广东省江门市台山市第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

台山一中2024—2025学年度第一学期中段考试 高二数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.直线的倾斜角为(    ) A. B. C. D. 2.已知为一条直线，，为两个不重合的平面，且，则“”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.已知一组数据：，，，，的平均数为，则该组数据的第百分位数为(    ) A. B. C. D. 4.直线，，若，则实数的值为(    ) A. B. C. 或 D. 或 5.已知点，平面，其中，则点到平面的距离是(    ) A. B. C. D. 6.已知点是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 7.已知正三角形的边长为，在平面内，若向量满足，则 的最大值为(    ) A. B. C. D. 8.如图,在四棱锥P-ABCD中,O是正方形ABCD的中心,PO⊥底面ABCD,PA=,AB=2,则四棱锥P-ABCD内切球的体积为(　　).　　　 　　　　　 　　　　　 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列说法正确的是(    ) A. 用简单随机抽样的方法从含有个个体的总体中抽取一个容量为的样本，则个体被抽到的概率是 B. 已知一组数据，，，，的平均数为，则这组数据的方差是 C. 数据，，，，，，，的分位数是 D. 若样本数据，，，的标准差为，则数据，，，的标准差为 10.抛掷一枚骰子两次．设“第一次向上的点数是”为事件，“第二次向上的点数是奇数”为事件，“两次向上的点数之和能被整除”为事件，则下列说法正确的是(    ) A. 事件与事件互为对立事件 B. C. D. 事件与事件相互不独立 11.如图,正方体的棱长为1,线段上有两个动点,且= ,则下列结论中正确的有(　　). A.当E点运动时,C⊥恒成立 B.当E向D 1运动时,二面角逐渐变小 C.二面角的最小值为45° D.三棱锥的体积为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.两直线和平行，则它们之间的距离为          ． 13.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为，客场取胜的概率为，且各场比赛结果相互独立，则甲队以：获胜的概率是          ． 14.在平面直角坐标系中，已知圆，直线，过上一点作圆的切线，切点为，则的最小值为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知平面直角坐标系中，圆，点， 若是圆上的动点，线段的中点为，求的轨迹方程 以为直径的圆交圆于，两点，求． 16.本小题分 如图，在直三棱柱中，底面是等腰三角形，，，，分别是棱，的中点． 求证：平面 求直线与平面所成的角的正弦值． 17.本小题分 某中学为了组建一支业余足球队，在高一年级随机选取名男生测量身高，发现被测男生的身高全部在到之间，将测量结果按如下方式分成六组：第组，第组，，第组，如图是按上述分组得到的频率分布直方图，以频率估计概率． 若学校要从中选名男生担任足球队长，求被选取的男生恰好在第组或第组的概率 试估计该校高一年级全体男生身高的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值代表与中位数 现在从第与第组男生中选取两名同学担任守门员，求选取的两人中最多有名男生来自第组的概率． 18.本小题分 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，． 求证：平面平面； 设，若二面角的平面角的大小为，试确定的值． 19.本小题分 定义：是圆上一动点，是圆外一点，记的最大值为，的最小值为，若，则称为圆的“黄金点”若同时是圆和圆的“黄金点”，则称为圆“”的“钻石点”已知圆，为圆的“黄金点”． 求点所在曲线的方程． 已知圆，，均为圆“”的“钻石点”． (ⅰ)求直线的方程． (ⅱ)若圆是以线段为直径的圆，直线与圆交于，两点，对于任意的实数，在轴上是否存在一点，使得轴平分 若存在，求出点的坐标若不存在，请说明理由． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 台山一中2024—2025学年度第一学期中段考试 高二数学参考答案 1.  解：由方程得直线斜率，所以倾斜角．故选：． 2.  解：若，，则或若，，则内必存在一条直线平行于， 则，则，所以“”是“”的必要不充分条件．故选：． 3.  解： 依题意，，解得，将数据从小到大排列可得：，，，，， 又，则第百分位数为．故选B． 4.  解：直线，， 若，则，则或．故选C． 5. 解：由题意，，为平面的法向量，，， 所以．故选：． 6.  解：由椭圆方程可得，，，． 圆的圆心恰为椭圆的左焦点． 设椭圆的右焦点为， 则由椭圆定义可知． ， 又， ， 当且仅当，，三点共线时取等号． 故的最大值为． 7.  解：以为坐标原点，为轴建立平面直角坐标系，如图，设，则，，所以满足的点坐标满足：，即在以为圆心，为半径的圆上，当，，三点共线，且在如图所示位置时，最大，由余弦定理，得，所以．故选：． 8.  解：由题可知,该几何体的底面是边长为2的正方形,侧棱长都为,连接OA,如图. ∵PO⊥底面ABCD,∴PO⊥AO,∴AO=·=×=, ∴PO===,∴S正方形ABCD=2×2=4,S△PAD=S△PCD=S△PBC=S△PAB=×2×2=2. 设四棱锥的内切球的半径为R,球心为O', 由VP-ABCD=VO'-ABCD+VO'-PAD+VO'-PAB+VO'-PBC+VO'-PCD, 得S正方形ABCD·PO=S正方形ABCD·R+S△PAD·R+S△PAB·R+S△PBC·R+S△PCD·R, 即4×=4R+4×2R=12R,解得R=, 故四棱锥P-ABCD内切球的体积V=πR3=π×3=.故选B. 9.  解：根据题意，简单随机抽样中每个个体被抽到的概率是相等的， 若在含有个个体的总体中依次抽取一个容量为的样本，则个体被抽到的概率为，故A正确； B.由平均数的公式得：，解得， 方差，故B错误； C.该组数据从小到大排列为：，，，，，，，，且， 所以第百分位数为，故C错误； D.已知样本数据，，的标准差为，则，数据，，，的方差为，所以其标准差为，故D正确． 故选：． 10.  解：由题意知事件与事件可以同时发生，故不互为对立事件，故A选项错误； 抛掷一枚骰子两次的样本点数共种，“两次向上的点数之和能被整除”的样本点为  ，共有种， 由古典概型的概率公式得  ， ，故B选项正确； 事件的样本点为，，，共种情况；的样本点为，，，，，，，，，，，共种情况，所以，故C选项正确；  ，所以事件与事件相互独立，故D选项错误． 故选：． 11.ACD 解：　对于A,连接A1C1,AD1,AB1,因为CC1⊥平面A1B1C1D1,B1D1⊂平面A1B1C1D1,所以CC1⊥B1D1, 因为B1D1⊥A1C1 , CC1∩A1C1=C1,CC1 , A1C1⊂平面A1C1C , 所以B1D1⊥平面A1C1C , 所以A1C⊥B1D1 , 同理可证A1C⊥AD1 ,从而A1C⊥平面AB1D1 , 所以A1C⊥AE恒成立 , A正确; 对于B,平面EFB为平面BDD1B1,平面EFA为平面AB1D1,所以当E向D1运动时,二面角A-EF-B的大小不变,B错误; 对于C,当点E从B1D1的中点向点D1运动时,平面ABE逐渐向底面ABCD靠拢,这个过程中,二面角越来越小, 所以二面角E-AB-C的最小值为∠D1AD=45°,C正确; 对于D,因为S△BEF=××1=,点A到平面BDD1B1的距离为,所以三棱锥A-BEF的体积为××=,为定值,D正确. 故选ACD. 12.  解：由题意得，，将变形为，由两条平行直线间的距离公式得距离 13. 解：甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”． 甲队主场取胜的概率为，客场取胜的概率为，且各场比赛结果相互独立， 甲队以：获胜，则第五场一定是甲胜， 甲队以：获胜包含的情况有： 前场比赛中，第一场负，另外场全胜，其概率为：， 前场比赛中，第二场负，另外场全胜，其概率为：， 前场比赛中，第三场负，另外场全胜，其概率为：， 前场比赛中，第四场负，另外场全胜，其概率为：， 则甲队以：获胜的概率为：． 故答案为：． 14.   解：由题意，圆的半径，根据向量数量积的几何意义，得．所以只要最小即可，当时，，所以的最小值为． 故答案为：． 15.解：设，，则所以.........2分 代入圆得， ，.........4分 化简得，即为的轨迹方程；.........6分 由题意，以为直径的圆的方程为：， 即．.........7分 由，得直线的方程：，.........9分 圆心到直线的距离，，.........10分 ，.........12分 ，所以．.........13分 16. （一）证法1：如图，取AC的中点M，分别连结，， 又是棱的中点，所以， 故，.........2分 又 所以，所以四边形是平行四边形，.........3分 所以，.........4分 又因为.........5分 所以平面；.........6分 （２）解：连接，因为底面是等腰三角形，，所以，.........7分 如证法２图，以为原点，，为轴，轴，过点作的平形线为轴，建立空间直角坐标系， 不妨设，则，，，，，，， 所以，，.........8分 设平面的法向量为， 则，即.........10分 令，得，， 故平面的一个法向量为，.........11分 又，设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成的角的正弦值为．.........15分 （二）（１）证法2：如图， 连接，因为底面是等腰三角形，，所以，.........1分 以为原点，，为轴，轴，过点作的平形线为轴，建立空间直角坐标系， 不妨设，则，，，，， 则，，．.........2分 设平面的法向量， 则即.........4分 令，得， 故平面的一个法向量为，.........5分 所以， 所以，平面．.........6分 又平面，所以平面；.........7分 解：由题意，，，， 所以，，.........8分 设平面的法向量为， 则，即.........10分 令，得，， 故平面的一个法向量为，.........11分 又，设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成的角的正弦值为．.........15分 17.解：被选取的男生恰好在第组或第组的概率；.........2分 全体男生身高的平均数为： .........3分 ，.........5分 设全体男生身高的中位数为，因为第组对应的频率为，第组对应的频率为，，第组对应的频率为32，所以0.20+0.28〈0.50〈0.20+0.28+0.32，.........6分 所以，.........7分 则，.........8分 解得；.........10分 第组有人，记为，，，，.........11分 同理第组有人，记为，，所有的情况为、、、、、、、 、、、、、、、，共种，.........12分 选取的两人中最多有名男生来自第组的有、、、、、、、、共种，.........13分 所以所求概率为． .........15分 18. 求证：，，为的中点， 四边形为平行四边形，． .........2分 ，，即． .........3分 又平面平面，且平面平面，平面， 平面． .........5分 平面，平面平面； .........6分 解：，为的中点，． 平面平面，且平面平面， 平面． .........7分  如图，以为原点建立空间直角坐标系． 则面的法向量为； .........9分 ，，， 设，则，， ，，则， 即， .........12分 在平面中，，， 设平面的一个法向量，由， ，取，得． 平面法向量为． .........14分 二面角为，， .........16分 解得．  .........17分 19.解：因为为圆的“黄金点”，所以，即， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，故点所在曲线的方程为；....3分  因为为圆的“黄金点”，所以，即点在圆上， 则是圆和的交点，.........4分 因为，均为圆“”的“钻石点”， 所以直线即为圆和的公共弦所在直线，.........5分 两圆方程相减可得，故直线的方程为；.........6分  设的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为， 直线的方程为，得，的中点坐标为，.........7分 点到直线的距离为， 则， 所以圆的方程为，.........8分 假设轴上存在点满足题意，设，，， 若轴平分，则，.........9分 即，整理得，.........10分 又，，所以代入上式可得， 整理得，.........12分 由，得，.........14分 所以，，.........15分 代入并整理，得，此式对任意的都成立， 所以，故轴上存在点，使得轴平分． .........17分 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$