福建省厦门第二中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

厦门二中2024-2025学年第一学期高二年段数学科期中考试卷 命卷教师：唐文龙 审卷教师：谢小花 班级: 座号: 姓名: (考试时间: 120分钟) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线l过点P(2,0), 方向向量为 则原点O到l的距离为 ( ) A. 1 B. C. D. 3 2. 若点R(-1,2)在圆( 的外部，则实数a的取值范围为 ( ) A. a<-3 B. a>-3 C. - 3<a<2 D. - 2<a<3 3. 已知两条直线l₁: (a-1) x+2y+1=0与l₂:x+ ay+1=0平行, 则a= ( ) A.-1 B.2 C.0或-2 D.-1或2 4. 已知点P(3，4)到直线l的距离为5，且直线l在两坐标轴上的截距相等，则满足条件的直线共有 ( ) A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 5.若直线( ax+y-a+1=0与x+2y-4=0的的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是 ( ) 6. 已知一对不共线的向量ā，b的夹角为θ，定义 为一个向量，其模长为 其方向同时与向量ā, b垂直 (如图1所示). 在平行六面体OACB-O'A'C'B'中 (如图2所示), 下列结论错误的个数是 ( ) ②当 时， ③若 则 ④平行六面体OACB-O'A'C'B'的体积 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 斗拱是中国建筑上特有的构件，是较大建筑物的柱与屋顶之间的过渡部分，用于支撑上部突出的屋檐，如图(1)，其简化结构如图(2)，其中OB，OC，OD是两两互相垂直的线段,OA为斗拱,满足OB=OC=OD,且∠AOB,∠AOC和∠AOD都为钝角. 若 则 ( ) 8. 在棱长为a的正方体. 中， M， N分别为BD₁， B₁C₁的中点， 点P在正方体表面上运动， 且满足MP⊥CN，则点P轨迹的长度是 ( ) D. 4a 试卷第1页，共4页 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于空间向量，以下说法正确的是 ( ) A. 若直线l的方向向量为m=(2,4,-2), 平面a的一个法向量为n=(-1,-2,1), 则l⊥a B. 若空间中任意一点O，有 则P,A,B,C四点共面 C. 若空间向量ā，b满足 则ā与b夹角为钝角 D. 若空间向量 则ā在b上的投影向量为 10.已知点A(3,3)和B(4,-2),P是直线l:x+y+2=0上的动点,则 ( ) A. |PA|+|PB|的最小值是3 B. ||PA|-|PB||的最大值是 C. 存在P(-1,-1), 使||PA|-|PB||最小D. 存在 使 最小 11.在正三棱柱 中， 点P满足 其中λ∈[0,1], μ∈[0,1], 则 ( ) A. 当λ=1时, △AB₁P的周长为定值 B. 当μ=1时, 三棱锥P-A₁BC的体积为定值 C. 当 时, 有且仅有一个点P, 使得A₁P⊥BP D. 当 时, 有且仅有一个点P, 使得A₁B⊥平面AB₁P 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间中A,B,C三点的坐标分别为(1,1,-1),(0,0,1),(-1,1,0), 则点C到直线AB的距离为 . 13. 如图 在三棱锥P-ABC中, G为△ABC的重心, PC,λ,μ∈(0,1), 若PG交平面DEF于点 M, 且 则λ+μ的最小值为 . 14. 如图 在等腰直角三角形ABC中, AB=AC=1, 点P是边AB上异于A, B的一点, 光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P，如图所示，若光线QR经过△ABC的重心G，则线段AP的长度是 ；直线PQ的斜率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 15. (13分) 已知直线l₁经过点P (0, 1), 直线l₂经过点Q (5, 0), 且l₁ll₂. (1) 求l₁与l₂之间的最大距离，并求此时两直线的方程； (斜截式表示) (2) 若l₁与l₂间的距离为5，求两直线的方程. (用一般式表示) 试卷第2页，共4页 16. (15分) 如图,在矩形ABCD和ABEF中, 记 (1)将 用 表示出来； (2)当λ等于多少时，线段MN的长度取得最小值? 求此时MN与AE夹角的余弦值. 17. (15分) 已知 的三个顶点分别是A(4,0), B(0,2), C(3,1). (1)求边AB上的中线所在直线的方程，求边AB上的高所在直线 的方程； (2) (i) 求 的外接圆G (G为圆心) 的标准方程； ( ii) 若点 P的坐标是(6,0), 点Q是圆G上的一个动点, 点M 满足 求点M 的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 18. (17分) 如图, 在. 中， D是AC中点, E、F分别是BA、BC边上的动点,且 将 沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥P-ACFE. (1)求证: EF∥平面PAC; (2)若 ，二面角P-EF-C是直二面角，求线段AP中点M到平面PEC的距离； (3)当 时，求直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围. 试卷第3页，共4页 19. (17分) 在平面解析几何中，除了目前已掌握的五种直线方程以外，我们利用定点坐标和向量坐标也能得到另外两种方程：已知过定点 的直线l和向量 ①若 为直线l的方向向量，则直线l的方程可写为 ②若u与直线l的方向向量垂直 (也称 为直线l的法向量)，则直线l的方程可写为. 我们也可以将上述工具扩展到空间直角坐标系( 中. (1)若已知平面α过定点M(2，3，4)，且平面α的一个法向量为 试求平面α的一般方程 (空间直角坐标系 中平面的一般方程可写为 (2)与平面中求解点坐标可以将点看成是两条直线的公共点，类似地，空间中求解直线的方程可以将直线看成是两个平面的交线. 在空间直角坐标系( 中，已知直线l的标准式方程为 平面 的一般方程为 求直线l与平面 所成角的余弦值； (3)在空间直角坐标系( 中，设平面( 的一般方程为 定点 试推导P到平面 的距离d的表达式 (要有完整过程). 试卷第4页，共4页 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 题号 答案 1. B 【分析】求出直线的解析式，即可求出原点O到/的距离. 【详解】由题意，在直线l中，方向向量为 ∴直线l的斜率存在, 设l:y= kx+b, 则直线l的斜率为: ∵直线l过点P(2,0), ∴0=-2+b, 解得: b=2,∴l:y=-x+2, 即l:x+y-2=0, ∴原点O到l的距离为： 故选: B. 2. C 【分析】根据点与圆的位置关系建立不等式求解，并注意方程表示圆所满足的条件. 【详解】因为点R(-1,2)在圆( 的外部, 所以1+4+2-4+a>0, 解得a>-3,又方程 表示圆，所以( 解得a<2,故实数a的取值范围为-3<a<2. 故选: C 3. A 4. C 【分析】根据直线经过原点和不经过原点，设出直线的方程，即可根据点到直线的距离求解. 【详解】当直线经过原点时，则直线方程为y= kx(k≠0)， 此时P(3，4)到直线l的距离为 化简得 解得 当直线不经过原点时，设直线方程 即x+y-a=0, 此时P(3，4)到直线l的距离为 解得 故符合条件的直线有3条， 故选: C 5. A 试卷第5页，共4页 【分析】求出两条直线的交点后可求a的取值范围. 【详解】由 可得3a+1=(2a-1)y, 因为两条直线的交点在第一象限，故2a-1≠0且 故 古 解得 或a>3. 故选: A. 6. A 【分析】A.根据三角形的面积公式，结合新定义公式，即可判断； B.结合新定义和数量积公式，即可判断； B.根据条件求∠AOB，即可判断； D.根据新定义和数量积的几何意义，即可判断. 【详解】对于A， 而| 故 正确； 对于B， 当 时, tan∠AOB有意义, 则 正确； 对于C，因为 所以 所以| 错误；对于D, 的模长即为平行六面体底面OACB的面积，且方向垂直于底面，由数量积的几何意义可知， 就是 在垂直于底面OACB的方向上的投影向量的模长 (即为平行六面体的高) 乘以底面的面积，即为平行六面体的体积，正确. 7. D 【详解】以O为原点，以OB，OC，OD所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示, 设OB=OC=OD=1, 可得B(1,0,0),C(0,1,0),D(0,0,1), 所以 设点A(a,b,c), 可得 则 由 可得 可得 所以 即 所以 故选: D. 试卷第6页，共4页 8. 【答案】A 【解析】在正方体. 中, 以D为坐标原点, 分别以DA, DC, 为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，∴D(0,0,0), C( 设P(x,y,z), 则 可得 当x=a时, 当x=0时, 取 连接EF, FG, GH, HE,则 ∴四边形EFGH为矩形，则 即EF⊥CN, EH⊥CN, 又EF和EH为平面EFGH 中的两条相交直线, ∴ CN⊥平面EFGH , 又 ∴ M为EG的中点, 则M∈平面EFGH, 为使MP⊥CN, 必有点P∈平面EFGH, 又点P在正方体表面上运动，所以点P的轨迹为四边形EFGH ， 又 则点P的轨迹不是正方形， 则矩形EFGH 的周长为 故选A 9. ABD 【分析】根据题意，由平面法向量的定义分析A，由空间向量基本定理分析B，由向量平行的性质分析C，由投影向量分析D. 【详解】对于A：若直线l的方向向量为m=(2，4，-2)，平面a的一个法向量为 易得 即 则有l⊥a, A 正确; 对于B：在 中，由于 故P,A,B,C四点共面, B正确; 对于C：当ā，b反向共线时， 也成立，但ā与b夹角不为钝角，C错误； 对于D，ā在b上的投影向量为 D正确. 故选: ABD. 10. ABD 【详解】在平面直角坐标系中作出点A,B和直线l:x+y+2=0, 由图可知, 点A(3,3)和B(4,-2)在直线l:x+y+2=0同侧, 试卷第7页，共4页 设点B(4,-2)关于直线l:x+y+2=0的对称点为B'(x,y), 则有 解得 得B'(0,-6), 则 当且仅当P为直线AB'与直线l的交点时， 有最小值|AB'|, 直线AB'的斜率为 方程为y=3x-6, 由 解得 存在P(1,-3), 使 PA|+|PB|最小, A 选项正确; 又||PA|-|PB||≤|AB|,当且仅当P为直线AB与直线l的交点时| 有最大值|AB|, 直线AB的方程为y-3=-5(x-3), 即5x+y-18=0, 由 解得 存在P(5,-7), 使||PA|-|PB||最大, B 选项正确; ||PA|-|PB||最小值为0, 当且仅当|PA|=|PB|, 即P为线段AB的垂直平分线与直线l的交点, AB的中点坐标为 直线AB的斜率为 则线段AB的垂直平分线方程为 即x-5y-1=0, 由 解得 存在 使||PA|-|PB|最小, C 选项错误 设 当 时有 最小值，此时 所以存在 使 最小，D选项正确. 11. BD 【分析】对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标； 对于B，将P点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值； 对于C，考虑借助向量的平移将P点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P点的个数； 对于D，考虑借助向量的平移将P点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P点的个数. 【详解】易知, 点P在矩形BCC₁B₁内部 (含边界). 对于A, 当λ=1时, 即此时P∈线段CC₁, △AB₁P周长不是定值, 故A错误; 试卷第8页，共4页 对于B, 当μ=1时, 故此时P点轨迹为线段 而 平面A₁BC,则有P到平面A₁BC的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确. 对于C，当 时， 取BC, B₁C₁中点分别为Q, H,则 所以P点轨迹为线段QH， 不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图， 则 所以 或 故H，Q均满足，故C错误； 对于D，当 时， 取BB₁, CC₁中点为M,N. 所以P点轨迹为线段MN.设 因为 所以 所以 此时P与N重合，故D正确. 故选: BD. 【详解】由点A(1,1,-1),B(0,0,1),C(-1,1,0),可得 所以点C到直线AB的距离为 所以点C到直线AB的距离为 故答案为： 13. 1 (过程略) 14. ; 2 【分析】根据已知，利用对称性、重心的性质，求出对称点坐标，联立直线方程进行求解. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系, 可得B(1,0), C(0,1),所以直线BC的方程为x+y-1=0, VABC的重心G的坐标为( 设点P(a,0), (a>0), M,N分别是点P关于直线BC和y轴的对称点,连接NR,QM , 所以N(-a,0), 设M(x₀,y₀), 则有 解得 所以M(1,1-a), 试卷第9页，共4页 由光的反射原理可知，M，N，Q，R四点共线，所以即 解得 此时 所以 直线MN的方程为：3x-6y+1=0, 联立直线MN的方程与BC的方程有： 解得 即 所以直线PQ的斜率为 故答案为： ,2. 15. (13分) 解: (1) 连接PQ (图略), 则当直线l₁, l₂均与直线PQ 垂直时, l₁与l₂之间的距离最大……………1分因为直线PQ的斜率为 所以此时直线l₁与l₂的斜率均为5，………………3分 l₁与l₂之间的最大距离为 …………4分 直线l₁的方程为y=5x+1, 即5x-y+1=0, 直线l₂的方程为y=5 (x-5), 即5x-y-25=0………………6分 (2) ①若l₁, l₂的斜率都存在, 设其斜率为k, 则 l₁的方程为y= kx+1, 即 kx-y+1=0, l₂的方程为y=k (x-5), 即 kx-y-5k=0…………………7分 由题意得 解得 ………………9分 所以直线l₁的方程为 即12x-5y+5=0, 直线l₂的方程为 即12x-5y-60=0………11分 ②若l₁, l₂的斜率都不存在, 则l₁的方程为x=0, l₂的方程为x=5, 它们之间的距离为5，符合题意………………12分 综上所述, 两直线的方程为 l₁: 12x-5y+5=0, l₂: 12x-5y-60=0或ll₁:x=0, l₂: x=5………………13分 16. (15分) 【分析】(1) 利用空间向量的加减运算法则化简即得 (2)分别求得 利用向量数量积的运算律求得| 利用空间向量的夹角公式计算即得结果. 【详解】(1) 由图知, MN λc; …3分 …………7分 试卷第10页，共4页 当 时，有最小值； ………………8分 此时 …9分 因为 故| 且 …13分 设MN与AE的夹角为θ，则 …15分 17. (15分)(1)l₁:y-1=0, l₂:2x-y-5=0 轨迹是以(4，-1)为圆心，半径为 的圆. 【详解】(1) 解: 设线段AB的中点为D, 则D(2,1), 因为C(3,1), 则边AB上的中线CD的方程为y=1, 即直线l₁的方程为y-1=0, ………………2分 又因为直线AB的斜率为 所以AB上的高所在直线l₂的斜率为2， 所以AB上的高所在直线l₂的方程为y-1=2(x-3),, 即直线l₂的方程为2x-y-5=0………………4分 (2) 解: (i) 设圆G的方程为 (其中 …5分 因为A，B，C三点都在圆上，可得 解得D=0,E=6,F=-16, …8分 满足 所以所求圆G的方程为 即 ……………9分 ( ii) 设M的坐标是(x,y), 点Q的坐标是(x₀,y₀), ……………10分 因为P的坐标是(6,0), 且 所以 解得 …12分 又因为点Q在圆G上运动，所以点Q的坐标满足圆G的方程，即 …13分 代入得 整理得 14分 点M的轨迹方程是 轨迹是以(4，-1)为圆心，半径为 的圆…15分 18.【详解】(1) 在四棱锥P-AEFC中, EF∥AC, 而AC⊂平面PAC, EF⊄平面PAC, 试卷第11页，共4页 所以EF∥平面PAC………………3分 (2) 由AC⊥BC,AC∥EF, 得EF⊥BC, 折叠后, 在四棱锥P-AEFC中, EF⊥FC,EF⊥PF,PF∩FC=F,PF,FC⊂平面PFC, 则EF⊥平面PFC,PC⊂平面PFC, 则EF⊥PC,由二面角P-EF-C是直二面角, 得平面PEF⊥平面EFC, 平面PEF∩平面 EFC=EF,PF⊥EF,PF⊂平面PEF, PF⊥平面EFC, ………………4分 以FE,FC,FP 分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则 ……5分 设平面PCE 法向量为 则 令z=1, 得 ………………7分 所求点面距为 …9分 (3) 以直线CA和CB分别为x，y轴，过C作平面ACFE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设P(0,s,u),F(0,t,0), D(-1,0,0),A(-2,0,0),E(t-2,t,0), 显然u > 0, …10分 得出s=-1, 则P(0,-1,u), 则 ……………11分 点P与其在直线FC上射影点及点F 围成以线段PF为斜边的直角三角形， 则 即 且2-t>t+1, t>0, 即 …12分 平面ABC的法向量为 设直线PE与平面ABC所成角为β， …14分 贝 ……………… .15分 令1-2t=λ∈(0,1), 函数 在(0,1)上递减, f(λ)>f(1)=16, 因此 则 解得 …………… .16分 所以直线PE与平面ABC 所成角的正弦值的取值范围是 ………………17分 19解: (1) 设A∈α₂,且A(x,y,z) 试卷第12页，共4页 有 ………………1分 （x-2,y-3,z-4）分 ………………………………………… （1,2,2）=0 x-2+2（y-3）+2（z-4）=0 ………………………………………………… 3 x--2+2y-6+2z-8=0 x+2y+2z-16=0 ∴α₂的一般方程为x+2y+2z-16=0 ………………………………………… 4 (2) ∵ l的方程为 ∴设l的方向向量为 ………………5分 ∵ α₁的方程为 分 ………………………………………………………………………… 6 设l与α₁所成角为θ 有 ………………………………………………………………………… 7分 ………………8分 ………………9分 ∴l与α₁所成角余弦值为 分 ……………………………………………………………………………… 10 由（1）可得，α₂上的一个法向量为 ……………………………… 11分 分 ………………………………………………………………………… 分 ………………………………………………………………………… 13 有 ……………………………………………………………………… 14分 …15分 ∵ Q∈α₂ ………………………………………………………………………… 16分 …17分 试卷第13页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$