第三章 分式知识归纳-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（青岛版）

第三章：分式 基础知识归纳 一、分式 1.形如(其中,A,B是整式且B中有字母)的式子叫分式 2.注意点 （1）一个式子是否是分式，与分子中否含字母无关 (2)π不是字母 (3)判断一个式子是否是分式时,应从形式上判断. 二、分式有意义、无意义以及分式的的值为0的条件 1.分式有意义的条件：分母≠0 2.分式无意义的条件：分母=0 3.分式的值为0的条件：(1)分子=0 (2)分母≠0 三、分式的基本性质与符号法则 1.基本性质 分式的分子与分母上乘以(除以)一个不为零的整式,分式的值不变 注意点 （1）分式的分子与分母乘以(除以)的整式必须是相同的. （2）分式的分子与分母上乘以或除以的整式一是不能为0 (3)分式的分子与分母上进行的是乘除运算,不是加减运算 2.分式的符号法则 对于分式,分子与分母的符号,同时改变任意两个,分式的值不变 四、分式的约分与最简分式 1.分式的约分 根据分式的基本性质,把一个分式的分子和分母中1以外的公因式约去叫分式的约分 注意点 (1)约分时,若分子或分母是多项式,且能分解因式的,要先分解因式. (2)约分时,若分子与分母中的多项式因式互为相反数,通常要把它们的化成相同因式. （3）约分时，分子或分母前面有负号的，通常要把负号提到分式前面去. 2.最简分式 一个分式的分子与分母中除1以外没有其它公因式,这样的分式叫最简分式. 五、分式的通分 1.定义 根据分式的基本性质,把几个异分母分式化成同分母分式,这种变形叫分式的通分 2. 最简公分母的确定 （1）系数:取各分母系数的最小公倍数 (2)字母:取各分母中所有字母的最高次幂. 3.注意点 （1）通分时,若分母是多项式且能分解因式,要先分解因式. （2）若分母中含有的多项式因式只差一个负号,首先要把它们化成相同因式. 六、分式的运算 1.分式的乘法. （1）法则 分式乘以分式,等于把分式的分子与分母分别相乘. (2)注意点 ①分子或分母是多项式且能分解因式的,要先分解因式. ②结果是要化成最简分式或整式 2.分式的除法 分式除以分式等于被除式乘以除式的倒数 3.分式的加减法 (1)同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减 (2)异分母分式相加减,先通分化成同分母分式,然后再加减 (3)注意点 ①把分子相减时,若减式是多项式,则一定要把减式用括号括起来 ②通分时,分母是多项式,且能分解因式的,要先分解因式 ③若分母中含有的多项式因式互为相反数,则要先把它们化成相同因式. ④结果必须是最简的. 4.分式的乘方 (1)分式的乘方,等于把分子,分母分别乘方 (2)注意点 对一个分式乘方时，若该分式前面是“-”号，不要直接对分子与分母进行乘方. 5.分式的混合运算 (1)混合运算顺序 ①先乘方,再乘除,最后算加减.若有括号,要先算括号里面的. ②同一级运算应按从左到右的顺序进行 ③两级运算若互不影响,可同时进行 (2)注意点 ①在进行混合运算时,要注意运算顺序 ②在进行混合运算时,适当运用一些运算律,运算性质或公式,可使计算简便 ③在进行混合运算时,要尽量把步骤写完整,这样能有效降低出错率. 七、比与连比 1.比 （1）比的定义 两个数a与b相除(b≠0),我们叫做a与b的比 记作a:b或分,其中a叫比的前项,b叫比的后项. （2）比的性质 比的前项与后项乘以(除以)同一个不为0的数,比值不变 2.连比 （1）连比的定义 三个或三个以上数的比叫连比 （2）把两个比写成连比的方法. ①求出第一个比的后项与第二个比的前项的最小公倍数 ②利用比的性质,把第一个比的后项与第二个比的前项化成相同的,都等于它们的最小公倍数 ③把变形后的两个比合在一起写成连比的形式 八、比例式 (1)比例的定义 表示两个比相等的式子叫比例式,简称比例. 若a:b=c:d,则就说a,b,c,d四个数成比例. 在比例中,a与d叫比例的外项,b与C叫比例的内项 注意点 我们说四个数成比例时,这四个数是有顺序的. 2.比例中项 在比例式中,当它的两个内项相等时,即=时, b叫a与c的比例中项 3.比例的性质 (1)基本性质 若则=，则ac=bd. (2)反比性质 若=，则=， （3）更比性质 若=，则= （4） 合分比性质 若=，则= ;若=，则= (5) 等比性质 若 九、比例线段 （1）在四条线段a,b,c,d中,若a:b=C:d,则这四条线段a,b,c,d.叫成比例线段,简称比例线段 (2)注意点 ①比例的性质也适用于比例线段 ②我们叙述四条线段成比例时,要注意这四条线段的顺序性. （3）判断四条线段成比例的方法 ①计算较短两条线段的比与较长两条线段的比 ②观察这两个比是否相等. 若相等,则这四条线段成比例,否则就不成比例 十、分式方程 1.分母中含有未知数的方程叫分式方程 注意点 （1）分母中含有字母的方程不一定是分式方程 （2）一个方程是否是分式方程与该方程是否有解无关 2.解分式方程的步骤 （1）化→在分式方程两边同乘各分式的最简公分母,去掉方程中的分母,把分式方程转化为整式方程. （2）解→解整式方程，求出整式方程的解 （3）验→把求出的整式方程的解代入最简公分母进行检验. （4）写→写出分式方程的解或原方程无解 注意点 ①解方程时,若分母是多项式且能分解因式的要先分解因式. ②去分母时,不要漏乘不含分母的项 ③去分母后,若分子含有多项式因式的,一定要把多项式因式用括号括起来 ④不要忘记验根 3. 分式方程的增根 （1）在解分式方程时,产生了一个不适合原方程的根,这个根叫原分式方程的增根. （2）一个数是分式方程的增根的条件 ①这个数必须是整式方程的解 ②这个数必须使最简公分母为0 十一、列分式方程解应用题 1.步骤 （1）设未知数 （2）找出题目蕴含的等量关系 （3）根据等量关系列出分式方程 (4) 解分式方程求出未知数的值 (5) 检验求出的未知数的值是否是分式方程的解以及是否符合问题实际意义 (6)写出答案 2.注意点 （1）设未知数时一定要带单位 （2）设未知数可直接设，也可间接设 （3）在列方程时,单位要一致 （4）在解题时,一个等量关系只能用一次. （5）不要忘记检验. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$