广东省湛江市第二十一中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

湛江市第二十一中学2024-2025学年第一学期高二期中考试 数学答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．（课本P23第7题）已知，，求=（    ） A．（-1，9，-4） B．（5，1，-10） C．（1，-1，4） D．（-5，-1，10） 【答案】D 【解析】【详解】因为，，所以故选：D． 2． （课本P55第3题改编）若直线经过两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由直线经过两点，可得直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，有，又，所以.故选：C. 3． （改编课本88页练习第1题）圆的圆心和半径分别为（ ） A. B．， C． D． 【答案】A 【解析】D=2,E=-4,F=3圆心为(,-)=（-1，2）,r=，故选A 4. 已知向量，，则在方向上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于C，因为，， 则在方向上的投影向量为，故选B 5.(改编课本91页例1)直线l：与圆C：的位置关系为（ ） A.相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 【答案】A 【解析】 圆C的圆心，半径为 圆心到直线的距离为，则圆与直线相交，故选A 6.（课本P7例2改编）如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，若，且，则的长为（ ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【解析】因为 所以 ，即，故选D 7.（改编课本65页第3题）已知直线l的方程是，下列正确的是（ ） A. 当时，直线l的斜率为0 B.当时，直线l与y轴的截距为 C. 当且不同时为0，方程表示经过原点的直线 D.当不同时为0，直线l与直线平行 【答案】C 【详解】对于A，当，直线的方程为，即，此时直线l的斜率不存在，A错误； 对于B，当时，直线l化成斜截式为，所以截距为，B错误； 对于C，因为直线过原点，所以， 所以当且不同时为0时，方程表示经过原点的直线,C正确； 对于D，直线l与直线垂直，D错误.故选C 8．（改编课本10页第6题）如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论不正确的是（    ） A．异面直线与所成角为60° B．平面 C．三棱锥的体积不变 D．直线与平面所成角正弦值的取值范围为 【答案】D 【分析】选项A：利用异面直线的夹角求解即可，选项B：利用线面垂直的定义结合线面垂直的判定定理求解即可.选项C：利用等体积法求解即可，选项D：利用空间直角坐标系使用代数法求解线面角的取值范围. 【详解】 对于A，因为正方体中，故异面直线与夹角为， 故A错正确； 对于B，由正方体的性质可知，，面， 平面，又因为面 ，同理可得平面，又因为面， 又因为面,平面，故B正确； 对于C，因为面,面，所以面 所以为定值，故C正确； 对于D，建立如图所示直角坐标系，设正方体的棱长为1，设， ，，，，，则， 所以， 由正方体的性质知：平面的法向量为， 直线与平面所成角正弦值为， 因为，，所以当时取得最大值，若时取得为，所以，故D错误.故选：D 2、 多选题 9．设，向量，，，且，，则下列正确的（ ） A． x=2 B．y=4 C．6 D． 【答案】AC 【分析】由条件结合垂直向量的坐标表示和平行向量的坐标关系求，由此可求的坐标，再求其模即可. 【详解】 对于A，因为，，，所以，所以，A正确； 对于B，因为，，，所以，所以，B正确； 对于C，，，可得，所以，C正确； 对于D，，D错误 故选：AC. 10．（课本P92例2改编）已知圆，点，下列说法正确的是（   ） A．点A在圆外 B．点是的定点 C. 已知，过点B作圆的最短弦长为 D．过点作圆:的切线，则的方程为 【答案】ABC 【详解】圆的圆心为，半径为， A选项，=，得点A在圆外，A正确； B选项，直线，过定点，B正确； C选项，当弦垂直于时，弦长最短，=，最短弦长为 对于D，点在圆外，过A点作圆的切线有2条，还有一条直线过点，且与圆 相切，D错误. 故选：ABD 11．已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的是（    ） A. 当b=0时，a=1 B．当时，曲线为圆心为，半径为圆的一部分 C．曲线有4条对称轴，且围成的图形面积为 D．当点P在第四象限，的最大值是1 【答案】BCD 【详解】对于A中，当b=0时，a=±1或者a=0，所以A错误， 对于B中，当时，原方程化为，即， 所以曲线是以圆心为，半径为的圆在第一象限的部分，所以B正确， 对于C中，又由图象关于轴，轴对称，所以曲线如上图所示， 由图象可得，该曲线关于轴，轴，和对称，所以该曲线有4条对称轴， 曲线围成的图形由四个直径为的半圆和一个边长为的正方形组成， 所以面积为，所以C正确； 对于D中，设表示点与点确定的直线的斜率， 设该直线方程为，结合图象，当，即， 则圆心为，半径为的圆在第四象限的部分与直线相切时， 该切线的斜率是的最大值，由，可得，解得或（舍），则的最大值为1，所以D正确. 故选：BCD. 三．填空题 12．（改编课本P64第2题） 已知直线的方程为那么此直线在轴上的截距为 ． 【答案】-5 【解析】由直线的点斜式方程得直线在轴上的截距为-5. 13.直线l的方向向量为，且l过点，则点到l的距离为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用点到直线距离的向量求法计算即得. 【详解】依题意，， 所以点到的距离.故答案为：. 14.著名数学家华罗庚曾说过“数无形时少直觉，形少数时难人微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离，结合．上述观点，可得的最小值为 ． 【答案】 【解】设， 则， ∴的几何意义为点与两定点，之间的距离之和． 如图所示： 设点关于x轴的对称点为，则的坐标为（2，－4）． 则，，要求的最小值，即求的最小值， 又，即的最小值为．故答案为：. 四．解答题 15.（13分）（改编课本P41第2题）如图，在直三棱柱中，，，．以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系． （1）求平面的一个法向量．（2）求直线与平面所成的线面角的正弦值； 【答案】(1)； (2) 解：（1）易知，，，.---------------2分 (1) ，， ---------------3分 设面的法向量为，则 ， 即，取 ，则 ，---------------5分 所以平面的一个法向量为 ---------------6分 (2)，， ---------------7分 设面的法向量为，则 ， 即，取 ，则 ， ---------------9分 设直线与平面所成的线面角为，又--------------10分 则 --------------12分 所以直线与平面所成的线面角的正弦值为 --------------13 16．（15分）（改编课本P12例1）已知正四面体的棱长为1，E，F分别为棱BC，CD的中点，点G为线段AF的中点.（1）用，，表示；(2)求的值； 【解】（1）在正四面体中，E，F分别为棱BC，CD的中点，点G为线段AF的中点，---------------1分 ， ---------------3分 --------------5分 --------------6分 . --------------7分 （2） 正四面体的棱长为1， 故=1，=1,, --------------9分 则-------------11分 -------------13分 所以.-------------15分 17． （改编课本P67第9题）(15分）已知的三个顶点为.(1)求AC边上的高BD所在直线的方程；（5分） (2)求边上的中线所在直线的方程；（5分） (3)求三角形ABE的面积.(5分) 【答案】(1)；(2).（3）5 【解析】（1）因为的三个顶点为， 所以直线的斜率为， --------2分 所以边上的高所在直线的斜率为， --------3分 所以直线的方程为 --------4分 化为一般式方程为 --------5分 （2）因为，所以的中点为， --------6分 又因为，所以直线的斜率为 --------8分 所以直线的点斜式方程为 --------9分 化为一般式为. --------10分 （3）由（2）得直线的方程为 则点B到直线的距离为 --------12分 = --------13分 所以 --------15分 18．（17分）（改编课本88页第2题）已知圆C经过点，且圆心为C(2，0)． (1)求圆C的标准方程；（3分） (2)直线经过点，且与圆C相交所得弦长为，求直线的方程；（6分） (3)求与圆C关于直线对称的圆D的一般方程．（8分） 答案：(1)(2)或(3) 【详解】（1）设圆C的圆的半径为， 因为圆C经过点，故 --------1分 所以圆C的方程为． --------3分 （2）依题意，圆C的圆心到直线的距离为-------4分 设直线方程为，即， -------5分 则 -------6分 解得，， -------8分 ∴直线的方程为或 ．-------9分 （3）由题意得圆C和圆D的圆心C和圆心D关于直线对称，且半径相同--10分 直线的斜率为K=-1 ------12分 设圆心D，则C,D的中点坐标为，，则------15分 解得------16分 所以圆D的标准方程为，一般方程为-----17分 19.（17分）（改编课本P48第8题）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别是，BD的中点，G为上一点. （1） 求证：；（2）求点B到平面CEF的距离； （3）当BG为何值时，平面CGF与平面CEF所成的夹角的余弦值为. 19.【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系D-xyz，------1分（不标坐标系扣1分） 则. ------3分 （1），， ------4分 则 ------5分 ， ------6分 （2）由（1）得，， 设平面CEF的法向量为 则 ，即 ，则 ---------8分 所以点B到平面CEF的距离为 ---------10分 （3）设，故，， --------11分 由（1）得 -设面CGF的法向量为 则 ，即 ，则 --------13分 设平面CEF的法向量为，则--------15分 解得 --------16分 则时，平面CGF与平面CEF所成的夹角的余弦值为. --------17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湛江市第二十一中学2024-2025学年第一学期高二期中考试 数 学 考试时间：120分钟，满分：150分，命题人：李小丽；审核人：李辅梅、劳小佳 一、单项选择题：(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．) 1．已知，，求=（     ） A．（-1，9，-4） B．（5，1，-10） C．（1，-1，4） D．（-5，-1，10） 2． 若直线经过两点，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 3． 圆的圆心和半径分别为（ ） A. B．， C． D． 4. 已知向量，，则在方向上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 5. 直线l：与圆C：的位置关系为（ ） A.相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 6. 如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形， 若，且，则的长为（ ） A．3 B． C．4 D． 7.已知直线l的方程是，下列正确的是（ ） A. 当时，直线l的斜率为0 B. 当时，直线l与y轴的截距为 C. 当且不同时为0，方程表示经过原点的直线 D. 当不同时为0，直线l与直线平行 8．如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点）， 则下列结论不正确的是（     ） A.异面直线与所成角为60° B．平面 C．三棱锥的体积不变 D．直线与平面所成角正弦值的取值范围为 2、 多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分,有选错的得0分．） 9． 设，向量，，，且，，则下列 正确的（ ） A． B． C．6 D． 10． 已知圆，点，下列说法正确的是（    ） A. 点A在圆外 B．点是的定点 C. 已知，过点B作圆的最短弦长为 D. 过点作圆:的切线，则的方程为 11. 已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的是（     ） A. 当时， B．当时，曲线为圆心为，半径为圆的一部分 C．曲线有4条对称轴，且围成的图形面积为 D．当点在第四象限，的最大值是1 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．) 12.已知直线的方程为那么此直线在轴上的截距为 ． 13.直线l的方向向量为，且l过点，则点到l的距离为 . 14. 著名数学家华罗庚曾说过“数无形时少直觉，形少数时难人微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几 何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离，结合．上 述观点，可得的最小值为 ． 四、解答题(本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.（13分）如图，在直三棱柱中，，，． 以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系． （1）求平面的一个法向量． （2）求直线与平面所成的线面角的正弦值； 16.（15分）已知正四面体的棱长为1，E，F分别为棱BC，CD的中点，点G为线段AF的中点. （1）用，，表示； （2）求的值； 17．(15分）已知的三个顶点为. (1)求AC边上的高BD所在直线的方程； (2)求边上的中线所在直线的方程； (3)求三角形ABE的面积. 18． （17分）已知圆C经过点，且圆心为C(2，0)． (1)求圆C的标准方程； (2)直线经过点，且与圆C相交所得弦长为，求直线的方程； (3)求与圆C关于直线对称的圆D的一般方程． 19. （17分）如图，在棱长为1的正方体中， E，F分别是，BD的中点，G为上一点. （1）求证：； （2）求点B到平面CEF的距离； （3）当BG为何值时，平面CG与平面CEF所成的夹角的 余弦值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$