江西省丰城中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（创新班）

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 丰城中学2024-2025学年上学期高一创新班期中考试 数 学·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 三、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 丰城中学2024一2025学年上学年高一创新班期中考试试卷 数 学 考试范围：高中数学必修一.二选择必修一 第一章 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.若直线ax+2y+1=0与直线x+y-2=0互相垂直,则a的值为(　 　). A.1 B.- C.- D.-2 2．欧拉公式把自然对数的底数､虚数单位､三角函数联系在一起，被誉为“数学中的天桥”.若复数满足，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 3．设是不同的直线，是不同的平面，下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4.P是直线l:3x-4y+11=0上的动点,PA,PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,C是圆心,那么四边形PACB面积的最小值是(　 　). A. B.2 C. D.2 5．已知点P在圆O：x2＋y2＝1上运动，若对任意点P，在直线l：x＋y－4＝0上均存在两点A，B，使得∠APB≥恒成立，则线段AB长度的最小值是( 　　) A.－1 B.＋1 C．2－1 D．4＋2 6．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为1，则该多面体外接球的体积为(　 　) A. B. C．4π D．8π 7．过点作斜率为的直线交圆于，两点，动点满足，若对每一个确定的实数，记的最大值为，则当变化时，的最小值是（    ） A．1 B． C． D．2 8．已知定义在上的函数满足，，若，且对任意的，，当时，都有恒成立，则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 2、 多选题：（本小题共3小题，满分18分，每小题有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列各式中，值为1的是（    ） A． B． C． D． 10．已知，下列选项正确的是（    ） A．若，则的最小值为 B．若，则的最小值为 C．若，则的最小值为 D．的最大值为 11.在平面内有三个互不相交的圆，三个圆的半径互不相等．三个圆的方程分别为.其中圆与圆的两条外公切线相交于点，圆与圆的两条外公切线相交于点，圆与圆的两条外公切线相交于点，表示直线AB的斜率，表示直线AC的斜率，表示直线BC的斜率.下列说法正确的是（    ） A．存在，使得 B．对任意，使得 C．存在点到三个圆的切线长相等 D．直线上存在到与的切线长不相等的点 3、 填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分） 12.已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 13. 有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与差的绝对值不超过的概率是______． 14.已知满足，则函数的最小值为 ． 四、解答题（本大题共5小题，满分77分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 15、（13分在ABC中，，. (1)求的值； (2)若，求ABC的面积; (3)设为ABC内一点，，，求的值. 16、（15分）如图，在三棱柱中，底面为正三角形，，，. (1)求证：； (2)求二面角的正弦值． 17、（15分）．2024年10月13日，丰城市将举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.丰城市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组:第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值; (2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第百分位数; (3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差. （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 18、（17分）学习与探究问题：正实数，满足，求的最小值.求解本问题的方法很多，其中一种求解方法是：，当且仅当即且时，即时等号成立.这种解题方法叫作“1”的代换，利用上述求解方法解决下列问题： (1)已知正实数，满足，求的最小值； (2)若实数满足，试比较与的大小，并注明等号成立的条件； (3)利用（2）的结论，求的最小值，并注明使得取得最小值时的值. 19、（17分）．人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）． (1)若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)若点，，求的最大值； (3)已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由． 高一数学试卷第2页 / 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C C D A D D ACD BCD 题号 11 答案 BC 12 13. 14 15.【详解】（1）在中由正弦定理，又， 所以， 又，所以， 所以， 即， 即， 所以； （2）因为，在中由余弦定理， 即，解得（负值已舍去），则， 所以； （3）在中，设，令，   则，， 在中，可得，， 由正弦定理， 得， 所以，可得，即． 16.【详解】（1）证明：取的中点M，连接，. 在正三角形中，因为M为的中点，所以. 因为，，， 所以，所以. 因为M为的中点，所以. 因为，，平面，所以平面. 因为平面，所以. （2）解：过M作的垂线，垂足为N，连接. 在中，由余弦定理得， 所以. 因为，所以，所以. 因为，，平面，所以平面. 因为平面，所以. 因为，，平面，所以平面. 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角． 在中，，， 所以，所以二面角的正弦值为. 17.【详解】（1）由图得， 解之可得； （2）根据题意知， ，， 设第百分位数为，所以， ，解之可得， 故这名候选者面试成绩的平均数为，第80百分位数为. （3）设第二组、第四组所有面试者的面试成绩的平均数、方差分别为， 且两组的频率之比为， 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数为， 第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为 ， 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为. 18.【详解】（1）由，得， 则， 当且仅当即时，. （2）由，可得， 又由，当且仅当时，等号成立， 所以， 所以，当且仅当且同号时等号成立， 此时满足. （3）令且， 由，即， 则，解得， 因为，所以，则， 所以， 当且仅当，即等号成立，此时， 所以当时，有最小值. 19.【详解】（1）， ， ； （2）设，由题意得：， 即，而表示的图形是正方形， 其中、、、． 即点在正方形的边上运动，，， 可知：当取到最小值时，最大，相应的有最大值． 因此，点有如下两种可能： ①点为点，则，可得； ②点在线段上运动时，此时与同向，取， 则． 因为，所以的最大值为． （3）易知，设，则 当时，，则，，满足题意； 当时，， 由分段函数性质可知， 又且恒成立，当且仅当时等号成立． 综上，满足条件的直线有且只有两条，和． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$