精品解析：福建省福州市福九联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题

2024-2025学年度第一学期福九联盟（高中）期中联考 高中二年数学试卷 考试日期：11月13日 完卷时间：120分钟 满分：150分 第I卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知两直线与直线平行，则（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行斜率相等即可求解. 【详解】解：， 直线的斜率， 直线， 易知时与不平行， 即， 故直线的斜率， 两直线与直线平行， ， 即， 解得：. 故选：A. 2. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据关于轴对称性的点的坐标特点是，横，竖坐标互为相反数，纵坐标不变即可求解． 【详解】点关于轴对称的点的坐标为． 故选：A． 3. 过点的直线与圆交于A，B两点，当弦AB最短时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由条件可知，当最短时，直线，即可得到，从而可求直线的方程. 【详解】当最短时，直线，所以， 又，所以， 所以直线的方程为，即.. 故选：A. 4. 已知椭圆的焦距为6，则的值是（ ） A. 5 B. 32 C. 5或77 D. 32或50 【答案】D 【解析】 【分析】分情况讨论焦点位置，分别计算可得的值. 【详解】根据椭圆方程可知当焦点在轴上时，可得，解得； 当焦点在轴上时，可得，解得； 综上可知，的值是32或50. 故选：D 5. 若直线与直线关于直线对称，则直线一定过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线过定点求出定点关于直线对称点的坐标即可得出结果. 【详解】易知直线恒过点，所以可得直线一定过关于直线的对称点； 设对称点坐标为，可得，解得， 即直线一定过定点. 故选：C 6. 已知实数，满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定圆心和半径，将题目转化为过点和点直线的斜率，画出图像，求得角度，计算斜率得到答案. 【详解】即表示圆心为，半径为的圆， 又表示过点和点的直线的斜率， 如图所示：直角中，，，, 故，同理可得， 所以. 故选：B. 7. 如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，，为的中点，为的中点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离. 【详解】因为，为的中点，则， 由圆锥的几何性质可知平面， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 又因为，所以，点到平面的距离为. 故选：B. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可求得，，，，因此分别为右顶点和左顶点，从而可求离心率. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 又因为，所以，所以， 又，所以，， ，所以， 所以椭圆的离心率为. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 点斜式可以表示任何直线 B. 直线在轴上的截距为 C. 直线关于点对称的直线方程是 D. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据直线点斜式方程的限制条件可判断A选项；利用直线截距的定义可判断B选项；利用点到直线的距离公式求出对称的直线方程，可判断C选项；求出过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程，可判断D选项. 【详解】对于A选项，点斜式不表示倾斜角为的直线，A错； 对于B选项，在直线的方程中，令，可得， 所以，直线在轴上的截距为，B对； 对于C选项，直线关于点对称的直线方程为，其中， 则，可得，因为，解得， 所以，直线关于点对称的直线方程是，C对； 对于D选项，若所过直线过原点，该直线的斜率为，此时，所求直线方程为， 若所求直线不过原点，设所求直线方程为，则，解得， 此时，所求直线方程为， 综上所述，过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是或，D错. 故选：BC. 10. 已知圆和圆，则（ ） A. 若两圆相交，则 B. 直线可能是两圆的公切线 C. 两圆公共弦长的最大值为 D. 两圆公共弦所在的直线方程可以是 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用圆与圆相交可得出关于的不等式组，解出的取值范围，可判断A选项； 根据直线与两圆都相切，求出的值，可判断B选项； 求出两圆的公共弦所在直线的方程，分析可知，当公共弦过原点时，公共弦最长，求出的值，可判断C选项； 根据公共弦方程求出的值，可判断D选项. 【详解】圆的圆心为原点，半径为，圆的圆心为，半径为， 对于A选项，因为， 若两圆相交，则，即， 因为，解得，A对； 对于B选项，原点到直线的距离为，则直线与圆相切， 若直线与圆相切，则， 即当时，直线是两圆的公切线，B对； 对于C选项，将两圆方程作差可得， 当直线过原点时，即时，即当时， 两圆的相交弦的弦长取最大值，且此时两圆的相交弦为圆的一条直径，C对； 对于D选项，若两圆的相交弦方程为， 则有，因为，解得，不合乎题意，D错. 故选：ABC. 11. 已知正方体的棱长为2，为平面内一点，为中点．下列论述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则到直线的距离为 C. 若，则有且仅有一个点，使得平面 D. 若，则平面与底面所成角正弦值的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建系，写出各点的坐标，根据可判断A；利用点线距的向量求法可判断B；利用平面，求出可判断C；利用面面角的向量求法可判断D. 【详解】以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，，，， 对于A，， 则， 又，所以，故，故A正确； 对于B，若，则为线段的中点，即点， 又，， 所以点到直线的距离为，故B正确； 对于C，，其中， 则，，， 因为平面， 平面，平面， 所以，， 则，，解得， 因此不存在点，使得平面，故C错误； 对于D，若，其中， ，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，且， 易知平面的一个法向量为， 设平面与底面所成角为，， 所以， 则，故D正确. 故选：ABD. 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，分别是平面、的法向量，若，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得出，根据空间向量共线的坐标表示可求出、的值，即可得解. 【详解】因为向量，分别是平面、的法向量，且，则， 则，解得，，故. 故答案为：. 13. 平面内点满足，其中、，且，则的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，，利用平面向量数量积的定义以及余弦定理可求出、的值，可得出角的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】设，，，则， 由余弦定理可得 ， 所以，可得，所以，， 因为，则，故. 故答案为：. 14. 在直角坐标平面内，、，是、两点的直线距离，定义：叫做、两点的“城市街区距离”.已知是圆上一点，是直线上一点，则、两点的直线距离最小值是__________，、两点的“城市街区距离”最小值是__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】分析可知，、两点的直线距离最小值为原点到直线的距离减去半径，可求得、两点的直线距离最小值；由折线距离的定义设直线上点，可得“城市街区距离”公式，化简成分段函数的形式，由函数的单调性可得“城市街区距离”的最小值. 【详解】圆的圆心为原点，半径为， 所以，、两点的直线距离最小值为原点到直线的距离减去半径， 故、两点的直线距离最小值为， 不妨设点、，则， 则、两点的“城市街区距离”为 ， 令， 则关于的函数在连续，则该函数在上递减， 在上单调递增， 所以，， 为锐角，且， 所以，当时，、两点的“城市街区距离”取最小值. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题求解圆上的点到直线上的点的“城市街区距离”最小值的关键是能够通过分类讨论的方式，结合三角恒等变换的知识，将问题转化为正弦型函数最值的求解问题. 四.解答题（共5题，共77分） 15. 在中，已知，边上的中线所在直线方程是，边的高线所在直线方程是. （1）求点的坐标； （2）判断的形状. 【答案】（1） （2）直角三角形 【解析】 【分析】（1）设，由题意可得，，求解即可. （2）设，由题意可得且，可求得，进而可判断的形状.. 【小问1详解】 设， 因为边的高线所在直线方程是，所以， 又，所以①， 又点在直线上，所以②， 由①②解得，所以点的坐标为； 【小问2详解】 设，因为点在上，所以， 因为边上的中线所在直线方程是， 所以，解得，所以， 所以，， 所以，所以， 又，， 所以是直角三角形. 16. 在平行六面体中，在上且，为的中点，，，，，记，，， （1）用，，表示； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量运算法则即可得出； （2）利用空间向量即可得求得，再由向量夹角的计算公式代入计算可得结果. 【小问1详解】 易知； 【小问2详解】 根据题意可知，且; 所以可得 ； 又易知 ； 所以， 因此异面直线与所成角的余弦值为. 17. 如图，某海面上有，，三个小岛（面积大小忽略不计），岛在岛的北偏东方向距岛千米处，岛在岛的正东方向距岛20千米处.以为坐标原点，的正东方向为轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系，圆经过，，三点. （1）求圆的方程； （2）若圆区域内有暗礁，现有一船在岛的北偏西方向距岛千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 【答案】（1） （2）该船没有触礁的危险 【解析】 【分析】（1）依据平面直角坐标系得出三点坐标，再设出圆心坐标即可得出圆的方程； （2）求出行驶轨迹所在直线方程，利用点到直线距离公式判断出该直线与圆的位置关系可得结论. 【小问1详解】 根据题意可知， 易知圆的圆心在线段的垂直平分线上，可设圆心， 又可得， 解得，所以半径， 因此圆的方程为. 【小问2详解】 由在岛的北偏西方向距岛千米处，可得； 由行驶方向为北偏东可知行驶直线所在直线斜率为， 因此行驶直线方程为， 圆心到直线的距离为， 即行驶直线与暗礁区域圆相离，因此该船没有触礁的危险. 18. 如图，四边形与均为菱形，，，. （1）求证：平面； （2）为线段上的动点，求与平面所成角正弦值的最大值； （3）设中点为，为四边形内的动点（含边界）且，求动点的轨迹长度. 【答案】（1）证明：因为四边形为菱形，则， 设，连接，则为的中点， 因为，则， 因为，、平面，故平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用菱形的几何性质可得出，设，利用等腰三角形三线合一的性质可得出，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）连接，推导出，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可求得与平面所成角正弦值的最大值； （3）设点，根据可得出点的轨迹方程，明确点的轨迹形状，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，因为四边形为菱形，则， 又因为，则为等边三角形， 因为为的中点，则， 又因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、 、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为，四边形为菱形，且，则是边长为的等边三角形， 所以，，，， 同理可得， 所以，、、、、、， 则，， 设平面的法向量为， 则，取，可得， 因为为上的动点，设，其中， 且，， 所以，， 设直线与平面所成角为， 则 ， 当时，取最大值，且最大值为， 因此，与平面所成角正弦值的最大值为. 【小问3详解】 因为为的中点，则， 设点，则，， 因为，即，即， 化简可得， 故动点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆在四边形内的部分， 即圆心角为的圆弧，故所求轨迹的长度为. 19. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，是椭圆上任一点，的面积的最大值为. （1）求椭圆的标准方程； （2）四边形顶点在椭圆上，且对角线、过原点，设，， ①若，求证：直线和直线的斜率之和为定值； ②若，求四边形周长的取值范围. 【答案】（1） （2）①证明：如图所示： 当直线斜率不存在时，不满足， 故直线斜率存在， 设直线的方程为， 联立，得， ， ， ， ， 整理得：， 即， 由题意知：与，与关于原点对称， 即， 即， 故， 所以直线和直线的斜率之和为定值． ② 【解析】 【分析】（1）根据题意，找出之间的关系式，列方程求解即可； （2）①设出方程，直线与曲线联立，运用韦达定理，以及斜率公式求证即可； ②得出四边形为菱形，再结合弦长公式求出，通过换元结合二次函数最值即可求解． 【小问1详解】 由题意知：当点是椭圆的上、下顶点时，的面积取最大值， 即， 再根据离心率为， 可得：， 由， 解得：， 故椭圆的标准方程为：． 【小问2详解】 ①略 ②对角线、过原点，且， 即， 四边形为菱形， 故四边形的周长为：， 当直线斜率不存在时， ， ， 由， 得：， 即， 又， 解得：， 当直线斜率存在时，由①再结合，得， 得， 即， 故， 令， 则， ， ， 当时，， 当时，， 综上所述：， 四边形周长的取值范围为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期福九联盟（高中）期中联考 高中二年数学试卷 考试日期：11月13日 完卷时间：120分钟 满分：150分 第I卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知两直线与直线平行，则（ ） A. B. 6 C. D. 2. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 过点的直线与圆交于A，B两点，当弦AB最短时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知椭圆的焦距为6，则的值是（ ） A. 5 B. 32 C. 5或77 D. 32或50 5. 若直线与直线关于直线对称，则直线一定过定点（ ） A. B. C. D. 6. 已知实数，满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，，为的中点，为的中点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 点斜式可以表示任何直线 B. 直线在轴上的截距为 C. 直线关于点对称的直线方程是 D. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是 10. 已知圆和圆，则（ ） A. 若两圆相交，则 B. 直线可能是两圆的公切线 C. 两圆公共弦长的最大值为 D. 两圆公共弦所在的直线方程可以是 11. 已知正方体的棱长为2，为平面内一点，为中点．下列论述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则到直线的距离为 C. 若，则有且仅有一个点，使得平面 D. 若，则平面与底面所成角正弦值的取值范围为 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，分别是平面、的法向量，若，则___________. 13. 平面内点满足，其中、，且，则的面积为__________. 14. 在直角坐标平面内，、，是、两点的直线距离，定义：叫做、两点的“城市街区距离”.已知是圆上一点，是直线上一点，则、两点的直线距离最小值是__________，、两点的“城市街区距离”最小值是__________. 四.解答题（共5题，共77分） 15. 在中，已知，边上的中线所在直线方程是，边的高线所在直线方程是. （1）求点的坐标； （2）判断的形状. 16. 在平行六面体中，在上且，为的中点，，，，，记，，， （1）用，，表示； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 17. 如图，某海面上有，，三个小岛（面积大小忽略不计），岛在岛的北偏东方向距岛千米处，岛在岛的正东方向距岛20千米处.以为坐标原点，的正东方向为轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系，圆经过，，三点. （1）求圆的方程； （2）若圆区域内有暗礁，现有一船在岛的北偏西方向距岛千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 18. 如图，四边形与均为菱形，，，. （1）求证：平面； （2）为线段上的动点，求与平面所成角正弦值的最大值； （3）设中点为，为四边形内的动点（含边界）且，求动点的轨迹长度. 19. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，是椭圆上任一点，的面积的最大值为. （1）求椭圆的标准方程； （2）四边形顶点在椭圆上，且对角线、过原点，设，， ①若，求证：直线和直线的斜率之和为定值； ②若，求四边形周长的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $