精品解析：宁夏回族自治区石嘴山市平罗中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

宁夏回族自治区石嘴山市平罗中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 满分：150分 考试时间：120分钟 命题教师：高思杰 审题教师：张含笑 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项符合要求．） 1. 已知直线方程为，则该直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 圆关于原点对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 圆上的点到直线的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 4. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 点在双曲线上，、是双曲线的两个焦点，，且的三条边长满足，则此双曲线的离心率是（ ） A. B. C. 2 D. 5 6. 已知曲线：，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，点满足，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线的焦点为，准线为，且过点，在抛物线上，若点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则　　 A. 4 B. C. 2 D. 3 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得分，选错的得0分.） 9. 设椭圆的左、右焦点为是椭圆上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 椭圆的离心率 C. 面积的最大值为 D. 以线段为直径的圆与直线相离 10. 如图，在长方体中，，点为线段上动点（包括端点），则下列结论正确的是（ ） A. 当点为中点时，平面 B. 当点为中点时，直线DM与直线BC所角的余弦值为 C. 当点在线段上运动时，三棱锥的体积是定值 D. 点到直线距离的最小值为1 11. 已知双曲线C：的左焦点为F，P为C右支上的动点，过P作C的一条渐近线的垂线，垂足为A，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 点F到C的一条渐近线的距离为2 B. 双曲线C的离心率为 C. 则P到C的两条渐近线的距离之积大于4 D. 当最小时，则的周长为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，满分15分.） 12. 经过点且与直线垂直的直线方程为___________. 13. 已知是椭圆的两个焦点，点在该椭圆上，若，则的面积是______． 14. 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点,为坐标原点.若双曲线的离心率为2,的面积为,则_________. 四、解答题（本大题共5小题，每道题应写出必要的演算步骤和解题过程.） 15. 已知焦点位于x轴的抛物线C过点． （1）求抛物线C的方程，并求其准线方程； （2）过该抛物线的焦点，作倾斜角为的直线，交抛物线于A，B两点，求线段AB的长度. 16. 已知圆C的方程为：． （1）若直线与圆C相交于A、B两点，且，求实数a的值； （2）过点作圆C的切线，求切线方程． 17. 已知双曲线C和椭圆有公共的焦点，且离心率为． （1）求双曲线C的方程． （2）经过点作直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程并求弦长． 18. 如图：在直三棱柱中，，，，M是的中点，N是的中点. （1）求证：平面； （2）求：平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点P，使得点P到平面MBC的距离为，若存在求此时的值，若不存在请说明理由. 19. 已知椭圆（）的右焦点为，且过点，直线过点且交椭圆于A、两点. （1）求椭圆的方程； （2）若线段的垂直平分线与轴的交点为. （ⅰ）求直线的方程. （ⅱ）若点，求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁夏回族自治区石嘴山市平罗中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 满分：150分 考试时间：120分钟 命题教师：高思杰 审题教师：张含笑 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项符合要求．） 1. 已知直线方程为，则该直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线的斜率，进而求出倾斜角即得. 【详解】依题意，直线的斜率为，所以该直线的倾斜角为. 故选：A 2. 圆关于原点对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出圆心关于原点的对称点，从而可求出所求圆的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为， 因为点关于原点对称点为， 所以圆关于原点对称的圆的方程为 ， 故选：C. 3. 圆上的点到直线的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出圆心到直线距离，再利用圆的性质求解即得. 【详解】圆的圆心为，半径为， 则点到直线的距离为， 所以圆上的点到直线的距离的最大值为. 故选：B 4. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得不等式组，解出即可. 【详解】由题意有：. 故选：A. 5. 点在双曲线上，、是双曲线的两个焦点，，且的三条边长满足，则此双曲线的离心率是（ ） A. B. C. 2 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】设点在双曲线的右支上，则，，结合已知条件可得，，代入可得关于、的齐次方程，转化为关于的二次方程即可求解. 【详解】设点在双曲线的右支上，则，， 因为，所以，， 因为，所以是直角三角形，所以 所以，即， 所以，解得：或（舍）， 所以此双曲线的离心率是， 故选：D. 6. 已知曲线：，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，点满足，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，由题意可得，代入曲线中即可得. 【详解】设，则有，设， 则，由，则有， 即，故有，即. 故选：B. 7. 已知抛物线的焦点为，准线为，且过点，在抛物线上，若点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据抛物线定义，利用数形结合求解即可 【详解】由题可得，准线的方程为. 由抛物线的定义可知，， . 故选:D. 8. 已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则　　 A. 4 B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长a2，焦距2c．结合椭圆与双曲线的定义,得， ,在△F1PF2中,根据余弦定理可得到与c的关系式,变形可得的值. 【详解】如图所示: 设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义： ，， ∴，， 设，，则 在中由余弦定理得，， ∴化简得，该式可变成． 故选A． 【点睛】本题考查了椭圆及双曲线的定义和离心率，考查了余弦定理的应用;涉及圆锥曲线的离心率时,常通过结合圆锥曲线a,b,c的关系式和其他已知条件,转化只含有a,c的关系式求解. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得分，选错的得0分.） 9. 设椭圆的左、右焦点为是椭圆上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 椭圆的离心率 C. 面积的最大值为 D. 以线段为直径的圆与直线相离 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，求出椭圆的长短半轴长及半焦距，再逐项计算判断. 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，，A正确； 对于B，椭圆的离心率，B正确； 对于C，设点纵坐标为，则，的面积，C错误； 对于D，以线段为直径的圆的圆心到直线距离，直线与圆相离，D正确. 故选：ABD 10. 如图，在长方体中，，点为线段上动点（包括端点），则下列结论正确的是（ ） A. 当点为中点时，平面 B. 当点为中点时，直线DM与直线BC所角的余弦值为 C. 当点在线段上运动时，三棱锥的体积是定值 D. 点到直线距离的最小值为1 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A；利用空间向量求出向量夹角余弦判断B；利用三棱锥体积公式判断C；利用空间向量求出点到直线的距离最小值判断D. 【详解】在长方体中，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设， 对于A，，，，， ，即， 而平面，因此平面，A正确； 对于B，，，B错误； 对于C，由选项A知，点到平面的距离为，而的面积， 因此三棱锥的体积为，是定值，C正确； 对于D，，则点到直线的距离 ，当且仅当时取等号，D错误. 故选：AC 11. 已知双曲线C：的左焦点为F，P为C右支上的动点，过P作C的一条渐近线的垂线，垂足为A，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 点F到C的一条渐近线的距离为2 B. 双曲线C的离心率为 C. 则P到C的两条渐近线的距离之积大于4 D. 当最小时，则的周长为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由点到直线的距离公式，可判断A项；根据离心率，可判断B项；设点，根据点到直线的距离公式，可判断C项；设双曲线的右焦点，由双曲线定义可知最小时，则只需最小即可，过作垂直渐近线与点，交双曲线右支与点，此时最小，再由距离公式即可判断D项. 【详解】双曲线的渐近线为，左焦点，所以点到C的一条渐近线的距离为，所以A错误； 由双曲线方程可得，，所以离心率，所以B正确； 设点，则，即， 点到两渐近线距离分别为和， 则，所以C正确； 设双曲线的右焦点，则，所以， 若最小，则只需最小即可， 过作垂直渐近线与点，交双曲线右支与点，此时最小， ，由勾股定理得，所以，所以， 所以的周长为，所以D正确. 故选：BCD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，满分15分.） 12. 经过点且与直线垂直的直线方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题可设直线方程为，代入已知点坐标即得. 【详解】由题可设所求直线方程为， 代入点，可得，即， 所以经过点且与直线垂直的直线方程为. 故答案为：. 13. 已知是椭圆的两个焦点，点在该椭圆上，若，则的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆定义结合题设求得，可判断，即可求得的面积. 【详解】由题意知是椭圆的两个焦点， 则， 不妨取，则， 又，结合可得， 则，即， 故， 故答案为： 14. 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点,为坐标原点.若双曲线的离心率为2,的面积为,则_________. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：有得所以双曲线的渐近线为又抛物线的准线方程为联立双曲线的渐近线和抛物线的准线方程得在中，到的距离为.. 考点：双曲线与抛物线的几何性质. 四、解答题（本大题共5小题，每道题应写出必要的演算步骤和解题过程.） 15. 已知焦点位于x轴的抛物线C过点． （1）求抛物线C的方程，并求其准线方程； （2）过该抛物线的焦点，作倾斜角为的直线，交抛物线于A，B两点，求线段AB的长度. 【答案】（1），准线方程为 （2） 【解析】 【分析】（1）设出抛物线方程，代入，得到，得到抛物线方程和准线方程； （2）设出直线AB：，联立抛物线方程，得到两根之和，由抛物线焦点弦长公式进行求解. 【小问1详解】 由题意可知，抛物线的焦点位于x轴正半轴， 设抛物线的方程为， ∵过点， ∴，解得， ∴抛物线C：，准线方程为； 【小问2详解】 由（1）知，抛物线焦点为，直线AB的倾斜角为， 则直线AB：，设，， 由，得：， 则， 则． 16. 已知圆C的方程为：． （1）若直线与圆C相交于A、B两点，且，求实数a的值； （2）过点作圆C的切线，求切线方程． 【答案】（1）或； （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，结合点到直线的距离公式，以及垂径定理，即可求解； （2）结合切线的定义和点到直线的距离公式，即可分类讨论思想，即可求解． 【小问1详解】 圆的方程为：， 则圆的圆心为，半径为2， 直线与圆相交于、两点，且， 则，解得或； 【小问2详解】 当切线的斜率不存在时，直线，与圆相切， 切线的斜率存在时，可设切线为，即， 由切线的定义可知，，解得， 故切线方程为， 综上所述，切线方程为或． 17. 已知双曲线C和椭圆有公共的焦点，且离心率为． （1）求双曲线C的方程． （2）经过点作直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程并求弦长． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标和离心率，利用待定系数法求双曲线方程； （2）首先利用点差法求直线的斜率，并求解直线方程，与双曲线方程联立，代入弦长公式，即可求解. 【小问1详解】 由题意得椭圆的焦点为，， 设双曲线方程为， 则，∴， 解得， 双曲线方程; 【小问2详解】 把，分别代入双曲线，两式相减，得 ， 把，，代入，得， ，直线的方程为，即 把代入，消去y得， . 18. 如图：在直三棱柱中，，，，M是的中点，N是的中点. （1）求证：平面； （2）求：平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点P，使得点P到平面MBC的距离为，若存在求此时的值，若不存在请说明理由. 【答案】（1）证明：取中点D，连接DN、， 因为D、N分别为、，所以且， 因为与平行且相等，M为中点， 所以与平行且相等， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）取中点D，连接DN、，证明四边形为平行四边形，得，从而可得证线面平行； （2）分别以为轴，建立空间直角坐标系，用空间向量法求面面角； （3）用空间向量法求点面距，从而得出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为直三棱柱 所以平面ABC，又CB，平面ABC，所以、， 因为，即，所以，A两两垂直， 分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 则，， 易知平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则， 设二面角的平面角为， 则， 所以平面M与平面M夹角的余弦值为. 【小问3详解】 设，， 因为，所以， 所以，，， 设平面MBC的法向量为，则， 即，令，则 所以P点到平面MBC的距离为， 解得，又，所以. 19. 已知椭圆（）的右焦点为，且过点，直线过点且交椭圆于A、两点. （1）求椭圆的方程； （2）若线段的垂直平分线与轴的交点为. （ⅰ）求直线的方程. （ⅱ）若点，求的面积. 【答案】（1）； （2）或； 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的性质并代入所过点坐标计算即可； （2）（ⅰ）先排除直线l斜率不存在的情况，设其点斜式方程，联立椭圆方程结合韦达定理、直线垂直的斜率积计算即可；（ⅱ）由上的结论及弦长公式、点到直线的距离公式计算即可. 【小问1详解】 根据题意有，解之得，所以椭圆的方程； 【小问2详解】 （ⅰ）显然若l斜率不存在，其垂直平分线与横轴重合，不符合题意； 不妨设直线的方程为，的中点为C， 设， l与椭圆方程联立有，整理得， 则， 所以， 易知，解之得， 即，整理得直线的方程为或； （ⅱ）由弦长公式可知 ， 由直线的对称性知点P到两条直线l的距离相同，即， 所以的面积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $