福建省厦门第二中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

厦门二中2024~2025学年第一学期高二年段数学科期中考试卷 命卷教师：唐文龙 审卷教师：谢小花 班级：_________姓名：__________座号：__________ （考试时间：120分钟） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线l过点，方向向量为，则原点到的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 3 2. 若点在圆：的外部，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 已知两条直线，平行，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 已知点到直线的距离为5，且直线在两坐标轴上的截距相等，则满足条件的直线共有（ ）条. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 若直线与的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知一对不共线的向量的夹角为，定义为一个向量，其模长为，其方向同时与向量垂直（如图1所示）.在平行六面体中（如图2所示），下列结论错误的个数是（ ） ①； ②当时，； ③若，则； ④平行六面体的体积. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 斗拱是中国建筑上特有的构件，是较大建筑物的柱与屋顶之间的过渡部分，用于支撑上部突出的屋檐，如图（1），其简化结构如图（2），其中是两两互相垂直的线段，为斗拱，满足，且和都为钝角．若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 在棱长为的正方体中，分别为的中点，点在正方体表面上运动，且满足，点轨迹的长度是（ ）. A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 B. 若空间中任意一点O，有，则四点共面 C. 若空间向量，满足，则与夹角为钝角 D. 若空间向量，，则在上的投影向量为 10. 已知点和是直线上的动点，则（ ） A. 的最小值是 B. 的最大值是 C. 存在，使最小 D. 存在，使最小 11. 在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ） A. 当时，的周长为定值 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，有且仅有一个点，使得 D. 当时，有且仅有一个点，使得平面 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间中三点的坐标分别为，则点到直线的距离为________. 13. 如图在三棱锥中，为的重心，，若交平面于点，且，则的最小值为__________. 14. 如图在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到点，如图所示，若光线经过的重心，则线段的长度是__________；直线的斜率为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知直线经过点，直线经过点，且. （1）求与之间的最大距离，并求此时两直线的方程；（斜截式表示） （2）若与间的距离为5，求两直线的方程.（用一般式表示） 16. 如图，在矩形和中，，记. （1）将用表示出来； （2）当等于多少时，线段的长度取得最小值？求此时与夹角的余弦值. 17. 的三个顶点分别是，，. （1）求边上的中线所在直线的方程，求边上的高所在直线的方程； （2）（ⅰ）求的外接圆（为圆心）的标准方程； （ⅱ）若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 18. 如图，在中，是中点，分别是边上的动点，且，将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥. （1）求证：平面； （2）若，二面角是直二面角，求线段中点到平面的距离； （3）当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 19. 在平面解析几何中，除了目前已掌握的五种直线方程以外，我们利用定点坐标和向量坐标也能得到另外两种方程：已知过定点的直线和向量. ①若为直线的方向向量，则直线的方程可写为； ②若与直线的方向向量垂直（也称为直线的法向量），则直线的方程可写为.我们也可以将上述工具扩展到空间直角坐标系中. （1）若已知平面过定点，且平面的一个法向量为，试求平面的一般方程（空间直角坐标系中平面的一般方程可写为）； （2）与平面中求解点坐标可以将点看成是两条直线的公共点，类似的，空间中求解直线的方程可以将直线看成是两个平面的交线.在空间直角坐标系中，已知直线的标准式方程为，平面的一般方程为，求直线与平面所成角的余弦值； （3）在空间直角坐标系中，设平面的一般方程为，定点，试推导到平面的距离的表达式（要有完整过程）. 厦门二中2024~2025学年第一学期高二年段数学科期中考试卷 命卷教师：唐文龙 审卷教师：谢小花 班级：_________姓名：__________座号：__________ （考试时间：120分钟） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】A 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】BD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】1 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 2 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1），. （2）或. 【16题答案】 【答案】（1） （2），. 【17题答案】 【答案】（1）， （2）（ⅰ）；（ⅱ），轨迹是以为圆心，半径为的圆． 【18题答案】 【答案】（1） 在四棱锥中，，而平面平面， 所以平面 （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3） 设上任意一点为， 由（1）可得，上的一个法向量为， ， 设在平面上的投影为， 有 ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $