专题06 反比例函数（优质类型）-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

专题06 反比例函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、反比例函数中的几何最值 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形是边长为3的正方形，反比例函数的图像与边分别交于两点，的面积为4，点P为y轴上一点，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D．5 【融会贯通】 1．如图，已知点．点P是反比例函数图象上一动点，已知点P到点的距离等于点P到直线距离的倍，轴交直线于点M，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，平面直角坐标系中正方形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，且，的图象与正方形的两边分别相交于M、反比例函数N两点，且的面积为3.5，若动点P在x轴上，则的最小值是 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，点、点分别落在轴和轴上，是矩形的对角线，将绕点逆时针旋转，使点落在轴上，得到，与相交于点，反比例函数图像经过点，交于点，点为轴正半轴上一动点，当取最小值时，则点的坐标为 ．    类型二、反比例函数中的增减性最值 【解惑】反比例函数，当时，的最大值和最小值之差为，则 ． 【融会贯通】 1．已知反比例函数，若，则函数y有（    ） A．最大值1 B．最小值1 C．最大值0 D．最小值0 2．已知对于函数、及中，在情况下，无论x取何值，y始终取最小值，则y的最大值为 ． 3．已知函数，，当时，函数的最大值为，函数的最小值为，则的值为 ． 类型三、一次函数与反比例函数的交点与不等式问题 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．点的坐标为，连接．若，则的值为 ． 【融会贯通】 1．如图，反比例函数的图象与等边的边，分别交于点（点不与点重合）．若于点，则的边长为 ． 2．如图，点P，Q，R在反比例函数的图象上，分别过这三个点作轴、轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为，，．若，，则 ． 3．如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)当时，求的面积． 类型四、反比例函数中的实际问题 【解惑】如图，已知是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求此反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出关于的不等式的解集． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点，的坐标分别为和． (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集； (3)连接，求面积． 2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．与轴相交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集：______； (3)若点为轴上的一动点．连接，当的面积为时，求点的坐标． 3．诗词是指以古体诗、近体诗和格律词为代表的中国汉族传统诗歌，亦是汉字文化圈的特色之一．一本《中华诗词集锦》，每天看的页数和需要的天数如表． 每天看的页数/页 12 15 20 30 需要的天数/天 25 20 15 10 (1)每天看的页数与需要的天数之间成反比例关系吗？为什么？ (2)如果要6天看完这本《中华诗词集锦》，平均每天要看多少页？ 类型五、反比例函数中的平移 【解惑】某数学小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． (1)求部分双曲线的函数表达式； (2)参照上述数学模型，假设某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由． 【融会贯通】 1．杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即阻力×阻力臂=动力×动力臂．如图，已知石头的重力（阻力）为，阻力臂为． (1)求动力F与动力臂l的函数关系式． (2)小华想用一根撬棍撬起这块石头，但他最多能使出的力，问他用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度最短为多少？ 2．为预防流感，某学校对教室采用药熏消毒．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量（单位：）与燃烧时间（单位：min）成正比例；燃烧后，与成反比例（如图所示）．现测得药物1燃烧完毕，此时教室内每立方米空气含药量为．根据以上信息解答下列问题： (1)分别求出药物燃烧时；药物燃烧后，关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (2)研究表明，当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒害作用，那么从药物燃烧完毕开始计时，至少需要经过多长时间，学生才可以返回教室？ 3．【问题背景】在平面直角坐标系中，若两点分别为 ，则中点坐标为，如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B，C在第一象限，四边形 是平行四边形． 【构建联系】 若点C在反比例函数 的图象上，点C的横坐标为2，点B的纵坐标为3． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图2，点D是边的中点，且在反比例函数图象上，求平行四边形的面积； 【深入探究】 （3）如图3，将直线：向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于两点，点P为的中点，过点作于点N，请直接写出 P点坐标和的值． 类型六、反比例函数中的翻折 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，，且直线l经过双曲线的左端点C． (1)求点A的坐标和m的值； (2)平移直线l到达直线的位置，使其经过双曲线的右端点D，交x轴于点E． 求AE的长； 求直线l上的点A移动的最短路程． 【融会贯通】 1．在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据： 1 a 3 4 6 4 3 2 b (1)______，______； (2)【探究】根据以上实验，构建出函数结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②函数是由函数的图象向______平移2个单位得到； (3)【应用】下列关于函数的性质：①图象关于点对称；②y随x的增大而减小；③图象关于直线对称；④y的取值范围为．其中说法正确的是______（填写序号）； (4)【拓展】不等式的解集为______． 2．在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点连线或平移的方法画出函数图象．结合上面经历的学习过程，我们来解决下面的问题：分段函数； (1)当时，；当时，；则 ， ． (2)在（1）的条件下， ①在给出的平面直角坐标系中画出该分段函数图象； ②若该分段函数图象上有两点，且，则m的取值范围； ③直线与该分段函数的图象有2个交点，则k的取值范围是 ． 3．某数学兴趣小组学习了反比例函数后，进一步研究反比例函数的图象，他们在平面直角坐标系内选定点，过点作直线，并将图象沿该直线按一定的操作翻折，探究过程如下： 【动手操作】 操作：如图，过点作轴的平行线，将直线上方的反比例函数图象沿直线翻折得到新图象，与第一、三象限未翻折的图象组成“图象”． 操作：如图，过点作轴的平行线，将直线左侧的反比例函数图象沿直线翻折得到新图象，与第一、三象限未翻折的图象组成“图象”． 操作：如图，过点作直线：，将第一象限内反比例函数的图象在直线下方的部分沿直线翻折得到新图象，与直线下方的图象组成的封闭图象是“图象”．    【解决问题】 (1)如图，求“图象”与轴的交点的坐标； (2)过轴上一点作轴的平行线，与“图象”交于点，．若，求的值； (3)如图，反比例函数的图象与直线交于点，，已知点和点是“图象”上的两个动点，当以点，，，为顶点的四边形面积最大时，直接写出点和点的坐标． 类型七、反比例函数中的旋转 【解惑】如图，反比例函数的图象经过点，且与一次函数的图象交于A，B两点． (1)求反比例函数的表达式． (2)当时，请写出x的取值范围． (3)如图，P是线段上的一点，过点P分别作轴，轴，垂足分别为D，C，与反比例函数图象分别交于点F，E，连接．将沿着直线翻折，点O的对应点为，得到菱形，请求出的度数． 【融会贯通】 1．如图，一次函数与反比例函数交于A、B两点，点A的横坐标为，过点A作y轴的垂线l，交y 轴于点C，把直线上方反比例数的图象沿着直线l翻折，其它部分保持不变，所形成的新图象称为“G图象（不包含直线）”． (1)若时，求一次函数解析式； (2)在（1）的条件下，求“G图象”与x轴交点的横坐标； (3)过y轴另一点作y轴的垂线，与“G图象”交于E，F两点 ①若时，且，求m的值； ②若，直接写出n与m的数量关系（用含m的代数式表示n） 2．已知直线与反比例函数（，）的图象分别交于点，，与轴交于点，与轴交于点． (1)如图①，已知点的坐标为． ①求直线的表达式； ②若点是反比例函数在第一象限直线上方一点，当面积为时，求点的坐标． (2)如图②将直线向右平移个单位长度得到直线，将双曲线位于下方部分沿直线翻折，若翻折后的图象（图中虚线部分）与直线有且只有一个公共点，求的值． 3．如图1，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，且一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．      (1)求一次函数的表达式以及点的坐标． (2)利用图象，直接写出关于的不等式的解集． (3)如图2，将直线绕点逆时针方向旋转，求旋转后所得直线的函数表达式． 类型八、反比例函数中的新定义 【解惑】如图，已知：直线与y轴交于点，与x轴交于点C，且，直线l绕点A旋转时与双曲线的一个交点为B． (1)求直线l的解析式； (2)当时，恰好是直角，求此时直线l与双曲线的交点情况； (3)在（2）的情形下，若点是点A关于x轴的对称点，求直线、、与y轴围成的封闭区域的面积． 【融会贯通】 1．如图，函数（k＞0，x＜0）和（k＞0，x＜0），当x＝－1时，函数y1的值为p，函数y2的值为p＋8，点A（a，b）在函数y1的图像上． (1)求y1的函数表达式； (2)当a＝－4时，作AE⊥x轴，垂足为E，将点E绕点F（t，0）（t＞－4）顺时针方向旋转180°至点Q，求点Q的坐标（用含t的代数式表示）； (3)将线段OA绕点O旋转，点A刚好落在函数y2的图像上的点C（m，n）处，求b和n的数量关系． 2．已知平面直角坐标系中，直线AB与反比例函数（x＞0）的图象交于点A（1，3）和点B（3，n），与x轴交于点C，与y轴交于点D． （1）求反比例函数的表达式及n的值； （2）将△OCD沿直线AB翻折，点落在第一象限内的点E处，EC与反比例函数的图象交于点F． ①请求出点F的坐标； ②将线段BF绕点B旋转，在旋转过程中，求线段OF的最大值和最小值． 3．定义：函数图象上纵坐标是横坐标的两倍的点，称为该函数的“两倍点”，而纵坐标比横坐标的两倍小的点称为“弱倍点”． (1)判断下列函数图象上是否有两倍点？若有，求两倍点；若无，说明理由． ①；②． (2)如图，反比例函数图象上有一个两倍点的横坐标为3，求它的另一个两倍点的坐标，并结合图象写出图象上弱倍点的横坐标的取值范围． 【一览众山小】 1．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．在轴上有一点，使的值最小，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，反比例函数的图象与正比例函数的图像交于点，则下列说法正确的是（   ） A．当，， B．当或时，， C．当或时，， D．当或时，， 3．如图是三个反比例函数在轴上方的图象，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．定义：以点A为对称中心，边与坐标轴平行或共线且边长为2的正方形边上所有的点称为“A的关联点”．在平面直角坐标系中 (1)若点A为，下列不是“A的关联点”的是（    ） A．    B．    C．    D． (2)若点A为 ①反比例函数的图像上有且只有一个“A的关联点”，则______； ②反比例函数的图像上有两个“A的关联点”，且两关联点的距离为，求的值； ③直线记为，l绕原点顺时针旋转后的直线记为，l和上都存在“的关联点”，直接写出m的取值范围． 5．定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】 （1）点_______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则_______； 【深入探究】 （2）若“美好点” 在双曲线（，且为常数）上，则_______； 【拓展延伸】 （3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． ①求关于的函数表达式，并求出自变量x的取值范围； ②在图2的平面直角坐标系中画出函数图象： 列表：下表是x与y的几组对应值，请将下表填写完整． 描点：根据表中各组对应值，在图2的平面直角坐标系中描出各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图像； ③结合图象研究性质，下列结论正确的选项是_______；（多项选择，全部选对的得2分，部分选对的得1分，有选错的不得分） A．图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点； B．随着的增大而减小； C．随着的增大而增大； D．图象经过点； ④对于图象上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． ⑤结合上述问题，观察图象可知该图象可由哪个函数的图象怎样平移得到？ 6．定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫做半对角四边形，如图1，直线，点A，D在直线上，点B，C在直上，若，则四边形是半对角四边形．    (1)如图2，点E是平行四边形的边上一点，，，．若四边形为半对角四边形，求的长； (2)如图3，以平行四边形的顶点C为坐标原点，边所在直线为x轴，对角线所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．点E是边上一点，满足．求证：四边形是半对角四边形； (3)在（2）的条件下，当，时，将四边形向左平移a（）个单位后，恰有两个顶点落在反比例函数的图像上，求k的值． 7．在函数的学习中，我们经历了“确定函数表达式—画函数图象—利用函数图象研究函数性质—利用图象解决问题”的学习过程，我们可以借鉴这种方法探究函数的图象性质． (1)补充表格，并画出函数的图像． ①列表： 0.5 1 2 0.5 1 2 1 0.5 ②描点连线，画图． (2)关于此函数，下列说法正确的是______（填写序号）： ①在各个象限内，随着增大而减小；②图像为轴对称图形； ③函数值始终大于0；④函数图像是中心对称图形 (3)不等式的解集为______． 8．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点 (1)求和的值； (2)点为平面直角坐标系内一点， ①若的面积为，求的值； ②若，请直接写出点的坐标． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 反比例函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、反比例函数中的几何最值 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形是边长为3的正方形，反比例函数的图像与边分别交于两点，的面积为4，点P为y轴上一点，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D．5 【答案】B 【分析】由正方形的边长是3，得到点的横坐标和点的纵坐标为3，求得，，，根据三角形的面积列方程得到，，作关于轴的对称点，连接交轴于，则的长的最小值，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】正方形的边长是3， 点的横坐标和点的纵坐标为3， ，，， ，， 的面积为， ， 或（舍去）， ，， 作关于轴的对称点，连接交轴于，则的长的最小值， ， ，， ， 即的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的系数的几何意义，轴对称中最小距离问题，勾股定理，正方形的性质，正确的作出图形是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，已知点．点P是反比例函数图象上一动点，已知点P到点的距离等于点P到直线距离的倍，轴交直线于点M，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，，得出，根据，得出，根据平行线的性质，得出，得出等于点P到直线距离的倍，得出，得出的最小值即为的最小值，即当F、P、N三点共线时，最小，求出最值即可． 【详解】解：∵ ，， ∴， ∵， ∴， ∵轴交直线于点M， ∴， ∴等于点P到直线距离的倍， ∵点P到点的距离等于点P到直线距离的倍， ∴， ∴的最小值即为的最小值， 当F、P、N三点共线时，最小， ∴其最小值为，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，平面直角坐标系中两点之间的距离，解题的关键是求出，得出的最小值即为的最小值，是解题的关键． 2．如图，平面直角坐标系中正方形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，且，的图象与正方形的两边分别相交于M、反比例函数N两点，且的面积为3.5，若动点P在x轴上，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】考查正方形的性质，反比例函数的图象和性质，轴对称的性质，及两点间距离公式等知识，综合性较强，利用知识较多，先求得，再由，列出方程，求得，可求得，作点关于轴的对称点，连接将轴于点P，连接，此时最小，再求解即可． 【详解】解：正方形中，且， 点M的横坐标及点N的纵坐标都是4， 点M、N在反比例函数的图象上， ， ， ， ， 解得：（负值舍去）， ， 如图，作点关于轴的对称点，连接将轴于点P，连接，此时最小， 点关于轴的对称点， ， 故答案为： 3．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，点、点分别落在轴和轴上，是矩形的对角线，将绕点逆时针旋转，使点落在轴上，得到，与相交于点，反比例函数图像经过点，交于点，点为轴正半轴上一动点，当取最小值时，则点的坐标为 ．    【答案】 【分析】根据旋转和矩形的性质，易证，根据相似三角形的性质，即可求出的值，然后待定系数法求解析式，即可得到点F、G的坐标，再作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，点即为所求． 【详解】解：根据旋转可得， 在矩形中， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为， ，， ， ， 将点代入反比例函数解析式， 可得，，， 作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，如图所示：    则，， ，， 此时取最小值， 四边形是矩形， ， ， ， 即， 解得：， ， ， 综上所述，在轴上存在这样的点，使得有最小值，点的坐标为． 故答案为： 【点睛】本题考查了反比例函数的综合应用，涉及矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，综合性较强．本题的关键是理解求有最小值是“牧人饮马”问题． 类型二、反比例函数中的增减性最值 【解惑】反比例函数，当时，的最大值和最小值之差为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据，反比例函数在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大，结合，函数y的最大值与最小值之差为6，进行列式，即可作答． 【详解】解：∵反比例函数 ∴反比例函数在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大 ∵当时，函数y的最大值与最小值之差为6， ∴， 解得， 故答案为：． 【融会贯通】 1．已知反比例函数，若，则函数y有（    ） A．最大值1 B．最小值1 C．最大值0 D．最小值0 【答案】A 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，当时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当时，在每一个象限，y随x的增大而增大．利用反比例函数的性质，由x的取值范围并结合反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴在每个象限内y随x的增大而增大， 又∵当时，， ∴当时，； ∴函数有最大值1， 故选：A． 2．已知对于函数、及中，在情况下，无论x取何值，y始终取最小值，则y的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．分别联立三个函数解析式，求交点坐标，再取最大值． 【详解】解：联立，解得或， 联立，解得， 联立，解得或， 当时，最小，其最大值为， 当时，最小，其最大值不存在， 当时，最小，其最大值为， 当时，最小，其最大值为， 当时，最小，其最大值不存在， 当时，最小，其最大值不存在， 当时，最小，其最大值不存在， ∴在情况下y始终取最小值，则y的最大值为 故答案为：． 3．已知函数，，当时，函数的最大值为，函数的最小值为，则的值为 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，正确得出与的关系是解题关键．直接利用反比例函数的性质分别得出与的关系，进而得出答案． 【详解】解：函数，当时，函数的最大值为， 时，， ，当时，函数的最小值为， 当时，， ， 故， 解得：． 故答案为：2． 类型三、一次函数与反比例函数的交点与不等式问题 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．点的坐标为，连接．若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，涉及全等三角形的判定与性质等知识，构造全等三角形推出点的含有的坐标，利用同一反比例函数上点的坐标之积相等列出关于的方程，解出即可求出的坐标，构造一线三垂直出现全等三角形是本题的突破口． 【详解】解：过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的平行线交的延长线于点,如图所示： 点的坐标为， ， ，， ， ，， ， ，，则， ， 点、都在反比例函数上， ，即， 解得，（舍去）， 点的坐标为， ． 故答案为：． 【融会贯通】 1．如图，反比例函数的图象与等边的边，分别交于点（点不与点重合）．若于点，则的边长为 ． 【答案】 【分析】分别过点作的垂线，垂足分别为，设，由正三角形的性质求出和的坐标，进而得到的解析式，联合反比例函数解析式求出点的坐标，进而得到的长度，得到的长度，再利用含角的直角三角形的性质得到，进而得到，再用含角的直角三角形的性质得，进而求出的横坐标，根据点的坐标求出解析式，结合反比例函数的图象，交于点，得到，将点的横坐标代入解方程即可求解． 【详解】解：分别过点作的垂线，垂足分别为，如下图 设， 是正三角形， ，， ，， ， ． 设的解析式为， ， ， 的解析式为：. 反比例函数的图象交于点， ， 解得， ， ， ． 在中，， ， ， ． 在中，， ， ， ， 即点的横坐标为． 设的解析式为， 将点两点坐标代入得， 解得， 的解析式为：。 反比例函数的图象，交于点， ， 整理得， 将点的横坐标代入得 ， 整理得， 解得，（与矛盾，舍去）， 的边长为． 故答案为：． 【点晴】本题主要考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形性质，一次函数解析式的求法，勾股定理，一次函数与反比例函数交点坐标的求法，作出辅助线，构建含角的直角三角形是解答关键． 2．如图，点P，Q，R在反比例函数的图象上，分别过这三个点作轴、轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为，，．若，，则 ． 【答案】30 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义．根据以及反比例函数系数k的几何意义得到，，，列方程即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：30． 3．如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)当时，求的面积． 【答案】(1)反比例函数为：，一次函数的解析式为： (2)14 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）分别将点坐标代入两个函数解析式求出、值即可得到两个函数解析式； （2）将分别代入两个函数解析式得到点、的坐标求出长，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴反比例函数为：，一次函数的解析式为：． （2）∵， ∴， ∵轴于点C，交一次函数的图象于点D， ∴点B的横坐标为8．点D的横坐标为8． ∴，， ∴，， ∴， 过点A作轴交于点E，则， ∴， ∴ 类型四、反比例函数中的实际问题 【解惑】如图，已知是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求此反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，能够熟练运用待定系数法求得函数的解析式；能够运用数形结合的思想观察两个函数值的大小关系是解题的关键． （1）点代入可求出反比例函数的解析式，从而得到点B的坐标，再把点A，B的坐标代入，可求出一次函数的解析式，即可； （2）设直线与x轴交于点C，求出点C的坐标，再根据，即可求解； （3）直接观察函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得： ，解得：， ∴反比例函数的解析式为， 把点代入得： ，解得：， ∴点， 把点，代入，得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：如图，设直线与x轴交于点C， 对于，当时，， 解得：， ∴， ∴， ∵点，， ∴； （3）解：观察图象得：当或时，一次函数的图象位于反比例函数的图象的下方， ∴关于x的不等式的解集为或． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点，的坐标分别为和． (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集； (3)连接，求面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了反比例函数解析式，反比例函数与一次函数综合．熟练掌握反比例函数与一次函数综合是解题的关键． （1）把点代入，解得，则点的坐标为，然后由反比例函数的图象过点，求反比例函数即可； （2）把点代入直线，解得，即，根据不等式的解集为一次函数图象在反比例函数图象的上方所对应的的取值范围，结合图象作答即可； （3）根据三角形面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得，， 解得：， 点的坐标为：， 反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：把点代入直线得，， 解得， ∴， 由函数图象可知：当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上方， 不等式的解集为或． （3）连接，如图所示， ∵直线与轴相交于点， 当时， ∴ ∴ ∴． 2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．与轴相交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集：______； (3)若点为轴上的一动点．连接，当的面积为时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了反比例函数几何综合题，求反比例函数解析式，根据一次函数与反比例函数的图象交点求不等式解集． （1）利用一次函数求出，问题随之得解； （2）反比例函数值大于等于一次函数值时自变量的取值范围即是不等式的解集，数形结合作答即可； （3）设，先求出，表示出，根据的面积为，表示出，解方程即可求解． 【详解】（1）解：函数的图象经过， ，解得：， ， ， 反比例函数表达式为：； （2）解：函数的图象经过， ， ， 由图可得，不等式的解集是：或； （3）解：设， 如图： 在中， 当时，得， 解得：， ， ， ，， ， 解得：或， 点P的坐标为或． 3．诗词是指以古体诗、近体诗和格律词为代表的中国汉族传统诗歌，亦是汉字文化圈的特色之一．一本《中华诗词集锦》，每天看的页数和需要的天数如表． 每天看的页数/页 12 15 20 30 需要的天数/天 25 20 15 10 (1)每天看的页数与需要的天数之间成反比例关系吗？为什么？ (2)如果要6天看完这本《中华诗词集锦》，平均每天要看多少页？ 【答案】(1)每天看的页数与需要的天数之间成反比例关系，理由见解析 (2)平均每天应看50页 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算，成比例关系的判定． （1）根据乘积是定值，表示每天看的页数x与需要的天数y之间的数量关系即可求解； （2）把代入计算即可． 【详解】（1）解：设每天看页，需要天看完， ∵， ∴（或），与成反比例关系． 即每天看的页数与需要的天数之间成反比例关系． （2）解：当时， （页）． 答：平均每天应看50页． 类型五、反比例函数中的平移 【解惑】某数学小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． (1)求部分双曲线的函数表达式； (2)参照上述数学模型，假设某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，见解析 【分析】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象、待定系数法的应用是解题关键． （1）由待定系数法可以求出的函数表达式，从而得到点坐标，进一步得到点坐标，然后再利用待定系数法可以得到部分双曲线的函数表达式； （2）在部分双曲线的函数表达式中令，可以得到饮用低度白酒100毫升后完全醒酒的时间范围，再把题中某人喝酒后到准备驾车的时间间隔进行比较即可得解． 【详解】（1）解：设的函数表达式为，则： ， ， 的函数表达式为， 当时，， 可设部分双曲线的函数表达式为， 由图象可知，当时，， ， 部分双曲线的函数表达式为； （2）解：在中，令， 可得：， 解之可得：， 晚上到第二天早上的时间间隔为，， 某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上时体内的酒精含量高于20（毫克百毫升）， 某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上不能驾车出行． 【融会贯通】 1．杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即阻力×阻力臂=动力×动力臂．如图，已知石头的重力（阻力）为，阻力臂为． (1)求动力F与动力臂l的函数关系式． (2)小华想用一根撬棍撬起这块石头，但他最多能使出的力，问他用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度最短为多少？ 【答案】(1)动力F与动力臂l的函数关系式为 (2)小华用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度最短为 【分析】本题考查了列代数式，理解成反比例关系的定义是解题关键．根据阻力×阻力臂=动力×动力臂求解即可得到结论． 【详解】（1）依题意，得． ∴． 答：动力F与动力臂l的函数关系式为． （2）当时， 解得． ∵小华最多能使出的力， ∴． 答：小华用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度最短为． 2．为预防流感，某学校对教室采用药熏消毒．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量（单位：）与燃烧时间（单位：min）成正比例；燃烧后，与成反比例（如图所示）．现测得药物1燃烧完毕，此时教室内每立方米空气含药量为．根据以上信息解答下列问题： (1)分别求出药物燃烧时；药物燃烧后，关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (2)研究表明，当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒害作用，那么从药物燃烧完毕开始计时，至少需要经过多长时间，学生才可以返回教室？ 【答案】(1)药物燃烧时；，药物燃烧后 (2)至少需要分钟后学生才能回教室 【分析】本题考查正比例函数和反比例函数的实际应用； （1）设，将点代入函数解析式求出即可；设，将点代入函数解析式求出即可； （2）令，解出即可． 【详解】（1）解：设， ∵函数经过点， ∴，， ∴； 根据函数图象可得 ∴药物燃烧时；， 设， ∵函数经过点， ∴，， ∴； 根据函数图象可得   ∴药物燃烧后； （2）令，则，， 答：至少需要分钟后学生才能回教室． 3．【问题背景】在平面直角坐标系中，若两点分别为 ，则中点坐标为，如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B，C在第一象限，四边形 是平行四边形． 【构建联系】 若点C在反比例函数 的图象上，点C的横坐标为2，点B的纵坐标为3． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图2，点D是边的中点，且在反比例函数图象上，求平行四边形的面积； 【深入探究】 （3）如图3，将直线：向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于两点，点P为的中点，过点作于点N，请直接写出 P点坐标和的值． 【答案】（1）（2）9（3） 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，代入即可求反比例函数解析式； （2）设，根据平行四边形的性质可得，利用中点坐标公式可得，再把点D代入反比例函数解析式求得，即可求解； （3）由一次函数平移规律可得直线，联立方程组得，设、，即，利用中点坐标公式求得点P的横坐标为4，即可得，再利用勾股定理求得，求得直线与x、y轴的交点、，利用勾股定理求得，可得，过点O作，由平行线定理可得，利用锐角三角函数求得，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点B的纵坐标为3． ∴， 把代入， 得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：设， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， 即， ∵点D在反比例函数图象上， 把代入， 得， 解得， ∴， ∴； （3） 解：∵将直线向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于两点， ∴联立方程组得，， 即， 设、， ∴， ∵点P为的中点， ∴点P的横坐标为， 把代入， 得， ∴， ∴， 把代入，得； 把代入，得， 解得， ∴直线与x、y轴交于点、， ∴，， ∴， ∴， 过点O作于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、中点坐标公式、一次函数的平移规律、一次函数与反比例函数的交点问题、锐角三角函数、平行线定理、一次函数与坐标轴的交点问题、勾股定理、一元二次方程的根与系数的关系、用待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握相关知识是解题的关键． 类型六、反比例函数中的翻折 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，，且直线l经过双曲线的左端点C． (1)求点A的坐标和m的值； (2)平移直线l到达直线的位置，使其经过双曲线的右端点D，交x轴于点E． 求AE的长； 求直线l上的点A移动的最短路程． 【答案】(1) (2)；A移动的最短路程为 【分析】（1）将代入，可得直线l的解析式为：，进而可得，再根据直线l经过双曲线的左端点C，可得，问题随之得解； （2）结合（1）的结果得反比例函数解析式为：，即可得，根据平移直线到直线，设直线的解析式为：，代入，可得设直线的解析式为：，即可得，问题随之得解；过点A作，垂足为F，则就是直线l上的点A移动的最短路程，证明，得到，利用勾股定理求出（负值舍去），即可解答． 【详解】（1）解：∵在直线的图象上， ∴，即， ∴直线l的解析式为：， 当时，， 解得：， ∴， ∵直线l经过双曲线的左端点C， ∴当时，， ∴， ∴，即； （2）解：∵， ∴反比例函数解析式为：， 当时，， ∴， ∵平移直线到直线， ∴设直线的解析式为：， ∵直线经过， ∴当时，， ∴， ∴设直线的解析式为：， ∴当时，， 解得：， ∴， ∵， ∴； 如图，过点A作，垂足为F，则就是直线l上的点A移动的最短路程， ， ， ， ， ，， 在中，，即， ， 解得（负值舍去）， ∴，即点A移动的最短路程为． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数，一次函数的平移，三角形相似的判定与性质，勾股定理等知识，灵活掌握数形结合的思想，将平移距离转化为直角三角形的边长是解题的关键． 【融会贯通】 1．在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据： 1 a 3 4 6 4 3 2 b (1)______，______； (2)【探究】根据以上实验，构建出函数结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②函数是由函数的图象向______平移2个单位得到； (3)【应用】下列关于函数的性质：①图象关于点对称；②y随x的增大而减小；③图象关于直线对称；④y的取值范围为．其中说法正确的是______（填写序号）； (4)【拓展】不等式的解集为______． 【答案】(1)2，1.5； (2)①图象见解析；②左； (3)①④； (4)． 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质、描点法画函数图象、两个函数图象的交点问题，根据表格画出函数的图象，并利用数形结合思想探究函数性质是解答的关键． （1）根据解析式求解即可； （2）①根据表格数据，描点连线画出函数图象；②根据图象可得出结论； （3）画出的图象，结合图象可得结论． （4）分别画出与的图象，结合图象可得答案． 【详解】（1）解：由题意，， 当时，由得， 当时，， （2）解：①根据表格数据，描点、连线得到函数的图象如图： ②由图象可知，函数是由函数的图象向左平移2个单位得到． （3）解：如图，的图象如下： 由图象可得： ①图象关于点对称；故符合题意； ②当时（或），y随x的增大而减小；故不符合题意； ③图象关于直线或对称；故不符合题意； ④y的取值范围为．故符合题意 故答案为：①④ （4）在同一坐标系内画与的图象如下： ∴由函数图象可得：的解集为， 2．在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点连线或平移的方法画出函数图象．结合上面经历的学习过程，我们来解决下面的问题：分段函数； (1)当时，；当时，；则 ， ． (2)在（1）的条件下， ①在给出的平面直角坐标系中画出该分段函数图象； ②若该分段函数图象上有两点，且，则m的取值范围； ③直线与该分段函数的图象有2个交点，则k的取值范围是 ． 【答案】(1)3，6 (2)①见解析；②或；③ 【分析】（1）将分别代入函数和得关于a和b的方程，解方程得a和b的值； （2）①根据解析式的特点画出函数的图象即可； ②由①中函数图象分两种情况可直接得出m的取值范围． ③由①中函数图象可直接得出k的取值范围． 【详解】（1）解：（1）把代入得，， ， 把，代入得，， ； 故答案为：3，6； （2）①∵， 故可作图如下： ②是函数图象上的点，且， ， ， ， 当时， ∵在函数图象上， 当时，由图象知，； 当时，由于，解得：， 由图象知，； 综上，m的取值范围为：或； ③直线与该分段函数的图象有2个交点，则k的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，函数与不等式，函数的性质与图象，数形结合是解题的关键． 3．某数学兴趣小组学习了反比例函数后，进一步研究反比例函数的图象，他们在平面直角坐标系内选定点，过点作直线，并将图象沿该直线按一定的操作翻折，探究过程如下： 【动手操作】 操作：如图，过点作轴的平行线，将直线上方的反比例函数图象沿直线翻折得到新图象，与第一、三象限未翻折的图象组成“图象”． 操作：如图，过点作轴的平行线，将直线左侧的反比例函数图象沿直线翻折得到新图象，与第一、三象限未翻折的图象组成“图象”． 操作：如图，过点作直线：，将第一象限内反比例函数的图象在直线下方的部分沿直线翻折得到新图象，与直线下方的图象组成的封闭图象是“图象”．    【解决问题】 (1)如图，求“图象”与轴的交点的坐标； (2)过轴上一点作轴的平行线，与“图象”交于点，．若，求的值； (3)如图，反比例函数的图象与直线交于点，，已知点和点是“图象”上的两个动点，当以点，，，为顶点的四边形面积最大时，直接写出点和点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)，或， 【分析】（1）设点关于的对称点为，根据对称的性质可得，点在反比例函数的图象上，，再根据对称的性质即可求解． （2）分别谈论，当时和时的情况，设点关于的对称点为，根据对称的性质可得，点在反比例函数的图象上，，根据对称和反比例函数性质求得点和点坐标，再根据，即可分别求出的值． （3）联立直线与反比例函数，即可求得点和点为的坐标，根据点和点是“图象”上的两个动点，结合图象分析可得，当以点，，，为顶点的四边形面积最大时，即点和点分别位于直线的上下两侧时，四边形面积最大，当点在直线的下侧时，连接点，，过点作直线的平行线，当取最大值时，直线与反比例函数的图象仅有一个交点，可设直线为，与反比例函数，得，令，求得，即可得点横坐标，代入中，可得点坐标，同理，作点关于直线在“图象”上方的对称点，连接，，形成的的面积最大，连接，交于点，根据轴对称的性质可得，即点为的中点，由，设的函数解析式为，待定系数法求得的函数解析式，与直线联立，可得点坐标，再根据求中点坐标公式，可得点坐标，故当以点，，，为顶点的四边形面积最大时，点和点的坐标分别为，或，． 【详解】（1）解：设点关于的对称点为，根据对称的性质可得，点在反比例函数的图象上，，如图所示：    ∵， ∴直线为， ∵点的纵坐标为，点和点到直线的距离相等， ∴点的纵坐标为， 将代入中，可得， 解得： ∴点坐标为， ∵，轴 ∴点和点的横坐标相等， ∴点坐标为， （2）解：当时，在轴正半轴，过点作轴的平行线，与“图象”交于点，，设点关于的对称点为，根据对称的性质可得，点在反比例函数的图象上，，如图所示：    ∵轴， ∴点，的横坐标均为， 将代入中，可得， 即点的坐标为， ∴， ∵， ∴直线为， 设点的横坐标均为 又∵点的横坐标均为，点和点到直线的距离相等， ∴，即 ∴点的横坐标为， 将代入中，可得， ∴点坐标为， ∵，点和点的纵坐标相等， ∴点坐标为， ∴， ∵， ∴， 代入数值可得， 解得：． 当时，在轴负半轴，过点作轴的平行线，与“图象”交于点，，设点关于的对称点为，根据对称的性质可得，点在反比例函数的图象上，，如图所示：    同理可得：点的坐标为，点坐标为， ∴， ∵， ∴， 代入数值可得， 解得：． ∴的值为或． （3）解：联立直线与反比例函数，即， 解得：， ∴点为，点为， ∵点和点是“图象”上的两个动点， ∴结合图象可得，当以点，，，为顶点的四边形面积最大时，即点和点分别位于直线的上下两侧时，四边形面积最大， 当点在直线的下侧时，连接点，，形成，过点作直线的平行线，当取最大值时，直线与反比例函数的图象仅有一个交点，如图所示：    ∵，直线： ∴可设直线为， 联立直线与反比例函数，即， 即： ∵直线与反比例函数的图象仅有一个交点， ∴， 代入数值可得：， 解得：，（舍） 将代入，即， 解得： ∴点横坐标为， 将代入中，可得， ∴点坐标为， ∴当点坐标为时，取最大值时 同理，作点关于直线在“图象”上方的对称点，连接，，形成的的面积最大， 连接，交于点，根据轴对称的性质可得，即点为的中点，    ∵，直线：， 故可设的函数解析式为， 将点代入中，可得， 解得： ∴的函数解析式为， 联立与直线，即， 解得：， ∴点坐标为， 设点坐标为， ∵点为的中点，点 ∴， 解得：，， ∴点坐标为， ∴当以点，，，为顶点的四边形面积最大时，点和点的坐标分别为，或，． 【点睛】本题考查了反比例函数图象与性质，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象与性质，坐标与图形，解二元一次方程，轴对称的性质，数形结合是解题的关键． 类型七、反比例函数中的旋转 【解惑】如图，反比例函数的图象经过点，且与一次函数的图象交于A，B两点． (1)求反比例函数的表达式． (2)当时，请写出x的取值范围． (3)如图，P是线段上的一点，过点P分别作轴，轴，垂足分别为D，C，与反比例函数图象分别交于点F，E，连接．将沿着直线翻折，点O的对应点为，得到菱形，请求出的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析、根据函数图象确定不等式的解集、菱形的性质等知识定，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）直接将代入求得k的值即可； （2）联立反比例函数和直线的解析式求得A、B的坐标，然后再根据函数图象确定的x取值范围即可； （3）设，则，由菱形的性质可得，据此结合两点间距离公式可求得，则；再证四边形是矩形，可得易证是等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：接将代入可得：，解得：， 所以反比例函数的解析式为． （2）解：联立反比例函数和直线的解析式可得，解得：， ∴, 根据函数图象可知：时，x的取值范围为：． （3）解：设，则， ∵将沿着直线翻折，点O的对应点为，得到菱形， ∴, ∴，解得：， ∴， ∵过点P分别作轴，轴，垂足分别为D，C， ∴四边形是矩形， ∴ ∴, ∴是等腰直角三角形， ∴． 【融会贯通】 1．如图，一次函数与反比例函数交于A、B两点，点A的横坐标为，过点A作y轴的垂线l，交y 轴于点C，把直线上方反比例数的图象沿着直线l翻折，其它部分保持不变，所形成的新图象称为“G图象（不包含直线）”． (1)若时，求一次函数解析式； (2)在（1）的条件下，求“G图象”与x轴交点的横坐标； (3)过y轴另一点作y轴的垂线，与“G图象”交于E，F两点 ①若时，且，求m的值； ②若，直接写出n与m的数量关系（用含m的代数式表示n） 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）将代入，求出，将此代入，即可求解； （2）设“G图象”与x轴交点为，可得直线l为，由对称得关于直线的对称点的坐标为，将此代入，即可求解； （3）①将代入，可求得，从而可求得， 在反比例函数上，由点与关于直线l为对称，得，即可求解；②将代入，可求得，从而可求得，，由点与关于直线l为对称得，即可求解． 【详解】（1）解：当时， ， ， ， 解得：， 一次函数解析式为：； （2）解：设“G图象”与x轴交点为， 过点A作y轴的垂线l， 直线l为， 关于直线的对称点的坐标为， 在反比例函数上， ， 解得：， 故“G图象”与x轴交点的横坐标为； （3）解：①当时， ， 解得：， ， ， ， ， ， 当时， ， 在反比例函数上， 点A的横坐标为， 直线l为， 点与关于直线l为对称， ， 解得：， 故m的值为； ②当时， ， 解得：， ， ， ， ， ， ， 当时， ， 在反比例函数上， 点A的横坐标为， 直线l为， 点与关于直线l为对称， ， 解得：， 故n与m的数量关系为． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数法，对称的性质等，掌握解法，利用对称求出点的坐标是解题的关键． 2．已知直线与反比例函数（，）的图象分别交于点，，与轴交于点，与轴交于点． (1)如图①，已知点的坐标为． ①求直线的表达式； ②若点是反比例函数在第一象限直线上方一点，当面积为时，求点的坐标． (2)如图②将直线向右平移个单位长度得到直线，将双曲线位于下方部分沿直线翻折，若翻折后的图象（图中虚线部分）与直线有且只有一个公共点，求的值． 【答案】(1)①；②或 (2) 【分析】（1）①根据点的坐标求得反比例函数的解析式，即可求得的值，代入一次函数即可求得直线的解析式；②过作，过作于；联立与反比例函数解析式，求得、的坐标，进而求得的长，根据三角形面积求得、的距离，进而求得的解析式，联立与反比例函数解析式即可求得点的坐标； （2）过点作，交于点，交于点，由题意可知直线的解析式为，则，，，，证明为的中点，得到，则直线的解析式为，若翻折后的图像（图中虚线部分）与直线有且只有一个公共点，则点对应的点为，则，即是的中点，求出，根据两点中点坐标公式得到，由此求解即可． 【详解】（1）解：①∵ 在上， ∴， 把代入中得：， 则直线解析式为：，反比例函数解析式为：； ②由直线与反比例函数的图象分别交于点和点， 则， 解得：或， ∴， ∴， 如图，过作分别交轴、轴于点、，过作于， 设的距离为，则， 解得：， ∴、的距离为， ∴，    ∵，令，则，令，则，即，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， 在中，， ∴直线是直线向右平移个单位后得到的直线， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， 点的坐标为或； （2）解：过点作于，交于点，交于点，如图，    ∴， ∵直线，将直线向右平移个单位长度得到直线， ∴直线的解析式为， ∴，，，， ∴， ∵， ∴为的中点， ∴， ∴直线的解析式为， 若翻折后的图像（图中虚线部分）与直线有且只有一个公共点，则点对应的点为， ，即是的中点， 联立，解得：或（负值舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，（负值舍去）， ∴的值为． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合、求一次函数与反比例函数解析式、等腰直角三角形的性质、解一元二次方程、一次函数的平移、轴对称的性质，正确作出辅助线、利用数形结合的思想求解是解题的关键． 3．如图1，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，且一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．      (1)求一次函数的表达式以及点的坐标． (2)利用图象，直接写出关于的不等式的解集． (3)如图2，将直线绕点逆时针方向旋转，求旋转后所得直线的函数表达式． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）根据题意把代入，求得反比例函数解析式，把代入反比例函数解析式求得，再利用待定系数法求得一次函数的表达式，利用一次函数解析式求出其与轴交点，即可解题； （2）根据函数图像确定一次函数图像在反比例函数图像上方的自变量的取值范围即可； （3）利用一次函数解析式得到点坐标，过点作，交旋转后的直线于点，过点作轴于点，结合旋转的性质和等腰三角形性质证明，利用全等三角形性质得到坐标，设旋转后直线的解析式为，利用待定系数法求得旋转后所得直线的函数表达式即可． 【详解】（1）解：把代入，得：，解得：， 把代入得：， 把，代入得： ，解得：， 所以一次函数的表达式为， 把代入，得，， ； （2）解：由图知，不等式的解集为：或； （3）解：把代入，得， ， 过点作，交旋转后的直线于点，过点作轴于点，   ， ，， ， 由旋转的性质可得：， ， ， ， ， ，， ， ， 设旋转后直线的解析式为， 把，代入得： ，解得：， 所以旋转后直线的解析式为． 【点睛】本题考查了一次函数与反比函数图像性质，等腰三角形性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，掌握待定系数法求函数解析式及利用图像解决不等式是解题的关键． 类型八、反比例函数中的新定义 【解惑】如图，已知：直线与y轴交于点，与x轴交于点C，且，直线l绕点A旋转时与双曲线的一个交点为B． (1)求直线l的解析式； (2)当时，恰好是直角，求此时直线l与双曲线的交点情况； (3)在（2）的情形下，若点是点A关于x轴的对称点，求直线、、与y轴围成的封闭区域的面积． 【答案】(1) (2)只有一个交点 (3)54 【分析】（1）先求出的坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作轴，垂足为点，证明，求出点坐标，待定系数法求出反比例函数的解析式以及直线的解析式，联立，得到一元二次方程，利用判别式与根的个数的关系，进行求解即可； （3）先证明点、、三点共线，得到封闭区域为三角形，利用面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：直线与y轴交于点，当时，， ∴， ， ， ，即， 将代入得，解得， 直线的解析式为：； （2）过点作轴，垂足为点，如图所示， ， ，， ， ， ， ， ， ，故点坐标为， 将代入得，， ； 将代入得，解得， ， 联立得， ，即， ， 直线与双曲线只有一个交点； （3）点是点关于轴的对称点， ， ，，， ， ，即点、、三点共线， 故． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，同时考查了一元二次方程的判别式与根的关系，以及相似三角形的判定和性质．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，函数（k＞0，x＜0）和（k＞0，x＜0），当x＝－1时，函数y1的值为p，函数y2的值为p＋8，点A（a，b）在函数y1的图像上． (1)求y1的函数表达式； (2)当a＝－4时，作AE⊥x轴，垂足为E，将点E绕点F（t，0）（t＞－4）顺时针方向旋转180°至点Q，求点Q的坐标（用含t的代数式表示）； (3)将线段OA绕点O旋转，点A刚好落在函数y2的图像上的点C（m，n）处，求b和n的数量关系． 【答案】(1) (2)（2t+4，0） (3)或 【分析】（1）直接根据当x＝－1时，函数y1的值为p，函数y2的值为p＋8，利用待定系数法求解即可； （2）由题意得点E与点Q关于点F对称，据此求解即可； （3）由旋转的性质可知OA=OC，则，再由，推出，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得， ∴y1的函数表达式为； （2）解：由题意得点E的坐标为（-4，0）， ∵将点E绕点F（t，0）（t＞－4）顺时针方向旋转180°至点Q， ∴点E与点Q关于点F对称， ∴点Q的坐标为（2t+4，0）； （3）解：由旋转的性质可知OA=OC， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴或， ∴或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，坐标与图形变化—旋转，反比例函数与几何应用等等，熟练掌握相关知识是解题的关键． 2．已知平面直角坐标系中，直线AB与反比例函数（x＞0）的图象交于点A（1，3）和点B（3，n），与x轴交于点C，与y轴交于点D． （1）求反比例函数的表达式及n的值； （2）将△OCD沿直线AB翻折，点落在第一象限内的点E处，EC与反比例函数的图象交于点F． ①请求出点F的坐标； ②将线段BF绕点B旋转，在旋转过程中，求线段OF的最大值和最小值． 【答案】（1）y=，n=1；（2）①F点坐标为（4，）；②线段BF绕点B在旋转过程中，线段OF的最大值为，最小值为． 【分析】（1）利用待定系数法，将A（1，3）代入解析式中即可求出解析式，再将x=3代入即可求出n的值； （2）①求出DC的直线解析式，推出线段DO和DC的长，利用翻折性质即可知F点的横坐标再代入解析式中即可求出坐标； ②由题意可知；线段BF绕点B旋转过程中，F始终在以B点为圆心，BF为半径的圆上，结合图象即可求出最值． 【详解】解：（1）将A（1，3）代入y=（x＞0）中得， 3=， 解得：k=3， ∴反比例函数解析式为：y=， ∵B（3，n）在反比例函数y=上， ∴n==1； （2）①设直线DC的解析式为：y=kx+b（k≠0），图象经过点A（1，3）、B（3，1），将其代入得： ，解得：， ∴直线DC的解析式为：y=-x+4， 令y=0，则0=-x+4，解得x=4， 令x=0，则y=4， ∴OD=OC=4， 又∵将△OCD沿直线AB翻折，点落在第一象限内的点E处， ∴DE=4， 即F点的横坐标为4，且在反比例函数的图象上， ∴当x=4时，y=， 故F点坐标为（4，）； ②由①可知，B（3，1），F（4，）， ∴BF，OB， 由题意可知；线段BF绕点B旋转过程中，F始终在以B点为圆心，BF为半径的圆上， 情况一：当BF旋转到线段OB上时，如图所示，OF1为线段OF的最小值， ∴OFmin=OB-BF1=， 情况二：当BF旋转到线段OB的延长线上时，如图所示，OF2为线段OF的最大值， ∴OFmax=OB+BF2=， 综上，线段BF绕点B在旋转过程中，线段OF的最大值为，最小值为． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合性质，熟练掌握反比例函数的基本性质，结合图形灵活思考综合运用是解题之关键． 3．定义：函数图象上纵坐标是横坐标的两倍的点，称为该函数的“两倍点”，而纵坐标比横坐标的两倍小的点称为“弱倍点”． (1)判断下列函数图象上是否有两倍点？若有，求两倍点；若无，说明理由． ①；②． (2)如图，反比例函数图象上有一个两倍点的横坐标为3，求它的另一个两倍点的坐标，并结合图象写出图象上弱倍点的横坐标的取值范围． 【答案】(1)①存在两倍点为；②不存在两倍点，见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题： （1）根据两倍点的定义，即可求解； （2）根据两倍点的定义，可得，再由反比例函数的性质可得直线与反比例函数图象的另一交点是其另一个两倍点，再结合弱倍点的定义，可得反比例函数图象的弱倍点在直线的下方，即可求解． 【详解】（1）解：令． ①， 解得， ，故存在两倍点为． ②， 即， ， 方程无实根，即不存在两倍点． （2）解：点是反比例函数图象上的两倍点，的横坐标为3， ， 如图，直线与反比例函数图象的另一交点是其另一个两倍点； ∵弱倍点应符合，即反比例函数图象的弱倍点在直线的下方， 弱倍点的横坐标的取值范围为或． 【一览众山小】 1．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．在轴上有一点，使的值最小，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数的综合，线段和的最小值，解题的关键是正确做出辅助线． 把点代入一次函数，即可得出，再把点坐标代入反比例函数，即可得出，两个函数解析式联立求得点坐标；作点作关于y轴的对称点，连接，交y轴于点，此时的值最小，然后求出的解析式，即可求得． 【详解】解：把点代入一次函数， 得， 解得， ， 点代入反比例函数，得， ∴反比例函数的表达式， 两个函数解析式联立列方程组得， 解得：， ， 作点作关于y轴的对称点，交y轴于点，连接，交y轴于点， 此时的值最小， ， ， 设直线的解析式为， 把和代入得，， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴取得最小值时，． 故选：D． 2．如图，反比例函数的图象与正比例函数的图像交于点，则下列说法正确的是（   ） A．当，， B．当或时，， C．当或时，， D．当或时，， 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，先求出反比例函数的图象与正比例函数的图象另一个交点为，然后根据反比例函数的性质逐项排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，设反比例函数的图象与正比例函数的图象另一个交点为， ∵反比例函数的图象与正比例函数的图像交于点， ∴点， 、当时，根据图象可知：与大小不能确定，原选项不符合题意； 、当时；时，，原选项不符合题意； 、当或时，，原选项不符合题意； 、当或时，，原选项符合题意； 故选：． 3．如图是三个反比例函数在轴上方的图象，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图像及性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，由图象分布的位置可得，再由时，由图象可得，进而可得，即可求解． 【详解】解：反比例函数的图象分布在第二象限，反比例函数和的图象分布在第一象限， ， 当时，由图象可得， ， 故选：B． 4．定义：以点A为对称中心，边与坐标轴平行或共线且边长为2的正方形边上所有的点称为“A的关联点”．在平面直角坐标系中 (1)若点A为，下列不是“A的关联点”的是（    ） A．    B．    C．    D． (2)若点A为 ①反比例函数的图像上有且只有一个“A的关联点”，则______； ②反比例函数的图像上有两个“A的关联点”，且两关联点的距离为，求的值； ③直线记为，l绕原点顺时针旋转后的直线记为，l和上都存在“的关联点”，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)C (2)①8；②；③ 【分析】本题考查的是一次函数和反比例综合运用，涉及到一次函数的旋转、新定义等，数形结合是解题的关键． （1）作图，有图观察判断，四个点中，是否在正方形的边上，即可求解； （2）①根据乘积为8，有图象可知反比例函数过点时，符合题设条件，即可求解；②设符合条件的两个点为点、，则即可求解；③l绕原点顺时针旋转后的直线记为，则，如下图，在y轴上，，，，为顶点的正方形，据图得出结论：． 【详解】（1）如图，边长为2的正方形，以点A为对称中心， 在、、、四个点中，只有点不在正方形的边上， 故选：C． （2）①如下图当反比例函数过点时，符合题设条件， 则， 故答案为：8； ②如图，设符合条件的两个点为点、， 则， 解得：，（不合题意舍去）； ③l绕原点顺时针旋转后的直线记为，则，如下图， 当两个函数的虚线和实线之间时，符合题设条件，即． 5．定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】 （1）点_______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则_______； 【深入探究】 （2）若“美好点” 在双曲线（，且为常数）上，则_______； 【拓展延伸】 （3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． ①求关于的函数表达式，并求出自变量x的取值范围； ②在图2的平面直角坐标系中画出函数图象： 列表：下表是x与y的几组对应值，请将下表填写完整． 描点：根据表中各组对应值，在图2的平面直角坐标系中描出各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图像； ③结合图象研究性质，下列结论正确的选项是_______；（多项选择，全部选对的得2分，部分选对的得1分，有选错的不得分） A．图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点； B．随着的增大而减小； C．随着的增大而增大； D．图象经过点； ④对于图象上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． ⑤结合上述问题，观察图象可知该图象可由哪个函数的图象怎样平移得到？ 【答案】（1）不是，；（2）；（3）①（）；②图见解析，；③AB；④是为定值，定值为；⑤ 【分析】（1）直接根据“美好点”的定义可以判断点是不是“美好点”，根据“美好点”的定义得到，进行计算即可得到的值； （2）根据“美好点”的定义求出的值，得到的坐标，将点代入反比例函数解析式，进行计算即可得到答案； （3）①根据“美好点”的定义可得，化简整理即可得到答案； ②先列表然后描点连线即可得到图象， ③根据图象逐一判断即可得到答案； ④将代入进行计算即可得到答案， ⑤由图象观察可知，该图像可由平移得到． 【详解】解：（1）， 点不是“美好点”， 点是第一象限内的一个“美好点”， ， 解得：， 故答案为：不是，4； （2）是“美好点”， ， 解得：， ， 将代入双曲线， 得， 故答案为：18； （3）①点是第一象限内的“美好点”， ， 化简得：， 第一象限内的点的横坐标为正， ， 解得：， 关于的函数表达式为：（）； ②列表如下， 如图如图所示：    ③由图象可得： A，图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点，故A正确，符合题意； B，由图象可知随着的增大而减小，故B正确，符合题意； C，随着的增大而增大，该选项说法错误，不符合题意； D，当时，，所以图象经过点，故该选项说法错误，不符合题意 故选：AB； ④， ， 对于图象上任意一点，代数式是为定值，定值为． ⑤该图象可由向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到， 故答案为：； 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、反比例函数的图象与性质，熟练掌握矩形的性质、反比例函数的图象与性质，理解“美好点”的定义，是解题的关键． 6．定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫做半对角四边形，如图1，直线，点A，D在直线上，点B，C在直上，若，则四边形是半对角四边形．    (1)如图2，点E是平行四边形的边上一点，，，．若四边形为半对角四边形，求的长； (2)如图3，以平行四边形的顶点C为坐标原点，边所在直线为x轴，对角线所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．点E是边上一点，满足．求证：四边形是半对角四边形； (3)在（2）的条件下，当，时，将四边形向左平移a（）个单位后，恰有两个顶点落在反比例函数的图像上，求k的值． 【答案】(1)6 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到，，， ，再根据题中定义得到，进而有，根据等角对等边求得即可求解； （2）先根据平行四边形的性质得到，，进而得到，利用等腰三角形的性质得到，利用三角形的外角性质推导出，根据题中定义可证得结论； （3）先求得点A、B、E及其平移后对应点的坐标，再分点和落在反比例函数的图像上和点和落在反比例函数的图像上两种情况，利用反比例函数图像上点的坐标特征得到a和k的方程，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形平行四边形，，， ∴，，，， ∴， ∵四边形为半对角四边形， ∴， ∴，则， ∵， ∴； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，又， ∴四边形是半对角四边形； （3）解：由（2）知，， ∵， ∴是等边三角形，则，， 过E作于H，    ∴则，， ∴，则， 在中，， ∴， ∴， ∴，， 将四边形向左平移a（）个单位后，点A的对应点坐标为，点B的对应点坐标为，点E的对应点坐标为， ∵平移后，恰有两个顶点落在反比例函数的图像上， ∴分两种情况： 若点和落在反比例函数的图像上，则， 解得，此时； 若点和落在反比例函数的图像上，则， 解得，此时， 综上，满足条件的k值为或． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、坐标与图形、平移性质、求反比例函数的解析式等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，分类讨论是解答的关键． 7．在函数的学习中，我们经历了“确定函数表达式—画函数图象—利用函数图象研究函数性质—利用图象解决问题”的学习过程，我们可以借鉴这种方法探究函数的图象性质． (1)补充表格，并画出函数的图像． ①列表： 0.5 1 2 0.5 1 2 1 0.5 ②描点连线，画图． (2)关于此函数，下列说法正确的是______（填写序号）： ①在各个象限内，随着增大而减小；②图像为轴对称图形； ③函数值始终大于0；④函数图像是中心对称图形 (3)不等式的解集为______． 【答案】(1)①解析见答案；②解析见答案 (2)②③ (3)或． 【详解】（1）解：①补充表如下： ②描点后画图如下 （2）解：①由图象可知，在第二象限内随着增大而增大，在第一象限内随着增大而减小，此项错误； ②图像以轴的正半轴为轴对称轴，此项正确； ③函数值始终大于0，此项正确； ④反比例函数图象是中心对称图形，故此错误． 故答案为：②③． （3）解：， ， 或． 故答案为：或． 8．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点 (1)求和的值； (2)点为平面直角坐标系内一点， ①若的面积为，求的值； ②若，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)①或；②点坐标为或 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，正确的求出函数解析式，用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）将代入，求出的值，再将点坐标代入，求出的值即可； （2）①根据题意，得到点在直线上，设直线与直线交于点，根据分割法得到，列出方程进行求解即可； ②分点在上方和下方两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得：， 解得：， ∴， 把代入，得：， ∴，； （2）①∵， ∴点在直线上， 设直线与直线交于点， ∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或； ②当点在上方时， ∵， ∴轴， ∴； 当点在下方时，设与轴的交点为， 则：， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴， 设直线的解析式为， 则：，解得：， ∴， ∴当时，， ∴； 综上：或． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$