精品解析：江西省上饶市第一中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

上饶市第一中学2027届高一年级期中考试 数学试卷 考试时间：2024年11月 考试时长：120分钟 满分：150分 命题人：周超群 叶诗友 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，上交答题卡. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则集合的真子集的个数为（ ） A. 32 B. 31 C. 16 D. 15 2. 已知命题，，则命题p的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知命题：，：，则是成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知命题“”是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是上的增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在区间上的偶函数，当时，满足对任意的，都有成立，若，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 对于任意的表示不超过的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.下列说法不正确的是（ ） A. 函数的图象不关于原点对称 B. 函数的值域为 C. 对于任意的，不等式恒成立 D. 不等式的解集为 二.多选题（共3小题） 9. 下列各组函数表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. （多选）下列说法正确的是（ ） A. 函数的值域是 B. 若函数，则 C. 设函数，则为奇函数 D. 已知函数是定义在的偶函数，，且当时，，则 11. （多选）已知，均为正实数，则（ ） A. 的最大值为 B. 若，则的最大值为8 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的最小值为 三.填空题（共3小题） 12. 当时，幂函数为减函数，则实数m的值为______． 13. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，______. 14. 已知，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是________. 四.解答题（共5小题） 15. 已知全集，集合，集合是函数的定义域，集合. （1）求集合、 （2）求集合（结果用区间表示）； （3）若，求实数的取值范围. 16. 已知函数是奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）设，若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 17. 已知二次函数． （1）若方程两个根之和为4，两根之积为3，且过点．求的解集； （2）若关于x的不等式的解集为，设函数，求函数的最大值 18. 已知定义在上的函数满足对任意的，，恒成立.当时，，且. （1）求的值； （2）判断的单调性并证明； （3）求不等式的解集. 19. 已知函数，将的图象上所有点向右平移2个单位长度（纵坐标不变），得到函数的图象. （1）求函数的解析式； （2）（i）记函数在上的最小值为，求的表达式； （ii）若存在实数，使得函数在区间上单调且值域为，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上饶市第一中学2027届高一年级期中考试 数学试卷 考试时间：2024年11月 考试时长：120分钟 满分：150分 命题人：周超群 叶诗友 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，上交答题卡. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则集合的真子集的个数为（ ） A. 32 B. 31 C. 16 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，从而利用公式可求出其真子集的个数. 【详解】解：由题意得， 其真子集有个. 故选：D. 2. 已知命题，，则命题p的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】利用特称量词命题的否定可得出结论. 【详解】，，则命题p的否定为，. 故选：D. 3. 已知命题：，：，则是成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据范围的大小关系得到答案. 【详解】命题：，：，，故是成立的必要不充分条件. 故选：B. 4. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合抽象函数的定义域的求解方法，以及函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意知，函数的定义域为， 则函数满足，解得或， 即函数的定义域为. 故选：C. 5. 已知命题“”是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据参数是否等于零分类讨论，再结合二次函数的图象与性质列不等式，求解即可. 【详解】由题意，命题“，”是真命题， 当时，不等式，解得，不满足题意； 当时，，解得 综上所述，实数的取值范围是 故选：A. 6. 已知函数是上的增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由分段函数的单调性，结合二次函数和反比例函数的性质列不等式求参数范围即可. 【详解】函数是上的增函数，则在上单调递增，故， 此时满足函数在上也是单调递增； 最后，只需在处满足， 综上：的取值范围是. 故选：D 7. 已知定义在区间上的偶函数，当时，满足对任意的，都有成立，若，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数单调性定义确定函数的单调性，再结合偶函数的性质求解不等式. 【详解】由，都有成立，得函数在上单调递增， 又函数是上的偶函数，则， 因此，解，得或， 解，得，于是， 所以实数m的取值范围为. 故选：B 8. 对于任意的表示不超过的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.下列说法不正确的是（ ） A. 函数的图象不关于原点对称 B. 函数的值域为 C. 对于任意的，不等式恒成立 D. 不等式的解集为 【答案】D 【解析】 【分析】结合取整函数的定义，利用奇偶性的定义可判断A选项；由取整函数的定义得到，进而可判断B，C选项；先解一元二次不等式，然后取整函数的定义可判断D选项. 【详解】对于A：当时，，当时，， 所以的图象不是关于原点对称，故A正确； 对于B：由取整函数的定义知，，所以， 函数的值域为，故B正确： 对于C：由取整函数的定义知，， 所以，故C正确； 对于D：由得，解得， 结合取整函数的定义可得，故D错误. 故选：D. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；（3）将已知条件代入新定义的要素中；（4）结合数学知识进行解答. 二.多选题（共3小题） 9. 下列各组函数表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，两函数对应法则不一致；BD选项，两函数定义域和对应法则均相同；C选项，两函数定义域不相同. 【详解】A选项，，，故两函数不是同一函数，A错误； B选项，，，故两函数为同一函数，B正确； C选项，的定义域为R，的定义域为，故两函数不是同一函数，C错误； D选项，的定义域为，且， 的定义域为，且， 故两函数是同一函数，D正确. 故选：BD 10. （多选）下列说法正确的是（ ） A. 函数的值域是 B. 若函数，则 C. 设函数，则为奇函数 D. 已知函数是定义在的偶函数，，且当时，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出函数的值域判断A；利用配凑法求出解析式判断B；判断函数的奇偶性判断C；利用偶函数性质计算判断D. 【详解】对于A，令，则，函数在上单调递增， 其值域为，因此函数的值域是，A正确； 对于B，函数，因此，B正确； 对于C，由，得为非奇非偶函数，C错误； 对于D，函数是定义在的偶函数，且当时，， ，解得，则，D正确. 故选：ABD 11. （多选）已知，均为正实数，则（ ） A. 的最大值为 B. 若，则的最大值为8 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意结合基本不等式逐项判断即可 【详解】对于A，因为，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 故的最大值为，故A正确； 对于B，因为， 所以，当且仅当时等号成立， 故的最小值为8，故B不正确； 对于C，因为， 所以， 当且仅当且，即，时，等号成立， 故的最小值为，故C正确； 对于D，因为， 由基本不等式可得，， 当且仅当时，即时，取等号.故D正确； 故选：ACD. 三.填空题（共3小题） 12. 当时，幂函数为减函数，则实数m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义及单调性可求参数的值. 【详解】由题设有，解得， 故答案为：2 13. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，______. 【答案】 【解析】 【分析】当时，可得，根据题意，结合，即可求解. 【详解】当时，可得， 因为函数是定义在上的偶函数，且时，， 可得， 即当时，. 故答案为：. 14. 已知，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对任意的，总存在，使成立，可得两个函数值域的包含关系，进而根据关于的不等式组，解不等式组即可. 【详解】，函数的对称轴为：， 对任意的，则.记； 由题意，知时不成立， 当时，，在上是增函数， ，记. 由题意，知， ，解得. 当时，，在上是减函数， ，记. 由题意，知 ，解得. 综上所述，. 故答案为：. 四.解答题（共5小题） 15. 已知全集，集合，集合是函数的定义域，集合. （1）求集合、 （2）求集合（结果用区间表示）； （3）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）对于集合，根据二次函数的性质可得值域，对于集合，根据二次根式和分式的性质列不等式，求解即可； （2）根据补集，并集的定义计算即可； （3）根据题意得集合是集合的子集，根据集合是否为空集分类讨论，再结合包含关系列不等式，求解即可. 【小问1详解】 集合， 因为，则，所以函数的值域为； 所以集合； 对于函数，得，解得， 所以集合. 【小问2详解】 因为集合， 所以或， 所以. 【小问3详解】 由（1）可得， 由题意，， 当时，满足题意，此时，解得； 当时，，解得； 综合所述，实数的取值范围是. 16. 已知函数是奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）设，若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据定义域的对称性可求，再根据，故可求函数解析式； （2）利用参变分离结合二次函数的性质，故可求的取值范围. 【小问1详解】 因为函数的定义域为，且函数是奇函数， 则根据定义域的对称性可知，， 因为，解得， 则，经检验，是奇函数. 【小问2详解】 因为对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令，，的对称轴为， 在单调递增，，. 综合所述：实数的取值范围是. 17. 已知二次函数． （1）若方程两个根之和为4，两根之积为3，且过点．求的解集； （2）若关于x的不等式的解集为，设函数，求函数的最大值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据韦达定理可得，再由过点可得，解不等式可得答案； （2）由不等式解集可得，即，再利用基本不等式计算即可得出的最大值为. 【小问1详解】 方程即为， 由两个根之和为4，两根之积为3可得，所以； 即，代入点可得， 即， 所以即为，解得； 因此的解集为 【小问2详解】 由关于x的不等式的解集为可知方程的两根为，且； 所以，即； 可得， 因为，所以， 即可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以可得时，， 即函数的最大值为. 18. 已知定义在上的函数满足对任意的，，恒成立.当时，，且. （1）求的值； （2）判断的单调性并证明； （3）求不等式的解集. 【答案】（1） （2） 函数在上单调递增.证明如下： 设，则，由当时，，得， 于是， 所以函数在上单调递增. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定等式，赋值计算即得. （2）判断单调性，再利用函数单调性定义推理即得. （3）由（1）及已知等价转化不等式，再由（2）脱去法则求解即可. 【小问1详解】 对任意的，，成立， 取，则，即，而， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）知，则 ，由（2）知在上单调递增， 因此，解得， 所以不等式的解集是. 19. 已知函数，将的图象上所有点向右平移2个单位长度（纵坐标不变），得到函数的图象. （1）求函数的解析式； （2）（i）记函数在上的最小值为，求的表达式； （ii）若存在实数，使得函数在区间上单调且值域为，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）函数图象的平移为：“左加右减”，只需求即可； （2）（i）讨论区间与函数对称轴的位置关系，找出取最小值的点即可；（ii）讨论在区间上的单调性：当函数在区间上递增时，有，当函数在区间上递减时，则有，利用一元二次方程有根，判别对应方程的，解得范围，同时注意到对称轴在单调区间外，当时，对应表达式需，即可得到答案. 【小问1详解】 ， 化简得； 【小问2详解】 函数开口向上，对称轴为. （i）当，即时，函数在上递增，则； 当，即时，函数在上递减，在上递增， 则； 当，即时，函数在上递减，则； . （ii）①若函数在区间上递增，则， 由题意得，即，是方程的两个不同根， ，解得， 且时，，即，解得， ； ②若，函数在区间上不单调，不合题意； ③若函数在区间上递减，则， 由题意得， 两式相减得，即， 代入上式得， 即是方程的两个不同根， ，解得， 且时，， 即，解得， 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $