专题06 反比例函数（中等类型）-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

专题06 反比例函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、根据反比例函数的定义求参 【解惑】已知函数 是反比例函数，则的值为（     ） A．1 B． C．1或 D．任意实数 【融会贯通】 1．已知反比例函数的解析式为，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．a为任意实数 2．若是反比例函数，则的值为 ． 3．已知是反比例函数，则 ． 类型二、由反比例函数值求自变量 【解惑】已知点在反比例函数上的图象上，则m的值为（   ） A． B．3 C． D．8 【融会贯通】 1．已知点在双曲线上，则a的值是（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和．则的值为 ． 3．已知正比例函数和反比例函数的比例系数和互为倒数，且正比例函数的图象经过点．如果，那么当时，的值是 ． 类型三、根据反比例函数对称性求解 【解惑】如图，双曲线与直线相交于、两点，点坐标为，则点坐标为（　　）    A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，过原点的一条直线与反比例函数上（k≠0）的图象分别交于两点，若A点的坐标为，则B点的坐标为（　　） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，若点是函数和的图象的一个交点，则这两个函数图象的另一个交点的坐标是 ． 3．如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点，且正方形的一组对边与轴平行，若正方形的边长是，则图中阴影部分的面积等于 ．    类型四、根据反比例函数增减性求解 【解惑】已知反比例函数，当时，，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知反比例函数图象上有三个点，且满足，则b的值可以为（    ） A．2 B． C．1 D．3 2．已知点，为反比例函数图象上的两点，当时，，则的取值范围为 ． 3．已知关于x的方程有实数根，反比例函数的图象在每一象限内y随x增大而减小，则k的取值范围是 ． 类型五、比较函数值大小 【解惑】若点，，都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．若点与点都在反比例函数的图象上，且，则，的大小关系是 ．（填“”或“”） 3．反比例函数的图象经过点，，，则，，的大小关系为 ． 类型六、已知“k”求面积 【解惑】如图，，是双曲线图像上的两点，过A作轴，交于点D，垂足为点C，若为的中点，则的面积为（    ） A． B．1 C．2 D．4 【融会贯通】 1．如图，反比例函数的图像上有一点P，轴于点A，点B在y轴上，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．如图，已知点A、B分别在反比例函数与图象上，且，若，则的面积为 ． 3．如图，双曲线经过A、B两点，连接、，过点B作轴，垂足为D，交于点E，且E为的中点，则的面积是 ． 类型七、已知面积求“k” 【解惑】如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，点是轴上一点，连接、，若的面积是4，则的值（    ） A． B．7 C． D． 【融会贯通】 1．如图，点在轴的负半轴上，点在反比例函数的图象上，交轴于点，若点是的中点，的面积为3，则的值为（  ） A．10 B．11 C．12 D．13 2．如图，点是反比例函数图象上的一点，直线分别与轴，轴交于点和，轴于点，若与的位似比为，的面积为，则值为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象上有A，B两点，它们的横坐标分别为2和3，的面积为4，则k的值为 ． 类型八、求反比例函数解析式 【解惑】若与都是反比例函数图象上的点，求n的值． 【融会贯通】 1．如图，直线与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点，点的纵坐标为6，点的坐标为． (1)求直线和反比例函数的解析式； (2)求点的坐标，并结合图象直接写出时的取值范围． 2．如图，已知的锐角顶点在反比例函数的图象上，且的面积为3，，求： (1)点的坐标； (2)函数的解析式； (3)直线的函数关系式为，求的面积？ 3．如图，函数与的图象交于点，直线与函数的图象分别交于B，C两点．    (1)求a和b的值； (2)求的长度； (3)根据图象写出时x的取值范围（不需说明理由）． 【一览众山小】 1．对于函数，下列说法错误的是（    ） A．它的图象分布在一、三象限 B．它的图象与坐标轴没有交点 C．它的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形 D．当时，的值随的增大而增大 2．如图，反比例函数（k是常数且）的图象经过点，则下列说法错误的是（   ） A． B．该函数图象经过点 C．当时，y随x的增大而减小 D．当， 3．小丽要把一篇文章录入电䐱，如图是录入时间（分钟）与录字速度（字/分钟）成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（   ） A．这篇文章一共1500字 B．当小丽的录字速度为75字/分钟时，录入时间为20分钟 C．小丽原计划每分钟录入125字，实际录入速度比原计划提高了，则小丽会比原计划提前2分钟完成任务 D．小丽在开始录入，要求完成录入时不超过，则小丽每分钟至少应录入90字 4．已知点，是反比例函数图象上的两点，则，的大小关系是 （用“、、”填空）． 5．如图，点P是反比例函数的图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，线段交反比例函数的图象于点C，，若的面积等于2，则的值等于 ． 6．如图，在平面直角坐标系中，的边在轴正半轴上，其中，，点为斜边的中点，反比例函数（，）的图象过点且交线段于点，连接，，若，则的值为 ． 7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，． (1)求一次函数、反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 8．在直角三角形中，，，，点为上一动点，过点作交于点，再过点作交于点，设点的长度为，和的长度之和为，与的长度之比为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；请分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 反比例函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、根据反比例函数的定义求参 【解惑】已知函数 是反比例函数，则的值为（     ） A．1 B． C．1或 D．任意实数 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义的形式，可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意可得，， 解得，， ∴， 故选：B ． 【融会贯通】 1．已知反比例函数的解析式为，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．a为任意实数 【答案】C 【分析】本题考核知识点：反比例函数定义，解题关键点：理解反比例函数定义，根据反比例函数的定义可得，可解得． 【详解】解：根据反比例函数的定义可得， 解得． 故选C． 2．若是反比例函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义及解一元二次方程，熟练掌握反比例函数的解析式是解题的关键．根据反比例函数的定义可得且，求解即可． 【详解】解：函数是反比例函数， 且， 解得， 故答案为：． 3．已知是反比例函数，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，一般地，形如的函数叫做反比例函数，据此求解即可． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴， ∴， 故答案为：4． 类型二、由反比例函数值求自变量 【解惑】已知点在反比例函数上的图象上，则m的值为（   ） A． B．3 C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上的特征，根据点在反比例函数的图象上，代入计算即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：A． 【融会贯通】 1．已知点在双曲线上，则a的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，将点代入，即可求解． 【详解】解：依题意， 解得：， 故选：B． 2．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和．则的值为 ． 【答案】0 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式是解决问题的关键．将点和代入之中得，，由此可得的值． 【详解】解：函数的图象经过点和， ，， ，， ． 故答案为：0． 3．已知正比例函数和反比例函数的比例系数和互为倒数，且正比例函数的图象经过点．如果，那么当时，的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，求反比例函数值和求正比例函数值，利用待定系数法求出，进而求出，则，再把代入中求出y的值即可． 【详解】解：∵正比例函数图象经过点， ∴， ∴， ∴ ∵正比例函数和反比例函数的比例系数和互为倒数， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴当时，， 故答案为：． 类型三、根据反比例函数对称性求解 【解惑】如图，双曲线与直线相交于、两点，点坐标为，则点坐标为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】反比例函数与正比例函数的图像都是中心对称图形，则它们的交点关于原点对称． 【详解】解：∵双曲线与直线相交于、两点， ∴点与关于原点对称， ∵点坐标为， ∴点的坐标为． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数图像的中心对称性，熟练掌握关于原点中心对称的点的横纵坐标分别互为相反数是解答本题的关键． 【融会贯通】 1．如图，过原点的一条直线与反比例函数上（k≠0）的图象分别交于两点，若A点的坐标为，则B点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据关于原点对称的两点横坐标，纵坐标都互为相反数即可解答． 【详解】解：∵反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称， ∴它的另一个交点的坐标是． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的对称性．掌握反比例函数的图象关于原点成中心对称是解本题的关键． 2．在平面直角坐标系中，若点是函数和的图象的一个交点，则这两个函数图象的另一个交点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，根据正比例函数和反比例函数的图象的两个交点关于原点对称，即可得出答案． 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数的图象的两个交点关于原点对称， ∴由一个交点的坐标是，可得另一个交点的坐标是， 故答案为：． 3．如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点，且正方形的一组对边与轴平行，若正方形的边长是，则图中阴影部分的面积等于 ．    【答案】1 【分析】设反比例函数解析式，由题意可得：点坐标为：，根据正方形与反比例函数中心对称的性质，即可求解． 【详解】解：设反比例函数解析式， 由题意可得：点坐标为：， 故图中阴影部分的面积为：． 故答案为：．    【点睛】本题考查了反比例函数的性质，的几何意义，中心对称的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 类型四、根据反比例函数增减性求解 【解惑】已知反比例函数，当时，，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据题意，得到反比例函数图象过二，四象限，得到，求解即可． 【详解】解：∵反比例函数，当时，， ，解得． 故选D． 【融会贯通】 1．已知反比例函数图象上有三个点，且满足，则b的值可以为（    ） A．2 B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了比较反比例函数的函数值，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．根据反比例函数的图象与性质即可得． 【详解】解：， 函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大， 点在函数的图象上， 又，， ∴， ， ∴， ∴的值可以是1； 故答案为：C． 2．已知点，为反比例函数图象上的两点，当时，，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质，可以得到关于m的不等式，从而可以求得m的取值范围． 【点睛】解：∵反比例函数的图象上两点，，当时，， ∴， 解得， 故答案为：． 3．已知关于x的方程有实数根，反比例函数的图象在每一象限内y随x增大而减小，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，以及反比例函数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 根据题意得到判别式，，进而求解即可． 【详解】∵方程有实数根， ∴ ∴， ∵反比例函数的图像在各自象限内随增大而减小， ∴， ∴， ∴k的取值范围是． 故答案为：． 类型五、比较函数值大小 【解惑】若点，，都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．根据反比例函数图像上点的坐标特征分别代入，求出、、的值，比较即可得答案． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴，，， 解得：，，， ∴， 故选：A． 【融会贯通】 1．已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比较反比例函数的函数值的大小．正确计算是解题的关键． 将点坐标代入计算函数值，然后比大小即可． 【详解】解：∵点，，在反比例函数的图象上， ∴，，， ∵， ∴， 故选：C． 2．若点与点都在反比例函数的图象上，且，则，的大小关系是 ．（填“”或“”） 【答案】 【分析】考查反比例函数的图象和性质，反比例函数的图象位于二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，又，可得到与点是第四象限图象上的两点，可得． 【详解】解：∵， 在每个象限内，随的增大而增大， 又∵， 可得， 故答案为：． 3．反比例函数的图象经过点，，，则，，的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据反比例函数图象所在象限以及增减性判断即可． 【详解】解：由题意，反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小， ∵反比例函数的图象经过点，，，， ∴， 故答案为：． 类型六、已知“k”求面积 【解惑】如图，，是双曲线图像上的两点，过A作轴，交于点D，垂足为点C，若为的中点，则的面积为（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义以及相似三角形的判定和性质，先根据比例函数系数的几何意义得出的面积，再根据相似三角形的性质和中点的意义可得出，进而求出的面积即可． 【详解】解：过点作轴于， ∵是双曲线图像上的点， ∴， 轴， ∴平行于 ∴， ， 又是的中点， ∴， ∴， 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，反比例函数的图像上有一点P，轴于点A，点B在y轴上，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，掌握过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于，并根据面积关系得出方程是解题的关键． 设，则，再由三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：设， ∵点P在反比例函数的图象上， ∴． ∵轴， ∴． 故选：B． 2．如图，已知点A、B分别在反比例函数与图象上，且，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，反比例函数k的几何意义，勾股定理，利用了方程的思想，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键． 过A作轴于C，过B作轴于D，再证明，根据比例系数的几何意义得到，，则，得到，在中，设，则，，根据勾股定理列方程求出，得到，，即可求出的面积． 【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D，则，    又∵， ∴ ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵点A、B分别在反比例函数与图象上， ∴，，即， ∴， 在中，设，则，， 根据勾股定理得：，即， 解得：， ∴，， 则． 故答案为：． 3．如图，双曲线经过A、B两点，连接、，过点B作轴，垂足为D，交于点E，且E为的中点，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义、相似三角形的判定与性质，作轴于，连接，则，证明，得出，，由三角形面积得出，从而得出，求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作轴于，连接， ， 则， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 类型七、已知面积求“k” 【解惑】如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，点是轴上一点，连接、，若的面积是4，则的值（    ） A． B．7 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数的图象，连接，设与轴交点为，得到，再利用反比例函数系数的几何意义，得到，，然后根据列方程求出的值，再结合函数图象即可得到答案，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，设与轴交点为， ∵轴， ∴轴，， ∵点在双曲线上，点在双曲线上， ∴，， ∴， 解得， ∵双曲线分布在二、四象限， ∴， ∴， 故选：． 【融会贯通】 1．如图，点在轴的负半轴上，点在反比例函数的图象上，交轴于点，若点是的中点，的面积为3，则的值为（  ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例系数的几何意义，反比例函数图象上的点的坐标的特征．过作轴于，证明，求得，，得到，即可确定的值． 【详解】解：过作轴于，如图： 轴，轴， ， ， ，点是的中点， ， ， ，， ， ， 点在反比例函数的图象上， ， ． 故选：C． 2．如图，点是反比例函数图象上的一点，直线分别与轴，轴交于点和，轴于点，若与的位似比为，的面积为，则值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是位似图形的概念、反比例函数的系数的几何意义，根据位似比求出是解题的关键．连接，根据位似比得到，求出，根据反比例函数的系数的几何意义解答即可． 【详解】解：连接， 与的位似比为， ， ， ， ， 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象上有A，B两点，它们的横坐标分别为2和3，的面积为4，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数的几何意义，作轴于，轴于，由题意得到，，根据，得到，解得即可． 【详解】解：反比例函数的图象上有、两点，它们的横坐标分别为2和3， ，， 作轴于，轴于，则， ∴， ， 解得， 故答案为：． 类型八、求反比例函数解析式 【解惑】若与都是反比例函数图象上的点，求n的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式和求反比例函数值，先把点A坐标代入解析式求出解析式，再求出当时的函数值即可得到答案． 【详解】解：把代入到中得：，解得， ∴反比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴． 【融会贯通】 1．如图，直线与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点，点的纵坐标为6，点的坐标为． (1)求直线和反比例函数的解析式； (2)求点的坐标，并结合图象直接写出时的取值范围． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了一次函数、反比例函数解析式的求法，一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数与坐标交点问题，理解一次函数和反比例函数的性质是解答关键． （1）将点的坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析，根据点的纵坐标是6，代入反比例函数解析式求出点的坐标，将点，代入一次函数解析式求解； （2）根据点在轴上，先求出点的坐标，再结合图像求出时的取值范围． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 点的纵坐标为6， 将代入得， 点的坐标为． 直线经过点，，    ， 解得 ∴直线的解析式为． （2）解：点在轴上， 由，得， ∴点的坐标为． 由图象可知 当时，的取值范围是． 2．如图，已知的锐角顶点在反比例函数的图象上，且的面积为3，，求： (1)点的坐标； (2)函数的解析式； (3)直线的函数关系式为，求的面积？ 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，三角形面积的计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意，由的面积可求得，即可得到的坐标； （2）因为点在反比例函数的图象上，所以根据的坐标即可求出函数解析式； （3）根据直线解析式求的坐标，得的长，从而得的长，再根据面积公式求解． 【详解】（1）解：根据题意得， （2）解：点在反比例函数的图像上 反比例函数解析式为 （3）解：当时， 解得： 3．如图，函数与的图象交于点，直线与函数的图象分别交于B，C两点．    (1)求a和b的值； (2)求的长度； (3)根据图象写出时x的取值范围（不需说明理由）． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查一次函数和反比例函数交点问题，解题的关键是： （1）把代入，可求出b，把代入，可求出a； （2）分别求出B、C的纵坐标，即可求解； （3）根据A的坐标和图象得出即可． 【详解】（1）解：依题意，将代入，得． 点的坐标为． 将代入，得，即． （2）解：由（1）得． 当时，点的纵坐标为4． 当时，点的纵坐标为1． ． （3）解：当时的取值范围是． 【一览众山小】 1．对于函数，下列说法错误的是（    ） A．它的图象分布在一、三象限 B．它的图象与坐标轴没有交点 C．它的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形 D．当时，的值随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；根据的图象与性质判断即可． 【详解】解：函数的图象分布在一、三象限，图象与坐标轴无交点，它的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形，在每个象限内，的值随的增大而减小； 故选项A、B、C正确，选项D错误； 故选：D． 2．如图，反比例函数（k是常数且）的图象经过点，则下列说法错误的是（   ） A． B．该函数图象经过点 C．当时，y随x的增大而减小 D．当， 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比函数的图象和性质．根据反比例函数的图象和性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、∵反比例函数的图象经过点， ∴，故该选项不符合题意； B、当时，，则该函数图象经过点，故该选项不符合题意； C、根据函数图象可得，当时，随的增大而减小，故该选项不符合题意； D、根据函数图象可得，当，，故该选项符合题意； 故选：D． 3．小丽要把一篇文章录入电䐱，如图是录入时间（分钟）与录字速度（字/分钟）成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（   ） A．这篇文章一共1500字 B．当小丽的录字速度为75字/分钟时，录入时间为20分钟 C．小丽原计划每分钟录入125字，实际录入速度比原计划提高了，则小丽会比原计划提前2分钟完成任务 D．小丽在开始录入，要求完成录入时不超过，则小丽每分钟至少应录入90字 【答案】D 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，反比例函数的应用，有理数混合运算的应用，掌握反比例函数的性质是解题关键．先利用待定系数法求出反比例解析式，根据反比例函数的定义，即可判断A 选项；求出时的函数值，即可判断B选项；分别求出和时的函数值，作差即可判断C选项； 求出时的值，再结合反比例函数的增减性，即可判断D选项． 【详解】解：设反比例函数解析式为，将点代入得：， 解得：， 即反比例函数解析式为， A、录入时间（分钟）与录字速度（字/分钟）的乘积恒为，即这篇文章一共1500字，说法正确，不符合题意； B、当录字速度为时，录入时间，说法正确，不符合题意； C、当时，， 当时，， （分钟）， 即比原计划提前2分钟完成任务，说法正确，不符合题意； D、当录入时间时，， ，在第一象限内，随的增大而减小， 即录入时间不超过分钟时，每分钟至少应录入100字，说法错误，符合题意； 故选：D． 4．已知点，是反比例函数图象上的两点，则，的大小关系是 （用“、、”填空）． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据点，是反比例函数图象上的两点，分别算出，的值，即可作答． 【详解】解：∵点，是反比例函数图象上的两点， ∴， ∴， 故答案为：． 5．如图，点P是反比例函数的图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，线段交反比例函数的图象于点C，，若的面积等于2，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，反比例函数的图象．可求，根据反比例函数k的几何意义得到，则． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 根据反比例函数k的几何意义得到， 而反比例函数的图象经过第二象限， ∴， 故答案为：． 6．如图，在平面直角坐标系中，的边在轴正半轴上，其中，，点为斜边的中点，反比例函数（，）的图象过点且交线段于点，连接，，若，则的值为 ． 【答案】4 【分析】过点C作垂直于于E，由反比例函数k值的几何意义以及相似三角形的面积比等于相似比的平方，可以得到，，再由和是等底同高的，所以面积相等，最后用割补法列出方程，即可求解． 【详解】解：过点C作垂直于于E， ， ， ， ∵C为中点， ∴ ， ， ∵C、D都在反比例函数图像上，且图象在第一象限 ， ∴ ， ∵C为中点， ∴和是等底同高的， ， ， ， 解得： ． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了反比例函数图像与性质，k值的几何意义，割补法求面积，三角形相似的判定与性质等知识，反比例函数k值的几何意义和割补法求面积是本题的关键． 7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，． (1)求一次函数、反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为． (2)或． 【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数的图像和性质： （1）根据一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，可得，据此可求得反比函数的表达式，采用待定系数法即可求得一次函数的表达式． （2）关于的不等式的解集，即反比例函数的图象在一次函数的图象上方的部分． 【详解】（1）∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，， ∴． ∴，． ∴． ∴反比例函数的解析式为． 把，代入，得 解得 ∴一次函数的解析式为． （2）关于的不等式的解集，即反比例函数的图象在一次函数的图象上方的部分．根据图象，关于的不等式的解集为或． 8．在直角三角形中，，，，点为上一动点，过点作交于点，再过点作交于点，设点的长度为，和的长度之和为，与的长度之比为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；请分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 【答案】(1)，；，； (2)图见解析；函数的性质：当时，随增大而增大；函数的性质：当时，随增大而减小 (3) 【分析】本题考查了函数的实际应用，涉及了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、函数的解析式和性质等知识点，掌握相关结论即可． （1）由题意得四边形是矩形，可得，；证可得，即可求解； （2）描点画图即可； （3）根据函数的图象在函数的图象上方即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：， ∴， ∴，； ，； （2）解：描点画图如下： 由图象可知：函数的性质：当时，随增大而增大；函数的性质：当时，随增大而减小 （3）解：由图象可知：当时，函数的图象在函数的图象上方， ∴当时， 6 学科网（北京）股份有限公司 $$