求解即可求得答案． 【详解】（1）如图1，四边形是正方形， ，， ， 轴， ， ， ， 在和中， ， ； （2），， ，， ， ，， ， ∴ 同理可证， ∴， ∴， ∴点E的横坐标为， 设反比例函数的表达式为， 把代入，得， ， 当时，， 点的坐标为； （3）在平面内存在点，使得点、、、四个点依次连接构成的四边形是菱形．理由如下： 设直线的解析式为，把，代入， 得， 解得：， 直线的解析式为， 直线， 设直线的解析式为，把代入得， 解得：， 直线的解析式为， 点是直线上的一点，点是平面内一点， 设，， 又，， 当、为对角线时， ， 解得：， ，； 当、为对角线时， ， 解得：或（舍去）， ； 当、为对角线时， ， 解得：或， ，或，； 综上所述，在平面内存在点，使得点、、、四个点依次连接构成的四边形是菱形，点的横坐标为或3或或． 类型六、反比例函数中的矩形 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点是第一象限内一点，连接，，使轴，轴，连接，．若点在轴上，且的面积与四边形的面积相等，求点的坐标； (3)在直线上有一动点M，过M点做y轴的平行线交反比例函数于点N，当以M、N、B、C四个点为顶点的四边形是平行四边形时，求N点坐标； (4)在平面内是否存在两点H、Q，使得四边形是矩形，且该矩形面积为15？若存在，请直接写出H点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或 (4)存在，或 【分析】（1）根据点，在一次函数的图象上求出、的值，得出、两点的坐标，再运用待定系数法解答即可； （2）延长交轴于点，延长交轴于点，构建矩形，根据，设点，根据反比例函数的几何意义解答即可； （3）先求出直线的函数关系式为，设，再分为当点M在线段延长线上时及当点M在线段上时，两种情况进行分类讨论求解即可； （4）分为当点H在直线的上方时及当点H在直线的下方时，两种情况分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：点，在一次函数的图象上， ，， ，， 点的坐标为，点的坐标为， 又点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：延长交轴于点，延长交轴于点， 轴，轴， 则有轴，轴，点的坐标为 四边形为矩形，且，， ， 设点的坐标为， 则， ， 点的坐标为或． （3）解：设直线的函数关系式为， 点的坐标为， ， ， 直线的函数关系式为， 设， 如图，当点M在线段延长线上时， 以M、N、B、C四个点为顶点的四边形是平行四边形， 且， 由可得， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， 解得：或（舍去）， ， 当点M在线段上时， ， 解得：或（舍去）， ， 综上所述，或； （4）解：存在， 如图，当点H在直线的上方时， 过点H作，交的延长线于点R， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， 矩形面积为15， ，即， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ； 当点H在直线的下方时， 则点H与点关于点B对称， 设， ， ， ； 综上所述，或． 【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题及与几何结合问题，涉及的知识有：直线与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，矩形的性质与判定及相似三角形的判定与性质，作出恰当的辅助线是解本题的关键． 【融会贯通】 1．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点为线段上一点，且，连接、，求； (3)如果一个矩形的长宽之比为，我们把该矩形称为“倍边矩形”．请探究，在平面内是否存在、两点（点在直线上方），使得四边形为倍边矩形，若存在，请求、两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的表达式为：，直线的表达式为： (2)3 (3)存在，、点或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）利用，而，则，即可求解； （3）证明和的相似比为2，设，，分为和两种情况分别得到得关于、的方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 则反比例函数的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 即点， 由点、的坐标得，， 解得， 直线的表达式为：； （2）解：连接、， 由一次函数的表达式知，点， 则， ， 则； （3）解：存在，理由： 由题意得，，， 过点作轴的平行线分别交过点、和轴的平行线于点、， 则和的相似比为， 设，， 则，， 则且， 解得：，， 则点， 由中点坐标公式得：点， 当时， 则和的相似比为， 设，， 则，， 则且， 解得：，， 则点， 由中点坐标公式得：点， 即、点或点、点． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数上点的坐标特点，相似三角形的判定和性质，中点坐标公式等，解题关键是要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知点，将绕点顺时针旋转得到，点在反比例函数的图象上，连接．    (1)求的值； (2)若为平面内一点，为双曲线上一点，是否存在点和点，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）由旋转性质得到，过点向轴作垂线，交轴于点，如图所示，利用互余得到，在中，由含的直角三角形性质及勾股定理求出，代入反比例函数解析式即可求出的值； （2）设，作出图形，由平行四边形性质，结合点的平移得到，当平行四边形是矩形时，，则由两点之间距离公式得到方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵将绕点顺时针旋转得到， ， 过点向轴作垂线，交轴于点，如图所示：   ， ， 在中，，，则由勾股定理可得， ， ∵点在反比例函数的图象上， ； （2）解：存在． 理由如下： ，，为双曲线上一点， 设， 在平面内找一点，使四边形是平行四边形，如图所示：    ∴由点的平移性质可知， 当平行四边形是矩形时，，则由两点之间距离公式得到， ，即，解得， ． 【点睛】本题考查反比例函数与几何综合，涉及旋转性质、互余、含的直角三角形性质、勾股定理、反比例函数图象与性质、点的平移、平行四边形性质、矩形性质、两点之间距离公式及解一元二次方程，熟练掌握反比例函数与几何综合问题解法是解决问题的关键． 3．综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象“的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和，因此，木栏总长为，能围出矩形地块，分别为：，；或 ， ． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若，能否围出面积为的矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点． （3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值． 【拓展应用】 小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）4,2（2）不能围出，理由见详解（3）图见详解，（4） 【分析】（1）依题意，且观察图象即可得出，； （2）观察图象得到 与函数 图象没有交点，所以不能围出； （3）平移直线通过，将点代入，解得； （4）和的长均不小于，所以，直线在、上面或之间移动，可得求的范围． 本题考查了实际应用题的函数直观解释，比较新颖，实质是一次函数和反比例函数图象的交点问题． 【详解】解：（1）∵反比例函数的图象与直线的交点坐标为和，且为，为． ∴，； 故答案为：4；2； （2）不能围出，理由如下； 的图象，如图中所示： 与函数图象没有交点， 不能围出面积为的矩形． （3）如图中直线所示： 将点代入，解得． （4）和的长均不小于， ，， ， ， ， 如图所示，直线在、上面或之间移动， 把代入得， 类型七、反比例函数中的正方形 【解惑】如图，已知双曲线与过原点的两条直线，相交，交点，在第一象限，，在第三象限，，点的横坐标分别为，． (1)求点的坐标； (2)四边形能否为矩形？能否为正方形？如可能，写出，满足的条件，如不可能，说明理由． 【答案】(1) (2)能成为矩形，当时，四边形为矩形；不可能是正方形，理由见解析 【分析】本题属于反比例函数综合题，主要考查了中心对称的性质，反比例函数的性质，平行四边形的判定，熟知反比例函数及正比例函数的图象均关于原点对称的特点是解答此题的关键． （1）依题意，根据A点的横坐标为得出，再结合与关于原点对称，即可作答． （2）由四边形是平行四边形，当是四边形是矩形，此时；若则四边形是正方形，此时点、在坐标轴上，由于点、不可能在坐标轴上故不可能是正方形． 【详解】（1）解： 点的横坐标为， 把代入得：，即点的坐标为， 依题意，由对称性得：与关于原点对称， 点的坐标为：， 故答案为：； （2）解：如图，分别过点作轴，轴， 能成为矩形，当时，四边形为矩形；不可能是正方形，理由如下： ∵双曲线与过原点的两条直线，相交，交点，在第一象限，，在第三象限，，点的横坐标分别为， ∴点P和点Q关于原点对称，点A和点B关于原点对称， ∴ ∴四边形是平行四边形， 当时四边形是矩形， ，， ， 点、的横坐标分别为、， 点、的纵坐标分别为、， ，，，， ， 化简得，， ， ， ，应满足的条件是； 四边形不可能是正方形． 理由：当时四边形是正方形，此时点、在坐标轴上，由于点，不可能达到坐标轴，故不可能是正方形，即． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图像与x轴、y轴交于、B两点，与反比例函数（）的图像交于点． (1)求和的值； (2)已知四边形是正方形，连接，点在反比例函数（）的图像上．当的面积与的面积相等时，直接写出点P的坐标_________． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的交点，三角形的面积，关键是用待定系数法求和的值；分两种情况求的坐标． （1）把的坐标代入，即可求出，把代入，求出，把代入，求出； （2）分两种情况，由三角形面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：一次函数的图象过， ， ， 在函数的图象上， ， 在函数图象上， ； （2）解：当时，， ， 四边形是正方形， ， 当在反比例函数的图象右半支上， 设的坐标是， 的面积与的面积相等， ， ， ， 的坐标是， 当在反比例函数的图象左半支上， 设的坐标是， 的面积与的面积相等， ， ， ， 的坐标是， 综上的坐标为或． 2．如图：已知点A在函数的图像上，点A的纵坐标为，长方形的边在x轴上，且 (1)用m表示点D的坐标； (2)当四边形为正方形时，求m的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键． （1）由点A的纵坐标为得，由得，，，进而可表示点D的坐标； （2）根据列式求解即可． 【详解】（1）∵点A在函数的图像上，点A的纵坐标为 ∴ ∴； ∵ ∴，， ∴ （2）∵四边形为正方形 ∴ ∴ ∴(负值舍去) 经检验符合题意， ∴． 3．平面直角坐标系中，横坐标为a的点A在反比例函数的图象上，点与点A关于点O对称，一次函数的图象经过点． (1)设，点在函数、的图象上． ①分别求函数、的表达式； ②直接写出使成立的x的范围； (2)设，如图②，过点A作轴，与函数的图象相交于点D，以为一边向右侧作正方形，试说明函数的图象与线段的交点P一定在函数的图象上． 【答案】(1)①，；② (2)见解析 【分析】①将代入，可求，则；当时，，即，，将，代入，计算求解可得，进而可得； ②由题意知，使成立的x的范围为反比例函数图象在一次函数图象上方，且反比例函数图象和一次函数图象均在轴上方，所对应的x的范围，当时，，可求，即的图象经过点，数形结合可求使成立的x的范围为； （2）由，可得，由题意知，，则，，将代入得，，即，则，，由，正方形，可得，即，将代入可得，，即，将代入得，，进而可判断P一定在函数的图象上． 【详解】（1）①解：将代入得，， 解得，， ∴； 当时，，即， ∴， 将，代入得，， 解得，， ∴， ∴，； ②解：由题意知，使成立的x的范围为反比例函数图象在一次函数图象上方，且反比例函数图象和一次函数图象均在轴上方，所对应的x的范围， 当时，， 解得，， ∴的图象经过点， 由图象可知，使成立的x的范围为； （2）解：∵， ∴， 由题意知，，则，， 将代入得，，即， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， 将代入可得，， ∴， 将代入得，， ∴函数的图象与线段的交点P一定在函数的图象上． 【点睛】本题考查了反比例函数解析式，一次函数解析式，反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何综合，正方形的性质等知识．熟练掌握反比例函数解析式，一次函数解析式，反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何综合，正方形的性质是解题的关键． 类型八、反比例函数中的相似 【解惑】如图，函数的图像经过点、，点的坐标为．过点作轴，（点位于点的下方），过点作轴，与函数的图像交于点，过点作于点，连接、． (1)求的面积； (2)延长交于点，当时，求的长； (3)连接，取中点，以线段为较长直角边作，使与相似，求出点坐标． 【答案】(1)1 (2) (3)或 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，相似三角形的性质，中点坐标公式，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． （1）先求出反比例函数的解析式，然后求出点D的坐标，即可求出三角形的面积； （2）根据反比例函数的解析式求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，即可求出点F的坐标，进而求解； （3）先求出点Q的坐标，过点Q作交x轴于点N，交y轴于点M，可得点P在上且点P为或的中点，利用中点坐标解题即可． 【详解】（1）解：的图象经过点 ， 轴， ， ∴点的坐标为， 轴，点在函数图象上 ∴点的坐标为， ∴ ， （2）， ， ， 点的纵坐标 由反比例函数 ， 点的横坐标， 设直线的解析式为，代入和得： ，解得， ∴， 当时，， ∴； （3）过点Q作交x轴于点N，交y轴于点M， ∵Q是的中点， ∴点Q坐标为，且， ∴， 即， ∴点M的坐标为，点N的坐标为， 线段为较长直角边作，使与相似， ∴， ∴点P在上且点P为或的中点， ∴点的坐标为或． 【融会贯通】 1． 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点、两点，与轴、轴分别交于、两点，且点的坐标为．    (1)求一次函数和反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)点为反比例函数图像上的一个动点，轴于，是否存在以、、为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，P点的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据两个函数的表达式建立方程，求出点、的坐标，再根据一次函数求出点的坐标，进而得到，最后根据即可求解； （3）先根据一次函数求出的坐标，得到，设点，则，推出，，分为和 两种情况讨论，利用相似三角形的性质求解． 【详解】（1）解：将点分别代入和 中， 得：，， 解得：，， 一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； （2）解：如图，连接、， 联立， 解得：或， ，， 在一次函数中，令，则， 解得：， ， ， ；    （3）解：假设存在，使以、、为顶点的三角形与相似， 在一次函数中，令，则， ， ， 设点，则， ，， 若， ，即， 解得：， 的坐标为或； 若， ，即， 解得：， 的坐标为或； 综上所述，点的坐标为或或或．    【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质，反比例函数的图像与性质，相似三角形的判定和性质，求一次函数和反比例函数解析式，求三角形的面积，解题的关键是掌握相关的知识． 2．如图，直线经过两点，与双曲线交于点． (1)求直线和双曲线的解析式； (2)不等式的解集为________________； (3)过点C作轴于点D，点P在x轴上，若以O，A，P为顶点的三角形与相似，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)直线解析式为，双曲线解析式为 (2)或 (3)点P坐标为或或或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，相似三角形的性质： （1）待定系数法求出一次函数的解析式，进而求出点的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数的解析式即可； （2）图象法求不等式的解集即可； （3）分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：直线经过两点， ∴，解得：， ∴， 当时，，解得：， ∴， ∴， ∴； （2）联立，解得：或， ∴直线与双曲线的两个交点的横坐标为， 由图象可知：的解集为：或． （3）∵，， ∴，， 当以O，A，P为顶点的三角形与相似时，分两种情况进行讨论： ①当，则：， ∴， ∴， ∴或； ②当，则：， ∴， ∴， ∴或； 综上：点P坐标为或或或． 3．如图，函数的图象过点和点B，过点A作轴，（C在A的下方），过点C作轴，与函数的图象交于点D，过点B作于点E，连接． (1)求的面积； (2)延长交于点F，当时，求的长； (3)连接，取中点Q，以线段为较长直角边且Q为直角顶点作，使得与相似，求出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出反比例函数的解析式，然后求出点D的坐标，即可求出三角形的面积； （2）根据反比例函数的解析式求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，即可求出点F的坐标，进而完成解答； （3）过点Q作交x轴于点N，交y轴于点M，再求出点Q的坐标，可得点P在上且点P为或的中点，利用中点坐标公式求解即可． 【详解】（1）解：的图象经过点， ∴， ∵轴，， ∴点C的坐标为， ∴点D的坐标为， ∴， ； （2）解：如图， ∵， ， ∵， ∴点B的坐标为， 设直线的解析式为， 把和代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ； （3）解：过点Q作交x轴于点N，交y轴于点M， ∵Q是的中点， ∴点Q坐标为，且， ，即， ∴点，点， 线段为较长直角边作，使与相似， ， ∴点P在上且点P为或的中点， ∴点P的坐标为或． 【点睛】本题属于反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的图象和性质、待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的性质、勾股定理、中点坐标公式等知识点，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$