精品解析：江苏省宿迁市宿城区多校2024-2025学年九年级上学期期中联考数学试题

2024—2025学年度第一学期期中调研测试 九年级数学 答题注意事项 1．本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟． 2．答案全部写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．答题使用0.5mm黑色签字笔，在答题卡上对应题号的答题区域书写答案．注意不要答错位置，也不要超界． 4．作图题必须用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描涂清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 把方程化为一元二次方程的一般形式后为（ ） A. B. C. D. 3. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4. 已知的半径是，点P是直线l上一点，且．那么直线l与的公共点的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无法确定 5. 如图，在正方形网格中，一条圆弧经过三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）． A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 6. 如图所示，已知在中，弦的长为，测得圆周角，则直径为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在菱形中，，点O是对角线的中点，以点O为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 无法确定 8. 已知一元二次方程中，下列说法：①若，则； ②若方程两根为和2，则； ③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；④若，则方程有两个不相等的实根．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 9. 一元二次方程的根是_______． 10. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 _______． 11. 一圆锥的底面半径为3，母线长为6，则这个圆锥的侧面积为__________． 12. 在圆内接四边形中，若，则________º. 13. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意思是：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝1寸，CD＝1尺，那么直径AB的长为多少寸？（注：1尺＝10寸）根据题意，该圆的直径为_____寸． 14. 如图，在中，，是的内切圆，切点分别为D、E、F，若，，则的半径为__________． 15. 如图，将一个正八边形与一个正六边形如图放置，顶点A、B、C、D四点共线，E为公共顶点．则∠FEG＝_____． 16. 已知a，b，c是的三边长，若一元二次方程没有实数根，则是______三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）． 17. 对于一切不小于2的自然数，关于的一元二次方程的两个根记作，（），则__________． 18. 如图，是上任意一点，点在外，已知，是等边三角形，则的面积的最大值为______ 三、解答题（本大题共10小题，满分96分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1） （2）； 20. 如图，内接于是的直径，若，求的度数． 21. 如图，在中，弦相交于点E，且．求证：． 22. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 23. “圆”是中国文化的一个重要精神符号，中式圆的含蓄和韵味，被设计师一一运用在了园林设计中，带来了浓浓的古典风情．如图1，是某园林的一个圆形拱门，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味，图2是其示意图．已知拱门圆的半径为，拱门下端为． （1）在图2中画出拱门圆的圆心O（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若拱门最高点为点D，求点D到地面的距离． 24. 第九届亚冬会在我国冰城哈尔滨召开．其吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2025年3月份的销售量为256件，2025年5月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率？ （2）从5月份起，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，经测试，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润能达到8400元？ 25. 如图，为的直径，点，都在上，，交于点，点在的延长线上，且． （1）求证：为的切线； （2）若且，求的半径． 26. 用一段长的篱笆和长8的墙，围成一个矩形的花园，设平行于墙的一边的长为． （1）如图1，若矩形花园的一边靠墙，另三边由篱笆围成，当花园面积为时，求的值； （2）如图2，若矩形花园的一边由墙和一节篱笆构成，另三边由篱笆围成，花园面积能否为？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 27. 关于的一元二次方程，如果、、满足且，那么我们把这样的方程称为“2倍—勾系方程”，请解决下列问题： （1）求证：关于的“2倍—勾系方程”必有实数根； （2）如图，已知、是半径为4的的两条平行弦，，，且关于的方程是“2倍—勾系方程”； ①求的度数； ②直接写出的长（用含、的式子表示）． 28. 【了解概念】 我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段．若点在折线段上，，则称点是折线段的中点． 【理解应用】 （1）如图2，的半径为2，是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则____________； （2）如图3，中，，是上一点，，垂足为．求证：点是折线段的中点； 【拓展提升】 （3）如图4，，，，是上的四个点，，，则的值为____________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期中调研测试 九年级数学 答题注意事项 1．本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟． 2．答案全部写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．答题使用0.5mm黑色签字笔，在答题卡上对应题号的答题区域书写答案．注意不要答错位置，也不要超界． 4．作图题必须用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描涂清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，根据定义即可做出判断． 【详解】解：A．，未知数最高次数是3，不是一元二次方程，故选项不符合题意； B．是一元二次方程，故选项符合题意； C．是分式方程，不是一元二次方程，故选项不符合题意； D．含有两个未知数，不是一元二次方程，故选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 2. 把方程化为一元二次方程的一般形式后为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）． 【详解】解：将等号左边根据多项式乘以多项式法则展开，再移项合并同类项,方程整理得：3x2+x-12=0， 故选D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c=（a≠0），解决本题的关键是要熟练掌握整式乘法和一元二次方程的一般形式. 3. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根的判别式．求出判别式的符号，即可得出结论，掌握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； 故选A． 4. 已知的半径是，点P是直线l上一点，且．那么直线l与的公共点的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查直线与圆的位置关系．根据题意先判断直线与圆的位置关系为相交，即可得到本题答案． 【详解】解：∵的半径是，点P是直线l上一点，且， ∵， ∴直线l与位置关系为相交， ∴直线l与的公共点的个数是个， 故选：C． 5. 如图，在正方形网格中，一条圆弧经过三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）． A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作，的垂直平分线即可得到答案． 【详解】解：作的垂直平分线，作的垂直平分线，如图， 它们都经过，所以点为这条圆弧所在圆的圆心． 故选：B． 【点睛】本题主要查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，理解并掌握圆心为弦垂直平分线的交点是解决此题的关键． 6. 如图所示，已知在中，弦的长为，测得圆周角，则直径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，可证，，由即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， ∵是直径， ∴， ()， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，特殊角的三角函数值，掌握基本性质是解题的关键． 7. 如图，在菱形中，，点O是对角线的中点，以点O为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】连接，将绕点O顺时针旋转得到．证明，推出，利用即可求解． 【详解】解：如图，连接，将绕点O顺时针旋转得到． ， ， 在菱形中，点O是对角线的中点，， ，， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定与性质，解直角三角形，扇形的面积，作出辅助线，构造三角形全等，利用是解题的关键． 8. 已知一元二次方程中，下列说法：①若，则； ②若方程两根为和2，则； ③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；④若，则方程有两个不相等的实根．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义，判别式与根的个数的关系，根与系数的关系逐一进行判断即可． 【详解】解：①若，则1为方程的一个根，∴，故①正确； ②若方程两根为和2，则：，∴，②正确； ③若方程有两个不相等的实数根，则：， 当时，，满足题意， 但此时方程无实数解，故③错误； ④若，则， 即方程有两个不相等的实数根，④正确； 正确的为：①②④， 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程解的定义，根的判别式，根与系数的关系．熟练掌握相关知识点是解题的关键． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 9. 一元二次方程的根是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查利用直接开方法解一元二次方程，将方程移项利用直接开方法求解即可． 【详解】解：移项得，， 开方得，． 故答案为：． 10. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于是解题的关键． 由根与系数的关系可直接求得的值． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ． 故答案为：． 11. 一圆锥的底面半径为3，母线长为6，则这个圆锥的侧面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，掌握圆锥的侧面积公式（L为底面圆的周长，R为圆锥的母线长度）成为解题的关键． 直接运用圆锥的侧面积公式计算即可． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为3， ∴底面圆的周长， ∴圆锥侧面积． 故答案为：． 12. 在圆内接四边形中，若，则________º. 【答案】90 【解析】 【分析】由圆内接四边形对角互补得到∠A+∠C=∠B+∠D=180°，由∠A：∠C=1：3算出∠A=45°，可得∠B=2∠A=90°，由此即可求得∠D的大小． 【详解】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形 ∴∠A+∠C=∠B+∠D=180° ∵∠A：∠B：∠C=1：2：3， ∴设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x， 可得∠A+∠C=4x=180°， 解之得x=45° ∴∠B=2x=90°， ∴∠D=180°-∠B=90°. 故答案为90 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补是解题的关键． 13. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意思是：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝1寸，CD＝1尺，那么直径AB的长为多少寸？（注：1尺＝10寸）根据题意，该圆的直径为_____寸． 【答案】26 【解析】 【分析】连接OC，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE的长，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB的长． 【详解】解：连接OC， ∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径， ∴E为CD的中点， 又∵CD＝10寸， ∴CE＝DE＝CD＝5寸， 设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸， 由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2， 即（x﹣1）2+52＝x2， 解得：x＝13， ∴AB＝26寸， 即直径AB的长为26寸， 故答案为：26． 【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理；解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题． 14. 如图，在中，，是的内切圆，切点分别为D、E、F，若，，则的半径为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】连接、．由已知条件可得出，，结合已知条件证明四边形是正方形，由正方形的性质可得出， 根据切线长定理可得，，进而可得出，，，最后利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：连接、． ∵内切于， ∴，， 又∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴．． ∵内切于， ∴，， ∵，， ∴，， 在中， 即． 解得：，（舍去）， 故的半径为1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了三角形内切圆的性质，正方形的判定以及性质，切线长定理，勾股定理，掌握三角形内切圆的性质，正方形的判定以及性质，切线长定理是解题的关键． 15. 如图，将一个正八边形与一个正六边形如图放置，顶点A、B、C、D四点共线，E为公共顶点．则∠FEG＝_____． 【答案】30° 【解析】 【分析】根据多边形的内角和，分别得出∠ABE=∠BEF=135°，∠DCE=∠CEG=120°，再根据三角形的内角和算出∠BEC，得出∠FEG=360°-∠BEF-∠CEG-∠BEC即可． 【详解】解：由多边形的内角和可得， ∠ABE=∠BEF=＝135°， ∴∠EBC=180°-∠ABE=180°-135°=45°， ∵∠DCE=∠CEG=＝120°， ∴∠BCE=180°-∠DCE=60°， 由三角形的内角和得： ∠BEC=180°-∠EBC-∠BCE=180°-45°-60°=75°， ∴∠FEG=360°-∠BEF-∠CEG-∠BEC =360°-135°-120°-75° =30°． 故答案为：30°． 【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 16. 已知a，b，c是的三边长，若一元二次方程没有实数根，则是______三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）． 【答案】钝角 【解析】 【分析】根据题意得到，然后求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程没有实数根， ∴，且， ∴，， ∴， 解得， ∴是钝角三角形． 17. 对于一切不小于2的自然数，关于的一元二次方程的两个根记作，（），则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，由根与系数的关系得，，所以，则，然后代入即可求解． 【详解】解：由根与系数的关系得，， 所以， 则， ． 故答案为：． 18. 如图，是上任意一点，点在外，已知，是等边三角形，则的面积的最大值为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形面积的计算，找出点的位置变换是解题的关键． 如图所示，以为边作等边，连接，可证，可得，点在以点为圆心的圆上，且半径，过点作于点，即是的垂直平分线，当点在上其在点的上方时，的面积的最大值，根据等边三角形，含角的直角三角形的性质可求出，的值，根据三角形的面积即可求解． 【详解】解：如图所示，以为边作等边，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，且，， ∴， ∴， ∴点在以点为圆心的圆上，且半径，过点作于点，即是的垂直平分线，当点在上其在点的上方时，的面积的最大值， ∴在中，，，， ∴， ∴，且， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，满分96分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1） （2）； 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）用因式分解法求解即可； （2）用公式法求解即可． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 ∵ ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 20. 如图，内接于是的直径，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，熟知同圆或等圆中，同弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半是解题的关键．如图所示，连接，由圆周角定理得到，由平角的定义可得，则由圆周角定理可得． 【详解】解：如图所示，连接， 是的直径，， ， ， ． 21. 如图，在中，弦相交于点E，且．求证：． 【答案】 证明：由圆周角定理得， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理得到，证明即可得到结论． 【详解】略 22. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用根的判别式即可求解； （2）运用根与系数的关系，韦达定理即可求解． 【小问1详解】 解∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得，， ∴的取值范围为． 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根为， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得，或， ∵由（1）可知，， ∴． 【点睛】本题主要考查一元二次方程中根据与系数的关系，韦达定理求未知量，掌握一元二次方程中根与系数的关系，即根的判别式，韦达定理的解参数的方法是解题的关键． 23. “圆”是中国文化的一个重要精神符号，中式圆的含蓄和韵味，被设计师一一运用在了园林设计中，带来了浓浓的古典风情．如图1，是某园林的一个圆形拱门，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味，图2是其示意图．已知拱门圆的半径为，拱门下端为． （1）在图2中画出拱门圆的圆心O（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若拱门最高点为点D，求点D到地面的距离． 【答案】（1） 如图，点O即为所求， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，能够准确作出辅助线，根据直角三角形是解决问题的关键． （1）在拱门上找任意一点C，连接、，并做垂直平分线，利用垂径定理可确定圆心的位置； （2）连接，设点E为的中点，根据垂径定理，构造直角三角形，然后根据勾股定理解答即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接， ， 设点E为的中点， 点O为圆心，连接并延长交圆于点D， 点D即为拱门为最高点， ， ，， ，， 在中， ， 点D到地面的距离为． 24. 第九届亚冬会在我国冰城哈尔滨召开．其吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2025年3月份的销售量为256件，2025年5月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率？ （2）从5月份起，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，经测试，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润能达到8400元？ 【答案】（1） （2）8元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率为，根据题意建立方程，解方程即可得； （2）设当该款吉祥物降价元时，月销售利润能达到8400元，根据利润（售价降价的金额进价）月销售量建立方程，解方程即可得． 【小问1详解】 解：设该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设当该款吉祥物降价元时，月销售利润能达到8400元， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润能达到8400元． 25. 如图，为的直径，点，都在上，，交于点，点在的延长线上，且． （1）求证：为的切线； （2）若且，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， ， ， ，为的直径， ， ∴， ， ，即， ， 是半径， 为的切线； （2）6 【解析】 【分析】（1）连接，求出，由等腰三角形的性质得，，然后证明即可证明结论成立； （2）设的半径，则，在中，由勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径，则， ， 在中，由勾股定理得，， ， 解得，或（舍去）， 的半径为6． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的证明，勾股定理，熟练掌握圆的性质是解答本题的关键． 26. 用一段长的篱笆和长8的墙，围成一个矩形的花园，设平行于墙的一边的长为． （1）如图1，若矩形花园的一边靠墙，另三边由篱笆围成，当花园面积为时，求的值； （2）如图2，若矩形花园的一边由墙和一节篱笆构成，另三边由篱笆围成，花园面积能否为？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1）6 （2）能，的长为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． （1）由题意知，的长为，则的长为，，依题意得：；计算求出满足要求的解即可； （2）设，则，，依题意得，；计算求解，然后作答即可． 【小问1详解】 解：由题意知，的长为，则的长为，， 依题意得：； 解得：，（舍去）， ∴的值为6； 【小问2详解】 解：设，则，， 依题意得，； 整理得，， 解得，， ∴花园面积能为． 27. 关于的一元二次方程，如果、、满足且，那么我们把这样的方程称为“2倍—勾系方程”，请解决下列问题： （1）求证：关于的“2倍—勾系方程”必有实数根； （2）如图，已知、是半径为4的的两条平行弦，，，且关于的方程是“2倍—勾系方程”； ①求的度数； ②直接写出的长（用含、的式子表示）． 【答案】（1） 证明：关于的一元二次方程是“勾系方程”， 且，， ， ， ， 方程必有实数根； （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了“勾系方程”的概念，一元二次方程根的判别式，勾股定理，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是明白“勾系方程”的定义． （1）根据一元二次方程根的判别式即可判断； （2）①作于，延长交于，连接，，由垂径定理可得，，有勾股定理得，再由关于的方程是“2倍—勾系方程”，得到，即可证明，最后证明得到，最后根据求解即可； ②过点作的垂线，垂足为，则四边形是矩形，根据得出，进而利用勾股定理列式解答，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①作于，延长交于，连接，，如图， ∵， ， ，， ， ， 关于的方程是“2倍—勾系方程”， ∴， ， ，， ∴ ， ， ， ， ； ②过点作的垂线，垂足为，则四边形是矩形，如图， ， ∵， ． 28. 【了解概念】 我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段．若点在折线段上，，则称点是折线段的中点． 【理解应用】 （1）如图2，的半径为2，是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则____________； （2）如图3，中，，是上一点，，垂足为．求证：点是折线段的中点； 【拓展提升】 （3）如图4，，，，是上的四个点，，，则的值为____________． 【答案】（1）3； （2）证明：如图，延长到使，连接、， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点是折线段的中点； （3） 【解析】 【分析】本题考查了圆的综合知识，切线的性质、“折线段中点的定义”、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识． （1）由切线的性质得出，由，，得出，再根据“折线段中点的定义”即可得到答案； （2）如图，延长到使，连接、，先证明为等腰三角形，再证明为等腰三角形，继而得出，进一步即可证明结论； （3）作于点，根据（2）的结论和勾股定理表示出和的长度，进一步计算即可得出的值． 【详解】解：（1）∵是的切线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点是折线段的中点， ∴， 故答案为：3； （2）略 （3）如图，作于点， 由（2）可知为折线段中点，即， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴ ， 故答案为：7． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $