湖南省株洲市南方中学2024-2025学年高三上学期11月月考数学试卷数学

株洲市南方中学2025届高三11月月考试卷 数学 命题人：蒋 帅 审题人：李 强 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合A=（i是虚数单位），，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知一组数据的平均数为2，方差为，则另一组数据的平均数、标准差分别为（ ） A． B． C． D． 3. 已知奇函数，则（ ） A.-1 B.0 C.1 D. 4. 若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（ ） A．24 B．32 C．96 D．128 5. 图1是蜂房正对着蜜蜂巢穴开口的截面图，它是由许多个正六边形互相紧挨在一起构成．可以看出蜂房的底部是由三个大小相同的菱形组成，且这三个菱形不在一个平面上．研究表明蜂房底部的菱形相似于菱形十二面体的表面菱形，图2是一个菱形十二面体，它是由十二个相同的菱形围成的几何体，也可以看作正方体的各个正方形面上扣上一个正四棱锥（如图3），且平面ABCD与平面ATBS的夹角为45°，则（ ） A. B. C D. 6. 在中，角A为，角A的平分线AD交BC于点D，已知，且，则（ ） A. 1 B. 9 C. D. 7. 设椭圆C：的左、右焦点分别为，，直线l过点.若点关于l的对称点P恰好在椭圆C上，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8.在锐角中，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量，记，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数满足，，并且当时，，则下列关于函数说法正确的是（ ） A. B.最小正周期 C.的图象关于直线对称 D.的图象关于对称 11. 已知等比数列的公比为，其前项的积为，且满足，，，则（ ） A. B. C. 的值是中最大的 D. 使成立的最大正整数数的值为198 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则_______． 13. 若直线被圆所截得的弦长为，则的最小值为_______． 14. 已知函数，若函数的最小值恰好为0，则实数的最小值是___________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分） 如图，在四棱锥，，，，点在上，且，. （1）若为线段的中点，求证：平面； （2）若平面，求平面与平面所成夹角的余弦值. 16. （15分）人工智能（AI）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟．某公司研究了一款答题机器人，参与一场答题挑战．若开始基础分值为分，每轮答2题，都答对得1分，仅答对1题得0分，都答错得－1分．若该答题机器人答对每道题的概率均为，每轮答题相互独立，每轮结束后机器人累计得分为，当时，答题结束，机器人挑战成功，当时，答题也结束，机器人挑战失败． （1）当时，求机器人第一轮答题后累计得分的分布列与数学期望； （2）当时，求机器人在第6轮答题结束且挑战成功的概率． 17. （15分）正数数列满足，且成等差数列，成等比数列． (1)求的通项公式； (2)求证：． 18. （17分）已知双曲线的右顶点，它的一条渐近线的倾斜角为． （1）过点（作直线交双曲线于两点（不与点重合），求证：； （2）若过双曲线上一点作直线与两条渐近线相交，交点为，且分别在第一象限和第四象限，若，求面积的取值范围． 19. （17分）已知函数. （1）判断函数在区间上极值点的个数并证明； （2）函数在区间上的极值点从小到大分别为，设为数列的前项和. ①证明：； ②问是否存在使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页/共 4页 学科网（北京）股份有限公司 株洲市南方中学 2025 届高三 11 月月考试卷 数学 命题人：蒋 帅 审题人：李 强 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．若集合 A={i, i2, i3, i4}（i是虚数单位），  1, 1B   ，则 A B 等于（ ） A. 1 B. 1 C. 1, 1 D. 2. 已知一组数据 1 2 3 4 5, , , ,x x x x x 的平均数为 2，方差为 1 2 ，则另一组数据 1 2 3 4 53 2,3 2,3 2,3 2,3 2x x x x x     的 平均数、标准差分别为（ ） A． 12, 2 B． 2,1 C． 3 24, 2 D． 94, 2 3. 已知奇函数    2 2 cosx xf x m x   ，则m （ ） A.-1 B.0 C.1 D. 1 2 4. 若正四棱锥的高为 8，且所有顶点都在半径为 5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（ ） A．24 B．32 C．96 D．128 5. 图 1是蜂房正对着蜜蜂巢穴开口的截面图，它是由许多个正六边形互相紧挨在一起构成．可以看出蜂房的底 部是由三个大小相同的菱形组成，且这三个菱形不在一个平面上．研究表明蜂房底部的菱形相似于菱形十二面 体的表面菱形，图 2是一个菱形十二面体，它是由十二个相同的菱形围成的几何体，也可以看作正方体的各个 正方形面上扣上一个正四棱锥（如图 3），且平面 ABCD与平面 ATBS的夹角为 45°，则 cos ASB （ ） A. 1 3 B. 3 2 C 2 D. 3 3 2 第 2页/共 4页 学科网（北京）股份有限公司 6. 在 ABC 中，角 A为 π 3 ，角 A的平分线 AD交 BC于点 D，已知 2 3AD  ，且  1 R 3 AB AD AC       ， 则 AB AD    （ ） A. 1 B. 9 C. 3 2 D. 3 3 2 7. 设椭圆 C： 2 2 2 2 1 x y a b   ( 0)a b  的左、右焦点分别为 1F， 2F ，直线 l过点 1F .若点 2F 关于 l的对称点 P 恰好在椭圆 C上，且 21 1 2 1 2 F F FP a   ，则 C的离心率为（ ） A. 1 3 B. 2 3 C. 1 2 D. 2 5 8.在锐角����中，� = 2�，则�� �� 的取值范围是（ ） A． −1,3 B． 1,3 C．( 2, 3) D． 1,2 二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 已知随机变量  2~ 1,X N  ，记 ( 1) , (1 3)     P X a P X b ，则（ ） A. ( 3) P X a B. 1 2 a b  C. (2 1) 2 ( ) E X E X D. (2 1) 4 ( )D X D X  10. 已知函数  f x 满足    2 2f x f x    ，     0f x f x     ，并且当  0,x  时，   cosf x x ，则下列关于函数  f x 说法正确的是（ ） A. 3 0 2 f       B.最小正周期 2T  C.  f x 的图象关于直线 x  对称 D.  f x 的图象关于  ,0 对称 11. 已知等比数列 na 的公比为q，其前 n项的积为 nT ，且满足 1 1a  ， 99 100 1 0a a   ， 99 100 1 0 1 a a    ，则（ ） A. 0 1q  B. 99 101 1 0a a   C. 100T 的值是 nT 中最大的 D. 使 1nT  成立的最大正整数数 n的值为 198 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 若  5 2 3 4 50 1 2 3 4 51x a a x a x a x a x a x       ，则 2a  _______． 第 3页/共 4页 学科网（北京）股份有限公司 13. 若直线 2 0( 0, 0)ax by a b     被圆 2 2 2 4 1 0x y x y     所截得的弦长为 4，则 2 3 a b  的最小值为 _______． 14. 已知函数 ( ) e ln 1axf x x x ax    ，若函数 ( )f x 的最小值恰好为 0，则实数 a的最小值是___________. 四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分） 如图，在四棱锥 P ABCD ，BC AD ， 1AB BC  ， 3AD  ，点E在 AD上，且 PE AD ， 2DE PE  . （1）若 F 为线段PE的中点，求证：BF  平面 PCD； （2）若 AB 平面 PAD，求平面 PAB与平面PCD所成夹角的余弦值. 16. （15分）人工智能（AI）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟．某公司研究了一 款答题机器人，参与一场答题挑战．若开始基础分值为  *m mN 分，每轮答 2题，都答对得 1分，仅答对 1 题得 0分，都答错得－1分．若该答题机器人答对每道题的概率均为 1 2 ，每轮答题相互独立，每轮结束后机器 人累计得分为 X ，当 2X m 时，答题结束，机器人挑战成功，当 0X  时，答题也结束，机器人挑战失败． （1）当 3m  时，求机器人第一轮答题后累计得分 X 的分布列与数学期望； （2）当 4m  时，求机器人在第 6轮答题结束且挑战成功的概率． 17. （15分）正数数列 �� , �� 满足�1 = 8, �1 = 16，且��, ��, ��+1成等差数列，��, ��+1, ��+1成等 比数列． (1)求 �� , �� 的通项公式； (2)求证： 1 �1−1 + 1 �2−1 +⋅⋅⋅⋅ 1 ��−1 < 1 3 ． 第 4页/共 4页 学科网（北京）股份有限公司 18. （17分）已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0) x yC a b a b     的右顶点  1,0E ，它的一条渐近线的倾斜角为120． （1）过点（ 2,0) 作直线 l交双曲线C于 ,M N 两点（不与点 E重合），求证： EM EN ； （2）若过双曲线C上一点 P作直线与两条渐近线相交，交点为 ,A B，且分别在第一象限和第四象限，若 1, , 2 3 AP PB          ，求 AOB△ 面积的取值范围． 19. （17分）已知函数   sinxf x x  . （1）判断函数  f x 在区间  0,3 上极值点的个数并证明； （2）函数  f x 在区间 (0, ) 上的极值点从小到大分别为 1 2 3, , , , ,nx x x x ，设   ,n n na f x S 为数列 na 的前 n项和. ①证明： 1 2 0a a  ； ②问是否存在 *nN 使得 0nS  ？若存在，求出 n的取值范围；若不存在，请说明理由. 株洲市南方中学2025届高三11月月考试卷 数学 命题人：蒋 帅 审题人：李 强 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合A=（i是虚数单位），，则等于（ ） A. B. C. D. 1.C 【解析】集合，，.故选C. 2. 已知一组数据的平均数为2，方差为，则另一组数据的平均数、标准差分别为（ ） A． B． C． D． 答案：2.．C【解析】因为一组数据的平均数为2，方差为，所以另一组数据， 的平均数为，方差为．平均数、标准差分别为．故选C． 3.已知奇函数，则（ ） A.-1 B.0 C.1 D. 3.A 【解析】是奇函数，，，，，.故选A. 4. 若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（ ） A．24 B．32 C．96 D．128 4．C【解析】如图，设在底面的投影为，易知正四棱锥的外接球球心在上， 由题意，球的半径， 所以， 故中，边的高为， 所以该正四棱锥的侧面积为． 5. 图1是蜂房正对着蜜蜂巢穴开口的截面图，它是由许多个正六边形互相紧挨在一起构成．可以看出蜂房的底部是由三个大小相同的菱形组成，且这三个菱形不在一个平面上．研究表明蜂房底部的菱形相似于菱形十二面体的表面菱形，图2是一个菱形十二面体，它是由十二个相同的菱形围成的几何体，也可以看作正方体的各个正方形面上扣上一个正四棱锥（如图3），且平面ABCD与平面ATBS的夹角为45°，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接AC、BD相交于点O，连接SO，取AB的中点E，连接SE、OE，则可得即为平面ABCD与平面ATBS的夹角，，则，然后在中利用余弦定理可求得结果. 【详解】连接AC、BD相交于点O，连接SO， 因四棱锥为正棱锥， 所以平面ABCD， 取AB的中点E，连接SE、OE， 因为，所以， 所以即为平面ABCD与平面ATBS的夹角，即． 设，则， 所以，， 在中，由余弦定理， 故选：A． 6. 在中，角A为，角A的平分线AD交BC于点D，已知，且，则（ ） A. 1 B. 9 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用共线定理的推理求得，然后以A为原点，以AB为x轴建立平面直角坐标系，根据坐标运算求得，然后由数量积的坐标表示可得. 【详解】由可得：， 因为B，C，D三点共线，故，即， 所以， 以A为原点，以AB为x轴建立平面直角坐标系如图所示， 因为，，则， 因为，故设， 则 由得， 解得，故，， 所以. 故选：B， 7. 设椭圆C：的左、右焦点分别为，，直线l过点.若点关于l的对称点P恰好在椭圆C上，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知结合椭圆的定义可推得，.然后根据，可推得.最后根据余弦定理，即可得到关于的齐次方程，即可得出离心率. 【详解】 设， 由已知可得，， 根据椭圆的定义有. 又， 所以. 在中，由余弦定理可得， ， 即， 整理可得， 等式两边同时除以可得，， 解得，或（舍去）， 所以. 故选：C. 8.在锐角中，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据在锐角中，每个角都是锐角确定的范围，利用正弦定理以及三倍角的正弦公式，化简表达式，求出范围即可. 【详解】在锐角中， 综上可得， ， 所以由正弦定理可知 ，故选D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正态分布的性质判断AB；根据期望和方差的性质判断CD. 【详解】由题意可知：，且， 可得，故A正确； 且， 即，所以，故B正确； 根据期望和方差性质可知：，，故C错误，D正确； 故选：ABD. 10.已知函数满足，，并且当时，，则下列关于函数说法正确的是 A. B.最小正周期 C.的图象关于直线对称 D.的图象关于对称 10.AD 【解析】由于时，，并且满足，则函数的图象关于直线对称.由于，所以，故，故，故函数的最小正周期为，根据，知函数的图象关于对称.由于时，，，故A正确，由于函数的最小正周期为，故B错误；由函数的图象关于对称，易知的图象不关于直线对称，故C错误；根据函数图象关于点对称，且函数图象关于直线对称，知函数图象关于点对称，又函数的最小正周期为，则函数图象一定关于点对称，故D正确.故选AD. 11. 已知等比数列的公比为，其前项的积为，且满足，，，则（ ） A. B. C. 的值是中最大的 D. 使成立的最大正整数数的值为198 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题目所给已知条件，结合等比数列的性质对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】∵，∴，∴. ∵，∴， 又，∴.故A正确. 由A选项的分析可知，，∴，∴，，故B正确，C不正确. ∴， ， ∴使成立的最大正整数数的值为198，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则_____． 12．【解析】的展开式通项是：，依题意，得，即，所以． 13. 若直线被圆所截得的弦长为，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意知直线过圆心，则，利用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意取值条件. 【详解】由，则圆心为，半径为2， 由直线被圆所截得的弦长为，故直线过圆心， 所以且， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 14. 已知函数，若函数的最小值恰好为0，则实数的最小值是___________. 【答案】 【解析】 【分析】换元构造新函数，再利用导数求得函数单调性与最值，从而求得的最值. 【详解】令，则，所以， 令，则， 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 故当时，取得最小值， 故当，即时，函数的最小值恰好为0， 令，则， 令，得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，所以的最小值为. 故答案：. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解参数范围问题.关键点是通过换元，将转化为，并利用导数研究的单调性与最值，得到，再利用导数求解的单调性，即可求得的最值. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （13分）如图，在四棱锥，，，，点在上，且，. （1）若为线段的中点，求证：平面； （2）若平面，求平面与平面所成夹角的余弦值. 【解析】（1）设为的中点，连接，， 因为是中点，所以，且， 因为，，，， 所以四边形为平行四边形，，且， 所以，且，即四边形为平行四边形， 所以，因为平面平面，所以平面. （6分） （2）因为平面，所以平面，又，所以，，相互垂直， （7分） 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，，， （9分） 设平面的一个法向量为， 则取，则， （11分） 设平面的一个法向量为， 则取，则， （12分） 设平面与平面所成夹角为，则. （13分） 16. （15分）人工智能（AI）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟．某公司研究了一款答题机器人，参与一场答题挑战．若开始基础分值为分，每轮答2题，都答对得1分，仅答对1题得0分，都答错得－1分．若该答题机器人答对每道题的概率均为，每轮答题相互独立，每轮结束后机器人累计得分为，当时，答题结束，机器人挑战成功，当时，答题也结束，机器人挑战失败． （1）当时，求机器人第一轮答题后累计得分的分布列与数学期望； （2）当时，求机器人在第6轮答题结束且挑战成功的概率． 16．【解析】（1）当时，第一轮答题后累计得分所有取值为4，3，2， 所以第一轮答题后累计得分的分布列为： X 4 3 2 P（X） 所以． （2）当时，设“第六轮答题后，答题结束且挑战成功”为事件，此时情况有2种，分别为： 情况①：前5轮答题中，得1分的有3轮，得0分的有2轮，第6轮得1分； 情况②：前4轮答题中，得1分的有3轮，得—1分的有1轮，第5、6轮都得1分， 所以． 17. （15分）正数数列满足，且成等差数列，成等比数列． (1)求的通项公式； (2)求证：． 【答案】(1)；. (2)证明见解析. 【详解】（1）成等差数列，成等比数列， ，， 数列为正数数列，， 当时，，， ，且，则， ，，，， ， 数列是以为首项，为公差的等差数列， ，， 当时，满足上式，， 当时，， 当时，满足上式，. （2）证明： 当时，； 当时，； 当时， . 综上所述，对一切正整数，有. 18. （17分）已知双曲线的右顶点，它的一条渐近线的倾斜角为． （1）过点（作直线交双曲线于两点（不与点重合），求证：； （2）若过双曲线上一点作直线与两条渐近线相交，交点为，且分别在第一象限和第四象限，若，求面积的取值范围． 18．【解析】（1）易知， 故双曲线的方程为． 直线的方程为， 联立，其中，且时， 则， ， ． （2）由题意可知，若直线有斜率则斜率不为0， 故设直线方程为：， 设， 点在双曲线上，， ， ③ 又 ④ 联立， ⑤，⑥， 分别在第一象限和第四象限，， 由④式得：， ⑦ 将⑤⑥代入⑦得：， 令 由对勾函数性质可得在上单调递减，在上单调递增 19. （17分）已知函数. （1）判断函数在区间上极值点的个数并证明； （2）函数在区间上的极值点从小到大分别为，设为数列的前项和. ①证明：； ②问是否存在使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）函数在区间内恰有两个极值点，证明见解析 （2）①证明见解析；②不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）求函数在给定区间上的导数，以分子整式构造函数，再次求导，研究该导数在给定区间上与零的大小关系，以判断构造函数的单调性和变号零点的性质，根据极值的定义，可得答案； （2）①根据（1）可得所在区间，根据极值点的必要条件，进一步缩小其所在区间，根据三角函数的诱导公式，将变为，使其在同一个单调区间，根据函数的单调性，可得与大小关系，可得答案；②由①可得相邻两个极值之和与零的大小关系，进而得到当为偶数时，和与零大小关系，再根据三角函数的性质，得到奇数时极值与零的大小关系，可得答案. 【小问1详解】 ，设，又， 当时，上单调递减， ，在上无零点； 当时，在上单调递增， ，在上有唯一零点； 当时，在上单调递减， ，在上有唯一零点. 综上，函数在区间上有两个零点且在零点左右函数符号发生改变， 故函数在区间内恰有两个极值点. 【小问2详解】①由（1）知在无极值点；在有极小值点，即为； 在有极大值点，即为， 同理可得，在有极小值点，在有极值点， 由得，， ， ， 由函数在单调递增得， ， 由在单调递减得， . ②同理， ， 由在上单调递减得， ，且， 当为偶数时，从开始相邻两项配对，每组和均为负值， 即，结论成立； 当为奇数时，从开始相邻两项配对，每组和均为负值，还多出最后一项也是负值， 即，结论也成立， 综上，对一切成立，故不存在使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$