4.1.2 垂线（5大题型提分练）（题型专练）数学华东师大版2024七年级上册

4.1.2 垂线 题型一理解垂线的定义 1．（22-23七年级下·湖南长沙·期中）如图，，O为垂足，那么C、D、O三点在同一条直线上，其理由是（    ） A．两点之间线段最短 B．平行于同一条直线的两条直线互相平行 C．两点确定一条直线 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】由垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即可判断． 【详解】，O为垂足，那么C、D、O三点在同一条直线上，其理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：D． 【点睛】本题考查了垂线的性质，关键是掌握在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 2．（23-24七年级上·四川泸州·期末）下列语句：①一条直线有且只有一条垂线；②相等的两个角是对顶角；③不在同一直线上的四点至少可画6条直线；④如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角．其中正确的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了平面几何中概念的理解，根据垂线、对顶角、点与直线的关系、邻补角和角平分线的定义逐项判断即可． 【详解】解：①一条直线有无数条垂线，故①错误； ②相等的两个角不一定是对顶角，故②错误； ③不在同一直线上的四个点可画4条或6条直线，故③错误； ④如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角，故④正确． 故选D． 3．（22-23七年级下·湖南益阳·期末）两条直线相交所构成的四个角，其中：①有一个角是直角；②有一对对顶角相等；③有一对邻补角相等；④有三个角都相等．以上4种条件中，能判定这两条直线垂直的条件有（    ）． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】根据垂直定义，对顶角、邻补角，余角和补角的定义进行分析，逐一判断即可． 【详解】解：两条直线相交构成四个角， ①有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，正确； ②有一对对顶角相等，不能判定两条直线互相垂直，错误； ③有一组邻补角相等，则这两个角都为，能判定两条直线互相垂直，正确； ④有三个角都相等，则每个角都等于，能判定两条直线互相垂直，正确； 所以，能判定这两条直线互相垂直的有：①③④，共有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了垂线，角的概念，对顶角、邻补角，余角和补角，熟练掌握这些数学概念是解题的关键． 4．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，从点A出发的四条射线，，，满足，．则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂直的定义，几何图形中角度的计算，根据垂直的定义得到，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据现有条件无法得到A、C、D中的结论， 故选：B． 5．（21-22七年级下·广东广州·期末）如图，、相交于O，，下列结论错误的是（    ） A．与互余 B．与是对顶角 C．与是邻补角 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查垂直、余角、补角、对顶角、邻补角的定义，关键是理解定义会根据定义判断出相应的角． 【详解】解：∵， ∴1与互余， ∴， 直线、相交，则与是对顶角， ∴， ∴，则 与不是对顶角， 与是邻补角， 所以只有B．与是对顶角是错误的，符合题意． 故选：B． 题型二 垂线 6．（22-23七年级下·福建厦门·期末）如图，已知直线，点在直线上，用三角尺过点画直线的垂线．下列选项中，三角尺摆放位置正确的是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据直角三角板画垂线的步骤：一利用直角三角板的一直角边贴在已知直线上，二移动三角板另一直角边到已知点，三过已知点画垂线，四画出垂直符号对每一项判断即可． 【详解】解：∵三角尺过点画直线的垂线： 一、利用直角三角板的一直角边贴在已知直线上， 二、移动三角板另一直角边到已知点， 三、过已知点画垂线， 四、画垂直符合， ∴项符合题意，不符合题意； 故选． 【点睛】本题考查了利用直角三角板画垂线的步骤：一利用直角三角板的一直角边贴在已知直线上，二移动三角板另一直角边到已知点，三过已知点画垂线，四画出垂直符号，熟记直角三角板画垂线的步骤是解题的关键． 7．（2022·河北石家庄·二模）如图，经过点O的直线a，b，c，d中，有一条直线与直线垂直，请借助三角板判断，与直线垂直的是（    ） A．直线a B．直线b C．直线c D．直线d 【答案】B 【分析】用三角板的两条直角边中的一条与直线L重合，再另一条边直角边能与a、b、c、d中的那条边重合即可得解． 【详解】解：用三角板的两条直角边中的一条与直线l重合，再另一条边直角边能与b重合， 故选：B． 【点睛】本题主要是考查了两条直线垂直的性质，两条直线垂直其所夹的角为直角． 8．（22-23七年级下·北京朝阳·期末）如图，过点P作线段的垂线，垂足在（    ）    A．线段上 B．线段的延长线上 C．线段的反向延长线上 D．直线外 【答案】B 【分析】根据作垂线后垂足的位置直接判断即可． 【详解】解:如图所示，垂足在线段的延长线上； 故选：B．    【点睛】本题考查了对线段的延长线和反向延长线等概念的认识，涉及到了作垂线，解题关键是掌握相关概念． 9．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，是的边上一点． (1)过点画的垂线，垂足为点． (2)________（填“”、“”或“”），依据是________________． 【答案】(1)图见解析 (2)，垂线段最短 【分析】本题考查画垂线，垂线段最短．掌握垂线段最短，是解题的关键． （1）根据题意，画出垂线即可； （2）根据垂线段最短，进行作答即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）∵， ∴（垂线段最短） 故答案为：，垂线段最短． 10．（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，其顶点称为格点，点、、、均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)画线段，画直线． (2)过点画直线的垂线，垂足为． (3)点到直线的距离为线段 的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图-应用与设计作图、直线、射线、线段、垂线、点到直线的距离，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． （1）根据线段、直线的定义画图即可． （2）结合网格，过点作垂直直线即可． （3）由点到直线的距离可知，点到直线的距离为线段的长度． 【详解】（1）解：如图，线段、直线即为所求． （2）如图，即为所求． （3）点到直线的距离为线段的长度． 故答案为：． 题型三 垂线段最短 11．（2022·河北·二模）下列能用“垂线段最短”来解释的现象是（    ） A． B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了两点确定一条直线，垂线段最短，两点之间，线段最短等知识．熟练掌握两点确定一条直线，垂线段最短，两点之间，线段最短是解题． 【详解】解：由题意知，A中能用两点确定一条直线进行解释，不符合题意； B中能用两点确定一条直线进行解释，不符合题意； C中能用垂线段最短进行解释，符合题意； D中能用两点之间，线段最短进行解释，不符合题意； 故选：C． 12．（2023·贵州遵义·模拟预测）如图，河道的同侧有两地，现要铺设一条引水管道，从地把河水引向、两地．下列四种方案中，最节省材料的是（    ） A．    B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂线段最短的运用，实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．根据垂线段最短以及两点之间线段最短，求解即可． 【详解】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是： 故选：D． 13．（23-24七年级上·云南昆明·期末）P为直线m外一点，A，B，C为直线m上三点，，，，则点P到直线m的距离（　　） A．不大于3 B．等于3 C．小于3 D．不小于3 【答案】A 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，熟知直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离是解答此题的关键．根据“直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线段最短”进行解答． 【详解】解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， ∴点P到直线l的距离，即． 故选：A． 14．（23-24七年级上·福建泉州·期末）如图，下列线段中，长度最短的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂线段最短：从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂直线段最短．据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴长度最短的是， 故选：C 15．（22-23七年级下·河南商丘·期末）如图是一个湖泊，C是湖泊外的一块田地，现欲挖一条水渠从湖泊将水引到C处．问：从湖泊的何处开挖，才能使所挖水渠最短？画图表示，并说明设计理由． 【答案】沿线段开挖，水渠最短；图见解析；理由：垂线段最短． 【分析】本题考查了垂线段最短的应用；根据垂线段最短，过点C作于点D，即是最短的． 【详解】解：如图，过点C作于点D，则沿线段开挖，水渠最短； 理由是垂线段最短． 题型四 点到直线的距离 16．（22-23七年级下·福建厦门·期末）下列图形是直角三角板与直线的组合，则线段的长表示点到直线的距离的是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点到直线的距离．直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，由此即可得到答案． 【详解】解：线段的长表示点到直线的距离的是选项A中的图形． 故选：A． 17．（22-23七年级下·贵州六盘水·期末）如图，点和在线段上，，，，，，则点到线段的距离是（    ）    A．7.2 B．6 C．4.8 D．3.6 【答案】D 【分析】由题意即可推出点到线段的距离即为点到的垂线段的长度即为的长度． 【详解】解：∵，， ∴点到线段的距离为． 故选D． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，解题的关键在于推出点B到的距离为的长度． 18．（22-23七年级下·福建厦门·期末）如图，点在直线上，点，在直线上，设，且无论取何值，均有，则下列说法正确的是（    ）    A．点到直线的距离是的长度 B．点到直线的距离是的长度 C．点到直线的距离是的长度 D．点到直线的距离是的长度 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离，垂线段最短即可求解． 【详解】解：∵，且无论取何值，均有， ∴点到直线的距离是的长度， 故选：B． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，熟练掌握点到直线的距离，垂线段最短是解题的关键． 19．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）如图，三角形的面积为15，的长为5，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是 ．    【答案】6 【分析】根据垂线段最短即可求解． 【详解】解：作    解得： 由垂线段最短可知：线段的最小值是6 故答案为：6 【点睛】本题考查垂线段最短．熟记相关结论即可． 20．（22-23七年级下·甘肃定西·期末）如图，沿笔直小路的一侧栽植两棵小树B，C，小明在A处测得 米，米，则点A到的距离d可能为 米．（填一个你认为正确的答案）    【答案】3米（答案不唯一） 【分析】由点到直线的距离的定义，垂线段最短，即可得到答案． 【详解】解： 米，米， 点A到的距离d小于或等于4米， 点A到的距离d可能为3米（答案不唯一）． 故答案为：3米（答案不唯一）． 【点睛】本题考查点到直线的距离，垂线段最短，关键是掌握点到直线距离的定义． 21．（21-22七年级上·吉林长春·期末）如图，平面上两点C、D在直线AB的同侧，按下列要求画图并填空． （1）画直线AC； （2）画射线CD； （3）画线段BD； （4）过点D画垂线段DF⊥AB，垂足为F； （5）点D到直线AB的距离是线段　 　的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析；（5）DF 【分析】（1）连接AC并向两端延长即可； （2）连接CD并延长CD即可； （3）连接BD即可； （4）过D作线段DF⊥AB，垂足为F； （5）根据垂线段的长度是点到直线的距离解答即可． 【详解】解：（1）直线AC如图所示； （2）射线CD如图所示； （3）线段BD如图所示； （4）垂线段DF如图所示； （5）垂线段DF的长是点D到直线AB的距离， 故答案为：DF． 【点睛】本题考查画直线、射线、线段、垂线段、点到直线的距离，熟练掌握基本作图方法，理解点到直线的距离的定义是解答的关键． 题型五 已知线段垂直求解相关角度问题 22．（23-24七年级下·广西百色·期末）如图，直线，相交于点O，，垂足为O，平分，，求和的度数． 【答案】， 【分析】本题考查垂直的定义、角平分线的定义、对顶角的性质、邻补角的性质，关键在于熟练运用各性质定理，推出相关角的度数．利用角平分线的定义求出的度数，利用对顶角的性质求出的度数，利用垂直的定义求出的度数，然后利用角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵和是对顶角， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．（22-23七年级上·江苏宿迁·期末）如图，直线，相交于点O，平分，． (1)图中的余角是__________（把符合条件的角都填上）； (2)如果，求和的度数． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了角平分线的定义、对顶角相等的性质、互为余角关系；熟练掌握对顶角相等的性质和角平分线的定义是解决问题的关键． （1）由垂线的定义和角的互余关系即可得出结果； （2）由角平分线的定义求出，由对顶角相等得出的度数，再由角的互余关系即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴的余角是，； 故答案为：，； （2）∵平分， ∴， ∴， ∴． 24．（23-24六年级下·山东淄博·期末）如图，直线，相交于点O，，且平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数（用含α的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查与角平分线相关的角的计算，垂直的定义，掌握角的和差运算、角平分线定义和垂超拔定义是解题的关键． （1）先求出，根据角平分线定义求出，根据对顶角相等求出，求出，即可得出答案； （2）先求出，根据角平分线定义求出，根据对顶角相等求出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵直线，相交于点O， ∴， ∵， ∴； 又∵平分， ∴， ∴（对顶角相等）； ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵直线，相交于点O， ∴， ∵， ∴； 又∵平分， ∴， ∴（对顶角相等）； ∵， ∴， ∴， ∴； 25．（23-24七年级上·浙江丽水·期末）如图，点O是直线上的一点，射线，在直线的异侧，已知，平分．    (1)若，求的度数； (2)与是否有可能成为对顶角？若有可能，请求出的度数；若不可能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不可能，理由见解析 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，垂线定义理解，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握相关性质，数形结合． （1）根据与互余可得的度数，再根据补角的定义可得的度数，然后根据角平分线的定义解答即可； （2）根据对顶角相等可得，再根据与互余，可得与互余，据此可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：与是不可能成为对顶角，理由如下： 当时，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 与相矛盾， ∴与是不可能成为对顶角． 26．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）已知，点为直线上一点，过点作射线，． (1)如图1，则的度数为 ； (2)如图2，过点在直线下方作射线，使，作的角平分线，求的度数； (3)在（2）的条件下，作射线，若与互余，求的度数． 【答案】(1)70 (2) (3)或 【分析】（1）根据邻补角的性质求解即可； （2）首先由（1）可知，结合垂直的定义可得，再结合角平分线的定义可得，然后由求解即可； （3）由（2）知，结合与互余，可求得，然后分射线在内部和射线在外部两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． 故答案为：70； （2）由（1）可知，， ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴； （3）由（2）知， ∵与互余， ∴， ， 当射线在内部时，如下图， ； 当射线在外部时，如下图， ． 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题主要考查了补角和余角、垂直的定义、角平分线以及几何图形中角度计算，熟练掌握相关定义和性质是解题关键． 1．（23-24七年级上·河北保定·期末）如图所示的方格纸中，每小方格的边长都为．请在方格纸上画图并回答问题： (1)在点A的正东方向取一点B，使A、B两点间的距离为． (2)过点A画直线的垂线． (3)在点A的正北方向取点C，使． (4)以点A为端点，画A点的北偏东方向的射线交于D点． (5)过点D画直线的平行线交AC于点E． (6)在线段上取一点F，使得，并画射线． (7)写出图中的一个同位角 ，点B到直线的距离 ． (8)用数字1在图上标出的对顶角，用数字2标出的一个邻补角． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 (5)见解析 (6)见解析 (7)（答案不唯一），4 (8)见解析 【分析】本题主要考查了根据题意画图，同时考查了同位角、对顶角的概念，难度适中． （1）（2）（3）（4）（5）（6）根据要求画图，正确表示题干要求，再根据同位角、对顶角、邻补角的概念从图中找出即可． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； （2）解：如图，直线l即为所求； （3）解：如图，线段即为所求 （4）解：如图，射线，点D即为所求； （5）解：如图，直线即为所求； （6）如图，射线即为所求； （7）解：图中的一个同位角点B到直线的距离4． 故答案为：（答案不唯一），4； （8）解：如图，即为所求． 2．（22-23七年级上·北京昌平·期末）如图，在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口A，B和村庄M，N．完成以下作图． (1)若在村庄N与道口A之间修一条最短的公路，在图中画出此公路，并说明这样画的理由； (2)若在公路上选择一个地点P安装实时监控系统，要求点P到村庄N与道口B的距离相等，在图中标出点P的位置； (3)当一节火车头行驶至铁路上的点Q时，距离村庄N最近．在图中确定点Q的位置（保留作图痕迹）； (4)若在道口A或B处修建一座火车站，使得到两村的距离和较短，应该修在________处． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)B 【分析】（1）根据两点之间线段最短作图即可； （2）取中点即可； （3）作N到的垂线段即可； （4）直接根据图作答即可． 【详解】（1） 理由：两点之间线段最短． （2） （3） （4）由图可知M、N到B点距离均小于到A点距离， 故答案为：B． 【点睛】本题考查了线段中点问题，最短距离问题，熟练掌握各知识点是解题的关键． 3．（22-23七年级上·江苏徐州·期末）在如图所示的方格纸中，C是的边上的一点，按下列要求画图并回答问题． (1)过点画的垂线，交于点，该垂线是否经过格点？若经过格点，请在图中标出垂线所经过的格点； (2)过点C画的垂线，垂足为E． ①线段的长度是点C到______的距离，______是点D到的距离； ②线段、、、的大小关系是______（用“”号连接），依据是：______． (3)过点画直线，若，则______（用含x的代数式表示）． 【答案】(1)画图见解析，经过格点、、 (2)①，；②，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 (3)或 【分析】（1）画出垂线，然后根据图形即可推出结论； （2）根据点到直线的距离以及垂线段最短可得结果； （3）根据平行线的性质作出图形后，再根据余角的定义即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，图中该垂线经过的格点有点、、． （2）解：如图所示，①，， 线段的长度是点到的距离，是点到的距离； 故答案为：，； ②如图，，， ， ， ， ． 依据是：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短； （3）解：如图所示，，， 或． 故答案为：或． 【点睛】此题考查的是尺规作图，掌握中垂线的性质及勾股定理是解决此题的关键． 4．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如图，点在直线上，点、与点、分别在直线两侧，且，． (1)如图1，若平分，平分，过点作射线，求的度数； (2)如图2，若在内部作一条射线，若：：，，试判断与的数量关系． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题主要考查角度的和差计算，角平分线的定义， （1）根据角平分线定义和周角是可得的度数；分两种情况：当在下方时；当在上方时，计算即可； （2）由，，设，则，再结合角平分线的性质可用表达出的度数，求出与的度数． 【详解】（1）平分， ， ， ． 当在下方时， 平分，， ， ， ， ， ． 当在上方时， 平分，， ， ， ， ，， ； （2）设，则， ， ， ， ， ， ． 当在的下方时，同理可得 ， ， ， ， ， ． 综上所述：或 5．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）【问题背景】已知O为直线上的一点，以O为顶点作，射线平分． (1)【问题再现】如图1，射线均在直线上方．若，求和的度数； (2)【问题推广】如图2，射线在直线下方，射线在直线上方．请求出与之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展提升】如图3，射线均在直线下方．求的度数． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了角平分线的定义、角的和差等知识点，掌握数形结合的思想是解题的关键． （1）利用角的和差以及角平分线定义进行计算即可； （2）由图2，根据角平分线、平角，角的和差得到和之间的数量系即可； （3）由图3和已知条件确定各个角之间的关系，然后运用等量代换计算即可． 【详解】（1） 解：∵， ∴， ∵， ， ∵平分， ， ． （2）解：，理由如下： ∵平分， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即． （3）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.1.2 垂线 题型一理解垂线的定义 1．（22-23七年级下·湖南长沙·期中）如图，，O为垂足，那么C、D、O三点在同一条直线上，其理由是（    ） A．两点之间线段最短 B．平行于同一条直线的两条直线互相平行 C．两点确定一条直线 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2．（23-24七年级上·四川泸州·期末）下列语句：①一条直线有且只有一条垂线；②相等的两个角是对顶角；③不在同一直线上的四点至少可画6条直线；④如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角．其中正确的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 3．（22-23七年级下·湖南益阳·期末）两条直线相交所构成的四个角，其中：①有一个角是直角；②有一对对顶角相等；③有一对邻补角相等；④有三个角都相等．以上4种条件中，能判定这两条直线垂直的条件有（    ）． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 4．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，从点A出发的四条射线，，，满足，．则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（21-22七年级下·广东广州·期末）如图，、相交于O，，下列结论错误的是（    ） A．与互余 B．与是对顶角 C．与是邻补角 D． 题型二 垂线 6．（22-23七年级下·福建厦门·期末）如图，已知直线，点在直线上，用三角尺过点画直线的垂线．下列选项中，三角尺摆放位置正确的是（   ）   A．   B．   C．   D．   7．（2022·河北石家庄·二模）如图，经过点O的直线a，b，c，d中，有一条直线与直线垂直，请借助三角板判断，与直线垂直的是（    ） A．直线a B．直线b C．直线c D．直线d 8．（22-23七年级下·北京朝阳·期末）如图，过点P作线段的垂线，垂足在（    ）    A．线段上 B．线段的延长线上 C．线段的反向延长线上 D．直线外 9．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，是的边上一点． (1)过点画的垂线，垂足为点． (2)________（填“”、“”或“”），依据是________________． 10．（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，其顶点称为格点，点、、、均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)画线段，画直线． (2)过点画直线的垂线，垂足为． (3)点到直线的距离为线段 的长度． 题型三 垂线段最短 11．（2022·河北·二模）下列能用“垂线段最短”来解释的现象是（    ） A． B．C． D． 12．（2023·贵州遵义·模拟预测）如图，河道的同侧有两地，现要铺设一条引水管道，从地把河水引向、两地．下列四种方案中，最节省材料的是（    ） A．    B．C．D． 13．（23-24七年级上·云南昆明·期末）P为直线m外一点，A，B，C为直线m上三点，，，，则点P到直线m的距离（　　） A．不大于3 B．等于3 C．小于3 D．不小于3 14．（23-24七年级上·福建泉州·期末）如图，下列线段中，长度最短的是（    ） A． B． C． D． 15．（22-23七年级下·河南商丘·期末）如图是一个湖泊，C是湖泊外的一块田地，现欲挖一条水渠从湖泊将水引到C处．问：从湖泊的何处开挖，才能使所挖水渠最短？画图表示，并说明设计理由． 题型四 点到直线的距离 16．（22-23七年级下·福建厦门·期末）下列图形是直角三角板与直线的组合，则线段的长表示点到直线的距离的是（    ） A．B．C． D． 17．（22-23七年级下·贵州六盘水·期末）如图，点和在线段上，，，，，，则点到线段的距离是（    ）    A．7.2 B．6 C．4.8 D．3.6 18．（22-23七年级下·福建厦门·期末）如图，点在直线上，点，在直线上，设，且无论取何值，均有，则下列说法正确的是（    ）    A．点到直线的距离是的长度 B．点到直线的距离是的长度 C．点到直线的距离是的长度 D．点到直线的距离是的长度 19．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）如图，三角形的面积为15，的长为5，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是 ．    20．（22-23七年级下·甘肃定西·期末）如图，沿笔直小路的一侧栽植两棵小树B，C，小明在A处测得 米，米，则点A到的距离d可能为 米．（填一个你认为正确的答案）    21．（21-22七年级上·吉林长春·期末）如图，平面上两点C、D在直线AB的同侧，按下列要求画图并填空． （1）画直线AC； （2）画射线CD； （3）画线段BD； （4）过点D画垂线段DF⊥AB，垂足为F； （5）点D到直线AB的距离是线段　 　的长． 题型五 已知线段垂直求解相关角度问题 22．（23-24七年级下·广西百色·期末）如图，直线，相交于点O，，垂足为O，平分，，求和的度数． 23．（22-23七年级上·江苏宿迁·期末）如图，直线，相交于点O，平分，． (1)图中的余角是__________（把符合条件的角都填上）； (2)如果，求和的度数． 24．（23-24六年级下·山东淄博·期末）如图，直线，相交于点O，，且平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数（用含α的代数式表示）． 25．（23-24七年级上·浙江丽水·期末）如图，点O是直线上的一点，射线，在直线的异侧，已知，平分．    (1)若，求的度数； (2)与是否有可能成为对顶角？若有可能，请求出的度数；若不可能，请说明理由． 26．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）已知，点为直线上一点，过点作射线，． (1)如图1，则的度数为 ； (2)如图2，过点在直线下方作射线，使，作的角平分线，求的度数； (3)在（2）的条件下，作射线，若与互余，求的度数． 1．（23-24七年级上·河北保定·期末）如图所示的方格纸中，每小方格的边长都为．请在方格纸上画图并回答问题： (1)在点A的正东方向取一点B，使A、B两点间的距离为． (2)过点A画直线的垂线． (3)在点A的正北方向取点C，使． (4)以点A为端点，画A点的北偏东方向的射线交于D点． (5)过点D画直线的平行线交AC于点E． (6)在线段上取一点F，使得，并画射线． (7)写出图中的一个同位角 ，点B到直线的距离 ． (8)用数字1在图上标出的对顶角，用数字2标出的一个邻补角． 2．（22-23七年级上·北京昌平·期末）如图，在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口A，B和村庄M，N．完成以下作图． (1)若在村庄N与道口A之间修一条最短的公路，在图中画出此公路，并说明这样画的理由； (2)若在公路上选择一个地点P安装实时监控系统，要求点P到村庄N与道口B的距离相等，在图中标出点P的位置； (3)当一节火车头行驶至铁路上的点Q时，距离村庄N最近．在图中确定点Q的位置（保留作图痕迹）； (4)若在道口A或B处修建一座火车站，使得到两村的距离和较短，应该修在________处． 3．（22-23七年级上·江苏徐州·期末）在如图所示的方格纸中，C是的边上的一点，按下列要求画图并回答问题． (1)过点画的垂线，交于点，该垂线是否经过格点？若经过格点，请在图中标出垂线所经过的格点； (2)过点C画的垂线，垂足为E． ①线段的长度是点C到______的距离，______是点D到的距离； ②线段、、、的大小关系是______（用“”号连接），依据是：______． (3)过点画直线，若，则______（用含x的代数式表示）． 4．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如图，点在直线上，点、与点、分别在直线两侧，且，． (1)如图1，若平分，平分，过点作射线，求的度数； (2)如图2，若在内部作一条射线，若：：，，试判断与的数量关系． 5．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）【问题背景】已知O为直线上的一点，以O为顶点作，射线平分． (1)【问题再现】如图1，射线均在直线上方．若，求和的度数； (2)【问题推广】如图2，射线在直线下方，射线在直线上方．请求出与之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展提升】如图3，射线均在直线下方．求的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$